Dinâmica - Cinemática do movimento curvilíneo componentes cartesianos, normal e tangencial

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DINÂMICA
Ivan Rodrigo Kaufman
Cinemática do movimento 
curvilíneo: componentes 
cartesianos, normal 
e tangencial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Apontar por que é mais fácil usar um tipo de componente no lugar 
do outro.
  Traduzir a velocidade e a aceleração de um problema físico em com-
ponentes cartesianos, e em componentes normal e tangencial.
  Calcular o módulo da velocidade e da aceleração.
Introdução
Quando você está fazendo uma curva com o seu carro, você sente uma 
força sendo exercida sobre você, mesmo que a velocidade do carro seja 
constante. Essa situação configura o movimento curvilíneo, em que, 
para realizar uma curva, você está sob a influência de uma força externa 
que acaba modificando a sua trajetória, induzindo uma aceleração com 
direção diferente da velocidade linear. Um lançamento de projétil, como 
o lançamento de uma bola de basquete em direção ao cesto, também 
descreve uma trajetória curvilínea, para um observador do lado de fora 
da quadra. Nesse caso, a aceleração da gravidade é a responsável pela 
trajetória curvilínea da bola.
Neste capítulo, você estudará o movimento curvilíneo. Nesse tipo de 
movimento, nem sempre as coordenadas adequadas para a resolução 
do problema são as coordenadas cartesianas. Você também aprenderá 
como utilizar as coordenadas normal e tangencial para a resolução de 
problemas físicos do movimento curvilíneo.
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Movimento curvilíneo nos planos cartesiano, 
normal e tangencial
Você já deve ter notado que, quando está fazendo uma curva com o seu carro 
em uma estrada, mantendo a velocidade do velocímetro constante, uma força 
atua sobre você, de modo a ser jogado para o lado contrário da direção do 
carro na curva. Mas como isso é possível se você mantém a velocidade do 
carro constante? A resposta está na direção do vetor aceleração, que não é 
nulo, apesar do módulo da velocidade linear ser constante.
Digamos que, nesse exemplo do carro em uma curva, estejamos des-
crevendo um semicírculo em uma rotatória, como ilustrado na Figura 1A. 
Vamos analisar a situação para dois instantes diferentes, 1 e 2, indicados 
na Figura 1 para o mesmo carro. No instante 1, o carro tem uma velocidade 
de módulo v e direcionada tangencialmente ao semicírculo da trajetória 
descrita pelo carro naquele instante (vetor velocidade v). Como o carro 
descreve uma trajetória curvilínea, existe uma aceleração direcionada ao 
centro de curvatura da trajetória, como podemos ver pelo vetor indicado 
por a. Quem é responsável por induzir uma trajetória circular e criar uma 
aceleração direcionada para o centro de curvatura da trajetória é a força de 
atrito nas rodas. 
Como? Bom, pense agora na situação do instante 2. O vetor velocidade 
v continua sendo tangencial à trajetória curvilínea descrita pelo carro, mas 
mudou de direção quando comparado à situação 1. O vetor aceleração a 
também mudou a direção, mas continua apontando para o centro de cur-
vatura da trajetória e, dessa maneira, permite que o carro descreva uma 
trajetória curvilínea com raio r que vai do carro até o centro da rotatória. 
Essas duas mudanças nas direções dos vetores v e a são causadas pela 
força de atrito nas rodas, que, quando o motorista causa uma mudança 
na direção do carro de modo a modificar a trajetória que já não é mais 
retilínea, acaba induzindo uma força de atrito nos pneus, apontando para 
o centro de curvatura da trajetória. Portanto, a força de atrito estático das 
rodas e o asfalto é responsável por induzir uma mudança nas direções, 
tanto dos vetores velocidade quanto dos aceleração, descrevendo uma 
trajetória curvilínea de raio r.
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Figura 1. A) Movimento curvilíneo uniforme 
de um carro em uma rotatória. B) Movimento 
curvilíneo uniformemente variado com a 
representação das acelerações nas coorde-
nadas normal e tangencial.
Fonte: Leo_nik/Shutterstock.com.
