Cap 1 Tensão, Deformação e Elasticidade

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Lista de exercícios I – Tensão, Deformação e Elasticidade 
 
 
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1.1 Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional 
indicado abaixo, determinar as tensões principais (normais) e máximas de 
cisalhamento, e os planos onde os mesmos ocorrem. Utilizar os processos analíticos e 
gráficos (círculo de Mohr). 
 
 
1.2 Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional 
indicado abaixo, determinar as tensões principais (normais) e máximas de 
cisalhamento, e os planos onde os mesmos ocorrem. Utilizar os processos analíticos e 
gráficos (círculo de Mohr). 
 
 
1.3 Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional 
indicado abaixo, determinar as tensões principais (normais) e máximas de 
cisalhamento, e os planos onde os mesmos ocorrem. Utilizar os processos analíticos e 
gráficos (círculo de Mohr). 
 
x 
y 15 
10 
10 
15 
10 
40 
10 
40 dy 
dx 
( MPa ) 
x 
y 
8 
10 
8 
8 
10 
8 
10 10 dy 
dx 
MPa ) ( 
x 
y 
25 
10 
25 
25 
25 
60 60 dy 
dx 
MPa ) ( 
10 
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1.4 Uma casca esférica de 3 𝑚 de diâmetro externo e 15 𝑐𝑚 de espessura, 
está submetida a uma pressão interna �⃗� = 30 𝑀𝑃𝑎. Determinar as tensões principais e 
tensão máxima de cisalhamento que atuam nas paredes do mesmo (Para determinar a 
tensão máxima de cisalhamento utilizar o estado triplo de tensões). Unidade das 
tensões em 𝑀𝑃𝑎 . 
 
 
1.5 Uma caixa rígida retangular com 35 𝑐𝑚 de altura contém um material que 
apresenta um módulo de elasticidade 𝐸 = 40 𝑀𝑃𝑎, coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,15 e 
coeficiente de dilatação térmico 𝛼 = 10−5/°𝐶, onde neste material atua uma tensão de 
compressão de 𝜎𝑦 = 8 𝑀𝑃𝑎, conforme a figura abaixo. Determinar: 
a) as tensões normais atuantes nas paredes da caixa; 
b) o deslocamento vertical da superfície superior do material; 
c) qual deve ser a variação de temperatura a ser aplicado no material para que não haja 
deslocamento da superfície superior do material; 
d) de acordo com o item (c), determinar as tensões que atuam nas paredes da caixa. 
 
 
 
1.6 A caixa rígida indeformável abaixo, retangular com 80 𝑐𝑚 de altura 
contém um material deformável que apresenta um módulo de elasticidade 𝐸 =
 100 𝑀𝑃𝑎, coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,22 e coeficiente de dilatação térmica de 𝛼 =
 10−4/°𝐶. Aplicando uma variação térmica de 40°𝐶 no material, pede-se: 
𝑒 = 15 𝑐𝑚 
�⃗� 𝐷𝑒 = 3 𝑚 
y 
x z 
caixa 
rígida 
material 
deformável 
𝜎𝑦 
35 cm 
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a) as tensões normais atuantes nas paredes da caixa; 
b) o deslocamento vertical da superfície superior do material (mm); 
c) qual deve ser a tensão externa a ser aplicada no material para que não haja 
deslocamento da superfície superior do mesmo. 
 
 
1.7 No interior de uma caixa rígida encontra-se um certo material deformável 
com coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,20 e módulo de elasticidade de 𝐸 = 1,8 ∙ 103 𝐾𝑔𝑓/
𝑐𝑚2, submetido à uma tensão de compressão 𝜎𝑦 = 200 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚
2, conforme a figura 
abaixo. Determinar as forças resultantes e a tensão que o material exerce sobre as 
paredes da caixa e o deslocamento da superfície do material. 
 
 
 
1.8 Para um material deformável (𝐸 = 3000 𝑀𝑃𝑎, 𝜈 = 0,15) que se encontra 
entre duas paredes rígidas e está submetido a uma tensão normal 𝜎𝑦 = 25 𝑀𝑃𝑎, 
conforme a figura abaixo, determinar a tensão normal atuante nas paredes da caixa 
rígida (em MPa). 
y 
x z 
caixa 
rígida 
material 
deformável 
𝜎𝑦 
80 cm 
y 
x z 
caixa 
rígida 
material 
deformável 
20 cm 
30 cm 
10 cm 
𝜎𝑦 
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1.9 Para um material deformável (𝐸 = 6000 𝑀𝑃𝑎, 𝜈 = 0,17, 𝛼 = 10−4/°𝐶) que 
se encontra entre duas paredes rígidas e está submetido à uma tensão de compressão 
𝜎𝑦 = 25 𝑀𝑃𝑎, conforme a figura abaixo, determinar: 
a) as tensões normais atuantes nas paredes (em MPa); 
b) a variação de temperatura a ser aplicada no material para que o mesmo não 
apresente deformação na direção do eixo y. 
 
