Trigonometria em Triângulos Quaisquer

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10
Capítulo
1
Neste capítulo
Trigonometria em 
triângulos quaisquer
1.	 Revisão		
de	trigonometria	
no	triângulo	
retângulo
2.	Seno	e	cosseno	
de	ângulos	
obtusos
3.	Lei	dos	senos
4.	Lei	dos	cossenos
Pretende-se	cortar	as	fatias	de	um	pão	de	forma	para	fazer	pequenos	
sanduíches	conforme	o	esquema	a	seguir.
 3.	Existem	outras	formas	de	se	colocar	os	sanduíches	nessa	bandeja?	
Descreva	algumas	delas	e	identifique	a	que	permite	colocar	a	maior	
quantidade	de	sanduíches	nessa	bandeja	sem	que	haja	sobreposição.
Comece pelo que já sabe
Depois	de	prontos	pretende-se	colocá-los	em	uma	bandeja	retangular,	de	tal	
maneira	que	a	maior	face	de	cada	sanduíche,	ou	seja,	sua	face	retangular	de	
maior	área,	fique	em	contato	com	a	bandeja.
 1.	Considerando-se	a	forma	que	se	pretende	colocar	os	sanduíches	na	bandeja	
apresentada,	de	quantas	maneiras	isso	poderá	ser	feito?	Faça	um	esquema	para	
representar	cada	uma	dessas	maneiras.
 2.	Determine	qual	dessas	maneiras	deve	ser	utilizada	para	que	se	tenha	o	melhor	
aproveitamento	do	espaço.
10 cm
2 cm
10 cm 10 cm
10 cm
15	cm
10	cm
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11
1. Revisão de trigonometria nos triângulos 
retângulos 
A seguir são apresentadas de modo conciso, e para efeito de revisão, algu-
mas relações válidas para os triângulos retângulos.
Dado um triângulo retângulo ABC de hipotenusa a e catetos b e c é possí-
vel escrever as seguintes relações.
Teorema de Pitágoras
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
catetos.
A
B C
a
c
b a2 � b2 � c2
Relações métricas
Sendo n e m respectivamente as projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa, e h a 
altura relativa à hipotenusa, são válidas as seguintes relações:
A
B C
H
a
m n
h
c b b2 � a � n
c2 � a � m
b � c � a � h
h2 � m � n
Relações trigonométricas
A
B C
a
� �
c
b
cateto oposto a � 
e 
cateto adjacente a �
 cateto oposto a �
e 
cateto adjacente a �
sen a 5 
catetooposto a a
  ____________ hipotenusa 5 
b __ a   sen b 5 
catetooposto a b
  ____________ hipotenusa 5 
c __ a  
cos a 5 
catetoadjacente a a
  _____________ hipotenusa 5 
c __ a   cos b 5 
catetoadjacente a b
  _____________ hipotenusa 5 
b __ a  
tg a 5 
catetooposto a a
  ______________ catetoadjacente a a
   5 b __ c   tg b 5 
catetooposto a b
  _____________ catetoadjacente a b
   5 c __ b  
Como a e b são ângulos complementares, ou seja, a 1 b 5 90°, valem as seguintes 
relações:
sen a 5 cos b 5 b __ a   e sen b 5 cos a 5 
c __ a  
tg a 5 1 ____ tg b   e tg b 5 
1 ____ tg a  
tg a 5 sen a ______ cos a   e tg b 5 
sen b
 ______ cos b  
Projeção ortogonal de um 
segmento de reta
Em um plano, considere um `
ponto P e uma reta r que 
não passa por P. Chama-se 
projeção ortogonal do ponto 
P sobre a reta r o ponto P’, 
que é o pé da perpendicular 
à reta r a partir de P.
P
P’
r
A projeção ortogonal de 
um segmento de reta em 
uma reta r é o conjunto 
das projeções de todos os 
pontos do segmento, ou 
seja, é um segmento.
Observe que, se o segmento 
de reta for perpendicular à 
reta r, sua projeção resultará 
em um único ponto sobre r.
C
D
A
projCD projAB
B
r
 A aplicação mais frequente 
da trigonometria é o cálculo 
da medida da projeção 
ortogonal.
Se o segmento 
___
 AB  tem 
comprimento k, e o ângulo 
formado com a sua projeção 
é a, pode-se demonstrar 
que a medida da projeção 
ortogonal é igual a k ? cos a.
A
k
�
projAB
B
r
De fato, considerando 
o triângulo retângulo 
formado ao projetar-se o 
segmento 
___
 AB , e chamando 
de a o ângulo formado pelo 
segmento e sua projeção, 
tem-se que
cos a 5 
projAB ______ k    Æ 
Æ projAB 5 k ? cos a
Saiba mais
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12
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Tabela de razões trigonométricas  
A tabela a seguir apresenta os valores aproximados, com quatro casas deci-
mais, do seno, do cosseno e da tangente de ângulos entre 0° e 90°.
