Lista 10 - Equacoes Diferenciais Ordinarias de 1 Ordem - 2022

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10ª Lista - Resumo Teórico e Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem:
Separáveis
1 Conceitos básicos sobre equações diferenciais
Uma equação diferencial é, basicamente, uma equação que envolve uma função incóg-
nita e suas derivadas. Exemplos:
(a) dy
dx
= 3x − 5
(b) d2y
dt2 + 3
(
dy
dt
)2
= 4
(c) d3y
dx3 + ex d2y
dx2 − 2xy = 0
(d) ∂2y
∂t2 + 3∂2y
∂x2 = 0
Uma equação diferencial é chamada de ordinária (E.D.O.) quando a função incógnita
depende apenas de uma variável independente, caso contrário será chamada equação
diferencial parcial (E.D.P.). Exemplos de E.D.O. são (a), (b) e (c) e de E.D.P. temos
(d).
Definição 1 (Ordem de uma equação diferencial) A ordem de uma equação
diferencial é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação.
Nos exemplos acima, (a) é uma equação diferencial de 1ª ordem, (b) e (d) são de 2ª
ordem e (c) de 3ª ordem.
Definição 2 (Solução de uma equação diferencial) Uma função que satisfaz
uma equação diferencial é chamada de solução da equação.
O conjunto de todas as soluções possíveis de uma equação diferencial é chamada de
solução geral da equação diferencial.
Exemplo 1 Considere a equação diferencial ordinária de 1ª ordem dy
dx
= ex para a
função incógnita y(x). A solução geral dessa equação diferencial é o conjunto infinito de
funções da forma y(x) = ex + k com k ∈ R sendo uma constante real qualquer.
Uma equação diferencial juntamente com uma condição auxiliar para a função incóg-
nita é chamada de problema de valor inicial (P.V.I.), e uma solução que satisfaz tanto
a equação diferencial quanto a condição auxiliar é denominada solução particular do
problema de valor inicial.
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Cálculo II (Continuação)
Exemplo 2 Considere a equação diferencial ordinária de 1ª ordem dy
dx
= ex para a
função incógnita y(x) com a condição auxiliar y(0) = 3. Impondo a condição auxiliar para
a solução geral y(x) = ex + k temos y(0) = e0 + k = 3 de modo que 1 + k = 3 ⇔ k = 2.
Logo, a solução particular desse problema de valor inicial é y(x) = ex + 2.
2 As equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
Podemos classificar as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem quanto à forma em
que elas são apresentadas e quanto ao tipo de equação.
Quanto à forma temos:
(a) Implícita: F (x, y, y′) = 0
Exemplo: dy
dx
− 2y + y
x
= 0
(b) Normal: y′ = f(x, y)
Exemplo: dy
dx
= 2y − y
x
(c) Diferencial: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Exemplo: (2xy − y)dx − x dy = 0
Quanto ao tipo temos:
(a) Equações Separáveis
(b) Equações Lineares
(c) Equações Homogêneas
(d) Equações Exatas
Aqui estudaremos as equações separáveis e apresentaremos o método de resolução.
3 Equações Diferenciais Separáveis
Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem que na forma normal tem a seguinte
estrutura
dy
dx
= h(x) · g(y)
é chamada de separável, ou seja, na forma normal a derivada dy
dx
é o produto de uma
função que depende só de x por uma função que depende só de y.
Exemplo 3 A equação dy
dx
= 6x2
y
é uma equação diferencial separável com h(x) = 6x2
e g(y) = 1
y
.
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Cálculo II (Continuação)
Numa equação diferencial separável podemos realizar a separação de variáveis e inte-
grar ambos os membros:
dy
dx
= h(x) · g(y) ⇔ dy
g(y) = h(x)dx ⇔
∫ dy
g(y) =
∫
h(x)dx
Exemplo 4 Determinar a solução geral de y′ − x
ey
= 0 em y(x).
Solução: Sendo y′ = dy
dx e colocando a EDO na forma normal,
dy
dx
= x
ey
notamos que a equação é separável com h(x) = x e g(y) = 1
ey . Separando as variáveis e integrando,
obtemos:∫
eydy =
∫
x dx ⇔ ey + C1 = x2
2 + C2 ⇔ ey = x2
2 + C2 − C1︸ ︷︷ ︸
≡C
⇔ ey = x2
2 + C ⇔ y = ln
(
x2
2 + C
)
Logo:
y(x) = ln
(
x2
2 + C
)
Exemplo 5 Um corpo está se movendo ao longo do eixo x de tal forma que, no instante
t, a velocidade do corpo é dada pela equação diferencial
dx
dt
= x2 · ln(t).
