Apostila de MecFlu

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI 
CAMPUS ALTO PARAOPEBA 
 
 
 
 
APOSTILA DA DISCIPLINA MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
 
AUTORES: 
CAROLINE CAMARGO CAIRES DE LIMA 
LEONARDO CERQUEIRA HOTT 
LETÍCIA GABRIELA ANDRADE POLICARPO 
SUELY RICIATI DA SILVA 
 
ORIENTADOR: 
Prof.: EMMANUEL KENNEDY DA COSTA TEIXEIRA 
 
 
 
 
 
OURO BRANCO – MINAS GERAIS 
2016
 
 
Sumário 
Introdução ............................................................................................................................................... 5 
Capítulo 1 – Sistemas de unidades e propriedades físicas dos fluidos .................................................... 6 
1. Sistemas de unidades ....................................................................................................................... 6 
1.1. Sistema “MKS” (MLT) ....................................................................................................... 6 
1.2. Sistema “CGS” (MLT) ....................................................................................................... 6 
1.3. Sistema Internacional “SI” (MLT) ..................................................................................... 6 
1.4. Sistema Gravitacional Britânico (FLT) ............................................................................... 7 
1.5. Sistema “MK*S” (FLT) ....................................................................................................... 7 
1.6. Sistema “FMLT” (Sistema Inglês Técnico) ......................................................................... 8 
2. Definição de Fluidos ....................................................................................................................... 8 
3. Hipótese do Contínuo ...................................................................................................................... 9 
4. Propriedades físicas dos fluidos ...................................................................................................... 9 
4.1. Massa específica (ρ) ou densidade absoluta ............................................................................. 9 
4.2. Peso específico (γ) .................................................................................................................. 10 
4.3. Densidade relativa (d) ............................................................................................................ 11 
4.4. Compressibilidade (C) e módulo de elasticidade (E) ............................................................. 12 
4.5. Pressão de vapor (pv) .............................................................................................................. 13 
4.6. Tensão superficial (σ) ............................................................................................................. 14 
4.7. Viscosidade absoluta ou dinâmica )( ................................................................................. 16 
4.8. Viscosidade cinemática )( .................................................................................................. 17 
5. Lei de Newton da viscosidade ....................................................................................................... 17 
Exercícios .............................................................................................................................................. 21 
Capítulo 2 - Estática dos fluidos ........................................................................................................... 26 
1. Introdução ..................................................................................................................................... 27 
2. Definição de pressão ..................................................................................................................... 27 
3. Escalas de pressão ......................................................................................................................... 27 
4. Lei de Stevin ................................................................................................................................. 28 
5. Lei de Pascal ................................................................................................................................. 29 
6. Princípio de Arquimedes ............................................................................................................... 31 
7. Barômetro ...................................................................................................................................... 33 
8. Manometria: Coluna Líquida ........................................................................................................ 34 
8.1. Piezômetro simples ou manômetro aberto ............................................................................. 34 
8.2. Manômetro de tubo em "U" ................................................................................................... 35 
3 
 
8.3. Manômetro diferencial ........................................................................................................... 35 
8.4. A equação manométrica ......................................................................................................... 36 
9. Manometria: Manômetro metálico ................................................................................................ 36 
10. Forças em superfícies planas submersas ..................................................................................... 37 
11. Equilíbrio de corpos flutuantes ................................................................................................... 39 
11.1. Estabilidade .......................................................................................................................... 40 
11.1.1. Estabilidade vertical .......................................................................................................... 40 
11.1.2.Estabilidade à rotação ......................................................................................................... 40 
Exercícios .............................................................................................................................................. 43 
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos ...................................................................................................... 43 
1. Vazão............................................................................................................................................. 44 
2. Classificação dos escoamentos ...................................................................................................... 46 
2.1. Regime permanente e variável ............................................................................................... 46 
2.2. Regime uniforme e não uniforme ........................................................................................... 47 
2.3. Regime rotacional ou irrotacional .......................................................................................... 48 
3. Equação da continuidade (Equação da conservação de massa) .................................................... 48 
4. Equação de Bernoulli (Equação da conservação da energia) ........................................................ 49 
5. Escoamento laminar e turbulento .................................................................................................. 51 
6. Número de Reynolds ..................................................................................................................... 53 
Exercícios .............................................................................................................................................. 55 
Capítulo 4 - Escoamento permanente em condutos forçados: perda de carga ...................................... 56 
1. Classificação do escoamento quanto à pressão reinante ...............................................................56 
2. Conceito de perda de carga ........................................................................................................... 56 
3. Traçado da linha de carga ou linha energética (LE) e linha piezométrica (LP) ............................ 57 
4. Equação de energia........................................................................................................................ 59 
5. Teoria da camada limite ................................................................................................................ 60 
6. Perda de carga contínua................................................................................................................. 63 
6.1. Fórmula universal ou racional ou de Darcy-Weisbach .......................................................... 63 
6.1.1. Determinação do fator de atrito ........................................................................................... 63 
6.2. Fórmula de Hazen-Williams .................................................................................................. 69 
6.3. Fórmula de Flamant ............................................................................................................... 70 
6.4. Fórmula de Fair-Whipple-Hisiao ........................................................................................... 70 
6.5. Fórmula para tubos de PVC ................................................................................................... 71 
7. Tomada d'água entre dois reservatórios ........................................................................................ 71 
8. Perda de carga acidental ................................................................................................................ 72 
4 
 
8.1. Expressão geral ...................................................................................................................... 73 
8.2. Método dos comprimentos virtuais ou equivalentes .............................................................. 74 
8.3. Método dos diâmetros equivalentes ....................................................................................... 76 
Exercícios .............................................................................................................................................. 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Introdução 
A Mecânica dos Fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis 
que regem esse comportamento. Os aspectos teóricos e práticos dessa área são de fundamental 
importância para a solução de diversos problemas encontrados na engenharia. Assim, verifica-se a 
necessidade de um bom e correto entendimento dessa ciência por meio do engenheiro. 
Extremamente ligada à Mecânica dos Fluidos, está a Hidráulica, presente durante praticamente 
toda a história da humanidade, devido à grande necessidade da água para a vida. Ao longo dos anos, 
porém, a Hidráulica foi sendo aprimorada para atender as necessidades das populações e, no cenário 
atual, envolve a aplicação dos princípios e métodos da engenharia no planejamento, controle, 
transporte, utilização e conservação da água. 
Os conceitos lançados pela Mecânica dos Fluidos são fundamentais para muitos ramos de 
aplicação da engenharia, tais como as engenharias mecânica, ambiental, naval, química e civil. 
Na área da Engenharia Civil, o escoamento de fluidos em canais e condutos, a lubrificação, os 
esforços em barragens, os corpos flutuantes, as máquinas hidráulicas, a ventilação, a aerodinâmica, as 
usinas de tratamento de esgotos, os canais de irrigação, os sistemas de controle de alagamentos e o 
dimensionamento de bombas são exemplos de assuntos que lançam mão da Mecânica dos Fluidos para 
a obtenção de resultados de aplicação prática. 
Desse modo, esta apostila apresentará, deforma resumida, fundamentos dos fluidos essenciais 
para permitir que um engenheiro compreenda o papel desempenhado pelo fluido em aplicações 
específicas da Engenharia Civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Capítulo 1 – Sistemas de unidades e propriedades físicas dos fluidos 
1. Sistemas de unidades 
 Os números sem dimensão de medida nada informam em termos práticos. Assim, quantidades 
físicas requerem descrições quantitativas quando se resolve um problema de engenharia. Para isso, 
existem os “Sistemas de Unidades”, nos quais são definidas as unidades das grandezas fundamentais e, 
a partir delas, são definidas as unidades das grandezas secundárias que são aquelas obtidas pela 
manipulação das unidades das grandezas fundamentais. A seguir, são discutidos os principais 
sistemas. 
1.1. Sistema “MKS” (MLT) 
 O Sistema “MKS” tem como unidades base: o metro (m) para o comprimento, o quilograma 
(kg) para massa, o segundo (s) para tempo e o Kelvin para temperatura, conforme é mostrado na 
Tabela 1. Tem como sistema base o MLT o qual tem como unidades básicas as grandezas físicas de 
comprimento, massa, tempo e temperatura. 
Tabela 1 – Sistema “MKS” 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Massa Quilograma kg M 
Tempo Segundo S t 
Comprimento Metro M L 
Temperatura Kelvin K T 
Unidade secundária: N
s
m
kgF 
2
.][ 
1.2. Sistema “CGS” (MLT) 
O Sistema “CGS” tem como unidades base: o centímetro(cm) para o comprimento, o grama 
(g) para massa, o segundo (s) para tempo e o Kelvin para temperatura, conforme é mostrado na Tabela 
2. Tem como sistema base o MLT. 
Tabela 2 – Sistema “CGS” 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Massa Grama g M 
Tempo Segundo s t 
Comprimento Centímetro cm L 
Temperatura Kelvin K T 
Unidade secundária: dina
s
cm
gF 
2
.][
 
1.3. Sistema Internacional “SI” (MLT) 
O Sistema Internacional “SI” é o sistema oficial de todos os países do mundo. Tem como base 
o sistema MKS acrescido de algumas unidades fundamentais: o Ampére para intensidade de corrente, 
7 
 
o Candela para intensidade luminosa e o Mol para quantidade de matéria, conforme é mostrado na 
Tabela 3. Tem como sistema base o MLT. 
Tabela 3- Sistema Internacional “SI” 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Massa Quilograma kg M 
Tempo Segundo s T 
Comprimento Metro m L 
Temperatura Kelvin K - 
Intensidade de corrente Ampére A - 
Intensidade luminosa Candela cd - 
Quantidade de matéria Mol mol - 
 