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
0° 0,0000 1,0000 0,0000 46° 0,7193 0,6947 1,0355
1° 0,0175 0,9998 0,0175 47° 0,7314 0,6820 1,0724
2° 0,0349 0,9994 0,0349 48° 0,7431 0,6691 1,1106
3° 0,0523 0,9986 0,0524 49° 0,7547 0,6561 1,1504
4° 0,0698 0,9976 0,0699 50° 0,7660 0,6428 1,1918
5° 0,0872 0,9962 0,0875 51° 0,7771 0,6293 1,2349
6° 0,1045 0,9945 0,1051 52° 0,7880 0,6157 1,2799
7° 0,1219 0,9925 0,1228 53° 0,7986 0,6018 1,3270
8° 0,1392 0,9903 0,1405 54° 0,8090 0,5878 1,3764
9° 0,1564 0,9877 0,1584 55° 0,8192 0,5736 1,4281
10° 0,1736 0,9848 0,1763 56° 0,8290 0,5592 1,4826
11° 0,1908 0,9816 0,1944 57° 0,8387 0,5446 1,5399
12° 0,2079 0,9781 0,2126 58° 0,8480 0,5299 1,6003
13° 0,2250 0,9744 0,2309 59° 0,8572 0,5150 1,6643
14° 0,2419 0,9703 0,2493 60° 0,8660 0,5000 1,7321
15° 0,2588 0,9659 0,2679 61° 0,8746 0,4848 1,8040
16° 0,2756 0,9613 0,2867 62° 0,8829 0,4695 1,8807
17° 0,2924 0,9563 0,3057 63° 0,8910 0,4540 1,9626
18° 0,3090 0,9511 0,3249 64° 0,8988 0,4384 2,0503
19° 0,3256 0,9455 0,3443 65° 0,9063 0,4226 2,1445
20° 0,3420 0,9397 0,3640 66° 0,9135 0,4067 2,2460
21° 0,3584 0,9336 0,3839 67° 0,9205 0,3907 2,3559
22° 0,3746 0,9272 0,4040 68° 0,9272 0,3746 2,4751
23° 0,3907 0,9205 0,4245 69° 0,9336 0,3584 2,6051
24° 0,4067 0,9135 0,4452 70° 0,9397 0,3420 2,7475
25° 0,4226 0,9063 0,4663 71° 0,9455 0,3256 2,9042
26° 0,4384 0,8988 0,4877 72° 0,9511 0,3090 3,0777
27° 0,4540 0,8910 0,5095 73° 0,9563 0,2924 3,2709
28° 0,4695 0,8829 0,5317 74° 0,9613 0,2756 3,4874
29° 0,4848 0,8746 0,5543 75° 0,9659 0,2588 3,7321
30° 0,5000 0,8660 0,5774 76° 0,9703 0,2419 4,0108
31° 0,5150 0,8572 0,6009 77° 0,9744 0,2250 4,3315
32° 0,5299 0,8480 0,6249 78° 0,9781 0,2079 4,7046
33° 0,5446 0,8387 0,6494 79° 0,9816 0,1908 5,1446
34° 0,5592 0,8290 0,6745 80° 0,9848 0,1736 5,6713
35° 0,5736 0,8192 0,7002 81° 0,9877 0,1564 6,3138
36° 0,5878 0,8090 0,7265 82° 0,9903 0,1392 7,1154
37° 0,6018 0,7986 0,7536 83° 0,9925 0,1219 8,1443
38° 0,6157 0,7880 0,7813 84° 0,9945 0,1045 9,5144
39° 0,6293 0,7771 0,8098 85° 0,9962 0,0872 11,4301
40° 0,6428 0,7660 0,8391 86° 0,9976 0,0698 14,3007
41° 0,6561 0,7547 0,8693 87° 0,9986 0,0523 19,0811
42° 0,6691 0,7431 0,9004 88° 0,9994 0,0349 28,6363
43° 0,6820 0,7314 0,9325 89° 0,9998 0,0175 57,2900
44° 0,6947 0,7193 0,9657 90° 1,0000 0,0000 ∃
45° 0,7071 0,7071 1,0000
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13
Exercícios resolvidos
Determinar os valores de 1.	 x, y e z referentes às 
medidas do triângulo retângulo representado 
pela figura abaixo.
A
B C
100
y x
z
60 80
Resolução
Classificam-se os elementos do triângulo ABC.
A
B C
100
y x
z
60 80
Aplicando a relação métrica referente ao cate-
to AC:
802 5 10 ? x Æ x 5 6 400 ______ 100 Æ x 5 64. 
Como x 1 y 5 100 Æ y 5 100 2 64 Æ y 5 36.
Aplicando a relação métrica referente à altura: 
z2 5 36 ? 64 Æ z 5 dXXXXXXX 36 ? 64 5 48, pois z . 0.
Logo x 5 64, y 5 36 e z 5 48.
Uma escada de 25 dm está apoiada, na vertical, 2.	
em um muro, e a parte mais alta da escada está a 
24 dm do chão. Deseja-se amarrar com uma cor-
da o pé da escada no muro, para evitar que ela es-
corregue. Qual deve ser o comprimento da corda, 
sabendo que são necessários 5 dm para fazer as 
amarrações?
Resolução
Pode-se representar essa situação pela figura 
abaixo.
Pelo teorema de Pitágoras:
252 5 242 1 x2 Æ 
Æ 625 5 576 1 x2 Æ
Æ 625 2 576 5 x2 Æ x2 5 49 Æ 
Æ x 5 7 dm.
Portanto, são necessários 7 1 5 5 12 dm de corda 
para amarrar o pé da escada no muro, pois x . 0.
Na figura a seguir, determinaros valores de seno, 3.	
cosseno e tangente para os ângulos a e b.
C
A B
25 cm
� �
15 cm 20 cm
Resolução
sen a 5 
catetooposto a a
  ____________ hipotenusa 5 
20 ___ 25 5 
4 __ 5 
cos a 5 
catetoadjacente a a
  _____________ hipotenusa 5 
15 ___ 25 5 
3 __ 5 
tg a 5 
catetooposto a a
  _____________ catetoadjacente a a
   5 20 ___ 15 5 
4 __ 3 
Como a 1 b 5 90°, cos b 5 sen a 5 4 __ 5 ,
sen b 5 cos a 5 3 __ 5 e tg b 5 
1 ____ tga   5 
3 __ 4 .
Calcule o valor das expressões:6.	
a) sen 47° 1 cos 32° _________________ cos 43° 1 sen 58° b) 
sen 18° 1 cos 72° ________________ sen 18° 
O losango 7.	 ABCD da 
figura ao lado tem 
a medida da diago-
nal menor igual a 
4 cm. Determine o 
perímetro desse lo-
sango, em centíme-
tros, sabendo que 
sen 30° 5 0,5.
Exercícios propostos
Na figura abaixo, determine as medidas 4.	 x, y, t e z.
t
4 y
x
6 z
C
A
B D
2�
�
24 cm
10 cm
26 cm
�
�
No triângulo ao lado de-5.	
termine os valores de 
seno, cosseno e tangen-
te dos ângulos a e b. 
