Prova MAT143

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
Prova 2 - MAT 143
Nome: Matr´ıcula:
1◦ Questa˜o: [50 pontos] Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, mostre; se for falso, deˆ um
contra-exemplo ou mostre. Dos 6 itens, ESCOLHA 5.
a) [10 pontos] Se
+∞∑
n=1
an e´ uma se´rie de termos positivos e a sequeˆncia das somas parciais
(sn)n∈IN e´ tal que sn ≤ 5 ∀ n, enta˜o a se´rie
+∞∑
n=1
an converge.
b) [10 pontos] Se
+∞∑
n=1
an converge e
+∞∑
n=1
bn diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
(an + bn) diverge.
c) [10 pontos] A sequeˆncia (xn), onde xn =
k(k − 1)(k − 2). . . . .(k − n+ 1)
n!(
√
2)n
∀ n, sendo k
um nu´mero natural, diverge.
d) [10 pontos] Se
+∞∑
n=1
an converge absolutamente, enta˜o
+∞∑
n=1
1
|an| diverge.
e) [10 pontos] Suponha an > 0 ∀ n e suponha que lim
n→+∞
nan 6= 0, enta˜o
+∞∑
n=1
an diverge.
f) [10 pontos] Se an > 0 ∀ n e
+∞∑
n=1
an converge, enta˜o
+∞∑
n=1
(
1
an+1
− 1
an
)
diverge.
2◦ Questa˜o: [40 pontos] Verifique se cada uma das se´ries abaixo e´ absolutamente conver-
gente, condicionalmente convergente, ou divergente. ESCOLHA 4.
a)
+∞∑
n=1
(−1)n .n3
(
1− cos 1
n3
)
b)
+∞∑
n=1
(
n sin
1
n
)n
(cos 1)n . n
c)
+∞∑
n=1
(−1)n 1
ln(en + e−n)
d)
+∞∑
n=1
nn
(2n)!
e)
+∞∑
n=3
1
n lnn (ln (lnn))
3◦ Questa˜o: [10 pontos] Para quais valores de x; x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
, a se´rie
+∞∑
n=1
(tg x)n converge?
Calcule o valor da se´rie para x =
pi
6
.
1