1 JUROS SIMPLES

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UNIDADE II – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES:
1 	JUROS SIMPLES: Em geral, os juros são calculados periodicamente ao final de um dia, de um mês, de um ano; ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião do investimento ou empréstimo.
	Se os juros têm taxa fixa e forem calculados sempre a partir da quantia inicial são chamados, então, de juros simples.
	De um modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital C a taxa de juros i durante um período t de tempo, podem ser calculados através da fórmula: J = C . i . t
	A mesma relação de grandeza existente entre a taxa e o número 100 (100%) é a que existe, entre os juros e o capital. Podemos deduzir todas as fórmulas necessárias para o cálculo dos problemas de juros.
 FÓRMULAS:
 Capital: C = 100 . j Tempo: t = 100 . j
 i . t				 	 C. i
 Juros: j = C . i . t Taxa: i = 100 . j
 100				 	 C. t
	Naturalmente, i e t devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, t deverá ser em dias; se a taxa for mensal, t deverá ser em meses etc.
	Ex. 39: Qual é o juro simples que um capital de R$ 30.000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (lê-se ao mês)?
C = 30.000 t = 5 m i = 3,5% a.m = 3,5 = 0,035 a.m	
 100
J = C . i . t ( J = 30.000 . 0,035 . 5 ( J = 5.250 O juro é de R$ 5.250,00
Outra maneira:
C = 30.000 t = 5 m i = 3,5% a.m
J = C . i . t ( J = 30.000 . 3,5 . 5 = 300 . 3,5 . 5 ( J = 5.250 
 100 100
	Ex. 40: Qual é o juro simples que um capital de R$ 2.500,00 rende quando aplicado durante um ano, a uma taxa mensal de 2%?
C = 2.500,00 ; t = 1 a = 12 m ; i = 2% a.m = 0,02 a.m 
J = C . i . t ( J = 2.500 . 0,02 . 12 = 600		O juro é de R$ 600,00
Outra maneira:
C = 2.500 t = 1 a = 12 m i = 2% a.m
J = C . i . t ( J = 2.500. 12 . 2 = 25 . 12 . 2 ( J = 600 
100
	Ex. 41: Um capital de R$ 10.000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data do investimento. Qual foi o juro?
C = 10.000,00 ; t = 3m e 10 d = 3.30 + 10 ( t = 100 d ; i =63% a.a 
 ( i = 63% = 0,175% a.d 
 360 
J = C . i . t ( J = 10.000 . 0,175 . 100 ( J = 1.750,00
 100
	Ex. 42: Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de R$ 5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$ 720,00?
J = 720 ; C = 5.000 ; t = 4,5 m i = ? %a.m J = C . i . t ( i = 100. J 	( 
 100 C . t 
( i = 100 . 720 	 = 720 = 720 ( i = 3,2 % a.m
 5.000 . 4,5 50 . 4,5 225
	Ex. 43: Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa simples de 0,5% a.d rende R$ 2.000,00?
C = ? ; t = 50 d ; i= 0,5 % a.d ; J= 2.000 J = C . i . t ( C= 100 . J ( 
 100 i . t
C = 100 . 2.000 = 200000 ( C = 8.000,00 
 0,5 . 50 25
1.2	TAXAS E PERÍODOS DIFERENTES: As fórmulas se aplicam diretamente só quando o tempo e a taxa estiverem expressos na mesma unidade de tempo (anos, meses ou dias)
Quando não houver essa correspondência, teremos as seguintes situações possíveis:
Tempo em meses, taxa anual: 
	Ex. 44: Calcular os juros produzidos por R$ 140.000, durante 30 meses, a uma taxa de 7,5% ao ano.
Uma maneira: Colocar o tempo em fração de ano.
C = 140.000 J =? i = 7,5 % a.a. t = 30 m = 30/12 de ano = 2,5 a.
