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Centro Universitário Estácio de Santa Catarina 
Paulo Cesar Martins Penteado 
2019 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
Esta apostila, longe de ser original, consiste em um apanhado de trechos de autores consagrados, relacionados na 
Bibliografia Básica e na Bibliografia Complementar, assim como de outras referências, e tem por objetivo dar uma 
visão geral dos principais tópicos, conceitos e aplicações da teoria a ser desenvolvida durante o semestre e facilitar 
o estudo do acadêmico. 
Torna-se importante destacar que a consulta aos livros das Bibliografias é fundamental para o bom andamento e 
desenvolvimento das habilidades e competências necessárias para o prosseguimento dos estudos nas disciplinas 
que se seguirão. 
As críticas, sugestões e correções dos eventuais erros serão sempre bem-vindas. 
 
Paulo Cesar Martins Penteado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 3 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS CCE1596 
 
Índice 
 
1. A MECÂNICA DOS SÓLIDOS .... ............................................................................................................. 5 
1.1 Contextualização ..................................................................................................................... 5 
1.2 Ementa .................................................................................................................................... 5 
1.3 Conteúdos ............................................................................................................................... 5 
1.4 Bibliografia ............................................................................................................................... 6 
2. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS ............................................................................................ 7 
2.1 Definição de Mecânica ............................................................................................................. 7 
2.2 Mecânica dos corpos rígidos ..................................................................................................... 7 
2.3 O Sistema Internacional de Unidades – Prefixos ....................................................................... 7 
2.4 Grandezas físicas fundamentais da Mecânica ......................................................................... 8 
2.5 Grandezas escalares ................................................................................................................. 8 
2.6 Grandezas vetoriais .................................................................................................................. 8 
3. VETOR ................................................................................................................................................... 9 
3.1 Operações com vetores ........................................................................................................... 9 
3.2 Produto de um número real por um vetor ............................................................................... 9 
3.3 Soma de vetores ....................................................................................................................... 9 
3.4 Lei dos senos ............................................................................................................................ 10 
3.5 Lei dos cossenos ....................................................................................................................... 10 
3.6 Componentes ortogonais de um vetor ..................................................................................... 10 
3.7 Notação vetorial cartesiana ...................................................................................................... 11 
3.8 Produto escalar e produto vetorial ........................................................................................... 11 
4. FORÇA ................................................................................................................................................... 12 
Exercícios – Série 1..................................................................................................................................... 12 
5. FORÇA RESULTANTE .............................................................................................................................. 15 
Exercícios – Série 2 ..................................... ............................................................................................. 15 
6. MOMENTO DE UMA FORÇA ................................................................................................................. 20 
6.1 Definição .................................................................................................................................. 20 
6.2 Momento – Formulação escalar ............................................................................................... 20 
6.3 Momento – Formulação vetorial .............................................................................................. 20 
6.4 Teorema de Varignon ............................................................................................................... 21 
6.5 Binário ‒ Momento de um binário .......................................................................................... 21 
6.6 Sistema força-binário ............................................................................................................... 22 
Exercícios – Série 3 .................................................................................................................................... 22 
7. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ................................................................................................................. 28 
8. CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL................................................................................. 28 
Exercícios – Série 4 .................................................................................................................................... 28 
9. EQUILÍBRIO DOS CORPOS EXTENSOS RÍGIDOS ....................................................................................... 31 
9.1 Tipos de apoios e suas reações ................................................................................................. 31 
9.2 Condições para o equilíbrio do corpo extenso rígido ................................................................ 32 
Exercícios – Série 5 .................................................................................................................................... 32 
10. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS ............................................................................................................ 34 
10.1 Projeto de treliças ................................................................................................................... 35 
10.2 Elemento de duas forças ........................................................................................................ 35 
10.3 Estaticidade das treliças .......................................................................................................... 36 
10.4 Método dos nós ..................................................................................................................... 36 
Exercícios – Série 6 .................................................................................................................................... 36 
10.5 Método das seções ................................................................................................................. 39 
Exercícios − Série 7 .....................................................................................................................................39 
11. SISTEMA DE FORÇAS DISTRIBUÍDAS .................................................................................................... 41 
11.1 Intensidade da força resultante.............................................................................................. 42 
11.2 Ponto de aplicação da força resultante .................................................................................. 42 
Exercícios – Série 8 .................................................................................................................................... 43 
12. REAÇÕES DOS APOIOS EM VIGAS ........................................................................................................ 44 
Exercícios – Série 9 .................................................................................................................................... 45 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 4 
 
13. ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS .......................................................................................................... 46 
13.1 Esforços internos .................................................................................................................... 46 
13.2 Convenção de sinais dos esforços internos ............................................................................ 47 
Exercícios – Série 10 ................................................................................................................................... 47 
13.3. Diagramas de esforços internos ............................................................................................ 49 
13.4 Análise e obtenção dos diagramas de esforços ...................................................................... 49 
13.5 Relações entre carga, força cortante e momento fletor .......................................................... 50 
Exercícios – Série 11 .................................................................................................................................. 52 
14. TENSÕES ............................................................................................................................................... 54 
14.1 Tensão normal ........................................................................................................................ 54 
14.2 Tensão normal média em barra com carga axial ..................................................................... 55 
Exercícios – Série 12 ................................................................................................................................... 55 
14.3 Tensão de cisalhamento ......................................................................................................... 59 
14.4 Reciprocidade das tensões de cisalhamento ........................................................................... 59 
14.5 Tensão de cisalhamento média .............................................................................................. 60 
14.6 Cisalhamento puro em conexões ........................................................................................... 60 
Exercícios – Série 13 .................................................................................................................................. 61 
15. DEFORMAÇÕES ................................................................................................................................... 63 
15.1 Deformação normal ............................................................................................................... 63 
15.2 Deformação por cisalhamento ................................................................................................ 64 
Exercícios – Série 14 .................................................................................................................................. 64 
16. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ...................................................................................... 65 
16.1 O ensaio de tração e compressão.......................................................................................... 65 
16.2 Diagrama tensão-deformação e a lei de Hooke ...................................................................... 66 
16.3 Materiais dúcteis e materiais frágeis ....................................................................................... 67 
Exercícios – Série 15 .................................................................................................................................. 68 
16.4 Coeficiente de Poisson ........................................................................................................... 70 
16.5 O diagrama tensão-deformação de cisalhamento ................................................................. 70 
Exercícios – Série 16 .................................................................................................................................. 71 
17. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO............................................................................................................ 71 
17.1 Procedimento de análise ....................................................................................................... 72 
17.2 Exemplo de aplicação ............................................................................................................. 72 
17.3 Equações para a transformação de tensão ............................................................................. 73 
17.4 Tensões principais e planos de tensões principais .................................................................. 74 
17.5 Tensão de cisalhamento máxima no plano ............................................................................. 75 
17.6 O Círculo de Mohr .................................................................................................................. 75 
Exercícios – Série 17 .................................................................................................................................. 77 
RESPOSTAS ............................................................................................................................................... 79 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 5 
 
1. A MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
1.1 Contextualização 
A disciplina Mecânica dos Sólidos faz parte do quarto semestre do curso de graduação em Engenharia Civil. 
Trata-se de uma matéria nuclear do curso de Engenharia Civil, constituindo uma introdução clássica ao estudo do 
comportamento das estruturas. 
Em geral, o objetivo desta disciplina é analisar o comportamento mecânico de corpos deformáveis, a 
resistência e o desempenho físico de estruturas, conhecimentos fundamentais para o desenvolvimento de 
competências e habilidades necessárias para a formação do profissional em Engenharia Civil. Em outras palavras, o 
estudo da mecânica dos sólidos é fundamentado na análise do comportamento físico de corpos rígidos sob carga, 
onde busca-se equacionar esse comportamento atendendo aos requisitos de equilíbrio, compatibilidade de 
deformações e comportamento do material. 
Tal estudo necessita do conhecimento prévio do aluno adquirido em disciplinas anteriores de cálculo, álgebra 
e física, para a compreensão dos conceitos e adequado acompanhamento do conteúdo. E ao fim da disciplina, o 
aluno terá a base necessária para dar continuidade aos estudos dos materiais de construção civil, seu 
comportamento estrutural, e seu correto dimensionamento. 
Por se tratar de disciplina híbrida, sua carga horária abrange tanto as aulas presenciais quanto o auto estudo 
ouas atividades online, articulando a sala de aula presencial com o ambiente virtual. 
 