 
 
1.10 Uma caixa rígida circular contém um material que apresenta um modulo 
de elasticidade 𝐸 = 95 𝑀𝑃𝑎 e um coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,30, onde neste material 
atua uma tensão de compressão 𝜎𝑦 = 7 𝑀𝑃𝑎, conforme a figura abaixo. Determinar: 
a) as tensões normais atuantes nas paredes da caixa; 
b) o deslocamento vertical da superfície superior do material. 
y 
x z 
parede 
rígida 
material 
deformável 
𝜎𝑦 
y 
x z 
parede 
rígida 
material 
deformável 
𝜎𝑦 
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1.11 Um cubo de alumínio (𝐸 = 70 𝐺𝑃𝑎, 𝜐 = 0,30, 𝛼 = 23 ∙ 10−6/°𝐶) que está 
a uma temperatura de 25°𝐶 é colocado numa estufa a uma temperatura de 125°𝐶. 
Determinar as tensões normais (em MPa) que atuam no cubo quando: 
a) houver restrição à deformação em uma direção; 
b) houver restrição à deformação em duas direções; 
c) houver restrição à deformação nas três direções. 
 
1.12 A folga entre os trilhos de aço é de 4 𝑚𝑚 quando a temperatura está a 
20°𝐶. Sabendo-se que os trilhos possuem 15 𝑚 de comprimento, módulo de 
elasticidade longitudinal 𝐸 = 207 𝐺𝑃𝑎 e coeficiente de dilatação térmico 𝛼 =
 6,5 ∙ 10−6/°𝐶, determinar: 
a) a folga entre os trilhos quando a temperatura é de −2°𝐶; 
b) em que temperatura a folga se anula; 
c) a tensão de compressão nos trilhos quando a temperatura é de 55°𝐶. 
 
 
1.13 Duas placas engastadas nas extremidades possuem uma folga de 
2,8 𝑚𝑚 quando a temperatura está em 21°𝐶. Sabendo-se que cada placa possui 25 𝑚 
de comprimento, módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 = 35 𝐺𝑃𝑎 e coeficiente de 
dilatação térmica linear 𝛼 = 6 ∙ 10−6/°𝐶, determinar: 
a) a folga entre as placas quando a temperatura é de 5°𝐶 (𝑚𝑚); 
b) em que temperatura a folga se anula (°𝐶); 
𝜎𝑦 
x z 
y 
30 cm 
15 m 4 mm mm 4 trilho 
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c) A tensão de normal entre as placas quando a temperatura é de 38°𝐶 (𝑀𝑃𝑎). 
 
 
1.14 Um material deformável está confinado no interior de uma caixa rígida 
cúbica com paredes em todos os lados. Quando a temperatura é de 40°𝐶, o material 
preenche os vazios internos sem exercer pressão nas paredes da caixa. Qual deve ser 
a temperatura para que a tensão normal interna de compressão entre o material 
deformável e a caixa seja de 20 𝑀𝑃𝑎. Adotar 𝐸 = 10 𝐺𝑃𝑎, 𝜈 = 0,13, 𝛼 = 10−5/°𝐶. 
 