24 dm 25 dm
x
cateto do 
ABC
cateto do 
ABC
altura
projeção do 
cateto 
___
 AC sobre a 
hipotenusa 
___
 BC 
projeção do 
cateto 
___
 AB sobre 
a hipotenusa 
___
 BC 
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14
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Determine os valores das seguintes expressões:10.	
a) sen 20° 1 sen 160° __________________ sen 20° 
b) cos 50° 1 cos 130° __________________ cos 0° 
c) sen 30° 1 sen 45° 1 sen 90° 1 sen 150° 1 sen 135°
d) cos 0° 1 cos 60° 1 cos 45° 1 cos 120° 1 cos 135°
e) 
(sen 135° 1 sen 45°)2 1 sen 0° 1 (sen 150° 1 sen 30°)2
 __________________________________________________ sen2 45° 1 sen4 45° 
f) 
(cos 0° 1 cos 30°)2 1 cos 135° 1 (cos 160° 1 cos 20°)2
 ___________________________________________ sen2 45° 1 cos2 45° 
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, quando 
a soma das medidas de dois ângulos for menor que 90°, isto é, (b 1 g) , 90°, 
a medida do outro ângulo será dada por a 5 180° 2 (b 1 g), ou seja, 
a . 90°. Mas, como se trata de um triângulo, 90° , a , 180°, ou seja, o 
ângulo a é um ângulo obtuso.
Seno	e	cosseno	de	ângulos	obtusos
Seno Cosseno
sen x 5 sen (180° 2 x)
O seno de um ângulo obtuso é igual ao 
seno do suplemento desse ângulo.
cos x 5 2cos (180° 2 x)
O cosseno de um ângulo obtuso é oposto 
ao cosseno do suplemento desse ângulo.
Exemplo
O sen 120° é determinado pela relação 
sen x 5 sen (180° 2 x), pois 120° é um 
ângulo obtuso. O suplemento de 120° é 
dado por 180° 2 120° 5 60°.
Portanto, sen 120° 5 sen 60° 5 
dXX 3 ___ 2 .
Exemplo
O cos 135° é determinado pela relação 
cos x 5 2cos (180° 2 x), pois 135° é um 
ângulo obtuso. O suplemento de 135° é 
dado por 180° 2 135° 5 45°.
Portanto, cos 135° 5 2cos 45° 5 2 
dXX 2 ___ 2 .
2. Seno e cosseno de ângulos obtusos 
Utilizando as relações trigonométricas é possível resolver problemas que 
envolvem qualquer triângulo. Quando se trabalha com triângulos que não 
são retângulos, porém, pode acontecer de um de seus ângulos internos ser 
obtuso, ou seja, a medida desse ângulo ser maior que 90°. De fato:
Seja ABC um triângulo, com ângulos internos de medidas a, b e g.
Ângulo	agudo
É um ângulo cuja medida está 	`
compreendida entre 0° e 90°.
Ângulo	reto
É um ângulo cuja medida é 90°.	`
Ângulo	obtuso
É um ângulo cuja medida 	`
está compreendida entre 
90° e 180°.
Ângulos	complementares
Dois ângulos são 	`
complementares se, e 
somente se, a soma de suas 
medidas é igual a 90°. Neste 
caso, diz-se que um é o 
complemento do outro.
90° � �
�
Ângulos	suplementares
Dois ângulos são 	`
suplementares se, e 
somente se, a soma de suas 
medidas é igual a 180o. 
Neste caso, diz-se que um é 
o suplemento do outro.
180° � �
�
Para	recordar
Exercícios propostos
Determine os valores de seno e cosseno, conforme 8.	
indicado, dos seguintes ângulos obtusos. 
a) sen 170° d) sen 140°
b) sen 125° e) cos 145° 
c) cos 175° f) cos 165° 
Julgue as sentenças abaixo como verdadeiras ou 9.	
falsas, justificando.
a) sen 135° . sen 45° e) cos 130° , cos 50°
b) sen 170° , sen 10° f) cos 150° . sen 30°
c) sen 165° 5 sen 15° g) cos 30° . sen 60°
d) cos 120° 5 cos 60° h) sen 45° 5 cos 135°
A
C
B
�
�
�
a 1 b 1 g 5 180°
Observação
Essas relações serão estudadas no capítulo sobre ciclo trigonométrico. 
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15
Ângulos inscritos
Se, em uma mesma `
circunferência, dois ângulos 
inscritos têm o mesmo arco 
correspondente, então esses 
ângulos são congruentes.
M
P
Pˆ
Nˆ
QN
Portanto, de acordo com a 
figura 
 ^ 
 N​ > 
 ^ 
 P​.
Triângulos inscritos
Todo triângulo inscrito `
em uma circunferência, 
tal que um de seus lados 
corresponde ao diâmetro, 
será um triângulo retângulo.
A
C
r O
r
D
B
Na figura, os triângulos ABD 
e BCD são retângulos, pois 
um de seus lados (o lado 
___
 BD​) 
corresponde ao diâmetro da 
circunferência.
Para recordar
3. Lei dos senos
Em geral, os problemas de geometria que envolvem triângulos estão re-
lacionados com a determinação das medidas de seus lados e ângulos.
Na maioria dos casos, esses problemas poderão ser resolvidos aplican-
do a lei dos senos e a lei dos cossenos, que serão apresentadas a seguir. 
Nesses casos será necessário dispor de apenas uma destas três informa-
ções: três lados; dois lados e um ângulo; ou dois ângulos e um lado.
A partir do vértice B, constrói-se o diâmetro 
___
 BD . Dessa maneira ficam de-
terminados os triângulos retângulos ABD e BCD. Observe que:
 ƒƒ
 ^ 
 A > 
 ^ 
 E e 
 ^ 
 C > 
 ^ 
 D , pois são ângulos inscritos que têm o mesmo arco corres-
pondente;
BDƒƒ 5 2r, pois representa um diâmetro da circunferência.
Como 
 ^ 
 A > 
 ^ 
 E , segue que sen 
 ^ 
 E 5 sen 
 ^ 
 A 5 a ___ 
2r
 Æ a _____ 
sen 
 ^ 
 A 
 5 2r.
 Analogamente, como 
 ^ 
 C > 
 ^ 
 D , então 
sen 
 ^ 
 C 5 sen 
 ^ 
 D 5 c ___ 
2r
 Æ c _____ 
sen 
 ^ 
 C 
 5 2r.
