Aula 10 e 11 - tenções normais em vigas (flexão simples)

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Professor: Carlos Francisco Pecapedra Souza
Contato: pecapedra@utfpr.edu.br
Resistência dos 
Materiais I
Aula 10
Tensões normais e 
tangenciais em vigas
Objetivos da Aula
1. Tensões normais e tangenciais em vigas
1.1.Introdução;
1.2.Análise preliminar de tensões na flexão simples;
1.3.Deformações em vigas sujeitas à flexão simples;
1.4.Tensões no regime elástico;
1.5.Dimensionamento de elementos.
1.1. Introdução
As peças longas, quando submetidas à flexão pura, apresentam 
tensões normais elevada.
Uma barra é sujeita à flexão pura quando submetida à ação de 
dois momentos iguais e de sentidos contrários, que atuam em um 
mesmo plano longitudinal.
1.2. Análise preliminar das tensões na flexão
Consideremos uma barra prismática que contém um plano de 
simetria, sujeita à ação de dois momentos M e M’, que atuam no 
plano de simetria, com intensidades iguais e sentidos opostos.
Hipóteses:
A barra se flexiona sob a ação dos momentos, mas permanece 
simétrica em relação ao plano;
O momento fletor M é o mesmo em qualquer seção, então a barra 
se flexiona de maneira uniforme.
1.2. Análise preliminar das tensões na flexão
Tomando uma seção transversal qualquer ao longo de uma peça 
prismática em flexão pura:
As componentes 𝞽xy e 
𝞽xz são nulas;
A distribuição real de tensões 
na seção transversal é 
estaticamente indeterminada.
(Fx )∑ = 0 → σ x( ) ⋅dA = 0∫
(My )∑ = 0 → z ⋅σ x( ) ⋅dA = 0∫
(Mz )∑ = M → −y ⋅σ x( ) ⋅dA = M∫
Como a seção transversal se mantém plana após a deformação, 
traçando uma linha normal à tangente de cada uma das seções. 
Estas normais se interceptarão no ponto C, conhecido como centro 
de curvatura.
A d i stânc ia do centro de 
curvatura até o eixo neutro é 
denominado raio de curvatura (𝞺). 
O q u a l é i n v e r s a m e n t e 
proporcional a curvatura (k).
κ = 1
ρ
= dθdx
1.3. Deformação de uma barra simétrica
1.3. Deformação de uma barra simétrica
As linhas AB e A’B’, inicialmente retas, se transformam em arcos de 
circunferência de centro C.
1.3. Deformação de uma barra simétrica
As linhas AB e A’B’, inicialmente retas, se transformam em arcos de 
circunferência de centro C.
1.3. Deformação de uma barra simétrica
A intersecção da superfície neutra com uma dada seção 
transversal da barra é chamada linha neutra ou eixo neutro da 
seção;
1.3. Deformação de uma barra simétrica
A partir das observações anteriores é possível concluir que as 
deformações unitárias longitudinais são proporcionais a curvatura e 
variam linearmente em relação a distância y do centro de 
gravidade.
ε x = −
y
ρ
= −κ ⋅ y
1.3. Deformação de uma barra simétrica
Lembrando que elementos submetidos a 
deformações axiais também sofrem 
deformações transversais as quais são 
relacionadas mediante o coeficiente de 
Poisson, portanto:
ε x = −
y
ρ
ε y = ε z = −υ ⋅ε x
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
∴ ε y = ε z =
υ ⋅ y
ρ
1
ρ ' =
υ
ρ
A curvatura anticlástica é dada por:
1.4. Tensão no regime elástico
Se o momento fletor M tem valor tal que as tensões normais se 
mantêm abaixo do limite de proporcionalidade, a lei de Hooke (para 
o estado uniaxial de tensões) pode ser aplicada. Assim é possível 
afirmar que as tensões axiais também variam linearmente em 
relação a distância y do centro de gravidade.
σ x = E ⋅ε x = −
E ⋅ y
ρ
= −E ⋅κ ⋅ y
Da primeira equação temos: Isso significa que, para barras 
submetidas à flexão pura 
(dentro do regime elástico 
linear) a linha neutra passa 
pelo centro geométrico da 
seção.
1.4. Tensão no regime elástico
(Fx )∑ = 0 → σ x( ) ⋅dA = 0∫
(My )∑ = 0 → z ⋅σ x( ) ⋅dA = 0∫
(Mz )∑ = M → −y ⋅σ x( ) ⋅dA = M∫
σ x( ) ⋅dA = 0∫
σ x = −
E ⋅ y
ρ
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
− E
ρ
(y) ⋅dA = 0∫
Da terceira equação temos:
1.4. Tensão no regime elástico
(Fx )∑ = 0 → σ x( ) ⋅dA = 0∫
(My )∑ = 0 → z ⋅σ x( ) ⋅dA = 0∫
(Mz )∑ = M → −y ⋅σ x( ) ⋅dA = M∫
−y ⋅σ x( ) ⋅dA = M∫
σ x = −
E ⋅ y
ρ
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
∴ − E
ρ
(y2 ) ⋅dA = M∫
1
ρ
= − ME ⋅ I
 
1.4. Tensão no regime elástico
A tensão axial pode ser obtida pela equação:
 σ x = −
E ⋅ y
ρ
→ 1
ρ
= − σ xE ⋅ y
1
ρ
= − ME ⋅ I
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
∴ σ x = −
M ⋅ y
I
Pode ser observado que as tensões 
máximas atuantes sobre a viga ocorrem 
nas extremidades, superior e inferior, 
onde:
σ 1 = −M /W1
σ 2 = M /W2
Exemplo 1 - Para a viga biapoiada determine a carga máxima 
admissível P sabendo que a tensão normal admissível à tração e à 
compressão são iguais a 140 MPa.
1.1. Exercícios de tensões na flexão simples.
Exemplo 2 - Dimensionar a altura da viga esquematizada a seguir, 
considerando que a tensão resistente última à tração é de 62,1 
MPa e a tensão resistente última à compressão é de 54,4 MPa. 
Para garantir a segurança estrutural foram adotados coeficientes 
iguais a 4,6 para a tração e 3,6 para a compressão.
1.4. Tensão no regime elástico
Exemplo 3 - Considere uma viga biapoiada submetida ao 
carregamento indicado no esquema estático abaixo (As ações já se 
encontram devidamente majoradas). Obter a distribuição das 
tensões normais na seção mais solicitada, considerando
1.4. Tensão no regime elástico
 PERFIL 1 PERFIL 2
Exemplo 4 - Para a viga em balanço determine, nas seções onde a 
flexão é pura, os valores das maiores tensões de tração e de 
compressão.
1.4. Tensão no regime elástico
Exemplo 5 - Dimensionar um perfil I (padrão americano) de modo 
que a viga submetida ao carregamento indicado verifique as 
condições de segurança estrutural em relação às tensões normais 
sabendo que é feita de aço onde a
1.4. Tensão no regime elástico
tensão de escoamento à tração e 
compressão são de 250 MPa e o 
coeficiente de ponderação é de 1,1.