Se o corpo está no ponto x = −2 no instante t = 1, onde se encontra no instante t = 3?
Solução: Temos um problema de valor inicial onde a condição auxiliar é x(1) = −2. A equação
diferencial é separável com h(x) = x2 e g(t) = ln(t). Separando as variáveis e integrando, obtemos:∫
dx
x2 =
∫
ln(t) dt
A integral na variável t é realizada por partes: escolhendo u = ln(t) e dv = dt temos du = 1
t dt e v = t de
modo que
∫
ln(t) dt = u · v −
∫
v · du = t · ln(t) −
∫
t · 1
t dt = t · ln(t) −
∫
dt = t · ln(t) − t + C2. Logo:∫
dx
x2 =
∫
ln(t) dt ⇔ − 1
x
+C1 = t · ln(t)−t+C2 ⇔ − 1
x
= t · ln(t)−t+C2 − C1︸ ︷︷ ︸
≡C
⇔ x = − 1
t · ln(t) − t + C
Impondo x(1) = −2 temos:
x(1) = − 1
−1 + C
= −2 ⇔ C = 1
2 + 1 = 3
2
Logo:
x(t) = − 1
t · ln(t) − t + 3
2
Com essa solução particular, calculamos x(3):
x(3) = − 1
3 · ln(3) − 3 + 3
2
≈ −0, 56
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Cálculo II (Continuação)
Exercícios da 10ª Lista
(A) Equações Diferenciais Separáveis e aplicações
1. Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais em y(x):
(a) y′ + 2xy = 0
(b) y′ = −y · sen(x)
(c) y′ = 1 + 2x2
−x · sen(y)
(d) dy
dx
− x ·
√
1 − y2 = 0
(e) dy
dx
· x2y2 = 1 + x
(f) dy
dx
= e3x+2y
(g) y′ = e−y + e−2x−y
(h) x
y
+ (1 − x2) · y′ = 0
(i) ey · y′ = x · ex
(Resp: (a) y(x) = C · e−x2 ; (b) y(x) = C · ecos(x) (c) y = arccos
[
ln |x| + x2 + C
]
; (d) y(x) =
sen
(
x2
2 + C
)
; (e) y(x) =
[
− 3
x
+ 3 ln(x) + C
]1/3
; (f) y(x) = −1
2 ln
(
−2
3e3x + C
)
; (g) y(x) =
ln
(
x − e−2x
2 + C
)
; (h) y(x) = ±
√
ln(1 − x2) + C; (i) y(x) = ln(x · ex − ex + C))
2. Determinar as soluções particulares dos seguintes problemas de valor inicial:
(a)

dy
dt
+ t · y = 0
y(1) = 3
(b)

dy
dx
= 9
y2
y(0) = 2
(c)

dM
dt
= 4 · (1 + M2)
M
(
π
4
)
= 1
(d)
cos2(x) · dy
dx
+ y = 1
y(0) = 4
(Resp: (a) y(t) = 3 · e(1−t2)/2; (b) y(x) = (27x + 8)1/3 (c) M(t) = tg
(
4t − 3π
4
)
; (d) y(x) =
1 + 3 · e− tg(x))
3. Problemas de Variação de Temperatura: Lei de Newton
De acordo com a lei de variação de temperatura de Newton, a taxa de variação de
temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo
e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Ta a temperatura do meio
ambiente, então:
dT
dt
= k(T − Ta)
com k sendo uma constante de proporcionalidade. Com base nessa lei, resolva os
exercícios propostos:
(a) Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100 ºF em um quarto com
temperatura de 0 ºF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50 ºF,
determine:
(i) a temperatura da barra no instante t;
(ii) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25 ºF;
(iii) a temperatura da barra após 10 minutos.
(Resp: (i) T (t) = 100 · e−0,0347·t; (ii) ≈ 40 min; (iii) ≈ 70, 7 ºF)
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Cálculo II (Continuação)
(b) Uma esfera de Cu é aquecida a uma temperatura de 100 ºC. Em t = 0 ela é
imersa num tanque de água, mantida a uma temperatura de 30 ºC. Após 3
minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70 ºC.
(i) Determine a temperatura da esfera de Cu no instante t.
(ii) Calcule o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31 ºC.
(Resp: (i) T (t) = 70 · e−0,1865·t + 30; (ii) ≈ 22, 8 min)
(c) Uma chapa de metal aquecida se resfria de 180 ºF para 150 ºF em 20 minutos,
quando exposta ao ar à temperatura de 60 ºF.
(i) Qual a temperatura da chapa de metal no instante t?
(ii) Determine uma aproximação da temperatura da chapa ao término de 1
hora de resfriamento.