Em seguida constrói-se, a partir do vértice A, o 
diâ metro 
___
 AE . Assim, determina-se o triângulo retân-
gulo ACE. Observe que:
 ƒƒ
 ^ 
 B > 
 ^ 
 F , pois são ângulos inscritos que têm o mes-
mo arco correspondente;
AEƒƒ 5 2r, pois representa um diâmetro da circun-
ferência.
 Portanto, como 
 ^ 
 B > 
 ^ 
 F , então 
sen 
 ^ 
 B 5 sen 
 ^ 
 F 5 b ___ 
2r
 Æ b _____ 
sen 
 ^ 
 B 
 5 2r.
Assim, fica provada a lei dos senos, que pode ser resumida pela seguinte 
expressão.
 a _____ 
sen 
 ^ 
 A 
 5 b _____ 
sen 
 ^ 
 B 
 5 c _____ 
sen 
 ^ 
 C 
 5 2r
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos se-
nos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da 
circunferência circunscrita a esse triângulo. 
Teorema
Demonstração
Considere um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c e ângulos 
internos de medidas 
 ^ 
 A , 
 ^ 
 B e 
 ^ 
 C , inscrito em uma circunferência de centro O 
e raio R.
c
a
b
A
CB
O
Aˆ
Bˆ Cˆ
D
C
r O
a
c
r b
A
B
Aˆ
Cˆ
Dˆ
Eˆ
A
E
O
Fˆ
r
rBˆ
c b
CB
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Exercícios propostos
Exercícios resolvidos
x2
R
A
CB
O
45°
M
N P
30°60°
30 cm x
16
Trigonometriaem triângulos quaisquer1
Um avião está voando a 5 000 m de altura. Um pas-17. 
sageiro avista o topo de dois prédios A e B a sua 
frente sob ângulos de depressão de 30° e de 75°, 
respectivamente, conforme mostra a figura. Saben-
do que os prédios têm 100 m de altura, determine a 
distância entre esses prédios.
O triângulo 13. XYZ está inscrito em uma circunferência 
de centro O e raio R. De acordo com os dados da figu-
ra, determine a medida do raio da circunferência.
Um triângulo 14. KLM​está inscrito em uma circunfe-
rência de raio 4. Se L​
​^ ​
​K​M 5 30°, determine a medi-
da do segmento 
___
 LM​.
Na figura, 15. AB 5 12 cm, AC 5 9 cm e A​
​^ ​
​C​B 5 30°. De-
termine o seno do ângulo 
 ^ 
 B​.
O quadrilátero 16. ABCD da figura é um retângulo. Sa-
be-se que a medida de 
___
 BD​ é igual a 12 cm e que 
A 
 ^ 
 B​D​5 30°. Chamando de a a medida do ângulo 
A​
​^ ​
​E​D e x a medida do segmento 
___
 BE​, determine o va-
lor de x, quando a 5 60°.
No triângulo 18. RST abaixo determine a medida ST 5 x, 
sabendo que sen 105° 5 
dXX 6 1 dXX 2 ________ 4 .
Investigação.19. Em dupla, deve-se construir um triângu-
lo com varetas que possuam medidas iguais a 20 cm, 
24 cm e 30 cm. Cada integrante deve medir um dos ân-
gulos com um transferidor e em seguida utilizar essa 
medida para calcular a dos outros dois ângulos pela lei 
dos senos. Durante os cálculos, os integrantes não de-
vem trocar informações. Após os cálculos, os integran-
tes deverão comparar os resultados.
a) Os resultados são exatamente iguais?
b) Discutam quais etapas do processo de cálculo de-
vem ter contribuído para eventuais diferenças e 
discutam o que pode ser feito para minimizá-las.
R
X
ZY
O
60°
2 3
30°
75°
A B
A
CB
^
30°B
12 9
45° 30°
S x
2 m
T
R
D
A B
C
E
Considerar o triângulo 11. ABC inscrito na circunferên-
cia de centro O. De acordo com as informações da 
figura, determinar o raio R da circunferência. 
Resolução
Pela lei dos senos, tem-se que AB​_________ 
sen (A​
​^ ​
​C​B)
 5 2R Æ 
Æ 
dXX 2 ________ sen 45° 5 2R Æ 
 dXX 2 ___ 
 
dXX 2 ___ 2 
 5 2R Æ R 5 1.
Em um triângulo 12. MNP, MN​5 30 cm, M​
​^ ​
​N​P 5 60° e 
M​
​^ ​
​P​N 5 30°. Determinar a medida do lado MP.
Resolução
De acordo com o enunciado, tem-se a seguinte 
situação:
Pela lei dos senos, verifica-se que:
​​ MN​__________ 
sen (M​
​^ ​
​P​N)
 5 MP​__________ 
sen (M​
​^ ​
​N​P)
 Æ 30 ________ sen 30° 5 
x​________ sen 60° Æ
 30 ___ 
 1 __ 2 
 5 x​___ 
 
dXX 3 ___ 2 
 Æ x 5 30 dXX 3 cm.
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17
4. Lei dos cossenos 
O teorema de Pitágoras se mostra muito eficiente na determinação das 
medidas dos lados de triângulos. Entretanto, sua utilização é limitada aos 
triângulos retângulos.
Será estudado a seguir outro teorema importante, chamado de lei dos cos-
senos, que será utilizado com a mesma finalidade do teorema de Pitágoras, 
porém valerá para quaisquer triângulos. Considere para a construção de um 
triângulo os seguintes elementos.
Duas varetas de comprimentos ƒƒ a e b, fixadas em uma de suas extremidades 
(ponto O) de modo que seja possível apenas a rotação em torno desse ponto. 
Um barbante, de comprimento ƒƒ c, fixado na outra extremidade de cada 
vareta.
 ƒƒ
 ^ 
 O o ângulo entre as varetas a e b.
O quadro a seguir ilustra todas as possíveis situações para a construção de 
um triângulo.
a 5 90° a , 90° a . 90°
O b
a
c
O b
a c
O b
a
c
Teorema de Pitágoras 
c2 5 a2 1 b2
Se o ângulo formado pelas varetas é igual 
a 90°, verifica-se que c2 é igual à soma de 
a2 com b2. 