1.4. Sistema Gravitacional Britânico (FLT) 
O Sistema Gravitacional Britânico tem como unidades base: o pé para o comprimento, o libra-
força (lbf) para força, o segundo (s) para tempo e o Rankine para temperatura, conforme é mostrado na 
Tabela 4. Tem como sistema base o FLT o qual tem como unidades básicas as grandezas físicas de 
força, comprimento, tempo e temperatura. 
Tabela 4 – Sistema Gravitacional Britânico (FLT) 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Força Libra força Lbf F 
Tempo Segundo s t 
Comprimento Pé pé (ft) L 
Temperatura Rankine R T 
Unidade secundária: 
pé
s
lbfslug
2
.1  
1.5. Sistema “MK*S” (FLT) 
O Sistema “MK*S” tem como unidades base: o metro (m) para o comprimento, o quilograma-
força (kgf) para a força, o segundo (s) para tempo e o Kelvin para temperatura, conforme é mostrado 
na Tabela 5. Tem como sistema base o FLT. 
Tabela 5 – Sistema “MK*S” 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Força 
Quilograma-
força 
kgf F 
Tempo Segundo s t 
Comprimento Metro m L 
Temperatura Kelvin K T 
Unidade secundária:
m
s
kgfutm
2
.1 
 
8 
 
1.6. Sistema “FMLT” (Sistema Inglês Técnico) 
O Sistema “FMLT” tem como unidades base: o pé para comprimento, a libra-massa (lbm) 
para massa, o libra-força (lbf) para força, o segundo (s) para tempo e o Rankine para temperatura, 
conforme é mostrado na Tabela 6. Tem como sistema base o Sistema Inglês Técnico 
Tabela 6 – Sistema “FMLT” 
Grandeza Unidade Símbolo Dimensional 
Massa Libra massa Lbm M 
Força Libra força Lbf F 
Tempo Segundo s t 
Comprimento Pé pé (ft) L 
Temperatura Rankine R T 
 
2. Definição de Fluidos 
 A natureza que nos cerca é todaconstituída por matéria, a qual pode se apresentar de três 
formas diferentes, os sólidos, os líquidos e os gases. São considerados fluidos aqueles que não 
possuem forma própria, ou seja, eles adquirem a forma do recipiente que os contém, logo pode-se 
concluir que os líquidos e gases são fluidos devido a este enunciado. 
Geralmente, essas formas distinguem-se pelas ligações entre as moléculas adjacentes (os átomos) que 
as compõem. Assim, as moléculas que constituem um sólido estão relativamente mais próximas e se 
mantêm na mesma posição pelas ligações eletrostáticas entre as moléculas. Portanto, os sólidos 
tendem a manter sua forma, mesmo quando estão sob a ação de uma força externa (JOHN;GRIBBIN, 
2014, p.13). 
 Em comparação, moléculas de gás apresentam-se tão distantes que as ligações são muito 
fracas para mantê-las coesas. Um gás é muito compressível e sempre toma a forma do recipiente que o 
contém. Se o recipiente de um gás for removido, as moléculas se expandirão indefinidamente 
(JOHN;GRIBBIN, 2014, p.13). 
 Entre os extremos dos estados sólido e gasoso está a forma líquida da matéria. Em um líquido, 
as moléculas estão ligadas com força suficiente para prevenir uma expansão ilimitada, mas sem força 
bastante para se manterem no lugar. Os líquidos tomam o formato do recipiente em que encontram-se 
e tendem a ser incompressíveis, e a água, apesar de sua mínima compressibilidade, é tida como 
incompressível na maioria dos problemas em hidráulica (JOHN;GRIBBIN, 2014, p.14). 
De acordo com BRUNETTI (2008) podemos, também, definir fluidos quanto à resistência ao 
cisalhamento e, para isso, uma força tangencial constante é aplicada a um sólido preso entre duas 
placas. A força deforma o sólido angularmente, mas este, porém, atinge um novo equilíbrio estático. 
Os fluidos, no entanto, se movem de maneira continua sob a ação dessa mesma força tangencial 
constante, não importando quão pequena ela possa ser, não atingindo uma nova configuração de 
equilíbrio estático, todavia nem todos os fluidos se enquadram aqui. 
9 
 
3. Hipótese do Contínuo 
 Como mencionado, líquidos e gases são fluidos. Para distinguir entre os diferentes líquidos e 
gases é preciso conhecer as suas propriedades físicas. Entretanto, antes de apresenta-las é importante 
destacar que, neste estudo, levar-se-á em consideração a hipótese do contínuo, onde o fluido é tratado 
como uma substância infinitamente divisível, um contínuo, e deixar-se-á de lado o comportamento das 
moléculas individuais. Isso porque o estudo de um fluido a partir de um enfoque molecular é de difícil 
solução matemática, lembrando, por exemplo, que a derivada de uma função só pode ser calculada em 
um ponto se a função é contínua naquele ponto, o que não ocorre no enfoque molecular, que 
demonstra uma matéria descontínua, isto é, constituída por moléculas e espaços vazios entre elas. 
Assim, de acordo com essa hipótese do contínuo, as propriedades físicas dos fluidos variam 
continuamente dentro dele, ou seja, são constantes. 
 Uma forma apropriada de se determinar se a hipótese do contínuo é aceitável, é comparando o 
comprimento característico “l” do objeto de interesse com a trajetória média livre das moléculas (λ), 
que é a distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula. Se l>>λ, a 
hipótese é aceitável. 
 A trajetória média livre (λ) é: 
 
 
 
 
Em que: 
m é a massa (kg) de uma molécula; 
ρ é a massa específica (kg/m
3
); 
d é o diâmetro de uma molécula. 
4. Propriedades físicas dos fluidos 
 A seguir, serão discutidas algumas propriedades físicas dos fluidos. 
4.1. Massa específica (ρ) ou densidade absoluta 
 É a quantidade de massa ( m ) de uma substância existente em um determinado volume (V ), 
dada pela Equação 1.1. 
 
V
m
 (1.1) 
 
A massa específica varia com a temperatura, sendo que à medida que a temperatura aumenta, 
o volume (V ) do fluido é expandido e a massa específica diminui. A exceção é a água que apresenta 
uma dilatação anômala. O valor máximo de “ρ” para a água se dá a 4ºC. Em temperaturas inferiores à 
10 
 
4ºC, as moléculas de água voltam a expandir o seu volume, consequentemente a massa específica 
volta a diminuir, como pode ser observado na Tabela 7. 
Tabela 7 - Massa específica em função da temperatura. 
Temperatura 
(ºC) 
 Massa 
Específica 
(kg/m³) 
Temperatura 
(ºC) 
Massa 
Específica 
(kg/m³) 
0 999,87 40 992,24 
2 999,97 50 988,00 
4 1000,00 60 983,00 
5 999,99 70 978,00 
10 999,73 80 972,00 
15 999,13 90 965,00 
20 998,23 100 958,00 
30 995,67 
 
Por análise dimensional, utilizando o sistema FLT: 
Lei de Newton, enunciada pela Equação 1.2. 
 maF  (1.2) 
21
2
][ TFL
LT
F
m 


 
3][ LV 
 
24
3
21
][ TFL
L
TFL 

 
No sistema MKS ou SI, “ρ” é igual a Newton multiplicado por segundo elevado à segunda 
potência e dividido por metro elevado à quarta potência, que também é igual a quilo dividido por 
metro elevado à segunda potência. 
4.2. Peso específico (γ) 
É a força peso exercida, por unidade de volume, em um corpo de massa específica (ρ) submetido à 
aceleração da gravidade (g). Corresponde à razão entre o peso de um corpo (P) e seu volume (V), dado 
pela Equação 1.3. 
 
V
P
 (1.3) 
 
Por análise dimensional, utilizando o sistema FLT: 
Lei de Newton LVFG  ][][ 
11 
 
3
3
][  FL
L
F
 
No sistema MKS ou SI, o peso específico é igual a Newton dividido por metro elevado à 
terceira potência. 
Pode-se deduzir uma relação simples entre massa específica e peso específico, utilizando a 
Equação 1.3. Temos: 
V
P
 
Mas, 
 mgP  
 
Assim, 
 
V
mg
 (1.4) 
 
E, 
 g  (1.5) 
 
4.3. Densidade relativa (d) 
É a relação entre a massa específica ( ) ou o peso específico ( ) de um dado fluido e a massa 
específica ( ref) ou o peso específico ( ref) de um fluido tomado como referência. É uma grandeza 
adimensional. 
Tem-se, na Equação 1.6, a densidade relativa quando se relacionam as massas específicas dos 
fluidos. 
 
ref
d



 
 
(1.6) 
 Pode-se deduzir, utilizando as Equações 1.5 e 1.6, a densidade relativa relacionando os pesos 
específicos dos fluidos (Equação 1.7). Tem-se:
 
g  
Logo,
 
12 
 
g

  
Então, 
 
refref
g
g
d




 (1.7) 
No caso dos líquidos, considera-se a água a 4ºC como referência e, no caso dos gases, 
considera-se o ar. 
4.4. Compressibilidade (C) e módulo de elasticidade (E) 
No caso dos líquidos, considera-se a água a 4ºC como referência e, no caso dos gases, 
considera-se o ar. 
Compressibilidade é a propriedade que os corpos têm de reduzir seus volumes sob a ação de 
pressões externas. Considerando-se a lei de conservação da massa, um aumento de pressão 
corresponde a um aumento de massa específica, ou seja, uma diminuição de volume. Assim, tem-se a 
Equação 1.8: 
 VdpdV  (1.8) 
 
onde, 
 é o coeficiente de compressibilidade; 
V é o volume inicial; 
dV é a variação de volume; 
dp é a variação de pressão. 
O sinal negativo na equação significa que um aumento da pressão fará com que o volume 
diminua. 
Normalmente, a compressibilidade da água é considerada, em termos práticos, apenas quando 
golpes de aríete são possíveis. 
 O inverso de “ ” é denominado módulo de elasticidade do volume: 