1.2 Ementa
● Sistemas Equivalentes de força. 
● Equilíbrio de corpos rígidos. 
● Equilíbrio em três dimensões. 
● Forças em vigas. 
● Geometria das massas. 
● Equilíbrio de estruturas, esforços, tensões e deformações em corpos elásticos. 
● Análise de estado plano de tensão. 
 
1.3 Conteúdos 
Unidade 1: Sistemas de Forças 
1.1 Forças e componentes cartesianas 
1.2 Momento de uma força e de um binário 
1.3 Resultantes de um sistema de forças 
 
Unidade 2: Equilíbrio dos Corpos Rígidos 
2.1 Vínculos de uma estrutura bidimensional 
2.2 Condições de equilíbrio para um corpo rígido 
2.3 Diagramas de corpo livre 
2.4 Reações nos vínculos de uma estrutura bidimensional 
 
Unidade3: Estruturas 
3.1 Treliças Planas 
3.1.1 Geometria, tipos e comportamento 
3.1.2 Método dos nós 
3.1.3 tração, compressão e corte 
3.1.4 Método das seções 
3.1.5 Modelagem computacional 
3.2 Vigas 
3.2.1 Geometria e Carregamentos 
3,2,2 Flexão e Cisalhamento 
3.2.3 Diagramas de estado 
3.3 Modelagem Computacional 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 6 
 
Unidade 4: Tensão x Deformação 
4.1 Tensão 
4.1.1 Tensão normal 
4.1.2 Tensão de cisalhamento direto (corte) 
4.1.3 Tensão de esmagamento 
4.1.4Tensão em seções inclinadas 
4.2 Deformação 
4.2.1 Deslocamento, deformação e deformação específica 
4.2.3 Deformação específica normal 
4.2.4 Deformação por cisalhamento 
4.2.5 Deformação específica térmica 
4.3 Propriedades mecânicas dos Materiais 
4.3.1 Ensaio de tração e diagrama Tensão x Deformação 
4.3.2 Comportamento dos materiais sob tensão 
4.3.3 Lei de Hooke 
4.3.4 Coeficiente de Poisson 
 
Unidade 5: Projeto 
5.1 Segurança 
5,2 Tensão Admissível 
5.3 Princípio de Saint Venant 
5.4 Sistemas de barras carregadas axialmente 
5.5 Elementos estaticamente indeterminados 
5.6 Efeito térmico 
 
Unidade 6: Estado Plano de Tensões 
6.1 Tensão em um ponto geral de um corpo carregado arbitrariamente 
6.2 Estado plano de tensões 
6.3 Tensões Principais e Tensão cisalhante máxima 
6.4 Círculo de Mohr do Estado Plano de tensões 
1.4 Bibliografia 
Bibliografia Básica 
1. BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
2. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais (biblioteca virtual). 7ª edição. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2009. 
3. Philpot, Timothy A. Mecânica dos materiais: um sistema integrado de ensino. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
 
Bibliografia Complementar 
1. Craig Jr., Roy R. Mecânica dos materiais. 2ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
2. HIBBELER, R.C. Estática: mecânica para engenharia (biblioteca virtual). 10ª edição. São Paulo: Pearson 
Prentice-Hall, 2005. 
3. MACIEL, Carla Isabel dos Santos. Mecânica Geral. Rio de Janeiro: SESES, 2015. 
4. RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
5. SHAMES, Irving H. Estática: mecânica para engenharia (biblioteca virtual). 4ª edição. São Paulo: Pearson 
Prentice-Hall, 2002. Vol. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 7 
 
2. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
A mãe natureza é tão rigorosa que, na medida em que conhecemos suas regras, podemos fazer previsões 
confiáveis sobre o comportamento de seus filhos, o mundo dos objetos físicos. Em particular, para praticamente 
todos os fins práticos, todos os objetos que os engenheiros estudam segue estritamente as leis da mecânica 
newtoniana. Então, se você aprender as leis da mecânica, isto poderá ajudá-lo a ser capaz de fazer os cálculos 
quantitativos para prever como as coisas se comportam. Você também vai desenvolver a intuição de como o mundo 
físico funciona. 
Os futuros engenheiros muitas vezes iniciam um curso como este pensando a mecânica como algo vago e 
complicado. O nosso objetivo é mudar este pensamento e mostrar que a mecânica é algo concreto e simples. 
Este breve trabalho tem por objetivo expor aos estudantes de engenharia os conceitos básicos da Mecânica, 
ciência física que explora os efeitos de forças atuantes sobre objetos. 
 
2.1 Definição de Mecânica 
A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de repouso ou 
movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três partes: a 
mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos deformáveis e a mecânica dos fluidos. 
 
2.2 Mecânica dos corpos rígidos 
A mecânica dos corpos rígidos pode ser dividida em estática (equilíbrio de um corpo rígido) e dinâmica 
(movimento de um corpo rígido). 
 A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento com 
velocidade constante. 
A dinâmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a parte da mecânica dos corpos rígidos dedicada ao 
estudo do movimento de corpos sob a ação de forças, ou seja, movimentos de corpos acelerados. 
 
2.3 O Sistema Internacional de Unidades - Prefixos 
O sistema de unidades utilizado hoje em dia no Brasil e na maioria dos países é o denominado Sistema 
Internacional de Unidades, abreviadamente SI, derivado do antigo Sistema Métrico Decimal. 
O SI é composto de sete unidades de base, de duas unidades suplementares, de unidades derivadas e de 
múltiplos e submúltiplos de todas elas. Qualquer grandeza física pode ser definida como uma relação entre as sete 
fundamentais e tais grandezas são chamadas de grandezas derivadas. 
O diagrama a seguir mostra as unidades de base e as suplementares com suas respectivas grandezas 
associadas, unidades de medidas e os símbolos correspondentes. 
 
 
A linguagem utilizada pela Física e por muitas outras ciências exatas é a linguagem dos números. A 
diversidade dos números que aparecem no mundo físico é enorme. Para se ter uma ideia, a massa da Terra, por 
exemplo, é de cerca de 5.980.000.000.000.000.000.000.000 quilogramas (kg), enquanto o diâmetro de um próton 
é de cerca de 0,000 000 000 000 001 metro (m). 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 8 
 
A grande quantidade de zeros torna a representação desses números bastante inconveniente e, por esse 
motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito pequenos. Usando 
potência de dez, podemos escrever a massa da Terra como 5,98·1024 kg, e o diâmetro do próton como 10‒15 m. 
Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos 
representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos principais prefixos de acordo com 
regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro). Os prefixos mais usados 
foram colocados em negrito. 
 
 
2.4 Grandezas físicas fundamentais da Mecânica 
● Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posição de um ponto no espaço. A partir do comprimento 
é possível descrever com exatidão a dimensão de um sistema físico. No sistema internacional de unidades (SI), a 
unidade básica de comprimento é o metro (m). 
● Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posição do corpo e 
do local no qual o mesmo é colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de massa é o 
quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matéria que permite comparar a ação de um corpo em 
relação a outro e de um modo geral pode ser interpretada com a resistência que um corpo oferece a mudanças em 
seu movimento de translação. 
● Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medições desse intervalo 
podem ser realizadas por comparações, como por exemplo, eventos repetitivos tal como a rotação da Terraao 
redor de seu próprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de tempo é o segundo (s). 
Como o presente curso trata apenas dos problemas de estática, a quantidade tempo não possui influência 
significativa na solução dos problemas, porém em problemas de dinâmica, o tempo é uma grandeza muito 
importante para descrever as variações de posição, velocidade, aceleração e forças em um corpo. 
● Força: Pode ser definida como a ação de um corpo em outro corpo. Como um corpo não pode exercer uma 
força em um segundo corpo a menos que este ofereça uma resistência, pode-se concluir que uma força nunca 
existe só, ou seja, as forças sempre ocorrem aos pares, e as duas forças possuem a mesma intensidade e sentidos 
contrários. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de força é o newton (N), que é representado 
a partir da seguinte relação: 1 N = 1 kgm/s². 
 