A situação descrita indica a mudança dos vetores aceleração e velocidade 
no plano de movimento do carro. Nessa situação, tratamos o exemplo do 
carro com velocidade linear constate. Porém, se o carro estiver acelerando 
enquanto estiver fazendo a trajetória curvilínea, podemos expressar o 
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vetor aceleração com uma componente normal e tangencial à trajetória, 
conforme ilustrado na Figura 1B. O módulo da velocidade linear no ins-
tante 1 é menor do que o módulo do vetor velocidade no instante 2. Isso 
porque, além da aceleração centrípeta, que está direcionada para o centro 
da trajetória curvilínea e é representada pela aceleração normal an, ainda 
existe mais uma aceleração, que é representada pela aceleração tangencial 
at, na mesma direção do vetor velocidade. Eventualmente, o carro pode 
estar desacelerando, diminuindo o módulo do vetor velocidade para um 
instante subsequente 2. Nesse caso, o vetor aceleração tangencial ainda 
tem a mesma direção do vetor velocidade (que é tangencial à trajetória), 
mas com sentido negativo. O vetor aceleração normal ainda continua 
apontando para o centro de curvatura da trajetória.
Esse tipo de representação utilizando vetores normais e tangenciais 
é normalmente empregada quando o movimento curvilíneo acontece em 
um plano ou espaço tridimensional e o vetor aceleração é dependente 
da trajetória (muda de direção conforme o movimento vai acontecendo). 
Esse tipo de representação com componentes normal e tangencial facilita 
a resolução de problemas físicos dessas situações. Quando temos um 
movimento curvilíneo no qual podemos separar os movimentos nos eixos 
x, y e z, a resolução de problemas físicos pode ser facilmente realizada 
utilizando o plano cartesiano. Situações físicas típicas envolvendo esse 
tipo de problemas envolvem projéteis, em que a aceleração da gravidade é 
a única aceleração envolvida. Vamos a um exemplo envolvendo a análise 
a partir do plano cartesiano.
A situação da Figura 2 ilustra o arremesso de uma bola de basquete em 
duas situações distintas, 1 e 2. Nesse caso, a única força envolvida, após 
a bola ser arremessada, é a força peso. A força peso é dada pela massa 
da bola multiplicada pela aceleração da gravidade, no sentido vertical do 
arremesso. Tanto na situação 1 quanto na situação 2, a única aceleração 
envolvida é a aceleração da gravidade. Já tratando da velocidade, após o 
arremesso, a bola adquire uma velocidade e descreve uma trajetória cur-
vilínea representada pela curva em cinza na figura. Como temos somente 
a ação da gravidade sobre a bola, podemos separar o movimento da bola 
nas direções horizontal e vertical. Ou seja, em relação aos eixos x e y do 
sistema de coordenadas adotado. 
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Figura 2. Arremesso de uma bola de basquete e os vetores de aceleração gravi-
tacional e velocidade representados para dois instantes distintos.
Fonte: Bbernard/Shutterstock.com.
Note que, na horizontal, o movimento é de MRU (movimento retilíneo 
uniforme), uma vez que não existe um vetor aceleração nessa direção. Já 
na direção vertical, o movimento é de MRUV (movimento retilíneo uni-
formemente variado), uma vez que existe um vetor aceleração apontando 
na direção negativa de y. Nesse caso, a velocidade que a bola adquire em x 
permanece constante durante toda a trajetória. Já a velocidade na direção y 
muda, uma vez que a bola está sob influência de uma aceleração no sentido 
vertical, que é a aceleração da gravidade. No ponto mais alto da trajetória 
da curva representada em cinza, a velocidade em y é nula, mas a velocidade 
em x continua a mesma. O vetor velocidade v varia de direção durante a 
trajetória da bola, mas, se o decompusermos em xe y (vx e vy), o módulo do 
vetor velocidade vz permanece constante, enquanto o módulo do vetor vy 
varia com o tempo.
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Quando a cinemática do movimento curvilíneo acontece independentemente em torno 
dos eixos x, y e z, a utilização do plano cartesiano pode ser empregada. Já quando a 
análise da cinemática do movimento curvilíneo é dependente em relação a um eixo e 
outro, é conveniente utilizarmos as componentes normal e tangencial do movimento.
Velocidade e aceleração: 
componentes cartesianas
Em situações onde o vetor aceleração não muda durante a trajetória mesmo 
que o movimento não seja curvilíneo, podemos utilizar as componentes car-
tesianas para expressar os valores de posição, velocidade e aceleração. Em 
algumas situações, o movimento acontece somente em um plano, representado 
usualmente pelo plano formado por x e y.