1
E 
13 
 
Logo, 
V
dV
Edp  
 Para os líquidos, o módulo de elasticidade varia pouco com a pressão e apreciavelmente com a 
temperatura. Já para os gases, ele é muito variável com ambas as grandezas físicas. 
4.5. Pressão de vapor (pv) 
Quando uma pequena quantidade de líquido é colocada em um recipiente fechado, certa fração 
do líquido vaporizará. A vaporização terminará quando for atingido o equilíbrio entre os estados 
líquido e gasoso da substância no recipiente - em outras palavras, quando o número de moléculas 
escapando da superfície da água for igual ao número de moléculas entrando. A pressão resultante dasmoléculas no estado gasoso é a pressão de vapor. (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014, p.20). 
A pressão de vapor difere de um líquido para o outro. É uma propriedade dependente da 
temperatura (Tabela 8) e da pressão, visto que está relacionada com a atividade molecular. Assim, com 
o aumento da temperatura e da pressão, também se tem um aumento da pressão de vapor. Por 
exemplo, a pressão de vapor da água a 15
o
C é 1,70 kPa absoluto. Já a 100
o
C a pressão de vapor da 
água aumenta para 101,3 kPa. 
Tabela 8 - Pressão de vapor da água em função da temperatura. 
Temperatura 
(ºC) 
 Pressão de Vapor 
(
abs
vp ) 
(kgf/m²) 
Temperatura 
(ºC) 
Pressão de Vapor 
(
abs
vp ) 
(kgf/m²) 
0 62 50 1257 
5 89 55 1605 
10 129 60 2031 
15 174 65 2550 
20 238 70 3177 
25 323 75 3931 
30 432 80 4829 
35 573 85 5894 
40 752 90 7149 
45 977 95 8619 
 100 10332 
(Fonte: Adaptado de BAPTISTA; LARA, 2014). 
A temperatura à qual a pressão de vapor corresponde à pressão absoluta local (pressão 
externa) equivale ao ponto de ebulição de um líquido, no qual as forças de atração não são mais 
suficientes para manter as moléculas na fase líquida. Normalmente, a transição do estado líquido para 
o gasoso ocorre se a pressão de vapor do líquido for maior que a pressão absoluta local. 
O processo caracterizado pelo aumento da temperatura do líquido (e o consequente aumento 
da pressão de vapor) com a pressão externa mantida constante é chamado de evaporação. Porém, se a 
14 
 
temperatura for mantida constante e houver variação da pressão local, ocorre um fenômeno conhecido 
por cavitação. 
A cavitação é um fenômeno presente em certos escoamentos de líquidos, quando são criadas 
condições que levem a uma pressão local abaixo da pressão de vapor, e assim, formam-se bolhas no 
local. Esse processo pode ser danoso, pois essas bolhas, transportadas para regiões de alta pressão, 
colapsam e produzem picos de pressão local que têm o potencial de danificar a parede de uma 
tubulação, a estrutura do vertedouro de uma usina hidrelétrica, a carcaça e rotor de uma bomba 
hidráulica (Figura 1), por exemplo. A cavitação consiste, então, em um grande problema em 
vertedores, válvulas e sucção de bombas. 
 
Figura 1 - Rotor de uma bomba de água danificado pela cavitação. 
4.6. Tensão superficial (σ) 
A tensão superficial é uma propriedade que resulta de forças atrativas entre moléculas. Ela se 
manifesta apenas em interface, geralmente na interface líquido-gás. As forças entre moléculas no 
interior do líquido são iguais em todas as direções e, como resultado, nenhuma força resultante é 
exercida nas moléculas. Porém, numa interface, as moléculas exercem uma força que tem uma 
resultante chamada de interfacial (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014, p.17). 
Assim, uma condição diferente de ligação molecular na superfície livre, em comparação às 
ligações do interior do líquido, gera tensão de superfície. A tensão superficial pode ser definida como 
forças laterais ( LF ) por unidade de comprimento ( L ), como expresso na Equação 1.10. As forças 
laterais mantêm as moléculas superficiais do líquido fortemente ligadas entre si, como se formassem 
uma membrana elástica, constituindo uma barreira de segurança para as moléculas interiores. 
No caso da água, algumas propriedades se relacionam com a tensão superficial: a coesão, a 
adesão e a capilaridade. 
A coesão fornece à água resistência a uma mínima tração. Quando um líquido está em contato 
com um sólido, a atração exercida pelas moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente 
entre as moléculas do próprio líquido. Ocorre então a adesão, que permite aderência a outro corpo. 
A capilaridade é uma propriedade na qual o líquido se eleva ou baixa em um tubo de pequeno 
diâmetro ( D ) ou em um capilar no solo. Como mostrado na Figura 2, um líquido molha a superfície 
do tubo e se eleva quando há predominância da adesão sobre a coesão, algo que ocorre com a água. 
Porém, se a coesão predominar sobre a adesão em um líquido, como no mercúrio, o líquido não irá 
molhar a superfície do tubo e baixará. 
15 
 
A Figura 3 mostra a elevação de um líquido, em um tubo capilar de vidro limpo, devido à 
tensão superficial. Se “ h ” é a elevação capilar, “  ” a massa específica, “ ” a tensão superficial e “
 ” o ângulo de contato do líquido com o tubo de vidro, a tensão superficial pode ser determinada 
equacionando a componente vertical da força de tensão superficial ao peso da coluna de líquido. 
Experimentos mostraram que o ângulo “ ” em um tubo de vidro limpo é zero para a maioria dos 
líquidos. A elevação do líquido é dada através da Equação 1.9. 
 
 
Figura 2 - Capilaridade da água e do mercúrio. No caso da água, o menisco é côncavo e se eleva acima do nível ao redor; o 
menisco do mercúrio é convexo e está abaixo do nível ao redor. 
 
Figura 3 - Elevação num tubo capilar. (Adaptado de POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014, p.18). 
Sabe-se: 
 
L
FL 
 
Tendo 
DL  
E 
16 
 
DFL  
Fazendo o somatório de forças na direção “y”: 
  0yF 
WFLy  
WFL cos 
Onde 
mgW  e
V
m
 
Vm  
4
2 

hD
AhVgW  
Assim, 
4
cos
2 

hD
D  
D
h

 cos4

 
 
(1.9) 
 
A quantidade de água que se eleva devido à capilaridade depende da temperatura e pureza da 
água e, principalmente, do diâmetro do tubo. Um tubo com menor diâmetro causará maior 
capilaridade de água em relação a um tubo com maior diâmetro. Alguns dispositivos de medidas, 
como manômetros e piezômetros, utilizam tubos verticais nos quais a água possa se elevar. Assim, é 
de grande importância o emprego de um tubo com diâmetro largo o suficiente (recomenda-se acima de 
1,00 mm) para reduzir o efeito da capilaridade, que poderia provocar um erro na leitura do aparelho. 
4.7. Viscosidade absoluta ou dinâmica )( 
É a propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência à deformação. Pode-se definir 
ainda como a capacidade do fluido em resistir ao cisalhamento. É diretamente relacionada com a 
coesão entre as partículas do fluido. 
A viscosidade dinâmica ou atrito interno não se manifesta se o fluido estiver em repouso. 
Quando um fluido escoa, verifica-se um movimento relativo entre suas partículas resultando em atrito 
entre as mesmas. Esta propriedade é importante no estudo da Lei de Newton da viscosidade, que é 
descrita a seguir. 
17 
 
4.8. Viscosidade cinemática )( 
Na prática da engenharia, costuma ser conveniente o termo viscosidade cinemática, a qual é 
obtida dividindo-se a viscosidade absoluta pela massa específica do fluido à mesma temperatura, 
conforme Equação 1.10. 


 
 
 
(1.10) 
 
Unidade de medida:
s
m2 
5. Lei de Newton da viscosidade 
Antes de ser apresentada a Lei de Newton da Viscosidade, será definido o conceito de tensão 
de cisalhamento )( , que se define sendo a razão entre o modulo da componente tangencial da força 
)(F e a área )(A sobre a qual está aplicada, conforme Equação 1.11. 
A
F

 
 
(1.11) 
 A lei de Newton da Viscosidade pode ser entendida a partir da experiência das duas placas, 
conforme Figura 4, que considera um fluido preso entre duas placas planas, uma inferior fixa e outra 
superior solicitada por uma força tangencial, F . 
 
Figura 4 - Experiência das duas placas. 
 A primeira observação importante da experiência é que os pontos correspondentes do fluido e 
da placa continuam em correspondência durante o movimento. Assim, se a placa superior adquiriu 
uma velocidade )(v , os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficarão parados junto dela, tal 
observação conduz ao princípio da aderência, que enuncia que pontos de um fluido em contato com 
uma superfície sólida aderem aos pontos dela, com os quais estão em contato. 
 Inicialmente, a placa superior é acelerada pela força F , fato observável, já que a velocidade 
passa de nula para um valor finito. Nota-se, porém, que a partir de certo instantea placa superior 
18 
 
adquire uma velocidade v constante. Isso demonstra que a força externa é equilibrada por forças 
internas no fluido, visto que, não existindo aceleração, pela 2ªlei de Newton da dinâmica, a resultante 
das forças deverá ser nula. Então, tem-se que a placa superior irá se deslocar com velocidade v , 
enquanto a camada do fluido junto à placa inferior estará com velocidade nula. Assim, as camadas 
intermediárias deverão se adaptar as externas, adquirindo uma distribuição de velocidade ao longo da 
altura da lamina d’água. 
A diferença de velocidade entre cada lâmina d’água cria uma espécie de atrito, tal 
deslizamento entre as camadas origina tensões de cisalhamento, que multiplicadas pela área da placa 
originam uma força tangencial interna do fluido, responsável pelo equilíbrio de forças, visto que a 
placa superior tem aceleração nula. 
 Newton determinou que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é proporcional ao 
gradiente da velocidade
dy
dv , isto é, a variação da velocidade com y , introduzindo a lei de Newton 
da viscosidade: 
dy
dv
 