2.5 Grandezas escalares 
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real e sua respectiva unidade de medida. Como 
exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o comprimento, a área, o volume, etc. 
 
2.6 Grandezas vetoriais 
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três elementos fundamentais, ou seja, 
representa um ente matemático que possui intensidade (ou módulo), direção e sentido. Em problemas de estática 
é muito comum a utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento. 
A grandeza física vetorial é representada graficamente por um ente geométrico denominado vetor. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 9 
 
3. VETOR 
 
Um vetor pode ser representado por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma 
seta, indicativa de seu sentido e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo 
ou intensidade). 
Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra encimada por uma setinha, por exemplo, �⃗� ou em 
negrito sem a setinha, v. O módulo ou intensidade do vetor �⃗� é representado por |�⃗�| ou, mais resumidamente, por 
v (em itálico e sem a setinha). 
Graficamente o módulo de um vetor é 
proporcional ao comprimento do segmento de reta 
orientado; a direção é definida através do ângulo 
formado entre um eixo de referência e a linha de ação 
do vetor (reta suporte do vetor); o sentido é indicado 
pela extremidade da seta. 
A figura ao lado mostra a representação gráfica de 
dois vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação 
de um poste, o ponto O é chamado de origem do vetor e 
os pontos P1 e P2 representam suas extremidades. 
Dizemos que dois vetores, �⃗�1 e �⃗�2, são iguais, ou seja, �⃗�1 = �⃗�2, se e somente se �⃗�1 e �⃗�2 tiverem a mesma 
direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. 
 
3.1 Operações com vetores 
A Matemática permite efetuar um grande número de operações com vetores, mas para suprir nossas 
necessidades imediatas para o estudo da Mecânica, vamos nos limitar a explorar, por enquanto, apenas duas dessas 
operações: o produto de um número real por um vetor e a soma de vetores. 
 
3.2 Produto de um número real por um vetor 
Seja  um número real qualquer e �⃗� um vetor, também qualquer. 
O produto  · �⃗� tem como resultado um vetor �⃗⃗�, sempre com a mesma direção de �⃗� e módulo u = |  |·v. O 
sentido do vetor �⃗⃗� é determinado pelo sinal do número real : 
● se  for positivo ( > 0), então �⃗⃗� terá o mesmo sentido que �⃗�; 
● se  for negativo ( < 0), então �⃗⃗� terá sentido oposto ao de �⃗�. 
 
3.3 Soma de vetores 
Apesar de estarmos familiarizados com a soma de números reais, a soma de vetores segue regras diferentes. 
Existem diferentes métodos para efetuarmos a soma de vetores e todos, obviamente, devem conduzir a um 
mesmo resultado final. 
Dentre os diferentes métodos, o mais geral deles é, provavelmente, o método do polígono. 
Podemos obter graficamente o vetor soma pelo método do polígono de maneira relativamente simples. 
Inicialmente devemos deslocar e representar sequencialmente todos os vetores que serão somados. Por 
sequencialmente queremos dizer que, a partir de um primeiro vetor, a origem do próximo deverá coincidir com a 
extremidade do anterior. A ordem em que os vetores são dispostos não altera o resultado final. 
O vetor soma, resultado da soma dos vetores, é o vetor que fecha o polígono, com sua origem na origem do 
primeiro vetor da sequência e extremidade na extremidade do último vetor da sequência. A figura a seguir mostra 
o vetor V obtido pela soma dos vetores v1, v2, v3, v4 e v5. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 10 
 
O método do polígono pode ser aplicado a um número qualquer de vetores. 
A soma de dois vetores com direções diferentes pode ser feita pelo método do paralelogramo, um caso 
particular do método do polígono. 
A figura a seguir mostra os vetores �⃗�1 e �⃗�2, que serão somados usando-se o método do paralelogramo (a). 
Os vetores, �⃗�1 e �⃗�2, que serão somados, devem ser posicionados de maneira que suas origens coincidam. A seguir, 
pela extremidade de cada um dos vetores, traça-se uma reta paralela ao outro vetor, obtendo-se, assim, um 
paralelogramo (b). O vetor soma �⃗⃗� é o vetor com origem na origem comum dos vetores �⃗�1 e �⃗�2 e extremidade no 
vértice oposto do paralelogramo (c). 
v1
v1 v1
v2 v2 v2
V
a) b) c)
 
3.4 Lei dos senos 
A lei dos senos estabelece a relação entre a medida de um lado de um 
triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado. Considere um triângulo 
ABC, com lados a, b, c e ângulos internos α, β e ϒ, como mostrado na figura 
ao lado. A lei dos senos estabelece que: 
 
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
 A B
C
ab
c
 b
g
 
 
3.5 Lei dos cossenos 
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e ϒ, a lei dos cossenos estabelece que o 
quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do 
produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. 
Matematicamente: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝛾 
 
3.6 Componentes ortogonais de um vetor 
Dado um vetor �⃗� qualquer, sempre existirão dois vetores �⃗�x e �⃗�y, perpendiculares entre si, tais que: 
�⃗� = �⃗�x + �⃗�y 
Os vetores �⃗�x e �⃗�y são as componentes ortogonais do vetor �⃗�. 
A partir da regra do paralelogramo, podemos obter graficamente as componentes ortogonais do vetor �⃗�, isto 
é, �⃗�x e �⃗�y, nas direções dos eixos x e y. 
A figura a seguir mostra-nos um vetor �⃗� e um sistema de eixos ortogonais x, y. Note que o vetor �⃗� forma com 
o eixo das abscissas, o eixo x, um dado ângulo . 
Quais são as componentes ortogonais �⃗�x e �⃗�y do vetor �⃗�? 
Da trigonometria, aplicada ao triângulo retângulo destacado na figura, podemos obter os módulos vx e vy das 
componentes ortogonais do vetor 𝑣: 
sen 𝜃 = 
cateto oposto
hipotenusa
 ⟹ sen 𝜃 = 
𝑣𝑦
𝑣
 ⟹ 𝑣𝑦 = 𝑣 ∙ sen 𝜃 
 
cos 𝜃 = 
cateto adjacente
hipotenusa
 ⟹ cos 𝜃 = 
𝑣𝑥
𝑣
 ⟹ 𝑣𝑥 = 𝑣 ∙ cos 𝜃 
 
Note que se conhecermos os módulos vx e vy das 
componentes ortogonais podemos, com o teorema de 
Pitágoras, obter o módulo v do vetor �⃗�: 
𝑣2 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 
x
y
0
v
vx
vy

 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 11 
 
3.7 Notação vetorial cartesiana 
Além de suas componentes ortogonais �⃗�x, �⃗�y e �⃗�z, um vetor 
�⃗� também pode ser representado em função dos vetores 
cartesianos unitários 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗�. Os vetores unitários costumam ser 
representados por 𝑖,̂ 𝑗̂ e �̂�. 
Cada um desses vetores possui módulo igual a 1 e, portanto, 
pode ser usado para designar as direções e sentidos,respectivamente, dos eixos x, y e z, como mostrado na figura ao 
lado. 
x
k
j
i
z
y
0
 
Dessa maneira, um vetor �⃗�, cujas componentes ortogonais têm intensidades vx, vy e vz, pode ser representado 
por: �⃗� = ±𝑣𝑥 ∙ 𝑖̂ ± 𝑣𝑦 ∙ 𝑗̂ ± 𝑣𝑧 ∙ �̂� . O sinal positivo (+) é usado se a componente estiver no mesmo sentido do eixo 
correspondente; caso contrário, utiliza-se o sinal negativo (‒). 
O módulo de �⃗� é dado por: 𝑣 = |�⃗�| = √𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧2 
 
3.8 Produto escalar e produto vetorial 
Já estudamos duas operações que podem ser efetuadas com vetores: o produto de um número real por um 
vetor e a soma de vetores. Veremos agora mais duas operações: o produto escalar e o produto vetorial. 
 