Essa relação é verificada pelo teorema de 
Pitágoras.
c2 , a2 1 b2ƒouƒ
c2 5 a2 1 b2ƒ 2algo
Se o ângulo formado pelas varetas for 
menor que 90°, ou seja, se for um ângulo 
agudo, verifica-se que c2 é menor que a 
soma de a2 com b2. Mas, se for subtraído um 
número apropriado da soma de a2 com b2, o 
valor restante poderá ser igual a c2.
c2 . a2 1 b2ƒouƒ
c2 5 a2 1 b2ƒ 1algo
Se o ângulo formado pelas varetas for maior 
que 90°, ou seja, se for um ângulo obtuso, 
verifica-se que c2 será maior que a soma de 
a2 com b2. Mas, se for adicionado um número 
apropriado à soma de a2 com b2, o valor 
restante poderá ser igual a c2.
A seguir, será demonstrado que esse “algo” que deverá ser adicionado ou 
subtraído é a expressão 2 ? a ? b ? cos 
 ^ 
 O .
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o 
produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
Teorema
A demonstração do teorema será feita em duas etapas. 
Na primeira etapa será considerado o caso em que o triângulo é acutângu-
lo, ou seja, quando todos os ângulos são agudos.
Na segunda etapa será estudado o caso em que o triângulo é obtusângulo, 
ou seja, quando o triângulo tem um ângulo obtuso.
Assim, todos os triângulos possíveis serão estudados, e o resultado obtido 
em cada etapa é a lei dos cossenos.
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18
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo
A
B
Bˆ
D
C
a
m n
h
c b
BD
b
p a
q
ch
180º � B^
C
A
Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo 
acutângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se 
dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as 
seguintes relações: 
ACD : b2 5 n2 1 h2​ I
ABC : c2 5 m2 1 h2 Æ h2 5 c2 2 m2 II
Substituindo a equação II em I tem-se 
b2 5 n2 1 c2 2 m2 III
Da figura, sabe-se que a 5 m 1 n, então 
n 5 a 2 m 
Substituindo na equação III obtém-se
b2 5 (a 2 m)2 1 c2 2 m2 5
5 a2 2 2am 1 m2 1 c2 2 m2 5
5 a2 2 2am 1 c2​ IV
Como cos 
 ^ 
 B​ 5 m​__ c​​ tem-se m 5 c ? cos 
 ^ 
 B​; substituindo em IV 
conclui-se que
b2 5 a2 2 2 ? a ? c ? cos 
 ^ 
 B​ 1 c2
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos 
 ^ 
 B​
Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo 
obtusângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se 
dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as 
seguintes relações:
ACD: 
b2 5 h2 1 q2​ I
q 5 p 1 a​ II
Substituindo a equação II em I, tem-se
b2 5 h2 1 (p 1 a)2 Æ b2 5 h2 1 p2 1 2pa 1 a2​ III
No triângulo ABD são válidas as relações:
ACD: 
c2 5 h2 1 p2
cos (180° 2 
 ^ 
 B​) 5 
p
​__ c​​ Æ
 p 5 c ? cos (180° 2 
 ^ 
 B​) IV
Então, substituindo as equações de IV em III, obtém-se
b2 5 c2 1 2pa 1 a2 5
5 c2 1 2 ? a​?​c​? cos (180° 2 
 ^ 
 B​) 1 a2​ V
Como cos (180° 2 
 ^ 
 B​) 5 2cos 
 ^ 
 B​, substituindo em V​tem-se:
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos 
 ^ 
 B​
Demonstração da lei dos cossenos
De acordo com a figura abaixo, determinar o va-20. 
lor da medida do lado BC.
Exercício resolvido
(BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2 2 2 ? (AB) ? (AC) ? cos (B​
​^ ​
​A​C) 5
5 (8)2 1 (12)2 2 2 ? (8) ? (12) ? cos (120°)
Como 120° é um ângulo obtuso, o seu cosseno é 
determinado por:
cos x 5 2cos (180° 2 x) Æ cos 120° 5 
5 2cos (180° 2 120°) 5 2cos (60°) 5 2 1 __ 2 
Substituindo o valor do cosseno de 120° na ex-
pressão encontrada, conclui-se que
(BC)2 5 64 1 144 2 192 ? ( 2 1 __ 2 ) 5 304
BC 5 dXXXX 304 5 4 dXXX 19 
Resolução
Como são conhecidas as medidas dos lados AB e 
AC e do ângulo entre eles, é possível determinar a 
medida de BC utilizando a lei dos cossenos. Então:
B
8 12120°
C
A
Observação
Para os triângulos retângulos aplica-se a lei dos cossenos sobre o ângulo de 
90°. Será mostrado nos capítulos seguintes que cos 90° é igual a zero. Assumin-
doessa informação e aplicando a lei dos cossenos, verifica-se que: 
c2 5 a2 1 b2 2 2 ? a ? b ? cos 90° Æ c2 5 a2 1 b2
Portanto c2 5 a2 1 b2.
Note que o resultado obtido é exatamente o teorema de Pitágoras. Com isso 
prova-se a veracidade da lei dos cossenos também para triângulos retângulos.
50
4P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 18 29.08.09 11:00:20
19
Exercícios propostos
B
4 5
�
C
A
4 3
Na figura, 26. ABCD é um quadrilátero qualquer. 
Utilizando os dados da figura, determine a me-
dida 
___
 BC​.
Em um triângulo 21. ABC, sabe-se que AC 5 8 cm e 
BC 5 6 cm. Além disso, é conhecida a medida do 
ângulo A​
​^ ​
​C​B, que vale 60°. Nessas condições, de-
termine a medida de 
___
 AB​.
De acordo com a figura, determine cos 22. a.
O triângulo a seguir representa um canteiro delimi-23. 
tado pelas ruas representadas por 
___
 AB​, 
___
 BC​ e 
___
 AC​. 
De acordo com os dados da figura, qual é o compri-
mento da rua representada por 
___
 AC​?
O quadrilátero 24. ABCD representa uma praça na for-
ma de um trapézio. 
Deseja-se construir uma cerca representada pela a 
diagonal 
___
 BD​. O responsável pela compra do mate-
rial se equivocou e comprou 50% de material a mais 
do que o necessário para a construção da cerca. Ele 
comprou material para quantos metros de cerca?