 Os fluidos que obedecem a essa lei são ditos fluidos Newtonianos, ou seja, há uma relação 
linear entre o valor da tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação resultante. Os que não 
obedecem são os fluidos Não-Newtonianos. 
A lei de Newton da viscosidade impõe uma proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento 
e o gradiente de velocidade. Tal fato leva a introdução de um coeficiente de proporcionalidade, sendo 
este a viscosidade dinâmica  . Assim, tem-se a Equação 1.12: 
dy
dv
 
 
 
(1.12) 
 
Unidades de medida: .).(
11 ISTML  ; ).(
2 MKSTFL 
 Nos líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura, enquanto nos gases a 
viscosidade aumenta com o aumento da temperatura. A viscosidade da água pode ser calculada pela 
Equação 1.13. 
2000221,00337,01
78,1




 
 
(1.13) 
Onde a temperatura (θ) é dada em °C e a viscosidade é dada em centipoise. 
 Para utilização da lei de Newton da viscosidade é necessário o conhecimento da variação da 
velocidade com altura da lamina d’água, )(yfv  . Essa determinação pode se dá de duas formas: 
i. Considerando que )(yfv  é uma parábola: 
19 
 
cbyayv  2 
Sendo a, b e c constantes a serem determinados pelas condições de contorno: 
 1ª Condição: Para 0y tem-se 0v . Portanto: 
0c 
 2ª Condição: Para hy  , tem-se 0vv  . Portanto: 
 
 (I) 
 
 
 3ª Condição: Para hy  , tem-se o gradiente de velocidade nulo. Portanto: 0
dy
dv , 
 (II)
 
 
Substituindo II em I, tem-se: 
2
2
h
v
aahv 
 
h
v
b 2 
ii. Considerando que )(yfv  é linear, sendo essa condição válida para camadas dos 
fluidos de pequenas espessuras: 
bayv  
Sendo a e b constantes a serem determinados pelas condições de contorno: 
 1ª Condição: Para 0y tem-se 0v . Portanto: 
0b
 
 2ª Condição: Para hy  , tem-se 0vv  . Portanto: 
h
v
aahv  
Assim: 
h
v
dy
dvy
h
v
v  
bhahv  2
ahbbah 202 
20 
 
Logo, pela Equação 1.14, tem-se: 
h
v
 
 
 
(1.14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Exercícios 
1) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Expresse as dimensões das seguintes quantidades 
usando o sistema FLT: 
a) Massa específica; 
b) Pressão; 
c) Potência; 
d) Energia; 
e) Massa. 
 
2) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012) Determine a alteração de volume sofrida por 100 
m
3
 de água quando aquecidos de 4°C (quando a água está mais densa) a 100°C (quando a água 
está menos densa). (Resposta: Vol2 = 104,4 m
3
 (4,40%)) 
 
3) (GRIBBIN, 2014) Qual o peso de 1pé³de água? (Resposta: W = 7,26 lbf) 
 
4) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Um tanque parcialmente cheio de água a 40°C 
deve ser esvaziado. Qual é a pressão mínima que pode ser esperada no espaço acima da água? 
(Resposta: 7,4 kPa) 
 
5) (BRUNETTI,2008) Um fluido escoa sobre uma placa com o diagrama dado. Pede-se: 
a) v = f (y); (Resposta: v = -0,75y² + 3y + 2); 
b) a tensão de cisalhamento junto à placa. (Resposta: t = 0,03 N/m²) 
 
 
6) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012) Observa-se que um líquido se eleva a uma altura 
de 0,60pol em um tubo de vidro de 0,02 pol. Verifica-se que o ângulo de contato é 54°. 
Calcule a tensão superficial do líquido em lbf/pés quando a densidade é 1,94 slug/pés³. 
(Resposta: σ = 1,61 x 10
-3
lb/pés) 
 
22 
 
7) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012) Um contêiner pesa 863 N quando é preenchido 
com água e 49 N quando está vazio. Quanto de água (a 20ºC) o contêiner armazena em metros 
cúbicos? (Resposta: V = 8,32x m³) 
 
8) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) A gravidade específica de mercúrio é 
normalmente considerada como 13,6. Qual é o erro percentual de usar um valor de 13,6 a 
50°C? 
 
9) (GRIBBIN, 2014) Dois tubos capilares são colocados verticalmente em um recipiente aberto e 
com água. Um tubo tem diâmetro de 2,00 mm, e o outro, diâmetro de 1,00 polegada. Em qual 
tubo a água se elevará mais? (Resposta: A água sobe mais alto no tubo de 2,00 mm de 
diâmetro) 
 
10) (BRUNETTI,2008) Na figura, uma placa de espessura desprezível e área A1 = 2 m² desloca-se 
com v = 5 m/s constante, na interface de dois fluidos, tracionada por uma força F = 400 N. Na 
parte superior, 1 mm e o diagrama de velocidades é considerado linear. Na parte inferior, 
o diagrama é dado por v = ay² + by + c. Pede-se: 
a) a tensão de cisalhamento na parte superior da placa em movimento; (Resposta: 150 
N/m²) 
b) a tensão de cisalhamento na face inferior da mesma placa; (Resposta: 50 N/m²) 
c) a expressão do diagrama de velocidades v = f (Y) no fluido superior; (Resposta: v = 
5.000Y) 
d) a expressão do diagrama de velocidades no fluido inferior (v = f (y)); (Resposta: v = 
5y² + 7,5y) 
e) a força R que mantém a placa da base em repouso. (Resposta: 60 N) 
 
 
23 
 
11) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012)Um líquido escoa com velocidade de distribuição 
 , onde é dada em m/s e em centímetros. Calcule a tensão de corte quando 
 se a viscosidade for 365 . (Resposta: Em y=0pé, t=-9N/m² e em 
y=1/3pé, t=27N/m², etc.) 
 
12) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Água é transportada pela tubulação da figura 
abaixo de modo que existe um vácuo de 80 kPa numa localização particular. Qual é a 
temperatura máxima possível da água? Use patm= 92 kPa. (Resposta: 50 °C) 
 
 
 
13) (BRUNETTI,2008) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2,00 mm. A placa 
superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as 
duas placas for preenchido com óleo (
3/830;1,0 mkgSt   ), qual será a tensão de 
cisalhamento que agirá no óleo? (Resposta: 
2/6,16 mN ) 
 
 
14) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014)Considere um escoamento de fluido entre duas 
placas paralelas imóveis, afastadas por 5,00 . A distribuição de velocidade para o 
escoamento é dada por ( ) ( ) , em que está em metros. O fluido é 
água a 10ºC. Calcule a magnitude da tensão de cisalhamento agindo sobre cada uma das 
placas. (Resposta: 0,007848N/m², 0,007848N/m²) 
 
 
24 
 
15) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Força-se água por uma contração, causando 
redução da pressão. Observa-se que a água "ferve" a uma pressão de -79,3 kPa manométricos. 
Se a pressão atmosférica é 101,3 kPa, qual é a temperatura da água? (Resposta: 61,8°C) 
 
16) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Força-se água por uma contração, causando 
redução da pressão. Observa-se que a água "ferve" a uma pressão de -79,3 kPa manométricos. 
Se a pressão atmosférica é 101,3 kPa, qual é a temperatura da água? (Resposta: 61,8°C) 
 
17) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Uma bolha pequena de 1,50 mm de diâmetro é 
formada por uma corrente de água a 16 °C. Estime a pressão no interior da bolha. (Resposta: 
395 Pa) 
 
18) (BRUNETTI,2008) O dispositivo da figura é constituído de dois pistões demesmas 
dimensões geométricas que se deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os 
pistões e os cilindros existe um lubrificante de viscosidade dinâmica 10
-2
N.s/m
2
. O peso 
específico do pistão (1) é 20.000 N/m³. Qual é o peso específico do pistão (2) para que o 
conjunto se desloque na direção indicada com uma velocidade de 2 m/s constante? Desprezar 
o atrito na corda e nas roldanas. (Resposta:
3
2 /800.16 mN ) 
 
19) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012) Um foguete carregando um tanque de água 
pesando 7,85 kN na Terra aterrissa na Lua, onde a aceleração gravitacional é um sexto da 
terrestre. Encontre a massa e o peso da água na Lua. (Resposta: m =800 kg, Wlua = 1.310 N) 
 
20) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Encontre uma expressão para a força vertical 
máxima F necessária para levantar um anel de fio fino de diâmetro D lentamente de um 
líquido com tensão superficial σ. (Resposta: 2σπD) 
 
25 
 
21) (BRUNETTI,2008) Uma placa quadrada de 1,00 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um 
plano inclinado de 30º, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 2 m/s constante. 
Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2,00 mm? (Resposta: 
22 /.10 msN ) 
 
 
22) (BRUNETTI,2008) O pistão da figura tem uma massa de 0,5 kg. O cilindro de comprimento 
ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10,00 cm e 
do pistão é 9,00 cm e entre os dois existe um óleo de 
2410 m e 3/000.8 mN . Com 
que velocidade deve subir o cilindro para que o pistão permaneça em repouso? (Supor 
diagrama linear g = 10 m/s².) (Resposta: v = 22,1 m/s) 
 
23) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Óleo é transportado por uma tubulação por uma 
série de bombas que podem produzir uma pressão de 10 MPa no óleo que sai de cada bomba. 
As perdas na tubulação fazem que a pressão caia 600 kPa a cada quilômetro. Qual é o maior 
espaçamento possível das bombas? (Resposta: 16,83 km) 
 
24) (HOUGHTALIN; HWANG; AKAN, 2012)Compare a razão da viscosidade absoluta e 
cinemática da água a 20ºC e 80ºC. Discuta as diferenças. 
 