 Produto escalar 
Vamos considerar dois vetores, �⃗� e �⃗⃗� que formam entre si um ângulo θ. 
Esses vetores, em notação cartesiana são representados como: 
�⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑎𝑧 ∙ �̂� e �⃗⃗� = 𝑏𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑏𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑏𝑧 ∙ �̂� 
O produto escalar entre os vetores �⃗� e �⃗⃗� será representado por �⃗� ⦁ �⃗⃗� e o resultado dessa operação é uma 
grandeza escalar c, tal que: 
 𝑐 = �⃗� ⦁ �⃗⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑧 
 
Pode-se demonstrar que: 𝑐 = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos θ 
 
 Produto vetorial 
Vamos considerar dois vetores, �⃗� e �⃗⃗� que formam entre si um ângulo θ. 
Esses vetores, em notação cartesiana são representados como: 
�⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑎𝑧 ∙ �̂� e �⃗⃗� = 𝑏𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑏𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑏𝑧 ∙ �̂� 
O produto vetorial entre os vetores �⃗� e �⃗⃗� será representado por �⃗� × �⃗⃗� e o resultado dessa operação é uma 
grandeza vetorial 𝑐, tal que: 
 𝑐 = �⃗� × �⃗⃗� = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
| 
O vetor 𝑐 tem direção perpendicular ao plano definido pelos vetores �⃗� e �⃗⃗� e sentido dado pela regra da mão 
direita, de �⃗� para �⃗⃗�, como na a figura a seguir. 
 
Demonstra-se que: 
 |𝑐| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sen θ 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 12 
 
4. FORÇA 
 
Força é uma grandeza física vetorial. Assim, para caracterizar uma força devemos conhecer sua direção, seu 
sentido e sua intensidade, também denominado módulo ou magnitude. 
No SI, a intensidade de uma força é medida em newton, cujo símbolo é o N. Note que: 1 N = 1 kg·m/s2. 
 
Exercícios – Série 1 
 
1. As forças F1, F2 e F3, todas atuando no ponto A do suporte, são especificadas de três modos diferentes. 
Determine os componentes escalares em x e em y de cada uma destas três forças. 
 
 
2. Uma força F de 500 N é aplicada à haste vertical 
como mostrado ao lado. 
a) Escreva F em função dos vetores unitários i e j e 
identifique seus componentes vetoriais e escalares. 
b) Determine os componentes escalares do vetor força 
F ao longo dos eixos x’ e y’. 
c) Determine os componentes escalares de F ao longo 
dos eixos x e y. 
 
3. A linha de ação da força F de 9,6 kN passa pelos pontos A e B, como mostrado na figura. Determine os 
componentes escalares x e y de F. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 13 
 
4. A força F = 900 N atua sobre a estrutura. 
Decomponha essa força nas componentes que atuam ao 
longo dos membros AB e AC, e determine a intensidade de 
cada componente. 
 
 
5. Decomponha a força horizontal de 600 N da figura 
ao lado nas componentes que atuam ao longo dos eixos u e v 
e determine as intensidades dessas componentes. 
 
 
6. A força F de intensidade igual a 500 N é 
decomposta em duas componentes segundo as 
direções a-a e b-b. Determine o ângulo α, sabendo que 
a componente de F ao longo da linha a-a é de 350 N. 
 
 
7. A força F de intensidade igual a 800 N é 
decomposta em duas componentes segundo as 
direções a-a e b-b. Determine o ângulo α, sabendo que 
a componente de F ao longo da linha b-b é de 120 N. 
 
 
8. Para satisfazer limitações de projeto é necessário 
determinar o efeito da força trativa de 2 kN atuando no 
cabo, sobre o cisalhamento, a tração e a flexão da viga em I 
engastada. Com este objetivo, substitua esta força por 
outra equivalente em A, formada por duas forças Ft, 
paralela, e Fn, perpendicular à viga. Determine Ft e Fn. 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 14 
 
9. O cabo AB evita que a barra AO gire no sentido 
horário em torno do pivô O. Se a força trativa no cabo vale 
750 N, determine os componentes n e t desta força, 
atuando no ponto A da barra. 
 
 
10. A inclinação da força F de 4,8 kN está 
especificada como mostrado na figura. Expresse F como 
um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. 
 
11. A força F de 1800 N é aplicada à extremidade 
da viga em I. Expresse F como um vetor, usando os 
vetores unitários i e j. 
 
 
12. Uma corda é tracionada por uma força F = 100 N, 
conforme mostrado na figura ao lado. Determine �⃗�. 
 
 
13. O homem mostrado na figura ao lado puxa a corda 
com uma força de intensidade 700 N. Represente esta força, 
que atua no suporte A, como um vetor cartesiano. 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 15 
 
 
 
14. A figura ao lado mostra as forças F1, F2, F3 e F4, todas atuando em um 
mesmo ponto. 
a) Escreva cada uma das forças usando os vetores unitários i e j. 
b) Obtenha a força resultante no ponto A, isto é, FR = F1 + F2 + F3 + F4 
c) Determine o valor do produto escalar G = F1 ∙ F2 
d) Determine o vetor H dado pelo produto vetorial F3 × F4, isto é, 
H = F3 × F4 e seu módulo H. 
 
15. Usando produto escalar, determine o ângulo θ entre os vetores �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 + 4�⃗⃗� e �⃗� = −2𝑖 + 4𝑗 + 4�⃗⃗�. 
 
16. Usando produto vetorial, determine o valor de sen θ, em que θ é o ângulo entre os vetores: 
�⃗⃗� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�⃗⃗� e �⃗� = 3𝑖 + 2𝑗 + 1�⃗⃗�. 
 
5. FORÇA RESULTANTE 
 
Consideremos um corpo sujeito a um sistema de forças F1, F2, F3, ..., Fn. Denomina-se força resultante FR à 
força tal que: FR = F1 + F2 + F3 + ... + Fn. 
Seja, por exemplo, as forças F1, F2, agindo sobre o pino da figura a seguir (a). Essas forças podem ser somadas 
para se obter a força resultante FR que atua sobre o pino. Essa força resultante pode ser obtida pelo método do 
paralelogramo (b) ou pelo método do polígono (c). 
 
 (a) (b) (c) 
 
Exercícios – Série 2 
 
1. Combine em uma única força resultante R as duas forças P e T que atuam no ponto B da estrutura fixa. 
 
 
2. As forças F1 e F2 atuam no suporte, como 
mostrado ao lado. Determine: 
a) o módulo da resultante R; 
b) a projeção Fb da resultante R sobre o eixo b. 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 16 
 
3. O gancho mostrado na figura está sujeito a 
duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da 
força resultante. 
 
4. Determine a intensidade da força resultante 
que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x. 
 
5. Duas forças atuam sobre o gancho. Determine 
a intensidade da força resultante. 
 
6. O parafuso tipo gancho mostrado na figura 
está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo 
e a direção da força resultante. 
 
7. Determine a intensidade da força resultante e 
sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do 
eixo x positivo. 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 17 
 
8. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. 
Sabendo-se que a força resultante é igual a 30 kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. 
 
 
 
9. Os dois elementos estruturais,um sob 
tração e o outro sob compressão, exercem as 
forças indicadas no nó O. Determine o módulo da 
resultante R das duas forças e o ângulo θ que R faz 
com o eixo x positivo. 
 
10. Determine a intensidade da força resultante 
e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, 
em relação ao eixo x positivo. 
 
 
11. A chapa está submetida a duas forças FA e FB como 
mostra a figura. Se θ = 60°, determine a intensidade da 
força resultante e sua intensidade em relação ao eixo 
horizontal. 
 
12. Determine o módulo Fs da força trativa atuando 
na mola, para que a resultante de Fs e de F seja uma força 
vertical. Determine o módulo R desta força resultante 
vertical. 
 
60°30°
O
3 kN
2 kN
x
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 18 
 
13. Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de 
remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o valor 
da força F de modo que a força resultante seja orientada 
verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade 
de 750 N. 
 
14. Um automóvel avariado está sendo puxado por 
meio de duas cordas como mostra a ilustração ao lado. Se a 
resultante das duas forças exercidas pelos cabos é de 
1500 N, paralela ao eixo do automóvel, pede-se 
determinar: 
a) a tração em cada uma das cordas sendo α = 30°; 
b) o valor de α para que a tração no cabo 2 seja 
mínima. 
 
15. A caminhonete mostrada é rebocada por duas 
cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir 
uma força resultante de 950 N orientada no eixo x positivo, 
considere θ = 50°. 
 