O quadrilátero 25. RSTV abaixo é um paralelogramo. 
Utilizando as informações fornecidas na figura, de-
termine a medida da diagonal 
___
 VS​.
Construa, utilizando um compasso, um triângulo 27. 
com lados de medidas iguais a 3 cm, 4 cm e 5 cm.
a) Indique qual é o menor ângulo desse triângulo.
b) Calcule o valor do cosseno do ângulo indicado 
no item anterior.
A figura representa um mapa em escala 1 : 1 000, 28. 
indicando três pontos em uma selva. Os lados 
do triângulo representam os possíveis caminhos 
para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo 
de amigos está na posição representada pelo 
ponto A. Quanto eles irão percorrer para chegar 
à posição representada pelo ponto C, sabendo 
que utilizarão o caminho mais curto? 
Investigação.29. Em duplas, providencie seis vare-
tas com 32 cm de comprimento, um transferidor 
e uma régua.
Um integrante da dupla deverá cortar três das 
varetas nos seguintes comprimentos: 20 cm, 
28 cm e 32 cm. O outro integrante deverá cortar 
as outras três varetas nas medidas: 12 cm, 28 cm 
e 32 cm de comprimento. Em seguida, cada um 
deverá juntar suas respectivas varetas e formar 
um triângulo. 
a) Com o transferidor, meça os três ângulos inter-
nos do triângulo formado.
b) Utilizando a lei dos cossenos, calcule os três ân-
gulos internos desse triângulo.
c) Verifique se os resultados obtidos nos itens an-
teriores são os mesmos.
d) Compare os seus resultados com os do colega 
da dupla. Os triângulos formados têm ângulos 
em comum?
C
BA
D
60° 45°
30°
8 6
3
8 3
A
x 200 m
60°
B
C
100 m
BA
C
30°
4 cm
4 3 cm
A B
CD
15 m
60°
8 m
T
SR
V
8
45°
12
4P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 19 29.08.09 11:00:21
20
Exercícios complementares
1 Trigonometria em triângulos quaisquer
Algumas relações em triângulos 
retângulos
Uma reta 30. r tangencia duas circunferências de 
raios 6 dm e 4 dm, nos pontos P e Q. As distân-
cias entre os centros A e B é de 14 dm, como mos-
tra a figura.
Lei dos senos e lei dos cossenos
Em um triângulo 35. ABC, sabe-se que os lados 
___
 AB​ e ___
 BC​ medem, respectivamente, 4 cm e 6 cm. O ângu-
lo entre esses dois segmentos mede 35°. Determi-
ne a medida do lado 
___
 AC​.
No mapa abaixo, está representado o quarteirão 36. 
ABCD. Deseja-se construir um calçadão retilíneo para 
pedestres ligando os vértices A e C. Sabendo que 
AD 5 400 m, DC 5 300 m e que a medida de A​
​^ ​
​D​C 
é 130°, determine o comprimento desse calçadão.
Com base nessas informações, determine:
a) a distância entre P e Q.
b) cos B​
​^ ​
​P​Q.
c) sen A​
​^ ​
​Q​P.
O diâmetro da circunferência da figura abaixo 31. 
mede 5 m. O ponto O é centro da circunferência, o 
ponto T é o ponto de tangência e P é um ponto da 
circunferência. Nessas condições, determine a dis-
tância PQ 5 d.
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Calcule o valor do seno e do cosseno dos seguin-33. 
tes ângulos.
a) 110° c) 137° e) 160°
b) 105° d) 142° f) 95°
Qual é o valor da expressão abaixo?34. 
 sen 135° 1 cos 120° 2 sen 150° 2 cos 135° _______________________________________ cos 60° 1 cos 45° 2 sen 30° 
 Em um triângulo 37. ABC são conhecidas as medidas 
de dois de seus lados, AC 5 3 m e BC 5 4 m. Cha-
mando de a o ângulo B​
​^ ​
​A​C, formado pelos lados AC 
e AB, responda.
a) Se AB 5 3 m, calcule o valor de cos a.
b) Se sen (A​
​^ ​
​B​C) 5 1 __ 4 , calcule o valor de sen a.
 João possui um terreno quadrangular 38. MNPQ e de-
seja construir um jardim limitado pelos segmentos ___
 MQ​, 
___
 QN​ e 
___
 MN​, cujas medidas estão indicadas na fi-
gura, em metros. Para que seu cachorro não des-
trua as suas plantas, João irá construir uma cerca 
em torno do jardim. Determine quantos metros de 
cerca João deverá construir.
Calcule, de acordo com a figura abaixo, a medida 39. 
do lado 
___
 AC​ e o seno do ângulo B​
​^ ​
​C​A.
r
QP
A
B
4 dm6 dm
14 dm
R. Nazaré Paulista
R
. B R
. Leite
R. Bernarda Luis R
. R
au
l A
da
lb
er
to
R
. M
e.
 A
n
g
él
ic
a 
R
es
en
d
e
R
.L
iv
i
R. Eng.
C
am
po
s
d
e
M
ario
Praça José
Alves Nendo
D
C
A B
QP d
T
6 m
O
3
6
y
B C
A
x � 1
x � 2
120°
x
M
Q
N
P
4
8
A
B C
60°
Na figura, as medida do triângulo 32. ABC estão dadas 
em centímetros. De acordo com a figura, qual é o 
valor de y? 
Para incluir esta página 
no sumário, clicar + shift + 
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4P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 20 29.08.09 11:00:21
21
Os triângulos 40. ABC e DEF abaixo são semelhantes. 
Determine a medida do segmento 
___
 DE , sabendo que 
as dimensões dos triângulos ABC e DEF estão na 
razão de 1 : 2.
Um triângulo equilátero está inscrito em uma cir-41. 
cunferência de raio 3. Determine a medida do lado 
desse triângulo.
O triângulo abaixo foi construído em uma malha 42. 
quadriculada, onde cada quadrado mede 1 cm de 
lado. Determine o cosseno do ângulo 
 ^ 
 A .
Na figura a seguir, o triângulo43.  PQR está inscrito na 
circunferência de centro O e raio 4. Com base nos 
dados da figura, determine a medida do lado 
___
 PQ .
No triângulo a seguir determine o valor de 44. x.