25) (BRUNETTI,2008)A placa da figura tem uma área de 4 m² e espessura desprezível. Entre a 
placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por v = 
20y vmáx (1 - 5y). A viscosidade dinâmica do fluido é de 10
-2
N.s/m² e a velocidade máxima do 
escoamento é 4 m/s. Pede-se: 
a) o gradiente de velocidades junto ao solo; (Resposta = - 80 s-1) 
b) a força necessária para manter a placa em equilíbrio. (Resposta = 3,2 N) 
26 
 
 
 
26) (POTTER; WIGGERT; RAMADAN, 2014) Escreva uma expressão para o diâmetro máximo 
d de uma agulha com comprimento L que pode flutuar num líquido com tensão superficial σ. 
A densidade da agulha é ρ. (Resposta: √ ) 
 
27) (BRUNETTI,2008) Assumindo o diagrama de velocidade indicado na figura, em que a 
parábola tem seu vértice a 10,00 cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tensão de 
cisalhamento para y = 0; 5; 10 cm. Adotar 400 centipoises. (Resposta: (50 s-1; 200 
dina/cm²); (25 s
-1
; 100 dina/cm²); (0;0)) 
 
 
Itens abordados em aula do Capítulo 1 do Livro Mecânica dos Fluidos - Franco Brunetti (2ª 
edição revisada - 2008): 1.1 ao 1.11 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Capítulo 2 - Estática dos fluidos 
1. Introdução 
A estática dos fluidos é o estudo dos fluidos nos quais não há movimento relativo entre suas 
partículas. Se não há movimento relativo, não existem tensões de cisalhamento já que gradientes de 
velocidade são requeridos para que tensões de cisalhamento estejam presentes. 
2. Definição de pressão 
Uma força aplicada sobre uma superfície pode ser decomposta em outras duas forças: 
tangencial, da qual se originam as tensões de cisalhamento; e normal, a qual dá origem às pressões. 
Quando o fluido se encontra em repouso, ele exerce uma força perpendicular ( ) sobre 
qualquer área de superfície ( ) que esteja em contato com ele. Portanto, a única tensão que existe é a 
tensão normal, comumente chamada de pressão, definida para um infinitésimo de área como dado na 
Equação 2.1. 
 
dA
dF
p n (2.4) 
 
Se a pressão for uniforme ou média, então ela é dada pela Equação 2.2: 
 
A
F
p n (2.2) 
3. Escalas de pressão 
 Na maioria dos problemas que envolve fluidos, interessa-se conhecer apenas a parcela de 
pressão acima da pressão atmosférica, aplicada em uma área de superfície. Assim, têm-se duas escalas 
de pressão: 
 Escala de pressão absoluta ( abp ): é a pressão medida em relação ao vácuo ou zero absoluto. 
 Escala de pressão efetiva, manométrica ou piezométrica ( p ): é a pressão medida adotando-se 
como referência a pressão atmosférica. 
 
Portanto, a relação entre as duas escalas de pressão é dada pela Equação 2.3: 
 ppp atmab  (2.3) 
 
 A Figura 5 ilustra o que foi dito anteriormente. Considerando o traço inferior como o vácuo 
absoluto e o superior como a pressão atmosférica, tem-se que no ponto 1, a pressão absoluta é igual a 
ppatm  e a pressão efetiva é igual a p ; no ponto 2, a pressão absoluta é igual a atmp e a pressão 
28 
 
efetiva é igual a zero; no ponto 3, a pressão absoluta é igual a abp (maior que zero), diferente da 
pressão efetiva que é igual a p (menor que zero). 
 
Figura 5- Escalas de pressão. 
4. Lei de Stevin 
 Segundo Brunetti (2008), o teorema enuncia-se: “A diferença de pressão entre dois pontos de 
um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois 
pontos”. 
 Imaginando-se no interior de um líquido em repouso, um cilindro, como mostra a Figura 6. 
 
Figura 6 – Análise da diferença de pressão entre dois pontos. 
 
 Considerando-se todas as forças que atuam nele segundo a vertical, deve se ter o seguinte 
desenvolvimento, resultando na Equação 2.4: 
0 yF 
021  WFF 
Utilizando a Equação 2.2, 
A
F
p 
 
29 
 
pAF  
E a Equação 1.3, 
 
 
 
 
Logo, 
AhVW   
Portanto, 
012  AhApAp  
 hpp  12 (2.4) 
 
 Destaca-se, sobre o teorema, que: 
a) na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância entre eles, mas a diferença 
de cotas; 
b) a pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma; 
c) o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum ponto. Em 
qualquer ponto que se encontra no mesmo nível de um recipiente de mesmo fluido, tem-se a 
mesma pressão; 
d) se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a pressão num 
ponto à profundidade “h” dentro do líquido será dada por: ; 
e) nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois pontos não é 
muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles. 
 
5. Lei de Pascal 
 Enuncia-se: “A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem 
nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente” (BRUNETTI, 2008, 
p.20). Outra definição: “Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a 
mesma em todas as direções” (BRUNETTI, 2008, p.21). 
 A Figura 7 abaixo representa. 
 
Figura 7 – Representação da aplicação da Lei de Pascal. 
30 
 
 Tem-se o mesmo recipiente de formato cilíndrico na Figura 7a e Figura 7b, nos quais foram 
escolhidos alguns pontos aleatórios. No recipiente (a), tem-se uma superfície livre à atmosfera e são 
definidas pressões para os pontos assinalados: 
p1 = 1 N/cm
2
; p2 = 2 N/cm
2
; p3 = 3 N/cm
2
 e p4 = 4 N/cm
2
 . 
 Quando uma força de 100 N é aplicada, através do êmbolo da Figura 7b, ocorre um acréscimo 
de pressão, dado pela Equação 2.2, de
2
20
5
100
cm
N
A
F
p n  . Logo as pressões nos pontos 
escolhidos passarão a ter os respectivos valores: 
p1 = 21 N/cm
2
; p2 = 22 N/cm
2
; p3 = 23 N/cm
2
 e p4 = 24 N/cm
2
 . 
 Para demonstrar essa lei, pode-se considerar, no interior de um líquido, um prisma imaginário,representado pela Figura 8, de dimensões elementares: largura dx, altura dy e comprimento unitário. 
Sendo: 
yxx dpF  
xyy dpF  
dzpzF xz  
 
Figura 8 - Demonstração da lei de Pascal em um prisma imaginário de dimensões elementares. 
 O prisma estando em equilíbrio leva ao resultado de que as pressões px, py e pz possuem o 
mesmo valor, como demonstrado nas Equações 2.5, 2.6 e 2.7: 
  0xF 
0 zxx FF 
sendzpdyp zx  
dz
dy
dzpdp zyx  
 zx pp  (2.5) 
  0yF 
31 
 
0 zyy FF 
cos dzpdxp zy 
dz
dx
dzpdp zxy 
 
 zy pp  (2.6) 
E, portanto: 
 zyx ppp  (2.7) 
 
 Como aplicação da Lei de Pascal tem-se a prensa hidráulica, um dispositivo no qual pode-se 
não somente transmitir uma força, como também ampliá-la. 
6. Princípio de Arquimedes 
 Quando se mergulha um corpo qualquer em um líquido, verifica-se que este exerce, sobre o 
corpo, uma força de sustentação, isto é, uma força dirigida para cima, que tende a impedir que o corpo 
afunde no líquido. Essa força vertical dirigida para cima é denominada empuxo de líquido sobre o 
corpo mergulhado. 
 Tem-se que um corpo está mergulhado em um líquido qualquer, este líquido exercerá forças 
de pressão em toda a superfície do corpo em contato com ele. Como a pressão aumenta com a 
profundidade, as forças exercidas pelo líquido, na parte inferior do corpo, são maiores do que as forças 
exercidas na parte superior. A resultante dessas forças, portanto, deverá ser dirigida para cima. É essa 
resultante que representa o empuxo que atua no corpo. 
 A teoria para obtenção da força de empuxo está diretamente relacionada ao Princípio de 
Arquimedes que diz: “Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro de 
um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força vertical, com sentido ascendente, aplicado pelo 
fluido, denominada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo”. 
 O Princípio de Arquimedes permite calcular a força que um fluido exerce sobre um sólido nele 
mergulhado. Para provar a lei de empuxo, considere um objeto totalmente imerso em um líquido em 
repouso, conforme mostrado na Figura 9. 
 
Figura 9- Demonstração do empuxo. 
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 
𝑑𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝛾𝐿 
32 
 
 A força vertical sobre o corpo, devida à pressão hidrostática, pode ser encontrada mais 
facilmente considerando-se elementos de volumes cilíndricos similares ao mostrado na Figura 9. 
 A força líquida vertical sobre o elemento é: 
 
12 dEdEdE  
Sendo, 
dA
dE
p  pdAdE  
dApdApdE 12  
 ( ) 
Pela Lei de Stevin tem-se a Equação 2.8, dada por 
 hpp  0 
(2.8) 
Assim, 
dAhhdAhphpdE )()( 121020   
 
 
Tem-se que dVdAhh  )( 12 é o volume do elemento cilíndrico. Então: 
dVdE   
Integrando, 
   dVdE  
Tem-se a Equação 2.9, dada por, 
 0VE   (2.9) 
 
Onde “ ” é o volume submerso do objeto, que é igual ao volume de líquido que ele deslocará. 
 