16. A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores 
mostrados, sabendo-se que a força resultante é igual a 10 
kN e está orientada ao longo do eixo x positivo, determine 
a intensidade das forças FA e FB. Considere θ = 15°. 
 
17. Em que ângulo θ a força de 800 N deve ser 
aplicada para que a resultante R das duas forças tenha um 
módulo de 2000 N? Para esta condição, determine o ângulo 
β entre R e a vertical. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 19 
 
18. Os cabos de sustentação AB e AC estão 
presos no topo da torre de transmissão. A força 
trativa no cabo AC vale 8 kN. Determinar a força 
trativa T necessária no cabo AB, tal que o efeito 
resultante das duas forças trativas nos cabos seja 
uma força direcionada verticalmente para baixo no 
ponto A. Determine o módulo R desta força. 
 
19. As duas forças mostradas atuam no ponto A 
da barra dobrada. Determine a resultante R das duas 
forças. 
 
 
 
 
20. Determine a resultante do sistema de forças, 
indicado na figura ao lado. 
São dados: F1 = 1 N; F2 = F3 = √18 N 
OA = OB = OC = 3 m. 
 
x
y
z
A
B
C
O
F1
F2
F3
 
21. A cobertura, mostrada na figura ao lado, é 
suportada por cabos. Se os cabos exercem forças FAB = 100 N e 
FAC = 120 N no gancho da parede em A, determine a força 
resultante que atua em A. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
A
B
C
40 m50 m
20 m
40 m
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 20 
 
6. MOMENTO DE UMA FORÇA 
 
6.1 Definição 
O momento de uma força em relação a um ponto, ou a um eixo, é uma grandeza vetorial que fornece uma 
medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. A tendência de 
rotação também é chamada de torque, momento de uma força ou simplesmente momento. 
Para problemas em duas dimensões é mais conveniente utilizar uma formulação escalar e para problemas 
em três dimensões a formulação vetorial é a mais indicada. 
 
6.2 Momento – Formulação escalar 
A figura ao lado mostra um corpo bidimensional submetido 
a uma força F, atuando em seu plano. O módulo M do momento, 
ou a tendência da força de girar o corpo em torno do eixo O-O 
perpendicular ao plano do corpo, é proporcional tanto ao módulo 
da força, F, quanto ao braço de alavanca d, que é a distância 
perpendicular do eixo até a linha de ação da força. 
Dessa maneira, o módulo do momento M é definido como: 
 
 𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 
 
Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior é o efeito da rotação. 
O momento é um vetor M perpendicular ao plano do 
corpo. O sentido de M depende da direção na qual F tende a girar 
o corpo. A regra da mão direita é usada para identificar este 
sentido. De acordo com esta regra, representamos o vetor 
momento M apontando no sentido indicado pelo polegar da 
mão direita, quando os dedos são curvados no sentido da 
tendência da rotação. A figura ao lado, mostra o vetor M 
orientado de acordo com esta regra. 
Quando lidarmos com forças que atuam todas em um 
mesmo plano, falaremos em momento em relação a um ponto. 
Com isto queremos dizer, momento em relação a um eixo 
normal ao plano e que passa pelo ponto. No caso da figura ao 
lado, o momento de F em relação ao ponto A tem módulo 
M = F·d e é anti-horário (que indicaremos por ). Caso o 
momento fosse horário, indicaríamos por . 
 
No Sistema Internacional, o momento de uma força é medido em N·m. 
 
6.3 Momento – Formulação vetorial 
Em sua formulação vetorial, o momento M da força F, em relação ao ponto A, ou ao eixo OO pode ser obtido 
com o produto vetorial: 
 M = r × F 
Nessa expressão r é um vetor posição que vai do ponto de referência do momento, ponto A, para qualquer 
ponto da linha de ação da força F. 
O produto vetorial anterior pode ser obtido fazendo-se: 
 �⃗⃗⃗� = 𝑟 × �⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
| 
O módulo M do vetor momento M pode ser obtido com a propriedade do produto vetorial e dado por: 
 𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ sen 𝛼 = 𝐹 ∙ 𝑑 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 21 
 
6.4 Teorema de Varignon 
Uma ferramenta bastante usada na Mecânica é o princípio dos momentos, que, algumas vezes, é referido 
como o teorema de Varignon, estabelecido originalmente pelo matemático francês Pierre Varignon (1654-1722). 
Tal princípio estabelece que: 
“O momento de uma força, em relação a qualquer ponto, é igual à soma dos momentos dos componentes 
desta força em relação ao mesmo ponto.” 
 
A demonstração de tal princípio é imediata visto que o produto vetorial obedece á propriedade distributiva 
da multiplicação: 
 M = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2 
 
6.5 Binário ‒ Momento de um binário 
Denomina-se binário o sistema constituído por duas forças de mesma direção, mesma intensidade F e 
sentidos opostos, separadas por uma distância perpendicular d. 
 
Como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação 
em torno de uma direção específica. Podemos determinar o momento do binário encontrando a soma dos 
momentos das duas forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. 
Na figura ao lado, os vetores posição rA e rB estão 
direcionados do ponto O para os pontos A e B situados 
na linha de ação de –F e F. Portanto, o momento do 
binário, em relação a O é: 
M = rB × F + rA × –F = (rB – rA) × F 
Entretanto, rA + r = rB ou r = rB – rA 
Portanto: 
M = r × F 
 
Este resultado indica que o momento de um 
binário é um vetor livre, ou seja, ele pode agir em 
qualquer ponto, visto que M depende apenas do vetor 
posição r. 
 
 
Em sua formulação escalar, o momento M de um binário M é dado por: M = F · d , em que F é a intensidade 
de uma das forças e d a distância perpendicular, ou braço do momento, entre as forças. 
Mudar os valores de F e d não altera um binário, desde que o produto F · d permaneça constante. Do mesmo 
modo, um binário não é alterado se as forças atuarem em um plano diferente, porém paralelo. A figuraa seguir 
mostra quatro diferentes configurações de um mesmo binário M. Em cada um dos quatro casos, os binários são 
equivalentes e são descritos pelo mesmo vetor livre, que representa as tendências idênticas de rotação dos corpos. 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 22 
 
6.6 Sistema força-binário 
O efeito de uma força agindo sobre um corpo é a tendência de empurrar ou puxar o corpo na direção da 
força, e de girar o corpo em relação a qualquer eixo fixo que não intercepte a linha de ação da força. Podemos 
representar este efeito dual mais facilmente substituindo a força dada por uma força igual e paralela e por um 
binário que compense a mudança no momento devido à força. 
A substituição de uma força por uma força e um binário está ilustrado na figura seguinte, na qual a força 
dada F, atuando no ponto A, é substituída por uma força igual F em um ponto B qualquer e pelo binário anti-horário 
M = F · d. A modificação está ilustrada na figura do meio, em que forças iguais e opostas, F e ‒F são adicionadas no 
ponto B, sem introduzir qualquer efeito externo sobre o corpo. Vemos agora que a força original em A e a força 
igual e oposta em B formam um binário M = F · d, que é anti-horário para o exemplo escolhido, como mostrado na 
figura da direita. 
 
 
 
Assim, substituímos a força original em A pela mesma força atuando em um ponto diferente B e por um 
binário, sem alterar os efeitos externos da força original sobre o corpo. 
A combinação da força com o binário, na parte à direita da figura anterior, é denominada sistema força-
binário. 
 
Exercícios – Série 3 
 
1. Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras mostradas. 
 
2. Determine os momentos da força de 800 N em 
relação aos pontos A, B, C e D. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 23 
 
3. Determine o momento das forças que atuam na 
estrutura mostrada em relação ao ponto O. 
 
4. Determine o momento da força de 200 N em 
relação ao ponto A. 
 
 
5. Uma força de 800 N atua sobre um suporte, conforme 
mostra a ilustração ao lado. Determine o módulo do momento 
da força em relação ao ponto B. 
 
6. Calcule o módulo do momento da força F, de 
intensidade 600 N, em relação ao ponto O da base. 
4 m
2 m
40°
A
O
F
 
 
 
 
7. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 24 
 
 
8. Para levantar o mastro OC, uma armação leve OAB é presa ao mastro e uma força de tração de 3,2 kN é 
aplicada ao cabo de sustentação pelo guincho em D. 
 