Os lados de um triângulo têm como medidas núme-45. 
ros inteiros consecutivos cuja soma é 15.
a) Calcule a medida do maior ângulo desse triân-
gulo.
b) Calcule a medida do menor ângulo desse triân-
gulo.
c) Se o seno do menor ângulo mede 
dXX 7 ___ 4 , determine 
o seno do maior ângulo.
 A NASA (Agência Espacial Norte-Americana) utiliza 46. 
braços mecânicos para ajudar nos reparos externos 
da espaçonave, como mostra a fotografia abaixo. 
A figura abaixo esquematiza uma determinada po-
sição do braço mecânico.
a) De acordo com os dados da figura, determine a 
distância entre os pontos A e D.
b) Mantendo fixas as posições de B, C e D, analise o 
que ocorre com a medida da distância entre A e 
D quando alteramos o ângulo A 
 ^  
 B D.
Desafios de lógica
Um triângulo é formado por dez botões e está 47. 
apontando para cima. Mova apenas três botões 
para fazer o triângulo apontar para baixo.
Mexa apenas um palito para obter uma expres-48. 
são correta.
a)
b)
A
B C
50
30°37°
D
E F30°
37°
B
A
C
CA2 m
5 m
25°
20°
140°
D
B
P
RQ
O
75°
4
45°
M
x
6 6
PN 15°15°
3P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 21 26.08.09 19:06:48
1 Trigonometria em triângulos quaisquer
Integre o aprendizado
22
Algumas grandezas da Física, para ficarem com-49.	
pletamente definidas, requerem três atributos: 
módulo, direção e sentido. Essas grandezas são 
chamadas de grandezas vetoriais. O símbolo que 
representa uma grandeza vetorial é chamado de 
vetor. Sejam 
 ___
 
›
 V  1 e 
 ___
 
›
 V  2 dois vetores. A soma desses ve-
tores é um terceiro vetor chamado de vetor resul-
tante ( 
 ___
 
›
 V  R), ou seja, 
 ___
 
›
 V  R 5 
 ___
 
›
 V  1 1 
 ___
 
›
 V  2.
Para determinar o vetor resultante, utiliza-se a regra 
do paralelogramo, que consiste em colocar as origens 
dos dois vetores em um mesmo ponto e construir um 
paralelogramo, com segmentos paralelos a esses ve-
tores. O vetor soma (ou vetor resultante) será repre-
sentado pela diagonal do paralelogramo, cuja origem 
também coincide com a dos dois vetores.
a) Sabendo que o custo de construção da pista de 
cooper é de RS|| 150,00 para cada metro de com-
primento da pista, determine o valor total a ser 
gasto nessa construção.
b) Responda sem fazer contas: se o ângulo medir 
145°, o custo da pista deve ser maior ou menor 
que a do item anterior? Por quê?
A figura a seguir representa um balão preso por 51.	
meio de dois cabos, nos pontos A e C. 
a) Com base nessas informações, desenhe em seu ca-
derno o vetor resultante da soma dos vetores repre-
sentados abaixo e determine o valor de seu módulo.
b) Forme um grupo de cinco alunos. Utilizando ve-
tores de mesmo módulo do item anterior, cada 
um deverá representar em uma folha separada 
a resultante das forças para um dos seguintes 
ângulos: 50°, 40°, 30°, 20° e 10°. Compare os 
resultados. O que acontece com o comprimento 
das resultantes? 
c) Determine os valores das resultantes e verifique 
se os resultados obtidos são coerentes com as 
conclusões do item anterior.
Em uma cidade há uma praça em forma de um cír-50.	
culo de centro C e raio 2 km. O prefeito mandou 
construir uma pista de cooper, representada na fi-
gura abaixo pelo segmento 
___
 AB . 
a) Se o ângulo formado pelos dois cabos é de 138°, 
determine a distância entre os pontos A e C.
b) O que aconteceria com o ângulo entre os cabos 
se, mantendo a distância entre os pontos A e C, 
fossem reduzidos seus comprimentos?
c) Se a distância entre os pontos A e C for reduzi-
da, o que acontece com o valor do ângulo forma-
do pelos cabos? Justifique.
Um trator ficou atolado em uma estrada de terra. 52.	
Para retirá-lo, foram amarradas duas cordas para 
que dois ônibus pudessem puxá-lo para fora da es-
trada, como ilustra a figura.
a) Determine a força resultante (o vetor resultante) 
equivalente a essas duas forças.
b) Para desatolar o trator é necessário que a for-
ça resultante seja maior do que 23 N. Conforme 
o esquema representado, os ônibus conseguirão 
desatolá-lo? Em caso negativo, forneça um novo 
ângulo entre as forças com que os ônibus pos-
sam desatolar o trator.
c) Em que situação se obtém a melhor concentra-
ção de forças? Justifique.
VRV1
V2
60°
10
8
C
135°
B A
B
100 m 75 m
F1 5 10 N F2 5 10 N20°
A C
Para incluir esta página 
no sumário, clicar + shift + 
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transparente abaixo 
4P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 22 29.08.09 11:07:33
23
C
B A
�
E
D
F
�
Considere um relógio circular de ponteiros. Do cen-53.	
tro às extremidades, o ponteiro dos minutos mede 
20 cm, e o das horas mede 10 cm.
a) Determine a distância entre as extremidades 
dos ponteiros quando o relógio marca 5 horas.
b) Indique um horário em que a distância entre as 
extremidades dos ponteiros seja de 10 dXX 3 cm.
A pirâmide regular representada abaixo tem base 54.	
quadrada de lado 5 dXX 2 cm e altura 12 cm. 
a) Determine o cosseno de B 
 ^  
 A C, ângulo formado 
por duas arestas laterais consecutivas.
b) Para que o ângulo do item anterior seja maior, o 
que deve acontecer com a altura da pirâmide?
a) O que se pode aplicar para determinar as medi-
das dos segmentos 
___
 BC  e 
___
 DF ?
b) Para qual intervalo de valores de b o triângulo 
ABC é acutângulo?
c) Na figura ao lado, tem-se 
uma circunferência de raio 
10 e centro O. Associe os tri-
ângulos representados com 
os triângulos ABC e DEF. 
d) Qual é a medida do ângulo 
M 
 ^  
 P N?
e) Se BC 5 x e DF 5 y, qual é o valor de x2 1 y2?