Para representar um vetor no espaço cartesiano, podemos usar a notação 
dos vetores unitários i, j e k, como ilustrado na Figura 3. Esses vetores unitários 
indicam as direções x, y e z do plano cartesiano, sendo que cada um deles 
é ortogonal em relação aos outros dois vetores. Ou seja, cada vetor unitário 
forma um ângulo de 90° com cada um dos outros vetores. Dessa maneira, 
podemos representar qualquer vetor no espaço tridimensional (ou no plano, 
quando for o caso) pela notação dos vetores unitários. Por exemplo, quando 
queremos representar o vetor posição de uma partícula no plano cartesiano, 
representamos a partir do vetor posição r:
onde os valores x, y e z que antecedem os vetores unitários são os módulos 
da posição em cada um dos eixos no espaço 3D.
Agora, digamos que essa partícula não está em repouso frente ao sistema de 
coordenadas adotado, ou seja, possui uma velocidade não nula. Para calcular 
o vetor velocidade, podemos realizar a derivada do vetor posição e obter:
onde vx, vy e vz são os valores da velocidade em cada uma das direções do 
plano cartesiano. Note que, se a partícula se move somente em um plano, por 
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exemplo no plano x e y, o vetor velocidade na direção k é nulo. Dessa maneira, 
podemos representar o vetor velocidade somente com as componentes i e j. 
Porém, isso não quer dizer que a partícula se encontra na posição de 0 da 
componente unitária k, mas, ao longo do tempo, a partícula não muda de 
posição em relação ao eixo z da componente unitária k.
Figura 3. Plano cartesiano x, y e z e os vetores unitários i, j e k.
Análogo ao vetor velocidade, quando queremos obter o vetor acele-
ração a, podemos derivar o vetor velocidade em relação ao tempo, ou 
ainda realizar a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo. 
Assim, obtemos:
Vamos pensar agora como ficam as componentes da velocidade e aceleração 
no plano cartesiano quando temos um movimento curvilíneo no qual o vetor 
aceleração atua somente em um dos eixos do plano. Esse é o caso típico de 
situações físicas que envolvem o lançamento de projéteis, em que a aceleração 
da gravidade atua somente na direção vertical, como ilustrado anteriormente 
com o lançamento da bola de basquete. Como vimos, o movimento curvilíneo 
da bola pode ser separado pelas suas componentes em x e y, na qual somente na 
componente y teremos a influência da aceleração. Nesse caso, a aceleração na 
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direção x é nula (ax = 0). Podemos tratar o problema separando o movimento 
na horizontal e na vertical.
Na horizontal (em x)
A velocidade na direção x permanece constante ao longo do tempo, de modo 
que a velocidade fi nal vx é igual à velocidade inicial (v0)x:
Para obter a posição na direção horizontal, podemos integrar a velocidade 
em relação ao tempo e obter:
onde x0 é a posição inicial em x e t é o tempo.
Na vertical (em y)
No movimento na vertical, a aceleração e a velocidade estão presentes. Aqui, 
estamos assumindo que a aceleração é constante durante o tempo, e por isso 
temos que a aceleração fi nal ay é igual a aceleração inicial (a0)y:
Aqui, vamos tratar da aceleração em termos gerais (a0)y. Porém, no caso 
da aceleração da gravidade envolvida, você pode substituir a aceleração pelo 
valor de g = 9,8 m/s2.
Para obtermos a velocidade durante o percurso na vertical, integramos a 
aceleração uma vez em relação ao tempo e, assim, temos:
Note que agora a velocidade é dependente do tempo, ou seja, não é mais 
uma constante como o movimento na horizontal tratado anteriormente. Se 
integramos mais uma vez, obtemos a posição em função do tempo:
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Ainda podemos isolar a incógnita t da equação que dita a velocidade vy e 
substituí-la na equação da posição y acima, obtendo a equação da velocidade 
e posição independentemente do tempo:
Dessa forma, quando tratamos de um movimento curvilíneo em que temos 
uma aceleração que não muda de direção ao longo do percurso, podemos usar 
as componentes do plano cartesiano. Dessa forma, podemos separar e tratar 
independentemente os movimentos em cada uma das direções. A soma dos 
movimentos em cada uma das direções dá origem ao movimento curvilíneo 
tratado neste capítulo.
