Questões de Exame Resolvidas Matemática A 12 º ano Probabilidades e Combinatória

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Questões
 de Exam
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Resolvida
s
Matemática
 A
Probabilidad
es e Combina
tória12.º ano
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Resumo Teórico 
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 6
 1.1. Princípios fundamentais da contagem 6
 1.2. Arranjos e combinações 10
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 24
 2.1. Triângulo de Pascal 24
 2.2. Binómio de Newton 27
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 29
 3.1. Experiência aleatória. Espaço de resultados. 
Acontecimentos 29
 3.2. Regra de Laplace 34
4. Definição axiomática de probabilidade. 
Probabilidade condicionada. 
Acontecimentos independentes 43
 4.1. Definição axiomática de probabilidade 43
 4.2. Probabilidade condicionada 48
 4.3. Probabilidade da interseção de dois 
acontecimentos 54
 4.4. Teorema da probabilidade total 55
 4.5. Acontecimentos independentes 59
5. Distribuições de probabilidades 62
 5.1. Distribuição de probabilidades 62
 5.2. Distribuição binomial 68
 5.3. Distribuição normal 71
Índice
I S B N 9 7 8 - 9 8 9 - 7 4 0 - 0 2 4 - 7
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Questões de Exame 
Itens de Seleção 
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 78
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 88
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 92
4. Definição axiomática de probabilidade. 
Probabilidade condicionada. 
Acontecimentos independentes 100
5. Distribuições de probabilidades 113
Itens de Construção 
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 128
2. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 130
3. Definição axiomática de probabilidade. 
Probabilidade condicionada. 
Acontecimentos independentes 143
4. Distribuições de probabilidades 166
Resoluções das Questões de Exame 
Itens de Seleção 
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 181
2. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 190
3. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 194
4. Definição axiomática de probabilidade. 
Probabilidade condicionada. 
Acontecimentos independentes 204
5. Distribuições de probabilidades 214
Itens de Construção 
1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 227
2. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 229
3. Definição axiomática de probabilidade. 
Probabilidade condicionada. 
Acontecimentos independentes 244
4. Distribuições de probabilidades 269
Formulário 288
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Questões de Exame – Itens de Seleção
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1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 
1. Considere todos os números pares com cinco algarismos. 
Quantos destes números têm quatro algarismos ímpares? 1A2 5 * 5C4 1B2 55 1C2 5! 1D2 5 * 5A4 
2. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e 
oito raparigas. 
Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco rapa-
rigas. 
De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? 1A2 12C5 * 8C5 1B2 12A5 * 8A5 1C2 12 * 8 * 52 1D2 12! * 8!
5!
 
3. Na figura ao lado estão representados: o rio que atra-
vessa certa localidade; uma ilha situada no leito desse 
rio; as oito pontes que ligam a ilha às margens. 
H representa a habitação e E a escola de um jovem 
dessa localidade. 
Para efetuar o percurso de ida 1casa-ilha-escola2 e volta 1escola-ilha-casa2, um jovem pode seguir vários cami-
nhos, que diferem uns dos outros pela sequência de 
pontes utilizadas. 
Indique quantos caminhos diferentes pode o jovem seguir, num percurso de ida e volta, 
sem passar duas vezes pela mesma ponte. 1A2 5 * 3 + 4 * 2 1B2 5 * 4 * 3 * 2 1C2 5 + 4 + 3 + 2 1D2 52 * 32 
4. Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira, que terá 
quatro tiras coloridas verticais. 
Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizi-
nhas não podem ser da mesma cor. 
Quantas bandeiras diferentes se podem fazer nestas condições? 1A2 5 * 43 1B2 5 * 4 * 3 * 2 1C2 54 1D2 1 
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1. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 
5. De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes, num banco de sete 
lugares, sabendo que em cada um dos extremos fica uma rapariga? 1A2 120 1B2 240 1C2 720 1D2 5040 
6. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. 
Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas disputadas foi 1A2 10C2 1B2 10C9 1C2 10! 1D2 10 * 9 
7. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros 
123 1por esta ordem2. 
Quantos números de telefone podem existir nessa região? 1A2 107 1B2 104 1C2 74 1D2 10A4 
8. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pre-
tende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na 
mesma fila horizontal. 
De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabu-
leiro, respeitando a condição indicada? 1A2 8 * 8C2 1B2 64C2 1C2 64C2
8
 1D2 8A2 
9. Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos 
de 1 a 9 . Destes números, quantos têm exatamente um algarismo 4 ? 1A2 85 1B2 95 1C2 6 * 85 1D2 6 * 8A5 
10. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. 
Qualquer um dos cinco jovens pode conduzir. 
De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente e três atrás, de modo a 
que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? 1A2 36 1B2 120 1C2 12 1D2 72 
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Questões de Exame – Itens de Seleção
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5. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é: 
xi 1 2 3
P 1X = xi2 a 2a a
Qual é o valor de a ? 1A2 1
5
 1B2 1
4
 1C2 1
3
 1D2 1
2
 
6. Admita que, numa certa escola, a variável “altura das alunas do 12.° ano de escolaridade” 
segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 170 cm . 
Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do 12.° ano dessa escola. 
Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? 1A2 A sua altura é superior a 180 cm . 1B2 A sua altura é inferior a 180 cm . 1C2 A sua altura é superior a 155 cm . 1D2 A sua altura é inferior a 155 cm . 
7. Na figura estão representados os gráficos 
de duas distribuições normais. 
Uma das distribuições tem valor médio a 
e desvio -padrão b . 
A outra distribuição tem valor médio c e 
desvio-padrão d . 
Os gráficos são simétricos em relação à 
mesma reta r . 
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 1A2 a = c e b > d 1B2 a = c e b < d 1C2 a > c e b = d 1D2 a < c e b = d 
8. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela: 
xi 0 2 4
P 1X = xi2 a b b1a e b designam números reais2 
A média da variável aleatória X é igual a 1 . 
Qual é o valor de a e qual é o valor de b ? 1A2 a = 1
2
 e b = 1
4
 1B2 a = 3
5
 e b = 1
5
 1C2 a = 2
3
 e b = 1
6
 1D2 a = 1
2
 e b = 1
6
 
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5. Distribuições de probabilidades 
9. Na figura está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esque-
matizada a seguir. 
 
Lança-se este dado duas vezes. 
Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência: 
X1 : número saído no primeiro lançamento. 
X2 : quadrado do número saído no segundo lançamento. 
X3 : soma dos números saídos nos dois lançamentos. 
X4 : produto dos números saídos nos dois lançamentos. 
Uma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades: 
Valores da 
variável
- 1 0 1
Probabilidades
2
9
 5
9
 2
9Qual delas? 1A2 X1 1B2 X2 1C2 X3 1D2 X4 
10. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3 . 
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. 
Seja X o maior dos números saídos. 
Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X ? 1A2 
xi 2 3
P 1X = xi2 13 23 1C2 
xi 1 2 3
P 1X = xi2 13 13 13 
1B2 
xi 2 3
P 1X = xi2 12 12 1D2 
xi 1 2 3
P 1X = xi2 16 13 12 
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