UNIVESP 2018 Engenharias - CALCULO 1 - GABARITO - 2º Bimestre Código da Prova P4

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre ano: 2018 | 1sem P4 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA501 - Cálculo I 
 
• O aluno deve trazer o resumo téorico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
Seja 𝑓𝑓:ℝ∗ → ℝ∗, dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥2
 e considere as afirmações. 
 
I. lim
𝑥𝑥→+∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 , 
II. lim
𝑥𝑥→0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = +∞ 
III. lim
𝑥𝑥→0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 
 
São verdadeiras: 
 
a) Apenas I e II. 
b) Apenas II e III. 
c) Apenas II. 
d) I, II e III. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
Calcule os limites a seguir. 
 
I. lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 1
𝑥𝑥
) 
II. lim
𝑥𝑥→9
𝑥𝑥−9
√𝑥𝑥−3
 
III. lim
𝑥𝑥→+∞
5𝑥𝑥3+7𝑥𝑥−10
5𝑥𝑥4+𝑥𝑥−1
 
 
Encontramos, respectivamente: 
 
a) ∄, 0, +∞. 
b) 0, 6, 0 
c) 0, ∄, 0. 
d) 0, 6, +∞. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
CÓDIGO DA PROVA 
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Questão 3 (1,0 ponto) 
Sobre a função, cujo gráfico está a seguir, considere as 
afirmações. 
 
I. A função não é contínua em 𝑥𝑥 = 1 
II. lim
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 
III. 𝑓𝑓(1) = 3 
 
São verdadeiras as afirmações: 
 
a) Apenas I e II. 
b) Apenas I e III. 
c) Apenas II e III. 
d) I, II e III. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥
 no ponto de abscissa 𝑥𝑥 = 2. 
 
a) 𝑦𝑦 = 1
4
𝑥𝑥 − 1 
b) 𝑦𝑦 = −1
4
𝑥𝑥 − 1 
c) 𝑦𝑦 = −1
4
𝑥𝑥 + 1 
d) 𝑦𝑦 = 1
4
𝑥𝑥 + 1 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Sendo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 36𝑥𝑥 + 12, podemos afirmar: 
 
a) -2 é um ponto de mínimo local e 3 é ponto de máximo local. 
b) 0 é um ponto de inflexão. 
c) 2 é um ponto de máximo local e 3 é ponto de mínimo local. 
d) -3 é um ponto de máximo local e 2 é ponto de mínimo local. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
Sobre a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥4 − 18𝑥𝑥2 + 10 podemos afirmar: 
 
a) Seu gráfico tem concavidade para cima no intervalo ]−∞,−3[ 
b) Seu gráfico tem concavidade para baixo no intervalo ]−∞,−3[ 
c) Seu gráfico tem concavidade para cima em todo o domínio. 
d) Seu gráfico tem concavidade para baixo em todo o domínio. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
A segunda derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sen 𝑥𝑥4 + 1
𝑥𝑥
 é: 
a) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
b) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 2
𝑥𝑥3
 
c) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
d) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 2
𝑥𝑥3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
3 
 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
Sobre a função 𝑓𝑓:ℝ+∗ → ℝ, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥, podemos afirmar: 
 
a) 𝑓𝑓 é crescente em �0, 1
𝑒𝑒
� e decrescente em �1
𝑒𝑒
, +∞� 
b) 𝑓𝑓 é decrescente em �0, 1
𝑒𝑒
� e crescente em �1
𝑒𝑒
, +∞� 
c) 𝑓𝑓 é crescente em todo seu domínio. 
d) 𝑓𝑓 é decrescente em todo seu domínio. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule a área da região acima do gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥4 − 5, abaixo de 𝑦𝑦 = 1, entre 𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = 1. 
 
a) 6 
b) 32
5
 
c) 1
5
 
d) 12 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 8𝑥𝑥
3+10
𝑥𝑥4+5𝑥𝑥+1
𝑑𝑑𝑥𝑥
1
0
. 
 
a) 𝑥𝑥𝑠𝑠7 
b) 4𝑥𝑥𝑠𝑠7 
c) 2𝑥𝑥𝑠𝑠7 
d) −2𝑥𝑥𝑠𝑠7 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
4 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre P4 
 
Disciplina: MCA501 - Cálculo I 
 
Questão 1 
Resposta: alternativa A: 
 
São perguntas diretas e conceituais. Não exigem contas. 
 