Expressão	e	linguagem	matemática
1.	 Observe
O esquema acima mostra que, ao variar em 1 unidade a medida de um 
dos lados do triângulo retângulo, mantendo as medidas dos outros la-
dos, obtém-se outro triângulo diferente do primeiro. Observe que hou-
ve uma transformação geométrica do seguinte modo: a transformação 
da medida de um único lado implica na transformação do ângulo reto.
A
C
B
P
NM
O 1010
4
3
5
a2 � b2 � c2
4
4
�
5
a2 ? b2 � c2
4
2�
5
a2 ? b2 � c2
Subtrai-se
1 unidade
Acrescenta-se
1 unidade
As figuras abaixo representam um triângulo acu-55.	
tângulo ABC e um triângulo obtusângulo DEF, 
sendo a um ângulo obtuso. Sabe-se ainda que 
AB 5 AC 5 ED 5 EF 5 10 e que a e b são ângulos 
suplementares. Com base nessas informações res-
ponda às seguintes questões.
2.	 Reflita
Simule mentalmente outras trans- 	ƒ
formações geométricas no triân-
gulo retângulo, sempre acrescen-
tando ou subtraindo 1 unidade de 
apenas um de seus lados. Que 
relação você imagina que possa 
existir entre a transformação da 
medida do lado e a transformação 
do ângulo reto?
A mesma transformação geomé-	ƒ
trica acima pode ser interpretada 
também algebricamente. Como fica 
a sentença algébrica a2 5 b2 1 c2 
após a transformação geométrica?
3.	 Investigue
Teste o fato geométrico acima com 	ƒ
outros triângulos retângulos sem-
pre utilizando a simulação mental.
Verifique se em todas as simula-	ƒ
ções feitas por você a validade 
das sentenças algébricas se con-
firmam.
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Estratégias e soluções
24
Quem	está	falando	a	verdade?
André, Bruno e 
Cláudia estavam 
jogando futebol 
quando um 
deles deu um 
chute forte e a 
bola acertou a 
vidraça...
Alguma das crianças está falando a verdade? Qual?
»	Identificação	e	registro	de	informações
	 Considere as falas das personagens na segunda cena para responder às próximas qua-
tro questões.
1.	 Quais possibilidades de resposta para esse problema você imagina que possam ocorrer?
2.	Se o André estiver mentindo, o que se pode concluir de imediato?
3.	E se o Bruno estiver mentindo, qual é a conclusão imediata? 
4.	Se a Cláudia estiver mentindo, isso significa que o André e o Bruno estão falando a ver-
dade?
»	Elaboração	de	hipóteses	e	estratégias	de	resolução
1.	 Considerando suas respostas anteriores, elabore todas as hipóteses para a resposta do 
problema, registrando-as em seu caderno. 
2.	Teste as hipóteses que você elaborou, confrontando cada uma com a fala das três crian-
ças na segunda cena. 
3.	Alguma das três crianças está falando a verdade? Quem? Justifique sua resposta.
4.		Qual das três crianças chutou a bola?
»	Reflexão
1.	 É possível obter a solução do problema utilizando outra estratégia? Descreva-a.
2.	Você já conhecia problemas como este? Descreva-os.
3.	Um problema semelhante a este pode ser obtido considerando um único personagem 
que acusa a si próprio de mentiroso, como no quadro ao lado. Nesse caso, André está 
mentindo ou falando a verdade?
4.	A simplificação da situação apresentada tornou o problema mais simples? Justifique.
5.		É possível resolvê-lo? Explique.
	Resolva osproblemas 1 e 8 das páginas 366 e 367.
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25
Roteiro de estudos
Considere ƒƒ x um ângulo obtuso qualquer. Para determi-
nar senos e cossenos de ângulos obtusos, podem-se 
utilizar as seguintes relações.
sen x 5 sen (180° 2 x)
cos x 5 2cos (180° 2 x)
Desafioƒ1  Determine o valor de x para que as seguintes 
expressões sejam verdadeiras:
a) sen (180° 2 x) 5 cos (180° 2 x)
b) |sen (180° 2 x)| 5 |cos (180° 2 x)|
Desafioƒ2  Coloque os valores indicados abaixo em or-
dem crescente.
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 8 e 
9 e com os exercícios complementares 30 a 34.
Resolva o exercício 30 de Vestibular e Enem.
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de ƒƒ
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros dois lados, menos duas vezes o produto 
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
Desafioƒ4  Considere o triângulo abaixo.
a b
c
Sabe-se que os lados do triângulo estão em centímetros 
e que são válidas as relações a seguir.
3 ƒƒ ? a 5 8 ? c 
3 ƒƒ ? b 5 10 ? c
Qual é o valor aproximado do ângulo interno oposto ao 
lado que mede a centímetros?
Lei dos cossenos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 
21 ao 29 e com os exercícios complementares 35, 
37 e 38.
Resolva os exercícios 21, 33 e 39 de Vestibular e 
Enem.
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são ƒƒ
proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essas 
razões são iguais à medida do diâmetro da circunfe-
rência circunscrita a esse triângulo.
A
CB
O
a
c b
A^
C^B
^
R
​​ a​______ 
sen 
 ^ 
 A​
​​ 5 b​_____ 
sen 
 ^ 
 B​
​​ 5 c​_____ 
sen 
 ^ 
 C​
​​ 5 2R
Desafioƒ3  Uma bijuteria é moldada na forma de uma 
estrela regular de quatro pontas. Para ajudar a moldar 
essa bijuteria, são utilizadas duas circunferências, de 
modo que a maior tem raio igual a 4 cm. Com base nes-
sas informações e conforme a figura abaixo, determine o 
perímetro da estrela.
Lei dos senos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 
13, 15, 16 e 18 e com os exercícios complementares 
40 e 43.
Resolva o exercício 38 de Vestibular e Enem.
30°
B a
c
b
C
A
B^
b2 5 a2 1 c2 2 2 ?​a ? c ? cos ​
​^ ​
​B​
sen 120° sen 150° sen 135° sen 100°
 cos 120° cos 135° cos 150° 
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