(iii) Quando é que a temperatura será 100 ºF?
(Resp: (i) T (t) = 120 · e−0,0144·t + 60; (ii) ≈ 111 ºF; (iii) ≈ 76, 3 min)
(d) Uma mulher é encontrada morta em seu quarto pelo marido que liga imedia-
tamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada,
examina o cadáver e constata que sua temperatura é de 35 ºC; 1h depois cons-
tata que a temperatura é de 34,2 ºC. Após alguns cálculos, a polícia prende
o marido, pois umdos policiais fez um curso de equações diferenciais. Se a
temperatura do quarto era de 20 ºC e a de uma pessoa viva é de 36,5 ºC,
calcule o instante em que se deu o assassinato e, com base nisso, explique a
prisão do marido. Supor que a lei do resfriamento de Newton se aplica ao
cadáver. (Resp: ≈ 13, 2 min)
4. Lei de Malthus para crescimento e decrescimento populacional
Se as populações relativamente pequenas (seres humanos, animais, bactérias, etc.)
permanecem não perturbadas, geralmente crescem de acordo com a Lei de Malthus:
a taxa de crescimento no tempo é diretamente proporcional à população presente.
Seja N(t) a população sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento, então
dN
dt
= kN
com k sendo uma constante de proporcionalidade. Com base nessa lei, resolva os
exercícios propostos:
(a) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce de acordo com o modelo de cres-
cimento malthusiano. Inicialmente, o número de bactérias é de 800. Após 1
hora, esse número é de 1.200.
(i) Determine N(t).
(ii) Quantas bactérias terão esta cultura no final de 3 horas?
(Resp: (i) N(t) = 800 · e0,405·t; (ii) ≈ 2.696 bactérias)
(b) Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional
ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica e
após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial N0.
(Resp: ≈ 16.654 habitantes)
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Cálculo II (Continuação)
5. Decaimento Radioativo
A atividade de uma substância radioativa é medida pelo número de desintegrações
por unidade de tempo. Este fenômeno é devido à emissão de três tipos de radiações:
partículas α (núcleos de hélio), partículas β (elétrons) e raios γ (ondas eletromagné-
ticas de alta frequência). A experiência mostra que se N(t) for o número de átomos
radioativos presentes na amostra no instante t, então:
dN
dt
= −λN
onde λ > 0 é a constante de desintegração característica de cada elemento radioa-
tivo. Com base nessa lei de decaimento, resolva os exercícios propostos:
(a) Sabe-se que uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional
à quantidade presente. Se inicialmente, a quantidade de material é de 50
mg, e se observa que, após duas horas, perderam-se 10 % da massa original,
determine:
(i) a expressão para a massa de substância restante M(t) em um tempo
arbitrário t;
(ii) a massa restante após 4 horas;
(iii) o tempo necessário para que sua quantidade fique reduzida à metade
(tempo de meia-vida).
(Resp: (i) M(t) = 50 · e−0,0527·t; (ii) ≈ 40, 5 mg; (iii) ≈ 13, 2 h)
(b) A meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Suponha que tenhamos uma amostra
de 200 mg.
(i) Ache a massa M(t) que restará após t anos.
(ii) Quanta massa a amostra terá após 90 anos?
(iii) Depois de quanto tempo teremos apenas 1 mg da amostra?
(Resp: (i) M(t) = 200 · e−0,0231·t; (ii) ≈ 25 mg; (iii) ≈ 229, 4 anos)
(c) Para estimar a época em que as pinturas que decoram as paredes da caverna
de Lascaux, na França, foi realizada a análise de uma amostra do carvão
utilizado nos desenhos. Observou-se uma atividade de decomposição para o
6C14 da ordem de 0,97 decomposições por minuto em um grama. Semelhante
análise foi efetuada no carvão produzido da madeira viva mais abundante na
região, tendo-se obtido, em 1950, uma atividade de 6,68 decomposições por
minuto em um grama. Sabendo que a meia-vida do 6C14 é de 5.730 anos,
determine a idade das pinturas (em anos). (Resp: ≈ 16.000 anos)
(d) O isótopo de hidrogênio 1H3 tem um tempo de meia-vida de 12,3 anos e é
produzido na atmosfera pelos raios cósmicos e trazido à terra pela chuva. A
taxa à qual a quantidade N de 1H3 varia em relação ao tempo t é proporcional
à quantidade presente, ou seja, dN
dt
= −λN . Se o madeiramento de uma velha
casa contém 10% da quantidade de 1H3 presente no madeiramento de uma
nova casa determine aproximadamente a idade da casa velha. (Resp: ≈ 41 anos)
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