Sendo, 
L
L
V
P
 LL VP   , 
Provando-se assim a lei do empuxo. 
33 
 
 Nota-se que valor do empuxo será tanto maior quanto maior for o volume de líquido 
deslocado, e maior for o peso específico desse líquido. O peso “ ” do objeto mergulhado no líquido 
pode ser expresso em função do seu peso específico( ) e do seu volume ( ), da seguinte maneira: 
0
0
0
V
P
 e 000 VP   
 Quando estiver totalmente mergulhado no líquido, o objeto estará deslocando um volume de 
líquido ( ) igual ao seu próprio volume ( ), isto é, . Portanto, para um corpo totalmente 
imerso no líquido: 
0VE   e 00
VP  
 
 Comparando essas expressões, nota-se que elas diferem apenas quanto aos valores dos 
pesos específicos. Portanto: 
1. Se 0  , tem-se PE  . Neste caso, a resultante das forças estará dirigida para baixo e o 
corpo afundará até atingir o fundo do recipiente. 
2. Se 0  , tem-se PE  . Neste caso, será nula a resultante dessas forças e o corpo ficará em 
repouso na posição em que foi abandonado. É isso que acontece com um submarino submerso. 
3. Se 0  , tem-se e PE  . Nesse caso, a resultante dessas forças estará dirigida para cima e o 
corpo sobe no interior do líquido. Quando ele atingir a superfície do líquido e começar a 
aflorar, a quantidade de líquido por ele deslocado começará a diminuir e, consequentemente, o 
valor de também diminuirá. Em certa posição do corpo, ele estará deslocando uma 
quantidade de líquido cujo peso será igual ao seu próprio peso, isto é, e PE  . Nesse caso, 
apenas uma porção do corpo está submersa e o valor do empuxo é igual ao peso do líquido 
deslocado por essa parte submersa. 
7. Barômetro 
 O barômetro é utilizado para medir a pressão atmosférica.Seu funcionamento segue o seguinte 
princípio: ao virar um tubo cheio de líquido, fechado na extremidade inferior e aberto na superior, 
dentro de um recipiente com o mesmo líquido, ele descerá até certa posição na qual permanecerá em 
equilíbrio. Na parte superior obtém-se praticamente o vácuo perfeito (ou pressão zero absoluto) ao se 
desprezar a pressão de vapor do líquido. Como a pressão em um mesmo nível é a mesma, tem-se que: 
atmA ppp 0 , como apresentado na Figura 10. 
 
Figura 10 - Barômetro (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p. 26). 
34 
 
 
 Dessa forma, devida à pressão atmosférica, forma-se uma coluna “ h ” e, então, a Equação 
2.10 é estabelecida. 
 hpatm  (2.10) 
 Onde,  é o peso específico do líquido. 
8. Manometria: Coluna Líquida 
 A manometria trata das medidas de pressão utilizando aparelhos denominados manômetros. 
Um manômetro é um dispositivo utilizado na medição de pressão efetiva que se baseia na Lei de 
Stevin (Equação 2.4), utilizando as alturas de colunas líquidas para a determinação de pressão: a 
diferença nas elevações das superfícies do líquido sob pressão indica a diferença de pressão em duas 
extremidades. 
 O líquido utilizado em um manômetro geralmente é mais pesado do que os fluidos a serem 
medidos. Assim, forma-se uma interface diferente que impede a mistura do líquido com os fluidos. Os 
líquidos mais comuns nos manômetros são mercúrio, água, álcool e outros óleos comerciais para 
manômetros. 
8.1. Piezômetro simples ou manômetro aberto 
 Manômetro que possui uma extremidade aberta à pressão atmosférica, como apresentado na 
Figura 11. É constituído por um tubo transparente ligado, na posição vertical, ao interior do recipiente 
que contém o líquido, para medir a altura “ h ” do líquido, que informa diretamente a pressão nesse 
ponto. É o mais simples dos manômetros e é usado para medir pequenas pressões. 
 O piezômetro apresenta três limitações: 
a) A altura “ h ”, para pressões elevadas e para líquidos de baixo peso específico, será muito alta, ou 
seja, é indicado apenas para pequenas pressões; 
b) Não se pode medir pressões de gases, pois eles escapam sem formar a coluna “ h ”; 
c) Não se pode medir pressões efetivas negativas, pois, nesse caso, haverá entrada de ar para o 
reservatório, em vez de haver a formação da coluna “ h ”. 
 
 
Figura 11 - Piezômetro. 
35 
 
8.2. Manômetro de tubo em "U" 
 Manômetro que apresenta o tubo de medida de pressão em formato da letra "U", geometria 
que torna possível a leitura de pressões negativas (inferiores à pressão atmosférica), além de pressões 
positivas. É usado para medir pressões muito pequenas ou demasiadamente grandes. 
 É utilizado um líquido indicador ou líquido manométrico com densidade menor que a do 
líquido do recipiente, se a pressão é muito pequena, ou, com densidade maior, se a pressão é muito 
grande. O líquido indicador tem a finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna 
líquida. As qualidades desse líquido indicador devem ser: 
a) Apresentar densidade bem definida; 
b) Formar menisco bem definido com o líquido de contato; 
c) Não ser miscível com o líquido de contato; 
d) Ser de coloração diferente dolíquido de contato. 
 
Figura 12 - Manômetro de tubo em "U" (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p. 27). 
8.3. Manômetro diferencial 
 Manômetro que apresenta as duas extremidades ligadas nos dois sistemas, nos quais se 
pretende medir a diferença de pressão, ou seja, é utilizado para medir a diferença de pressão entre dois 
pontos de um sistema. Desse modo, o manômetro diferencial se distingue dos descritos acima por não 
ter uma das extremidades em contato com a atmosfera. 
 
Figura 13 - Manômetro diferencial. 
36 
 
 Pela análise da Figura 13, pode-se estabelecer a seguinte relação entre os dois pontos de um 
manômetro diferencial, sendo a Equação 2.11 utilizada na análise do manômetro diferencial. 
23122111 phhhp   
 )( 1312221 hhhpp   
 
(2.11) 
8.4. A equação manométrica 
 Para determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois 
reservatórios, por meio de um manômetro, utiliza-se uma expressão denominada de equação 
manométrica. 
 Através da aplicação da Lei de Stevin e do Princípio de Pascal, pode-se calcular a pressão no 
fundo dos dois ramos do seguinte manômetro.Tendo como modelo o manômetro da Figura 14, utiliza-
se uma regra prática e de fácil aplicação para a resolução de exercícios envolvendo manômetros: 
começando do lado esquerdo, soma-se à pressão pA a pressão das colunas descendentes e subtrai-se 
aquela das colunas ascendentes. Tem-se, portanto, a Equação 2.12: 
 BA phhhhhhp  665544332211  
 
(2.12) 
 
 
Figura 14 - Aplicação prática de um manômetro (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p. 29). 
9. Manometria: Manômetro metálico 
 O manômetro metálico tipo Bourdoné constituído por um tubo fino, curvo e selado em uma 
das extremidades, sendo a outra extremidade conectada ao ponto de medição. Sob a influência da 
pressão da água, há uma alteração na curvatura do tubo (Figura 15). Esta deformação é proporcional à 
pressão do sistema que é transmitida por um ponteiro solidário ao tubo curvo a um mostrador. O 
mostrador é calibrado de acordo com uma unidade de pressão, como lbf/pol². É um aparelho muito 
utilizado nos processos industriais. 
37 
 
 
Figura 15 - Manômetro metálico (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p. 26). 
10. Forças em superfícies planas submersas 
 Frequentemente o Engenheiro Civil encontra problemas relativos ao projeto de estruturas que 
devem resistir a pressões hidrostáticas, pressão exercida por líquidos, como por exemplo, projetos de 
comportas, barragens, tanques, entre outros. 
 Para o dimensionamento destas estruturas, torna-se necessário determinar a magnitude e 
localização da força que age na superfície plana submersa. Para determinar a magnitude dessa força, 
examina-se uma área arbitrária inclinada a um ângulo “ ” em relação à superfície do liquido, 
que será considerada sendo água, conforme Figura 16. 
 
Figura 16 - Esforços sobre superfícies planas inclinadas (ROCHA, 2009, p. 226). 
Considerando a superfície composta por faixas horizontais, cada uma com largura “ ” 
e área “ ”. A pressão hidrostática em cada faixa pode ser considerada constante, pois a largura é 
muito pequena. Para uma faixa qualquer a uma profundidade , a pressão é: 
 ysenhP  
A força de pressão total na faixa é a pressão vezes a área, considerando em toda a superfície a 
soma das pressões nas faixas, a força será dada por: 
38 
 
 
AAA
yAsenydAsenysendFF  
Onde 
A
ydA
A
y
1
 é a distância medida da superfície até o centróide do plano. Sendo “ ̅” a 
distância vertical do centróide abaixo da superfície da água igual a ̅ , tem-se a Equação 2.10. 
 hF  (2.10) 
 
Forças de pressão agindo sobre uma superfície plana são distribuídas por toda superfície 
igualmente, sendo elas paralelas e atuam perpendicularmente à superfície. Essas forças paralelas 
podem ser substituídas por uma força resultante, sendo esta de magnitude “F”. Entretanto, essa força 
resultante não pode ser considerada aplicada no centróide, mas sim no centro de pressão,o qual é 
abaixo do centróide. 
A posição do centro de pressão pode ser obtida admitindo-se que o momento devido a essa 
força deve ser igual à integral dos momentos elementares em toda a área em relação a um eixo 
qualquer. Supondo que a força resultante “F” esteja aplicada na posição ( ), sendo este o centro 
de pressão, o valor de “ ” pode ser obtido pela expressão: 

A
p ydFFy 
Tendo: 
yAsenF  
dAysendF  
E“ ” e “ ” constantes: 
yA
dAy
A
p
y


2
 
Sendo  
A
xIdAy
2
 e xMyA  ,respectivamente, o momento de inércia e o momento 
estático da superfície plana AB em relação ao eixo . 
A ordenada “ ” pode ser dada pela Equação 2.11. 
 
x
x
p
M
I
y  (2.11) 
Escrevendo o momento de inércia em relação ao centróide do plano, a relação pode ser escrita 
como apresentado na Equação 2.12. 
39 
 
 y
yA
I
yA
yAI
y p 

 0
2
0
 (2.12) 
Onde “ ” é o momento de inércia do plano com relação ao seu próprio centróide, podendo 
este ser encontrado em tabelas na literatura, “ ” é a área da superfície plana e “ ̅” à distância entro o 
centróide e a superfície do líquido. 
Como os valores das grandezas , ̅ e serão sempre positivas, conclui-se pela equação 
encontrada que o centro de pressão será sempre abaixo do centróide da área, sendo estes coincidentes 
quando y . 
11. Equilíbrio de corpos flutuantes 
Em situações especiais o engenheiro depara-se com a necessidade de projetar estruturas 
flutuantes. Tais situações ocorrem, por exemplo, quando se torna necessário construir pontes 
flutuantes de emergência sobre cursos d’água ou estruturas flutuantes de tomada d’água para o 
abastecimento de populações, indústrias ou projetos de irrigação (ROCHA, 2009, p. 287). 
Pelo Princípio de Arquimedes, todo corpo imerso num líquido fica submetido à ação de uma 
força de empuxo, de baixo para cima, igual ao peso do volume do líquido deslocado. 
Corpos flutuantes são aqueles cujo peso específico é menor que o peso específico do líquido, 
neste caso, o empuxo será maior que o peso próprio do corpo, fazendo com que o corpo suba para a 
superfície. Parte do corpo emergirá, até que o volume da parte imersa seja tal que, multiplicado pelo 
peso específico do líquido, iguale o peso próprio do corpo, que permanecerá flutuando nessa posição. 
Consideremos a Figura 17, que mostra a seção transversal de um corpo de peso especifico 
“ ”, que flutua num líquido de peso específico “ ”. 
 
