EngComp 2018 MCA501CalculoI P1 GABARITO Univesp

Prévia do material em texto

1 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre ano: 2018 | 1sem P1 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina MCA501 - Cálculo I 
 
• O aluno deve trazer o resumo téorico em formato impresso. O material está disponível no ava. 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
A expressão da função inversa de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 20 é 
a) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
5
+ 4 
b) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥
5
− 4 
c) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥
5
+ 4 
d) 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥
5
− 4 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
Calcule os limites a seguir. 
I. lim
𝑥𝑥→0
2𝑥𝑥
5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥
 
II. lim
𝑥𝑥→+∞
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥
𝑥𝑥2−1
 
III. lim
𝑥𝑥→+∞
3𝑥𝑥4+2𝑥𝑥−1
5𝑥𝑥3+𝑥𝑥+1
 
Os valores encontrados são, respectivamente: 
a) 2
5
, 0, 3
5
 
b) 5
2
, 0, +∞ 
c) 2
5
,∄, +∞ 
d) 2
5
, 0, +∞ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
A função definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4−16
𝑥𝑥2−4
 , 𝑥𝑥 ≠ 2 e 𝑓𝑓(2) = 𝐿𝐿 será contínua em 𝑥𝑥 = 2 se o valor de L for: 
a) 8 
b) 6 
c) 2 
d) Nunca será contínua em 𝑥𝑥 = 2 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥4 no ponto (16,2): 
a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
32
+ 3
2
 
b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
32
−
3
2
 
c) 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥
32
+ 3
2
 
CÓDIGO DA PROVA 
2 
 
d) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
32
+ 1
2
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 5 (1,0 ponto) 
Sendo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 15𝑥𝑥2 + 36𝑥𝑥 − 6, seus pontos críticos são: 
a) {−2, 3} 
b) {−2,−3} 
c) {2,− 3} 
d) {2, 3} 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
O gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 1 tem concavidade para baixo no intervalo: 
a) ]−∞,−4[ 
b) ]−∞, +4[ 
c) ]−4, +∞[ 
d) ]4, +∞[ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 7 (1,0 ponto) 
A segunda derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 é 
a) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥3 
b) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥3 
c) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 24 
d) 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 24 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 8 (1,0 ponto) 
A função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 é decrescente no intervalo: 
a) ]−∞, 0[ 
b) ]−1, + ∞[ 
c) ]−∞,−1[ 
d) ]−∞, 1[ 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 9 (1,0 ponto) 
Calcule a área da região abaixo do gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 2 , acima de 𝑦𝑦 = −2, entre 𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = 2. 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
Questão 10 (1,0 ponto) 
Calcule ∫ 𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥3 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥10 : 
a) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1−1
3
 
b) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1
3
 
c) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠1
3
 
d) 1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1
3
 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
 
3 
 
GABARITO 
 
curso: Engenharia de Produção/ Engenharia de Computação bimestre: 2
o bimestre P1 
 
Disciplina: MCA501 - Cálculo I 
 
Questão 1 
alternativa D: 
 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 20 ⇔ 5𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 20 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦5 − 4 
 
Logo 
𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5 − 4 
 
Questão 2 
alternativa D: 
 lim
𝑥𝑥→0
2𝑥𝑥5𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 25 lim𝑥𝑥→0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 25 ∙ 1 = 25 
 lim
𝑥𝑥→+∞
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥
𝑥𝑥2−1
= 0 , pois lim
𝑥𝑥→+∞
1
𝑥𝑥2−1
= 0 e a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 é limitada. 
 lim
𝑥𝑥→+∞
3𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 + 1 = lim𝑥𝑥→+∞3𝑥𝑥4(1 + 23𝑥𝑥3 − 13𝑥𝑥4)5𝑥𝑥3(1 + 15𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥3) = lim𝑥𝑥→+∞ 3𝑥𝑥
45𝑥𝑥3 = +∞ 
 
Questão 3 
alternativa A: 
 
Vamos calcular lim
𝑥𝑥→2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→2
𝑥𝑥4 − 16
𝑥𝑥2 − 4 = lim𝑥𝑥→2(𝑥𝑥2 + 4) = 8. 
 
Logo 
L= 8 
 
Questão 4 
alternativa A: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥4 ⇒ 𝑓𝑓(16) = √164 = 2 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥4 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1
4
𝑥𝑥−
3
4 ⇒ 𝑓𝑓′(16) = 1
4
∙
1
8
= 1
32
 
 
Reta tangente: 
 𝑦𝑦−𝑓𝑓(16)
𝑥𝑥−16
= 𝑓𝑓′(16) ⇔ : 𝑦𝑦−2
𝑥𝑥−16
= 1
32
⇔ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−16
32
+ 2 = 𝑥𝑥
32
+ 3
2
 
 
 
4 
 
Questão 5 
alternativa D: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 − 15𝑥𝑥2 + 36𝑥𝑥 − 6 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥 + 36. 
 
 
Pontos críticos: 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 ⇔ 6𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥 + 36 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 2,𝑥𝑥 = 3 
 
Questão 6 
alternativa B: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 1 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥 + 7 ⇒ 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 24 
 
O gráfico de f tem concavidade para baixo ⇔𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ 6𝑥𝑥 − 24 < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 4 
 
Questão 7 
alternativa E: 
 
Usaremos a Regra da Cadeia. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥2 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 24𝑥𝑥 
𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 24 
 
Questão 8 
alternativa C: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥𝑥𝑥 
 
Para ser decrescente vamos ter 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 ⇔ (𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥𝑥𝑥 < 0 ⇔ 𝑥𝑥 + 1 < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < −1 
 
Questão 9 
alternativa D: 
 
Área = ∫ (𝑥𝑥3 + 2 − (−2))𝑑𝑑𝑥𝑥20 = ∫ (𝑥𝑥3 + 4)𝑑𝑑𝑥𝑥 = �𝑥𝑥44 + 4𝑥𝑥� |20 = 4 + 8 = 1220 
 
Questão 10 
alternativa E: 
 
Fazemos a substituição 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥3 + 1. 
 
Segue 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑢𝑢 = 1 e 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑢𝑢 = 2 
 
∫ 𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥3 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ∫ 13 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = 13 (−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑢𝑢)|21 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2321