 
Calcule o momento desta força de tração em relação à dobradiça no ponto O. 
 
9. Ao se levantar o poste a partir da posição mostrada, a força de tração T no cabo deve gerar um momento 
de 72 kN·m em torno de O. Determine T. 
 
 
10. Calcule o momento MO da força de 250 N em relação ao ponto O na base do robô. 
 
 
 
11. A força exercida pelo amortecedor AB sobre 
a porta vale 50 N e está direcionada ao longo da linha 
AB. Esta força tende a manter a porta fechada. 
a) Calcule o momento desta força em relação à 
dobradiça O. 
b) Que força FC, normal ao plano da porta, deve 
ser exercida sobre a porta pelo batente em C, de modo 
que o momento combinado das duas forças em 
relação a O seja zero? 
400 400
25
100
75
A
B
C
O
Dimensões em milímetros 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 25 
 
12. Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
13. A força F = (600·i + 300·j – 600·k) N, atua na 
extremidade da viga. Determine o momento dessa 
força em relação ao ponto A. 
 
14. O poste mostrado está sujeito a uma força de 
60 N na direção de C para B. Determine a intensidade 
do momento criado por essa força em relação ao 
suporte no ponto A. 
 
 
15. Determine o momento da força F em relação 
ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
 
16. A força P de intensidade 80 N atua ao longo 
da linha BD da cantoneira ilustrada ao lado. Determine: 
a) o momento de P em relação a O na forma 
cartesiana. 
b) o módulo do momento de P em relação a O. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 26 
 
17. O conjunto roda-suporte está submetido ao 
par de forças de 400 N mostrado. Determine o 
momento associado a essas forças. 
 
18. Como parte de um teste, os dois motores de 
um avião são acelerados e as inclinações das hélices são 
ajustadas de modo a resultar em um empuxo para 
frente e para trás, como mostrado. Que força F deve ser 
exercida pelo chão em cada uma das duas rodas 
principais freadas em A e B, para se opor ao efeito 
giratório dos empuxos das duas hélices? Despreze 
quaisquer efeitos da roda do nariz, C, que está girada 
de 90° e não está freada. 
 
19. Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do 
ventilador criam um momento de binário MO = 6 N·m 
sobre as mesmas. Determine a intensidade das forças 
de binário na base do ventilador de modo que o 
momento de binário resultante no ventilador seja nulo. 
 
20. Cada hélice de um navio de duas hélices 
desenvolve um empuxo de 300 kN na velocidade 
máxima. Ao manobrar o navio, uma hélice está girando 
a toda velocidade para frente e a outra a toda 
velocidade no sentido reverso. Que empuxo P cada 
rebocador deve exercer no navio para contrabalançar o 
efeito das hélices? 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 27 
 
21. Uma chave de roda é usada para 
apertar um parafuso de cabeça quadrada. 
Se forças de 250 N forem aplicadas à chave 
como mostrado, determine o módulo F 
das forças iguais exercidas nos quatro 
pontos de contato na cabeça de 25 mm do 
parafuso, de modo que seu efeito externo 
sobre o parafuso seja equivalente ao das 
duas forças de 250 N. Considere que as 
forças são perpendiculares aos lados 
planos da cabeça do parafuso. 
 
 
22. Uma matriz está sendo usada para fazer uma 
rosca em uma barra. Se forças de 60 N são aplicadas 
como mostrado, determine o módulo F das forças 
iguais exercidas na barra de 6 mm de diâmetro por 
cada uma das quatro superfícies, de forma que seu 
efeito externo sobre a barra seja equivalente ao das 
duas forças de 60 N. 
 
23. Determine o momento de binário 
resultante que age sobre a viga. 
 
24. Determine o momento de binário 
resultante que age sobre a chapa triangular. 
 
25. Determine a intensidade da força F de 
modo que o momento de binário resultante que age 
sobre a viga seja 1,5 kN·m no sentido horário. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 28 
 
26. O sistema força-binário indicado está 
aplicado a um pequeno eixo localizado no centro da 
placa. Substitua esse sistema por uma única força e 
especifique a coordenada do ponto sobre o eixo x 
através do qual passa a linha de ação dessa força 
resultante. 
 
27. O suporte está soldado a ponto à 
extremidade do eixo no ponto O. Para mostrar o 
efeito da força de 900 N sobre a solda, substitua a 
força por seu equivalente formado por uma força e 
seu binário M em O. Expresse M em notação vetorial. 
 
 
7. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
Nesta disciplina lidaremos, principalmente, com a descrição das condições necessárias e suficientes para 
manter o equilíbrio de forças e momentos em estruturas de Engenharia. 
O passo mais importante ao se estabelecer as condições necessárias e suficientes para manter o equilíbrio 
de qualquer estrutura é o diagrama de corpo livre. 
O diagramade corpo livre é um esquema simplificado do corpo, livre de vínculos físicos, no qual se 
representam todos os esforços (forças e/ou momentos) que atuam sobre o corpo. 
 
8. CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL 
 
Um ponto material encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso ou então possua 
velocidade constante. 
Para que essa condição ocorra, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula, 
portanto: 
 ∑ �⃗� = 0 ⟹ ∑ 𝐹𝑥𝑖̂ + ∑ 𝐹𝑦𝑗̂ + ∑ 𝐹𝑧�̂� = 0 
 
Essa condição pode ser imposta de forma escalar: 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 e ∑ 𝐹𝑧 = 0 
A solução é obtida por um sistema de três equações e três incógnitas. Logicamente, se o sistema for plano 
teremos um sistema de duas equações e duas incógnitas. 
 
Exercícios – Série 4 
1. Determine a tensão nos cabos AB e AD para o 
equilíbrio do motor de peso 2500 N mostrado na figura 
ao lado. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 29 
 
2. Na figura abaixo, os fios são ideais e o corpo C 
tem peso 100 N. Determine a intensidade das trações 
nos fios 1, 2 e 3. 
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 
 
3. O sistema mostrado na figura abaixo está em 
equilíbrio. Os fios são ideais e o corpo suspenso tem 
peso 200 N. Determine as intensidades das forças de 
trações nos fios 1, 2 e 3. 
 
4. Determine a tração nos cabos AB e BC 
necessária para sustentar o cilindro de peso 600 N. 
 
5. Na figura os fios são ideais e o corpo C tem 
peso 10 N. Determine a tração no fio AB e a 
intensidade da força �⃗� que mantém o sistema em 
equilíbrio. 
 
 
6. A caixa de massa 200 kg da figura a seguir é 
suspensa usando as cordas AB e AC. Cada corda pode 
suportar uma força máxima de 10 kN antes de se 
romper. Se AB sempre permanece horizontal, 
determine o menor ângulo θ para o qual a caixa pode 
ser suspensa antes que uma das cordas se rompa. 
Adote g = 9,81 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 30 
 
7. Determine o ângulo θ e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio estático. 
 
 
8. Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o semáforo de peso 120 N. 
 
 
9. Determine as forças necessárias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de peso 200 N em 
equilíbrio. Considere F = 300N. 
 
 
10. Os três cabos são usados para suportar a luminária de peso 800 N. Determine a força desenvolvida em 
cada cabo para a condição de equilíbrio. 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 31 
 
9. EQUILÍBRIO DOS CORPOS EXTENSOS RÍGIDOS 
 
Em nosso curso de Mecânica Geral analisaremos estruturas, na maior parte dos casos, bidimensionais, ou 
seja, estruturas planas com carregamento neste mesmo plano. Para o equilíbrio deste tipo de estrutura, existem 
três movimentos a restringir. 
Supondo uma estrutura situada no plano x-y, os movimentos a restringir são as translações nas direções Ox 
e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano, no caso a direção Oz. 
A seguir descreveremos os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
 
9.1 Tipos de apoios e suas reações 
 Apoio de 1º gênero (Rolete ou Apoio Móvel) 
Este tipo de apoio é, basicamente, um suporte sobre o 
qual se assenta a estrutura (podendo ou não ter roletes) e que 
impede o movimento em uma única direção e nesta direção 
aparecerá uma reação de apoio R. No caso do apoio da foto 
ao lado, ele impede o movimento da estrutura na direção 
vertical. 
A representação esquemática deste apoio é mostrada 
abaixo. 
 