Figura 17 – Equilíbrio dos corpos flutuantes (Adaptado de ROCHA, 2009, p. 291). 
40 
 
O centro de carena é o centro de massa do volume do líquido deslocado. O centro de carena é, 
portanto, o ponto de aplicação do empuxo, conforme ilustrado na Figura 17. 
O metacentro é o ponto em que a vertical que passa pelo centro de empuxo intercepta a 
vertical original que passa pelo centróide, conforme ilustrado na Figura 17. 
11.1. Estabilidade 
As forças que agem num corpo total ou parcialmente submerso em repouso são o seu peso 
“W”, cujo ponto de aplicação é o centróide do corpo e o empuxo “E”, cujo ponto de aplicação é o 
centro de carena. 
Supondo um corpo em equilíbrio, quando aplicado uma força pequena nesse corpo, é evidente 
que se ele estava em equilíbrio à aplicação dessa força isolada fará com que se desloque em relação a 
sua posição inicial. Retirando-se a força aplicada, podem ocorrer três casos: 
a) O corpo retorna à posição de equilíbrio inicial, diz-se que o equilíbrio do corpo é estável. 
b) O corpo, mesmo retirando a força, afasta-se cada vez mais da posição inicial, diz-se que o 
equilíbrio é instável. 
c) O corpo permanece na nova posição, sem retornar nem se afastar da posição inicial, diz-se que 
o equilíbrio é indiferente. 
Deve-se analisar a estabilidade vertical e de rotação no caso de corpos submersos, o caso de 
estabilidade horizontal não é analisado, pois o equilíbrio é indiferente. 
11.1.1. Estabilidade vertical 
Caso o corpoesteja totalmente submerso em equilíbrio, o volume deslocado será sempre o 
mesmo. Qualquer que seja o deslocamento, sempre existirá o equilíbrio, já que “E” e “W” não irão 
variar, trata-se de um equilíbrio indiferente. 
Caso contrário, estando o corpo parcialmente submerso, ao deslocar-se para baixo o volume 
de carena e o empuxo aumentam, ficando numa situação em que . Ao retirar a força que causou 
o deslocamento, o corpo sobre até que haja uma diminuição do volume de carena para que novamente 
 . 
Se o corpo for deslocado para cima, o volume de carena diminuirá de forma que . Ao 
retirar a força aplicada, o corpo desce até que novamente, e isso ocorre na posição inicial. 
Assim o equilíbrio é sempre estável. 
11.1.2.Estabilidade à rotação 
Suponha-se um corpo flutuante em equilíbrio, no qual é aplicado uma pequena força que o faça 
girar um ângulo em torno de um eixo de rotação. Dois casos serão analisados: Corpos totalmente 
submersos em equilíbrio e corpos parcialmente submersos em equilíbrio. 
No caso de um corpo totalmente submerso em equilíbrio, pode-se ocorrer três situações, sendo 
elas: 
a) Equilíbrio indiferente: Quando são coincidentes o centro de carena e o centróide do corpo, neste 
caso o corpo permanece em equilíbrio para qualquer que seja sua posição no interior do líquido. 
41 
 
b) Equilíbrio estável: Quando o centro de carena e o centróide não coincidem, mas ambos estão sobre 
a mesma vertical, estando o centro de empuxo sobre o centro de massa. Nessas condições, 
qualquer tentativa de remover o corpo desse estado de equilíbrio fará surgir um momento que 
tenderá a trazê-lo ao equilíbrio. 
c) Equilíbrio instável: Quando o centróide e o centro de carena não coincidem, mas ambos estão 
sobre a mesma vertical, estando o centróide sobre o centro de carena. 
Observa-se que num corpo totalmente submerso em equilíbrio, para que haja estabilidade à 
rotação, o centro de gravidade “G”, deverá estar abaixo do centro de carena “CC”. 
A Figura 18 ilustra os três casos. 
 
Figura 18 – Equilíbrio dos corpos submersos: indiferente, estável e instável (Adaptado de ROCHA, 2009, p. 290). 
 
No caso de um corpo parcialmente submerso em equilíbrio, se o centro de carena está abaixo 
do centróide, o corpo é sempre estável, como no corpo submerso. 
O corpo pode estar em equilíbrio estável, porém, mesmo se o centróide estiver acima do 
centro de carena. Quando o corpo gira o centro de carena move-se para uma nova posição. Se o centro 
de carena se afasta o suficientemente, um momento de restauração é desenvolvido e o corpo pode ficar 
em equilíbrio estável, conforme será discutido abaixo. 
O corpo está em equilíbrio se seu centro de gravidade e seu centro de carena estiverem sobre a 
mesma linha vertical, como na Figura 19. 
 
Figura 19 – Determinação do metacentro(Adaptado de ROCHA, 2009, p. 293). 
 
42 
 
Esse equilíbrio pode ser abalado por diversos motivos, entre eles pode-se citar a ação do 
vento. O corpo em flutuação é feito para elevar-se ou declinar-se através de um ângulo “ ”, conforme 
mostrado na Figura 19. 
Quando o corpo é rotacionado seu centro de gravidade não altera, porém seu centro de carena 
é deslocado de “CC” para “CC’”. O empuxo atua de forma ascendente em “CC” e o peso atua de 
forma descendente em “G”, estas forças constituem um par que resiste a futuras transformações e 
tende a restaurar o corpo à sua posição de equilíbrio original. 
A distância entre o metacentro e o centro de gravidade “ ̅̅̅̅̅”, é conhecida como altura 
metacêntrica. Essa altura é a medida de estabilidade de flutuação do corpo, daí vem à denominação: 
meta = limite. Se o ponto “M” estiver acima do “G”, o equilíbrio é estável, se estiver abaixo de “G”, o 
equilíbrio é instável e se estiver coincidente a “G” o equilíbrio é indiferente. 
Quanto mais acima estiver o metacentro em relação ao centro de gravidade, mas estável é o 
equilíbrio. Assim, é importante conhecer a altura metacêntrica, “ ̅̅ ̅̅ ”. 
Tendo o corpo flutuante girado um ângulo , pequeno em torno do eixo de rotação O, nota-se 
que o volume de carena alterou-se fazendo com que o centro de carena se desloque. No entanto, a 
força de empuxo continuará a mesma, visto que apesar de mudar de forma, o volume é o mesmo. 
O momento de “CC” em relação ao centro de carena deverá ser igual ao momento dos 
elementos de volume em relação ao mesmo ponto. Entretanto, nota-se que o volume de “Va’oc” é 
simétrico ao “Vboc”, de forma que o momento em relação ao centro de carena será nulo. Então, 
conforme Equação 2.13. 
  xdFE (2.13) 
O empuxo produzido pelo volume “Vbob’” pode ser estimado considerando-se um pequeno 
prisma neste volume. Assume-se que o prisma possui uma área horizontal, “dA”, e está localizada a 
uma distância “x” do eixo de rotação “O”. A altura do prisma é . Assim: 
dAfxdVdF  tan 
Substituindo na Equação 2.13: 
  dAxdAxE
22 tantan  
Tendo que   0
2 IdAx , é o momento de inércia da área da seção de flutuação em relação ao 
eixo de rotação “O”. Logo, tem-se Equação 2.14. 
  tan0IE  (2.14) 
Sendo VE  e



cos)(
tan
GMGCC 
 voltando na Equação 2.14, tem-se Equação 
2.15: 
 


cos)(
0
GMGCC
IV

 (2.15) 
43 
 
Considerando o ângulo “ ” pequeno, . E como no caso de equilíbrio, VWE  , 
portanto, 

W
V  . Logo, tem-se GM pela Equação 2.16: 
 GCC
W
I
GM  0

 (2.16) 
 
Assim a estabilidade será aumentada diminuindo ̅̅ ̅̅ ̅̅ e, portanto, abaixando o centro de 
gravidade ou aumentando o momento de inércia da seção de flutuação. 
Exercícios 
 Sugere-se a resolução dos seguintes exercícios do Capítulo 2 do Livro Mecânica dos Fluidos - 
Franco Brunetti (2ª edição revisada - 2008): 
2.1 ao 2.11 2.13 2.17 2.23 ao 2.25 2.27 2.30 2.38 2.43 
 
Itens abordados em aula do Capítulo 2 do Livro Mecânica dos Fluidos - Franco Brunetti (2ª 
edição revisada - 2008): 2.1 ao 2.11 e 2.13 ao 2.17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos 
1. Vazão 
 Na Figura 20, tem-se a representação de um tubo de corrente por onde passa um filamento de 
corrente, que é uma linha imaginária tomada através do fluido para indicar a direção da velocidade em 
diversas seções do escoamento. 
 
