UNIVESP Engenharias CALCULO 1 - GABARITO - 2º Bimestre Código da Prova P2

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1 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre ano: 2018 | 1sem P2 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA501 - Cálculo I 
 
• O aluno deve trazer o resumo téorico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
A expressão da função inversa de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 15 é 
a) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
3
+ 5 
b) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = − 𝑥𝑥
3
− 5 
c) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = − 𝑥𝑥
3
+ 5
3
 
d) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
3
+ 5
3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
Calcule os limites a seguir: 
I. lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝑥𝑥
2𝑥𝑥
 
II. lim
𝑥𝑥→+∞
7𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1
𝑥𝑥3+1
 
III. lim
𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥4−16
𝑥𝑥2−4
 
Os valores encontrados são, respectivamente: 
a) 3
2
, 7, 8. 
b) 2
3
, 0, 8. 
c) 0, 0, 8. 
d) 3
2
, +∞, 8. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
Sobre o limite lim
𝑥𝑥→0
|𝑥𝑥|
𝑥𝑥
, podemos afirmar que: 
a) vale 1 
b) vale -1 
c) vale 0 
d) não existe 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥, desenvolvido no ponto 𝑥𝑥0 = 0. 
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
2
 
b) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2
2
 
c) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2
2
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
d) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
2
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Sendo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 21𝑥𝑥 + 5 , podemos afirmar que 
a) 1 é ponto de mínimo 
b) 7 é ponto de máximo 
c) Não possui pontos críticos 
d) Não possui ponto de mínimo local 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
O gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥3 + 12𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 1 tem concavidade para baixo no intervalo: 
a) ]−∞, −4[ 
b) ]−∞, +4[ 
c) ]−4, +∞[ 
d) ]4, +∞[ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
A segunda derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sen 𝑥𝑥4 + 1
𝑥𝑥
 é: 
a) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
b) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 2
𝑥𝑥3
 
c) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
d) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 2
𝑥𝑥3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
A função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)𝑠𝑠𝑥𝑥 é crescente no intervalo: 
a) ]−∞, 0[ 
b) ]−2, + ∞[ 
c) ]−∞, −2[ 
d) ]−∞, 1[ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule a área da região limitada entre os gráficos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 e 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 2: 
a) 5 
b) 11 
2
 
c) 9 
2
 
d) 7
2
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 𝑥𝑥2√𝑥𝑥3 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥10 . 
a) 2
9
(2√2 − 1) 
b) 2
9
(2√2 + 1) 
c) 2
3
(2√2 − 1) 
d) 2
3
(2√2 + 1) 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
3 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre P2 
 
Disciplina: MCA501 - Cálculo I 
 
Questão 1 
Resposta: alternativa E: 
 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 15 ⇔ −3𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 15 ⇔ 3𝑥𝑥 = −𝑦𝑦 + 15 ⇔ 𝑥𝑥 = − 𝑦𝑦3 + 5 
Logo 
𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = − 𝑥𝑥3 + 5 
 
Questão 2 
Resposta: alternativa E: 
 lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝑥𝑥2𝑥𝑥 = 32 lim𝑥𝑥→0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝑥𝑥3𝑥𝑥 = 32 ∙ 1 = 32 
 lim
𝑥𝑥→+∞
7𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 1
𝑥𝑥3 + 1 = lim𝑥𝑥→+∞ 7𝑥𝑥2(1 + 57𝑥𝑥 − 17𝑥𝑥2)𝑥𝑥3(1 + 1
𝑥𝑥3
) = 0 lim
𝑥𝑥→2
𝑥𝑥4 − 16
𝑥𝑥2 − 4 = lim𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥2 − 4)(𝑥𝑥2 + 4)𝑥𝑥2 − 4 = lim𝑥𝑥→2(𝑥𝑥2 + 4) = 8 
 
Questão 3 
Resposta: alternativa D: 
 lim
𝑥𝑥→0+
|𝑥𝑥|
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→0+
𝑥𝑥
𝑥𝑥
= 1 
e ao mesmo tempo lim
𝑥𝑥→0−
|𝑥𝑥|
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→0+
−𝑥𝑥
𝑥𝑥
= −1 
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe. 
 
Questão 4 
Resposta: alternativa B: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓(0) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 = 0 + 1 = 1 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(0) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 = 1 − 0 = 1 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′′(0) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 = 0 − 1 = −1 
 
Polinômio de Taylor: 
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′(0)(𝑥𝑥 − 0) + 𝑓𝑓′′(0)2! (𝑥𝑥 − 0)2 = 1 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥22 
 
4 
 
Questão 5 
Resposta: alternativa E: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 21𝑥𝑥 + 5 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥 + 21. 
 
Pontos críticos: 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 3𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥 + 21 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 7 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 7 (pontos críticos) 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 24 ⇒𝑓𝑓′′(1) = −18 < 0 ⇒ 1 é ponto de máximo local 
e 
𝑓𝑓′′(7) = 18 > 0 ⇒ 7 é ponto de mínimo local 
 
Questão 6 
Resposta: alternativa D: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥3 + 12𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 1 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 − 7 ⇒ 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥 + 24 
 
O gráfico de f tem concavidade para baixo ⇔𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ −6𝑥𝑥 + 24 < 0 ⇔ −6𝑥𝑥 < −24 ⇔ 𝑥𝑥 > 4 
 
Questão 7 
Resposta: alternativa C: 
 
Usaremos a Regra da Cadeia. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 1
𝑥𝑥
⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 1
𝑥𝑥2
 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥4 − 16𝑥𝑥6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥4 + 2
𝑥𝑥3
 
 
Questão 8 
Resposta: alternativa B: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 1)𝑠𝑠𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1)𝑠𝑠𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 2)𝑠𝑠𝑥𝑥 
Para ser crescente vamos ter 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 ⇔ (𝑥𝑥 + 2)𝑠𝑠𝑥𝑥 > 0 ⇔ 𝑥𝑥 + 2 > 0 ⇔ 𝑥𝑥 > −2 
 
Questão 9 
Resposta: alternativa C: 
 
Vamos determinar a intersecção dos gráficos de 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 e 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 2. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ⇔ 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 + 2 ⇔ 𝑥𝑥2 −𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −1 , 𝑥𝑥 = 2. 
Neste intervalo, 
−1 < 𝑥𝑥 < 2, 
vale 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 𝑔𝑔(𝑥𝑥). 
Área = ∫ (𝑥𝑥 + 2 − 𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥2−1 = �𝑥𝑥22 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥33 � | 2−1 = 2 + 4 − 83 − �12 − 2 + 13� = 92 
 
Questão 10 
Resposta: alternativa A: 
 
Fazemos a substituição 
𝑢𝑢 = 𝑥𝑥3 + 1. 
 
Segue 
𝑑𝑑𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑢𝑢 = 1 e 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑢𝑢 = 2 
∫ 𝑥𝑥2√𝑥𝑥3 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ∫ 13 √𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 13 ∙ 23 𝑢𝑢32|21 = 29 (2√2 − 1)21