1.15 A viga de uma ponte metálica, com um coeficiente de dilatação térmica 
linear 𝛼 = 6,5 ∙ 10−6/°𝐶, coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,30, módulo de elasticidade 
longitudinal 𝐸 = 207 𝐺𝑃𝑎, está simplesmente apoiada sobre duas placas de neopreme 
com 2 𝑐𝑚 de espessura, conforme ilustração abaixo. Admitindo que a viga esteja 
submetida a uma variação térmica de 15°𝐶, pede-se para determinar: 
a) o deslocamento horizontal na face superior da placa de neopreme; 
b) a distorção angular sofrida pela placa de neopreme; 
c) a tensão de cisalhamento que atua no neopreme.1.16 A viga da ponte de 20 𝑚 de comprimento, com um coeficiente de 
dilatação térmica de 𝛼 = 6,5 ∙ 10−6/°𝐶, está apoiada sobre duas placas de neopreme 
de 40 × 40 𝑐𝑚 e 5 𝑐𝑚 de espessura cujo modulo de elasticidade transversal 𝐺 =
20 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚2, conforme figura abaixo. Supondo que a viga esteja submetida a uma 
variação térmica de 4°𝐶, pede-se para determinar: 
a) o deslocamento horizontal na face superior da placa de neopreme (𝑚𝑚); 
b) a distorção sofrida pela placa de neopreme (𝑟𝑎𝑑); 
c) a tensão de cisalhamento que atua na placa de neopreme (𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚2). 
 
25 m m 25 2 ,8 mm 
30 m 
2 cm 
Neopreme 
20 m 
5 cm 
Neopreme 
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Respostas: 
1.1 
𝜎𝑚á𝑥 = −11,49 𝑀𝑃𝑎, 
𝜎𝑚í𝑛 = −43,51 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚á𝑥 = 16,01 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚í𝑛 = −16,01𝑀𝑃𝑎, 
𝛼1 = 19,33°, 
𝛼2 = −25,67°. 
1.2 
𝜎𝑚á𝑥 = 12,81 𝑀𝑃𝑎, 
𝜎𝑚í𝑛 = −12,81 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚á𝑥 = 12,81 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚í𝑛 = −12,81𝑀𝑃𝑎, 
𝛼1 = 19,33° 
𝛼2 = −25,67°. 
1.3 
𝜎𝑚á𝑥 = 70,35 𝑀𝑃𝑎, 
𝜎𝑚í𝑛 = −0,35 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚á𝑥 = 35,35 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚í𝑛 = −35,35 𝑀𝑃𝑎, 
𝛼1 = 22,50°, 
𝛼2 = −22,50°. 
1.4 
𝜎𝑥 = 142,50 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑚á𝑥 = 71,25 𝑀𝑃𝑎. 
1.5 
a) 𝜎𝑥 = 𝜎𝑧 = −1,41 𝑀𝑃𝑎, 
b) Δ𝐿𝑦 = −6,63 𝑐𝑚, 
c) Δ𝑇 = 14,00°𝐶, 
d) 𝜎𝑥 = 𝜎𝑧 = −8,00 𝑀𝑃𝑎. 
1.6 
a) 𝜎𝑥 = 𝜎𝑧 = −0,51 𝑀𝑃𝑎, 
b) Δ𝐿𝑦 = 5,00 𝑚𝑚, 
c) 𝜎𝑦 = −0,71 𝑀𝑃𝑎. 
1.7 
𝐹 𝑦 = −40,00 𝐾𝑔𝑓, 
𝐹 𝑧 = −15,00 𝐾𝑔𝑓, 
𝐹 𝑥 = −30,00 𝐾𝑔𝑓, 
𝜎𝑥 = 𝜎𝑧 = −50,00 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚
2, 
Δ𝐿𝑦 = 3,00 𝑐𝑚, 
1.8 
𝜎𝑥 = −3,75 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
1.9 
a) 𝜎𝑥 = −4,25 𝑀𝑃𝑎, 
b) Δ𝑇 = 34,58°𝐶. 
1.10 
a) 𝜎𝑥 = 𝜎𝑧 = −1,97 𝑀𝑃𝑎, 
b) Δ𝐿𝑦 = −1,94 𝑐𝑚. 
1.11 
a) 𝜀𝑥 = 0,00, 
Δ𝑇 = 100,00°𝐶, 
𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0,00 𝑀𝑃𝑎, 
𝜎𝑥 = −161,00 𝑀𝑃𝑎. 
b) 𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 0,00, 
Δ𝑇 = 100,00°𝐶, 
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = −230,00 𝑀𝑃𝑎, 
𝜎𝑧 = 0,00 𝑀𝑃𝑎. 
c) 𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = 0,00, 
Δ𝑇 = 100,00°𝐶, 
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = −402,50 𝑀𝑃𝑎. 
1.12 
a) 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 = 6,145 𝑚𝑚, 
b) 𝑇 = 62,03°𝐶, 
c) 𝜎𝑥 = 0,00 𝑀. 
1.13 
a) 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 = 7,60 𝑚𝑚, 
b) 𝑇 = 30,33°𝐶, 
c) 𝜎𝑥 = −1,61 𝑀𝑃𝑎. 
1.14 
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = −20,00 𝑀𝑃𝑎, 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = 0, 
Δ𝑇 = 148,00°𝐶, 
𝑇𝑓 = 188,00°. 
1.15 
a) Δ𝐿𝑓𝑎𝑐𝑒 = 1,46 𝑚𝑚, 
b) 𝛾 = 0,073 𝑟𝑎𝑑, 
c) 𝜏 = 5,80 𝐺𝑃𝑎. 
1.16 
a) Δ𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,26 𝑚𝑚, 
b) 𝛾 = 0,0052 𝑟𝑎𝑑, 
c) 𝜏 = 0,104 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚2. 
 