 
 Apoio de 2º gênero (Articulação ou Pino) 
Se no apoio do 1º gênero substituirmos os roletes por 
uma chapa presa completamente ao plano suporte, 
estaremos impedindo todas as translações possíveis, 
permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo pino. 
Na direção das translações impedidas aparecerão as reações 
H e V, indicadas no esquema abaixo, e cuja composição 
vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º 
gênero. 
 
 
 
 Apoio de 3º gênero (Apoio fixo ou Engastamento) 
Se ancorarmos a estrutura em um bloco de dimensões que 
possam ser consideradas infinitas em comparação com as 
dimensões da estrutura, na seção de contato ente ambos o bloco 
estará impedindo, por sua enorme rigidez, todos os movimentos 
possíveis da estrutura e dizemos, então, que ele engasta a 
estrutura. Um engaste será representado esquematicamente da 
forma indicada abaixo, aparecendo na direção de cada 
movimento impedido (2 translações e 1 rotação) as reações de 
apoio H, V e M. 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 32 
 
 
9.2 Condições para o equilíbrio do corpo extenso rígido 
Um corpo extenso e rígido encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso e que não esteja 
sofrendo nenhuma rotação. 
Para que essas condições sejam satisfeitas, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve 
ser nula (∑ �⃗� = 0) e o momento resultante de todas as forças atuantes, em relação a qualquer ponto, deve ser 
nulo (∑ �⃗⃗⃗� = 0). 
Essas condições podem ser impostas de forma escalar: 
 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 e ∑ 𝐹𝑧 = 0 (impede a translação do corpo) 
 
 ∑ 𝑀𝑥 = 0, ∑ 𝑀𝑦 = 0 e ∑ 𝑀𝑧 = 0 (impede a rotação do corpo) 
 
A solução, em um sistema tridimensional, é obtida por um sistema de seis equações e seis incógnitas. Se o 
sistema for plano teremos um sistema de três equações, sendo duas relativas às forças e uma dos momentos, e 
três incógnitas. 
 
Exercícios – Série 5 
1. Um carpinteiro carrega uma tábua uniforme 
com peso igual a 90 N, como mostrado. Qual é o valor 
da força direcionada para baixo que ele sente em seu 
ombro em A? 
 
2. A plataforma uniforme, que tem uma massa 
por unidade de comprimento de 28 kg/m, está 
simplesmente apoiada sobre barras de apoio em A e 
em B. Um trabalhador da construção civil com 90 kg 
sai do ponto B e anda para a direita. Qual é a distância 
máxima s que ele poderá andar sobre a plataforma 
sem que ela gire em torno do ponto B? 
 
3. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a reação da viga em C. 
 
4. Para a estrutura mostrada na figura ao lado 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 33 
 
5. Para a estrutura mostrada na figura ao lado 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
6. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a tração desenvolvida 
no cabo BC usado para sustentar a estrutura de aço. 
 
7. Determine as componentes 
horizontal e vertical das reações no ponto A e 
no ponto B para a viga mostrada na figura ao 
lado. 
 
8. Uma estrutura em arco treliçado é 
fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre 
roletes em B num plano de 30° com a 
horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso 
próprio da estrutura é de 100 kN. A força 
resultante dos ventos é de 40 kN, e situa-se a 
4 m acima de A, horizontalmente, da direita 
para a esquerda. Determine as reações dos 
apoios A e B. 
9. A viga da figura ao lado tem peso 
1000 N e está submetida à carga concentrada de 
1200 N, como representado. Determine as 
reações no engaste A. 
 
 
10. A haste mostrada na figura é 
conectada por um pino em A e sua 
extremidade B tem o movimento limitado 
pelo apoio liso em B. Calcule os 
componentes horizontal e vertical da 
reação no pino A. 
 
A
CG
B
20 m
30°
40 kN
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 34 
 
11. A chave de boca mostrada na 
figuraé utilizada para apertar o parafuso 
em A. Se a chave não gira quando a carga é 
aplicada ao seu cabo, determine o 
momento e a força da chave aplicados ao 
parafuso. 
 
12. A barra lisa e uniforme mostrada na 
figura está sujeita a uma força e um momento. 
Se a barra é apoiada em A por uma parede lisa e 
em B e C, na parte superior e inferior, é apoiada 
por roletes, determine as reações nesses apoios. 
Despreze o peso da barra. 
 
13. Para a viga mostrada ao lado, 
determine as reações no engaste. Despreze o 
peso próprio da viga. 
 
 
10. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS 
 
A treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas extremidades. 
Geralmente os elementos de uma treliça são de madeira ou de aço e em geral são unidos por uma placa de 
reforço com mostrado nas figuras abaixo. A ligação entre os elementos recebe o nome de nó. 
 
As treliças planas são aquelas que se distribuem em um plano e geralmente são utilizadas em estruturas de 
telhados e pontes. 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 35 
 
 
 
10.1 Projeto de treliças 
Hipóteses: 
• Todas as cargas são aplicadas aos nós. 
• Normalmente o peso próprio é desprezado, pois a carga suportada é bem maior que o peso do elemento. 
Se o peso P de cada elemento for levado em conta, podemos considerar P/2 atuando em cada extremidade do 
elemento. 
• Os elementos são ligados entre si por superfícies lisas. 
 
10.2 Elemento de duas forças 
Devido às hipóteses simplificadoras, os elementos de uma treliça atuam como barras de duas forças. 
Se uma força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. 
Se uma força tende a encurtar o elemento, é chamada de força de compressão. 
 
 
 
Em um elemento de duas forças em equilíbrio, as forças atuantes devem, necessariamente, ter mesma 
intensidade, mesma direção, mesma linha de ação e sentidos opostos. Dessa maneira, a força resultante sobre o 
elemento é nula e o momento resultante também é nulo. A figura a seguir mostra um elemento de duas forças, de 
formato curvo. Em (a), qualquer que sejam os valores de FA e FB, o elemento não se equilibra. Em (b), apesar de FA 
= FB = F, não existe equilíbrio, pois o momento não é nulo. Em (c), o elemento se encontra em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 36 
 
10.3 Estaticidade das treliças 
Dada uma treliça, substituir o apoio móvel por uma barra e o apoio fixo por duas barras. Seja b o número 
total de barras e n o número de nós na treliça resultante. 
 
Se b < 2·n, a treliça é hipostática (não estável quando sob carga). 
Se b = 2·n, a treliça é isostática e pode ser analisada apenas com as equações da estática. Este tipo de treliça 
é conhecido como treliça simples. 
Se b > 2·n, a treliça é hiperestática e o número de incógnitas é maior do que o número de equações que 
podem ser obtidas. Sua análise não pode ser feita apenas com as equações de equilíbrio, exige também o uso de 
equações da Resistência dos Materiais. 
Nesta disciplina, Mecânica, analisaremos apenas as treliças isostáticas. 
 
10.4 Método dos nós 
Após a determinação das reações dos apoios, considerando a treliça toda como um corpo extenso, a análise 
é realizada a partir do diagrama de corpo livre e a imposição das condições de equilíbrio a (n – 1) nós que compõem 
a treliça. 
São válidas as equações de equilíbrio estático do ponto material. 
 == 00 yx FF
 
Observação: Toda treliça isostática pode ser analisada apenas pelo método dos nós. 
 
Exercícios – Série 6 
1. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão. 
 
2. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. Explique porque não é 
necessário conhecer o comprimento dos elementos. 
 
3. Determine a força em cada membro da 
treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 37 
 
4. Determine a força em cada membro da 
treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
5. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão. 
 
6. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. 
 
7. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
8. Determine a força em cada elemento da treliça 
carregada e indique se os elementos estão sob tração 
ou compressão. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 38 
 
9. Determine a força em cada elemento da treliça 
carregada e indique se os elementos estão sob tração 
ou compressão. Todos os triângulos são isósceles. 
 
10. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
11. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
12. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
Dados: P1 = 2 kN e P2 = 1,5 kN. 
 
13. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
Dado: P = 8 kN. 
 
14. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. Utilize a simetria da treliça e 
do carregamento. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 39 
 
15. Cada elemento da treliça é uma barra 
uniforme de 8 m e peso 4000 N. Calcule a tração ou 
compressão média em cada elemento, devida aos pesos 
dos elementos. 
 
16. Determine as forças nos elementos BC e BG 
da treliça carregada e indique se estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
 
 
10.5 Método das seções 
O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se determinar as forças 
atuantes dentro de um elemento estrutural. Esse método baseia-se no princípio de que se um corpo está em 
equilíbrio, qualquer parte dele também está. 
O método consiste em seccionar o elemento estrutural no ponto que se deseja determinar os esforços e 
aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso e rígido na região seccionada. 
 
Exercícios − Série 7 
1. Determine as forças que atuam nos elementos 
GE, GC e BC da treliça mostrada na figura e indique se 
os elementos estão sob tração ou compressão. 
 
2. Determine as forças nos elementos CG 
e GH e indique se estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 40 
 
3. Determine as forças nos membros BC, 
CF e FE. Indique se os membros estão sob tração 
ou compressão. 
 
4. Determine a força no elemento AE da treliça 
carregada e indique se está sob tração ou compressão. 
 
5. Determine a força no elemento BE da 
treliça carregada e estabeleça se está sob tração ou 
compressão. 
 
6. Calcule as forças nos elementos BC, BE e EF e 
indique se está sob tração ou compressão. 
 
7. Na treliça a seguir, submetida à carga W, 
determine, usando o método das seções, a força nas 
barras CG e GH e diga-se se estas barras estão 
comprimidas (C) ou se estão tracionadas (T). 
60ºW
4 m4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
A
B C
F
D
E
GHJ
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 41 
 
8. Calcule as forças nos elementos DE e DL e 
indique se está sob tração ou compressão. 
 
9. A treliça de ponte Howe está sujeita ao 
carregamento mostrado. Determine as forças nos 
membros HD, CD e GD e indique se os membros estão 
sob tração ou compressão. 
 
10. A treliça de ponte Howe está sujeita ao 
carregamento mostrado. Determine as forças nos 
membros HI, HB e BC e indique se os membros estão 
sob tração ou compressão. 
 
 
11. SISTEMA DE FORÇAS DISTRIBUÍDAS 
 
Uma força é distribuída quando sua aplicação em um corpo é feita em mais do que um ponto. 
Com relação à distribuição, as forças distribuídas podem ser classificadas em: 
◼ Forças distribuídas volumetricamente: que são aquelas distribuídas pelo volume de um corpo. Por 
exemplo, temos a força peso. No Sistema Internacional de Unidades, a intensidade de uma força distribuída 
volumetricamente é medida em N/m3. 
◼ Forças distribuídas superficialmente: que são aquelas distribuídas pela superfície de um corpo. Por 
exemplo, temos a pressão. No Sistema Internacional de Unidades, a intensidade de uma força distribuída 
superficialmente é medida em N/m2. 
◼ Forças distribuídas linearmente: que são aquelas distribuídas ao longo de uma linha. Embora, da mesma 
maneira que a força concentrada, este tipo de força é uma aproximação. No Sistema Internacional de Unidades, a 
intensidade de uma força distribuída linearmente é medida em N/m. 
Se considerarmos, por exemplo, uma força distribuída aplicada na parte superior de uma viga retangular, 
como mostrado a seguir, e se levarmos em conta que a largura onde está aplicada a carga é muito pequena, quando 
comparada com o comprimento da viga, podemos considerar que a carga está distribuída apenas ao longo do 
comprimento da viga. 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 42 
 
 
Nesta disciplina trataremos, quase que exclusivamente, deste tipo de distribuição de força. 
Seja uma força linearmente distribuída ao longo de um comprimento L e w(x) a função de distribuição da 
força, como mostrado a seguir. 
 
 
11.1 Intensidade da força resultante 
A intensidade da força resultante é equivalente à soma de todas as forças atuantes no sistema e em muitos 
casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema. 
● A força resultante é igual à área total sob o diagrama de carga. 
 𝐹𝑅 = ∫ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥
𝐿
= ∫ 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴 
 
11.2 Ponto de aplicação da força resultante 
● A localização da linha de ação da força resultante em relação ao eixo x pode ser determinada pela equação 
de momentos da força resultante e da distribuição de forças em relação ao ponto O. 
● A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide da área definida pelo diagrama de 
carregamento. 
 �̅� =
∫ 𝑥 ∙ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝐿
∫ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝐿
=
∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
∫ 𝑑𝐴𝐴
 
 
Abaixo mostramos os casos mais corriqueiros de cargas q, distribuídas linearmente, assim como a força 
resultante equivalente F e seu ponto de aplicação. 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 43 
 
 
Exercícios – Série 8 
1. Determine a intensidade e a 
localização da força resultante equivalente 
que atua no eixo mostrado na figura. 
 
 
2. Um carregamento distribuído com 
w = 160 · x N/m atua no topo de uma superfície de uma 
viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a 
localização da força resultante equivalente. 
 
3. Determine, para a viga mostrada ao lado, a 
intensidade da força resultante e seu ponto de aplicação, 
medido a partir do ponto A. 
 
4. O suporte de alvenaria gera a 
distribuição de cargas atuando nas extremidades 
da viga. Simplifique essas cargas a uma única 
força resultante e especifique sua localização em 
relação ao ponto O. 
 
5. Substitua as cargas atuantes por 
uma única força resultante e especifique 
sua localização sobre a viga em relação ao 
ponto O. 
 
6. Substitua as cargas atuantes por 
uma única força resultante e especifique 
sua localização sobre a viga em relação ao 
ponto A. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 44 
 
7. Substitua as cargas atuantes por 
uma única força resultante e especifique 
sua localização sobre a viga em relação ao 
ponto A. 
 
8. Substitua as cargas atuantes por 
uma única força resultante e especifique 
sua localização sobre a viga em relação ao 
ponto O. 
 
9. Substitua as cargas atuantes por 
uma única força resultante e especifique 
sua localização sobre a viga em relação ao 
ponto O. 
 
10. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto A. 
 
 
12. REAÇÕES DOS APOIOS EM VIGAS 
 
As vigas são elementos estruturais projetados para suportar cargas externas aplicadas perpendicularmente 
a seu eixo. Geralmente, as vigas têm área de seção transversal constante e são longas e retas. 
As vigas mais utilizadas em projetos estruturais são a viga simplesmente apoiada, com uma extremidade 
apoiada com pino e com um rolete na outra, e a viga em balanço, com uma extremidade engastada e a outra livre. 
A seguir mostramos a classificação dos tipos mais comuns de vigas. 
 
a) Simplesmente apoiada 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 45 
 
b) Biengastada (fixa) 
 
c) Engastada- Apoiada 
 
d) Em balanço 
 
e) Em balanço nas extremidades 
 
 
Exercícios – Série 9 
1. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios. 
 
2. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e C. 
 
3. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
4. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 46 
 
5. Calcule as reações dos apoios A e B 
para a viga submetida às duas cargas 
distribuídas com variação linear. 
 
6. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
7. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
8. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
9. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
10. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e D. 
 
 
 
13. ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS 
 
13.1 Esforços internos 
Para projetar e dimensionar um elemento estrutural ou mecânico é necessário conhecer as cargas ‒forças e 
momentos‒ que atuam dentro do elemento, a fim de garantir que o material possa resistir a essas cargas. 
Consideremos a viga em balanço engastada em 
A, mostrada na figura ao lado, sujeita às cargas F1 e F2 
e um ponto B, ao longo de seu comprimento. 
Os esforços internos que atuam na seção 
transversal da viga que passa pelo ponto B podem ser 
determinadas usando o método das seções. 
A
B
F1
F2
 
Para a viga que estamos considerando, teremos: 
 
Mecânica dos Sólidos Paulo Cesar Martins Penteado 47 
 
A
B
F1
F2
MA
Ax
Ay
BB
F1 F2VB
NB
MB
MB
NB
VB
 
A componente de força NB, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada de esforço normal. 
A componente de força VB, que é tangente à seção transversal é chamada de esforço cortante. O momento de 
binário MB é