Estudo de caso, Cálculo diferencial integral a uma variável

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ESTUDO DE CASO – MÓDULO A – FASE 2 
 
Noções de Geometria Analítica 
Cálculo Diferencial Integral a uma Variável 
 
 
 
Conceito de cálculo e áreas e volumes (máximo e mínimos) 
 
 
 
Problema: Um professor, apresentou a seguinte situação problema aos alunos: refere-se à maximização 
de seu volume de uma embalagem retangular aberta de papelão medindo 16cm por 20cm, tirando os 
cantos iguais e dobrando-os. O professor pediu que os alunos calculassem a parte tirada para uma 
capacidade de volume máxima a ser determinada. Enquanto realizava a atividade proposta, um dos 
alunos questionou qual era a aplicabilidade desse conteúdo. Como essa questão pode ser resolvida? Qual 
a aplicabilidade desse conteúdo? 
 
Questão Orientadora: 
1- A partir da solução qual será as dimensões da embalagem e qual seu volume, se fosse tirado 2 cm dos 
cantos? 
2- Quais são as dimensões da caixa que maximiza o seu volume? 
3- Qual é a aplicabilidade desse conteúdo? 
 
 
Resolução: 
1- (20-2.2) = (20-4) = 16 
(16-2.2) = (16-4) = 12 
 
As novas dimensões será de 12cm por 16cm e 2cm de altura. 
O volume será de: 
V= 16.12.2= 384cm³ 
 
 
 
 
 
2- 20 
 
 
 
 16 16 – 2x 
 
 
 20 – 2x 
 
Para encontrar o volume temos que determinar o Domínio da função: 
 
 
x>0 
20 – 2x > 0 16 – 2x > 0 
2x < 20 2x < 16 
X < 10 x < 8 
 
D = {x e R / 0 < x< 8} 
 
Para encontrar o volume máximo: 
 
V= (20 – 2x).(16-2x).x 
V= (320 – 72x +4x²).x 
V= 320x – 72x² + 4x³ 
V’ = 12x² - 144x + 320 
12x² - 144x + 320 = 0 (÷4) 
3x² - 36x + 80 =0 
 
𝑥 =
−(−36) ± √(−36)² − 4.3.80
2.3
 
 
𝑥 ≅
36 ± 18,33
6
 
𝑥′ ≅
36 + 18,33
6
 → 9,055 
 
 
 
𝑥′′ ≅
36 − 18,33
6
→ 2,945 
 
Como o D= {x e R / 0 < x< 8}, descartamos x’ porque é maior que 8, sendo assim as dimensões 
são de aproximadamente: 
 
(20 – 2x) => (20 – 2.2,945) => 14,11 
(16 – 2x) => (16 – 2.2,945) => 10,11 
 
O Volume Maximizado é de: 
 
𝑣 ≅ 14,11. 10,11.2,945 
𝑣 ≅ 420,11𝑐𝑚3 
 
 
3- Da pra aplicar um problema a um volume de uma piscina.