 
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Formulário: 
Transformação do estado de tensão 
 
𝜎𝑥′ = 
𝜎𝑥+ 𝜎𝑦 
2
+ 
𝜎𝑥− 𝜎𝑦 
2
∙ cos(2𝛼) + 𝜏𝑥𝑦 ∙ sin(2𝛼), 
𝜎𝑦′ = 
𝜎𝑥+ 𝜎𝑦 
2
− 
𝜎𝑥− 𝜎𝑦 
2
∙ cos(2𝛼) − 𝜏𝑥𝑦 ∙ sin(2𝛼), 
𝜏𝑥′𝑦′ = − 
𝜎𝑥− 𝜎𝑦 
2
∙ sin(2𝛼) + 𝜏𝑥𝑦 ∙ cos(2𝛼), 
tan(2𝛼1) =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥− 𝜎𝑦
 , tan(2𝛼2) = −
𝜎𝑥− 𝜎𝑦
2𝜏𝑥𝑦
, 
𝜎𝑚á𝑥, 𝑚í𝑛 =
𝜎𝑥+ 𝜎𝑦 
2
± √(
𝜎𝑥− 𝜎𝑦 
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 , 
𝜏𝑚á𝑥, 𝑚í𝑛 = ±√(
𝜎𝑥− 𝜎𝑦 
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 , 
𝜎𝑚é𝑑 =
𝜎𝑥+ 𝜎𝑦 
2
, 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = 𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚í𝑛, 
|𝛼1| + |𝛼2| = 45°, 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 (𝛼1) = − 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 (𝛼2), 
Vasos de pressão cilíndricos 
 
𝜎1 =
𝑝∙𝑟
𝑡
, 𝜎2 =
𝑝∙𝑟
2∙𝑡
, 𝜏𝑚á𝑥 = 𝜎2 =
𝑝∙𝑟
2∙𝑡
. 
 
Vasos de pressão esféricos 
 
 𝜎1 = 𝜎2 =
𝑝∙𝑟
2∙𝑡
, 𝜏𝑚á𝑥 =
𝜎2
2
=
𝑝∙𝑟
4∙𝑡
. 
Elasticidade 
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
, Δ𝐿𝑥 = 𝜀𝑥 ∙ 𝐿𝑥, 
𝜀𝑦 =
𝜎𝑦
𝐸
, Δ𝐿𝑦 = 𝜀𝑦 ∙ 𝐿𝑦, 
𝜀𝑧 =
𝜎𝑧
𝐸
, Δ𝐿𝑧 = 𝜀𝑧 ∙ 𝐿𝑧, 
𝜀𝑥 =
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] + 𝛼 ∙ Δ𝑇, 
𝜀𝑦 =
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] + 𝛼 ∙ Δ𝑇, 
𝜀𝑧 =
1
𝐸
[𝜎𝑥𝑧 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥)] + 𝛼 ∙ Δ𝑇, 
𝐺 =
𝐸
2(1+𝜈)
, 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
, 𝛾𝑥𝑧 =
𝜏𝑥𝑧
𝐺
, 𝛾𝑦𝑧 =
𝜏𝑦𝑧
𝐺
. 
 
x 
y 
𝜏𝑥𝑦 
𝜎𝑦 
𝜎𝑥 
𝜎𝑚í𝑛 
𝜎𝑚á𝑥 
𝛼1 
𝛼2 
𝜏𝑚á𝑥 
𝜎𝑚é𝑑 
𝜎𝑚é𝑑 
𝜎1 
 
𝑦 
𝑧 
𝑥 
𝑡 
𝜎2 
𝑟 
𝜎1 
𝜎1 
𝜎2 
𝜎1= 𝜎2