Questão 2 
Resposta: alternativa B: 
 
I - lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 1
𝑥𝑥
) = 0 pois lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 = 0 e a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos �1
𝑥𝑥
� é limitada 
II - lim
𝑥𝑥→9
𝑥𝑥−9
√𝑥𝑥−3
= lim
𝑥𝑥→9
𝑥𝑥−9
√𝑥𝑥−3
∙ √
𝑥𝑥+3
√𝑥𝑥+3
= lim
𝑥𝑥→9
(𝑥𝑥−9)�√𝑥𝑥+3�
𝑥𝑥−9
= lim
𝑥𝑥→9
�√𝑥𝑥 + 3� = 6 
 
III - lim
𝑥𝑥→+∞
5𝑥𝑥3+7𝑥𝑥−10
5𝑥𝑥4+𝑥𝑥−1
= lim
𝑥𝑥→+∞
5𝑥𝑥3(1+ 7
5𝑥𝑥2
−
2
𝑥𝑥3
)
5𝑥𝑥4(1+ 1
5𝑥𝑥3
−
1
5𝑥𝑥4
) = lim𝑥𝑥→+∞ 5𝑥𝑥35𝑥𝑥4 = 0 
 
Questão 3 
Resposta: alternativa D: 
 
São perguntas diretas e conceituais. Não exigem contas. 
 
Questão 4 
Resposta: alternativa C: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥
⇒ 𝑓𝑓(2) = 1
2
. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − 1
𝑥𝑥2
⇒ 𝑓𝑓′(2) = − 1
22
= −1
4
 
Reta tangente: 𝑦𝑦−𝑓𝑓(2)
𝑥𝑥−2
= 𝑓𝑓′(2) ⇔ 𝑦𝑦−12
𝑥𝑥−2
= −1
4
⇔ 𝑦𝑦 = −1
4
𝑥𝑥 + 2
4
+ 1
2
= − 1
4
𝑥𝑥 + 1 
 
Questão 5 
Resposta: alternativa E: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 36𝑥𝑥 + 12 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 − 36 
Pontos críticos: 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 6𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 − 36 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = −2, 𝑥𝑥 = 3 
Segunda derivada: 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 − 6. 
𝑓𝑓′′(−2) = −30 < 0 ⇒ −2 é ponto de máximo local 
𝑓𝑓′′(3) = 30 > 0 ⇒ 3 é ponto de mínimo local 
 
Questão 6 
Resposta: alternativa D ou alternativa B. 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥4 − 18𝑥𝑥2 + 10 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥3 − 36𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −12𝑥𝑥2 − 36 
Como 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) < 0,∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ segue que gráfico de 𝑓𝑓 tem concavidade para baixo em todo o domínio. 
 
5 
 
Questão 7 
Resposta: alternativa C: 
 
Resolução: 
Usaremos a Regra da Cadeia. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 1
𝑥𝑥
⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 1
𝑥𝑥2
 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
 
Questão 8 
Resposta: alternativa B: 
 
Resolução: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∙ 1
𝑥𝑥
= 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥 + 1. Logo 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 ⇔ 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥 + 1 > 0 ⇔ 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥 > −1 ⇔ 𝑥𝑥 > 𝑠𝑠−1 = 1
𝑒𝑒
 
e 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 1
𝑒𝑒
. Assim podemos afirmar que 𝑓𝑓 é crescente em �1
𝑒𝑒
, +∞� e decrescente em �0, 1
𝑒𝑒
� 
 
Questão 9 
Resposta: alternativa E: 
 
Área = ∫ (1 − (−𝑥𝑥4 − 5))𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ∫ (6 + 𝑥𝑥4)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥55 � |10 = 6 + 15 = 31510 
 
Questão 10 
Resposta: alternativa C: 
 
Fazemos a substituição 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 + 1 
Segue 𝑑𝑑𝑢𝑢 = (4𝑥𝑥3 + 5)𝑑𝑑𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑢𝑢 = 1 e 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑢𝑢 = 7 
�
8𝑥𝑥3 + 10
𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑥𝑥10 = � 1𝑢𝑢 2𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2ln |𝑢𝑢||71 = 2𝑥𝑥𝑠𝑠7 − 2𝑥𝑥𝑠𝑠1 = 2𝑥𝑥𝑠𝑠771