No link abaixo você encontrará um resumo das equa-
ções de cinemática, que podem ser úteis para relembrar 
algumas propriedades e ajudar na resolução de alguns 
problemas físicos:
https://goo.gl/Lj64I5 
Velocidade e aceleração: componentes 
normal e tangencial
Podemos tratar dos casos em que a aceleração é dependente não somente de um 
eixo, mas de dois ou até mesmo no espaço tridimensional, porém as equações 
utilizadas em x, y e z deverão obedecer a matemática descrita acima para o 
movimento na vertical, para cada um dos eixos em questão (x, y e z). Porém, 
nesse caso, é conveniente expressar as equações cinemáticas do movimento 
curvilíneo nos planos formados pelos vetores normal e tangencial. Vamos 
determinar a posição, velocidade e aceleração para o sistema de componentes 
normal e tangencial.
A posição de um objeto em movimento curvilíneo pode ser referenciada em 
relação a um ponto fixo O’, descrevendo trajetórias ds em relação ao centro de 
curvatura do movimento, de raio ρ, conforme ilustrado na Figura 4a. O vetor 
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velocidade v é tangencial à trajetória e pode ser representado a partir do vetor 
unitário ut:
onde o módulo v é dado por v = ds/dt
A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja:
Com isso, a segunda parte que deriva dut/dt deve ser determinada. Note 
que, após um tempo dt, a partícula descreveu uma trajetória ds, mudando a 
direção do vetor tangencial para u’t. Como mostrado na Figura 4b, o vetor 
u’t é igual à soma dos vetores ut + dut. O vetor dut está comprimido entre os 
vetores unitários ut e u’t que formam um ângulo dθ pela trajetória ds. O vetor 
dut tem magnitude (1)dθ e está direcionado no sentido do vetor unitário normal 
à trajetória un para ângulos θ infinitesimais. Ou seja, dut = dθ.un. Como ds = 
ρ.dθ, temos que dut = (ds/ρ).un e, assim,:
E, por fim, obtemos a aceleração curvilínea com as componentes normal 
e tangencial:
A aceleração tangencial at = dv/dt pode ser descrita como at = (dv/ds).(ds/
dt) atds = vdv. O módulo da aceleração pode ser calculado a partir da equação:
Note que, quando a trajetória é retilínea, ou seja, ρ infinito, a compo-
nente normal da aceleração tende a zero e deixa de existir, configurando 
a aceleração na direção da velocidade (at), como é para os casos dos mo-
vimentos retilíneos.
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Figura 4. A) Movimento de uma partícula em uma trajetória curvilínea e B) representação 
dos vetores unitários na representação de coordenadas normal e tangencial.
Calculando o módulo da 
velocidade e aceleração
Vamos aplicar o conhecimento acima para o cálculo do módulo da velocidade 
e aceleração para uma situação envolvendo coordenadas cartesianas e outro 
utilizando componentes tangencial e normal.
Na Figura 5, temos ilustrado um arremessador de basquete posicionado 
a 10 metros da cesta, que está localizada a uma altura de 3 metros. A bola é 
lançada a 1,5 metros do chão com velocidade inicial que forma um ângulo de 
30º com a horizontal. Vamos determinar com que velocidade a bola deve ser 
lançada para que ocorra a cesta e B.
Figura 5. Arremessador de basquete.
Fonte: Hibbeler (2016).
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Primeiramente vamos analisar o movimento na horizontal. Para tanto, 
temos que a posição inicial xo = 0 m que se encontra na origem do sistema 
referencial adotado, indicado pelo plano x e y com origem no início do arre-
messo. A posição final do arremesso é xf = 10 m. Já a velocidade inicial na 
direção x é dada por vx0 = v.cos30º. Como durante o movimento curvilíneo da 
bola em direção ao cesto somente temos a aceleração da gravidade presente, 
a velocidade em x não muda. Desse modo:
Integrando em relação ao tempo a equação acima, temos que:
Para o movimento na direção y, temos que a velocidade na direção y muda 
com o tempo devido à ação da gravidade, sob influência da aceleração gra-
vitacional g (no sentido negativo do eixo y). A posição inicial da bola em y 
é dada por y0 = 1,5 m e a posição final é dada por yf = 3 m. Já a velocidade 
inicial na direção y é dada por vy0 = v.sen30°. Como a aceleração não varia no 
tempo, podemos escrever:
Integrando uma vez:
Integrando mais uma vez, temos:
Para um determinado instante de tempo quando a bola acerta o cesto, x(t) 
= xf = 10 e y(t) = yf. Isolamos t da equação da posição x(t) e substituímos na 
equação da posição em y(t). 