Figura 20 - O conceito de vazão (Adaptado de VIANNA, 2009, p.319). 
 Tomando uma seção qualquer do tubo que seja perpendicular a esse filamento e, sejam dA a 
área do filamento de corrente segundo essa seção, e v a velocidade do fluido, ao passar pela seção. 
 Denomina-se vazão em massa a quantidade de massa fluida que atravessa a seção dA na 
unidade de tempo. 
vdAdQM  
 O valor correspondente a toda seção transversal do tubo de corrente é expresso pela Equação 
3.1. 
  AM vdAQ  (3.5) 
 
 Assim, tem-se que a vazão mássica (QM), Equação 3.2, corresponde à razão entre a massa de 
material escoado e o tempo gasto para enchimento do recipiente. 
 Q
t
m
QM  (3.2) 
 
 Do mesmo modo, a vazão em peso (QP), Equação 3.3, corresponde à razão entre o peso de 
material escoado e o tempo gasto para enchimento do recipiente. 
 Q
t
P
QP  (3.3) 
45 
 
 Denomina-se vazão em volume, ou simplesmente vazão, o volume de fluido que atravessa a 
seção dA na unidade de tempo. 
vdAdQ  
 Assim, tem-se que a vazão (Q) ou descarga volumétrica, expressa pela Equação 3.4, 
corresponde à razão entre o volume de líquido no recipiente e o tempo gasto para enchimento do 
recipiente. 
 
t
V
Q  (3.4) 
 
 As unidades da vazão em volume são: m³/s, L/s, m³/h, L/min, ou qualquer outra unidade de 
volume ou capacidade por unidade de tempo. 
 Existe uma relação entre a vazão em volume e a velocidade do fluido. Supondo o fluido em 
movimento da Figura 21, o fluido se desloca através da seção de área “A” a uma distância “s,” no 
intervalo de tempo “t”. 
 
Figura 21 - Relação entre a vazão em volume e a velocidade do fluido (Adaptado de BRUNETTI, 2008,p.72). 
 O volume de fluido que atravessa a seção de área “ ” no intervalo de tempo “t” é V = sA. 
Então, utilizando a Equação 3.4, a vazão será: 
t
sA
t
V
Q  , mas v
t
s
 
 Logo: 
vAQ  
 Essa expressão só seria válida se a velocidade fosse uniforme na seção, porém, na maioria dos 
casos práticos, isso não ocorre. Adotando um “d ” qualquer no entorno de um ponto com velocidade 
v, tem-se: 
vdAdQ  
46 
 
 Logo, a vazão na seção de área “ ” será: 
 AvdAQ 
 A velocidade média é definida como uma velocidade uniforme que, substituída no lugar da 
velocidade real, resultaria na mesma vazão na seção. Logo: 
  A m AvvdAQ 
 Assim, tem-se a expressão para o cálculo da velocidade média na seção, dada pela Equação 
3.5 e indicada na Figura 22. 
  A realm dAvA
v
1
 (3.5) 
 
 
Figura 22 - Distribuição de velocidade em uma seção (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p.73). 
 De modo geral, os engenheiros costumam lidar com fluidos cuja compressibilidade quase 
sempre pode ser desprezada e, assim, considera-se a massa específica constante. Porém, há situações 
em que a consideração da variação da massa específica do fluido é de extrema importância, podendo 
conduzir a erros na vida prática, se desconsiderada. Para essas situações, deve-se trabalhar com a 
vazão em massa, ao invés da vazão em volume. 
2. Classificação dos escoamentos 
O escoamento de um fluido pode ser classificado em alguns tipos de regimes, sendo que se 
diferem de acordo com o comportamento do fluido e relação a diversas variáveis, como tempo, espaço 
e rotação. A seguir são discutidos alguns tipos de regimes de escoamento. 
2.1. Regime permanente e variável 
 Quando se considera o comportamento do fluido em relação ao tempo, mais especificamente o 
comportamento das propriedades dos fluidos em um único ponto em relação ao tempo, tem-se que o 
escoamento do fluido pode ser classificado em permanente ou em variável. 
47 
 
No regime permanente, as propriedades do fluido, em um ponto específico, não variam com o 
passar do tempo, ou seja, tomando a velocidade como exemplo, tem-se que: 0
dt
dv . Ressalta-se 
que a propriedade do fluido pode variar de ponto a ponto, desde que não varie com o tempo. 
No regime variável, tomando-se um ponto como estudo, as condições do fluido varia com o 
tempo, ou seja, tomando a velocidade como exemplo, tem-se que 0
dt
dv . 
A Figura 23 mostra dois reservatórios, sendo um em regime permanente e o outro em regime 
variável. 
 
Figura 23 - Regime permanente e variável (Adaptado de BRUNETTI, 2008, p.68). 
2.2. Regime uniforme e não uniforme 
 Quando se considera o comportamento do fluido e suas condições em relação ao espaço, o 
escoamento pode ser classificado em uniforme e não uniforme. 
 No regime uniforme, a condição de escoamento do fluido, como por exemplo, a velocidade, é 
a mesma em pontos distintos em um mesmo instante de tempo. Assim, não há variação no espaço, ou 
seja, 0
ds
dv . 
 No regime não uniforme, novamente observando-se a velocidade do fluido em dois pontos 
distintos, tem-se que sua magnitude é diferente entre os pontos, em um mesmo instante de tempo. 
Assim, tem-se que a velocidade varia no espaço, ou seja, 0
ds
dv . 
A Figura 24 ilustra um escoamento com trecho em regime uniforme e não uniforme. 
 
Figura 24–Regime uniforme e não uniforme. 
48 
 
2.3. Regime rotacional ou irrotacional 
 Quando se observa o movimento de rotação de um fluido, o escoamento pode ser classificado 
em rotacional ou irrotacional. 
 No regime rotacional a partícula do fluido, em uma determinada região, possui uma rotação 
em relação a um eixo qualquer, provocado por uma velocidade angular. Caso não tenha rotação das 
partículas, o regime é irrotacional. 
 A Figura 25 ilustra dois fluidos, sendo um deles em regime rotacional e o outro em regime 
irrotacional. 
Figura 25–Regime rotacional e irrotacional. 
 
3. Equação da continuidade (Equação da conservação de massa) 
 Seja o escoamento de um fluido pelo tubo de corrente apresentado na Figura 26, em regime 
permanente. 
 
Figura 26 - Equação da continuidade para um fluido qualquer em regime permanente (Adaptado de BRUNETTI, 2008, 
p.75). 
49 
 
 Sejam QM1eQM2 as vazões mássicas na seção de entrada e na saída, respectivamente. Para que 
o regime seja permanente, é preciso que não haja variação com o tempo de propriedades, em nenhum 
ponto do fluido. 
 Logo: 
 21 MM
QQ  ou 2211 QQ   ou 222111 AvAv   
 
(3.6) 
 A Equação 3.6 é a chamada equação da continuidade para um fluido qualquer em regime 
permanente. 
4. Equação de Bernoulli (Equação da conservação da energia) 
 A equação de Bernoulli é uma das mais utilizadas na aplicação de escoamentos de fluidos, 
porém ela é válida admitindo-se várias hipóteses, as quais geram uma diferença nos resultados obtidos. 
Devido às muitas hipóteses que são admitidas é difícil obter resultados que condizem com a realidade. 
 As hipóteses simplificadoras são: 
a) Regime permanente; 
b) Sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Entenda-se por máquina qualquer 
dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, na forma de trabalho. As que 
fornecem energia ao fluido serão denominadas bombas e as que extraem energia do fluido, 
turbinas; 
c) Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ideal; 
d) Propriedades uniformes nas seções; 
e) Fluido incompressível; 
f) Sem trocas de calor. 
 Pelas hipóteses (b), (c), e (f) exclui-se que no trecho de escoamento em estudo seja fornecida 
ou retirada energia do fluido (BRUNETTI, FRANCO, 2008, p.87). 
 Para a determinação da equação de Bernoulli utiliza-se a Figura 27, que ilustra um tubo 
cilíndrico de corrente de comprimento elementar dL e área transversal dA, no qual ocorre escoamento 
de um fluido incompressível em regime permanente. Segundo Rocha (2009), as forças que atuam na 
partícula são as forças do peso e da pressão, e considerando como sentido positivo o da esquerda para 
a direita, logo a resultante das forças será: 
 
Figura 27 – Equação de Bernoulli 
50 
 
 dWsendpdAdWsendAdpppdA  )( 
dAdLdW  
Então, tem-se: 
dAdLsendpdA 
Da Figura 27, sabe-se que: 
dL
dz
sen  
Logo, pode-se reescrever a resultante: 
dAdzdpdA
dL
dz
dAdLdpdA   
 A resultante obtida, segundo a 2ª Lei de Newton, deverá ser igual à massa do fluido contida no 
tubo cilíndrico multiplicada pela aceleração que ele sofre. Tem-se então: 
dt
dv
dAdLdAdzdpdA )(  
0
dt
dv
pdAdvdAdzdpdA  
0 pvdvdzdp  
0 vdv
dp
dz



 
0)(
2
11 2 





 vd
g
dp
dz

 
0
2
2







g
v
d
dp
dz

 
Portanto, tem-se a Equação 3.7, denominada equação de Bernoulli: 
 0
2
2
h
g
vp
z 

= constante (3.7) 
Sendo que, 
z = carga de elevação 
51 
 

p
 = carga de pressão 
g
v
2
2
 = carga cinética 
5. Escoamento laminar e turbulento 
Para definir estes dois tipos de escoamento, recorre-se à experiência de Reynolds descrita a 
seguir. 
Observe, por exemplo, na Figura 28, um reservatório que contém água. Um tubo transparente 
é ligado a ele e, no fim do tubo, uma válvula permite a variação da velocidade de descarga da água. 
No eixo do tubo, é injetado um líquido corante do qual se deseja observar o comportamento. 
 
Figura 28 – Experiência de Reynolds. 
Ao abrir pouco o registro, tem-se uma velocidade de descarga pequena, formando-se, então, 
um filete reto e contínuo de corante no eixo do tubo, como representado na Figura 29. As partículas 
escoam sem agitações transversais mantendo-se em lâminas concêntricas, entre as quais não há troca 
macroscópica de partículas, pois a trajetória delas não se cruza.Assim, define-se esse tipo de 
escoamento como escoamento laminar visto que, como o próprio nome diz, as partículas se deslocam 
em lâminas individualizadas, sem haver troca de massa entre elas. 
 
Figura 29 – Escoamento laminar. 
52 
 
Nesse caso,