 140.000 . 7,5 . 30 700 5
J = C . i . t ( j = 12 ( j = 1400 . 7,5 . 30 ( j = 26.250 
 100 100 12
 2
Outra maneira: Trabalhar com o tempo em meses e mudar o 100 da fórmula, para 1200 (100.12 meses): 
C = 140.000 J =? i = 7,5 % a.a. t = 30 m 
 5
 700 15 
J = C . i . t ( j = 1400 00 . 7,5 . 30 ( j = 700 . 7,5 . 5 ( j = 26.250 
 1200 12 00 
 6
 3
	Ex. 45: Um banco anuncia que um investimento de R$ 952.380,00 rende em seis meses a quantia de R$ 104.762,00. Qual é a taxa anual, calculada com base no ano comercial? (ano comercial = 360 d.)
 J = 104.762 ; C = 952.380 ; t = 6 m = 6/12 de ano = ½ a = 0,5 a; i = ? % a.a. 
J = C. i .t ( i = 100. J (
 100 C . t 
 10
 50 52381 
( i = 100 . 104762 ( i = 10 . 52381 = 523810 ( i = 22% a.a.
 952380 . 0,5 47619 . 0,5 23809,5
 476190 
 238095
 47619
Tempo em dias e taxa anual:
	Ex. 46: Calcular o capital que, aplicado à taxa de 4% ao ano, durante 8 meses e 20 dias, recebeu juros no valor de R$ 5200.
Uma maneira: A mais lógica, para esse caso, é a de trabalhar com o tempo em dias e substituir o 100 da fórmula por 36000 (100 . 360 dias):
C = ? J = 5.200 i = 4 % a.a. t = 8 m e 20 dias = 8.30 + 20 = 260 dias 
 450
 900
C = 36000 . j ( j = 3600 0 . 5200 ( j = 450 . 5200 ( j = 2340000 ( j = 180.000 
 i . t 4 . 26 0 13 13
 13 
	Ex. 47: Calcular os juros de R$ 1.200,00, aplicados a 90% a.a., durante três meses e 10 dias.
C = 1.200 ; J = ? i = 90% a.a. = 0,9 a.a. = 0,9 a.d. n = 3m + 10d = 3.30 + 10 = 100d
 360
J = C . i . n ( J = 1200 . 0,9 . 100 ( J = 300,00
 360
	Ex. 48: Calcular o juro que rende um capital de R$ 8.000,00 quando aplicado durante 7 meses e 15 dias, à taxa anual de 80%.
C = 8.000 ; t = 7m e 15d = 7.30 + 15 = 225d; i = 80% a.a. = 0,8 a.a = 0,8 
 360
( i = 0,0022 a.d J = C . i . n ( J = 8000 . 0,8 . 225 ( J = 4.000,00
 360
outra maneira:
J = C . i . n ( J = 8000 . 80 . 225 ( J = 4.000,00
 36000 36000 
Tempo em dias e taxa mensal: Transformamos a taxa mensal em anual, multiplicando-a por 12.
Tempo em anos e taxas mensal:
Transformamos a taxa mensal em anual, multiplicando-a por 12.
OBS: O método mais prático é o de substituir o 100 da fórmula por 1.200 (tempo em meses) ou por 36.000 (tempo em dias). Aconselhamos a optar por um dos métodos e usá-lo sempre, para que não haja confusão na hora de interpretar o resultado obtido.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO N° 03:
1 – Calcular os juros produzidospelo capital de R$ 15.000 à taxa de 20% ao ano, em 3 anos.
2 - Qual o capital que, aplicado a 40% ao ano, rende, em 4 anos, juros de R$ 20.000?
3 - Durante quanto tempo deve-se aplicar R$ 180.000, à taxa de 15% ao ano, para render R$ 54.000?
4 – A que taxa anual devemos aplicar R$ 80.000,00, para render, em 3 anos R$ 16.800,00?
5 – Uma pessoa emprestou R$ 90.000,00 pelo prazo de 9 meses e recebeu R$ 16.200,00 de juros. Qual foi a taxa anual desse empréstimo?
6 - A que taxa anual esteve aplicado o capital de R$ 756.000,00 , sabendo-se que, em 3 anos, rendeu R$ 215.460,00 de juros simples?