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Rearranjando os termos, obtemos a seguinte equação:
Agora vamos analisar um caso de cinemática de movimento curvilíneo de 
uma motocicleta que descreve um semicírculo de raio r = 300 m, conforme 
ilustrado na Figura 6. 
Figura 6. Motocicleta.
Fonte: Hibbeler (2016).
Quando a motocicleta passa pelo ponto A, ela possui uma velocidade de 
vA = 25 m/s e começa a desacelerar a partir da função dada pela aceleração 
tangencial at = −(0,001.s) m/s
2 até a posição B, descrevendo uma trajetória 
curvilínea com ângulo de 90° (π/2). Vamos calcular o módulo da aceleração 
quando a motocicleta passa pelo ponto B.
Para o módulo da aceleração no ponto B, precisamos descobrir as acelerações 
tangencial e normal naquele ponto. Para isso, integramos a equação atds = vdv:
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Aplicando os limites de integração e isolando vB encontramos vB = 20 
m/s. Agora podemos calcular a aceleração normal e tangencial no ponto B. 
A aceleração tangencial foi apresentada no enunciado do problema e quando 
substituímos s por s = 300.π/2, obtemos o valor de (aB)t = −0,47 m/s
2. Já a 
aceleração normal é dada pela equação:
O módulo é calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de (aB)t e 
(aB)n. Portanto:
1. Durante uma viagem, um carro 
realiza uma curva com raio de 25 
m, aumentando a sua velocidade 
a uma taxa de 8,0 m/s2. Se, em um 
dado instante do tempo, ao olhar 
para o velocímetro, a sua velocidade 
é 60 km/h, determine o módulo 
da sua aceleração nesse instante.
a) 27,5 m/s2.
b) 144 m/s2.
c) 13,7 m/s2.
d) 36,4 m/s2.
e) 120,3 m/s2.
2. A equação v = (3t + 2t2) m/s 
descreve a variação da velocidade 
de um carro, que percorre uma 
trajetória curva, ao longo do 
intervalo de tempo 0,0 a 5,0 s. 
Sendo o raio da curva 40 m, 
determine o módulo da aceleração, 
em m/s2, no instante t = 4,0 s.
a) 52 m/s2.
b) 104 m/s2.
c) 65 m/s2.
d) 45 m/s2.
e) 90 m/s2.
3. A figura abaixo mostra um jogador 
de futebol chutando uma bola 
do ponto A com uma velocidade 
inicial V
0
 = 10 m/s, com ângulo 
de teta = 45º com a horizontal. 
Determine o alcance horizontal 
da bola quando ela encontra 
novamente no chão, em B.
a) 8,3 metros.
b) 9,2 metros.
c) 9,6 metros.
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HIBBELER, R. C. Statics and dynamics. 14. ed. New Jersey: Pearson, 2016.
Leituras recomendadas
BEER, P. F. et al. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics. 9. ed. New York: 
McGraw-Hill, 2010.
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. 10. Ed. New Jersey: 
John Wiley & Sons, 2014.
Referência
d) 10,2 metros.
e) 20,4 metros.
4. Um carro está sendo testado 
em uma pista circular, com raio 
de 60 m. Sabendo que o carro 
parte do repouso e mantém 
uma aceleração tangencial de 
2 m/s2, determine o tempo 
necessário para que o módulo da 
aceleração do carro seja 3 m/s2.
a) 33,5 segundos.
b) 1,50 segundos.
c) 3,87 segundos.
d) 8,10 segundos.
e) 5,8 segundos.
5. Uma partícula descreve uma 
trajetória curvilínea obedecendo a 
equação y = x2. Se a componente 
da velocidade no eixo x é V
x
 = 
2t m/s, onde t é em segundos, 
determine a distância (d) da 
partícula em relação à origem 
(0,0) e a magnitude da aceleração 
(a) quando t = 2 s. Assuma que, 
quando t = 0 s, x = 0 e y = 0.
a) d = 16,49 m e a = 48,04 m/s2.
b) d = 17,47 m e a = 48,04 m/s2.
c) d = 16,49 m e a = 42,02 m/s2.
d) d = 20,26 m e a = 50,32 m/s2.
e) d = 10,26 m e a = 32,42 m/s2.
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