7 – Qual o valor dos juros produzidos por um capital de R$ 180.000,00, à taxa de 5% a.a., em 3 anos, 8 meses e 10 dias?
8 – Calcular o tempo durante o qual o capital de R$ 456.700,00, colocado a juros de 8% a.a., triplica de valor.
9 – Em quantos meses o capital de R$ 74.000,00, aplicado a 36% a.a., renderia os juros necessários à formação de um montante de R$ 193.880?
10 - O Banco Empreendimentos vai emprestar R$ 1.000,00, para uma pessoa, a uma taxa de 5% ao mês. Qual deverá ser o prazo do empréstimo, para que os juros produzidos sejam de R$ 300,00?
11 – Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00, a taxa de 5% ao mês, durante um ano. Qual será o montante, no final do mesmo período?
12 – Qual a taxa mensal que faz um capital de R$ 2.000,00 render R$ 500,00 em cinco meses?
13 – Uma aplicação no prazo de meio ano, a juros de 9% ao mês, rendeu R$ 513,00. Qual foi o capital aplicado?
14 – Um televisor custa, à vista, R$ 320,00. Como não disponho desse dinheiro, resolvi comprar o televisor a prazo, pagando-o em cinco prestações mensais de R$ 91,20. Qual será a taxa mensal de juros cobrada?
15 – Comprei um carro zero quilômetros dando R$ 4.066,00 de entrada e financiando o restante em 36 prestações mensais de R$ 340,50. À vista, o carro está anunciado por R$ 10.600,00. Qual foi a taxa anual cobrada?
PRAZO MÉDIO:
Capitais e taxas iguais: Quando os valores nominais forem iguais, e as taxas também, o prazo médio será a média aritmética dos prazos.
	Ex. 49: Uma pessoa colocou R$ 40.000, à taxa de 10% a.a., durante 3 meses, e R$ 40.000, à mesma taxa, durante 5 meses. Qual o prazo médio dessas aplicações?
 3 + 5 = 8 = 4 meses (prazo médio)
 2 2
Capitais diferentes e taxas iguais: O Prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
	Ex. 50: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 12.000 e R$ 8.000, aplicados durante 3 anos e 5 anos, respectivamente, a taxas iguais?
Multiplicamos os prazos pelos capitais respectivos:
3 . 12.000 = 36.000
5 . 8.000 = 40.000
 76.000
Dividimos a soma dos produtos pela soma dos pesos:
76.000 : 20.000 = 3,8 anos O prazo médio é de 3,8 anos
Capitais iguais e taxas diferentes: Neste caso os prazos devem ser ponderados pelas taxas, e a solução é idêntica à do caso anterior.
Capitais e taxas diferentes: O Prazo médio é calculado pela média dos tempos dados, ponderados, um a um, pelos capitais e pelas taxas respectivas.
	Ex. 51: Qual o tempo médio de aplicação desses três capitais: R$ 200.000 em 30 dias a 3% a.a., R$ 300.000, a 2% a.a. em 20 dias e R$ 160.000 a 5% a.a. em 65 dias?
tempo . capitais . taxas = valor ponderado
 30 . 200 . 3 = 18.000
 20 . 300 . 2 = 12.000
 65 . 160 . 5 = 52.000
 82.000
Pesos = (capitais . taxas)
capitais . taxas = valor ponderado
 200 . 3 = 600
 300 . 2 = 600
 160 . 5 = 800
 2.000
Prazo médio = soma dos valores ponderados (82.000) : dividido pelo produto da soma dos pesos (2.000) . Prazo médio = 82.000 : 2.000 = 41 dias
1.4	TAXA MÉDIA: No caso do prazo médio, os prazos eram os valores básicos e os capitais ou as taxas, ou ambos, funcionavam como pesos.
No caso da taxa média, as taxas que passam a ser os valores básicos e os capitais ou os tempos, ou ambos, passam a funcionar como pesos. As soluções são idênticas a do prazo médio.
1.5 	MONTANTE: Quando for necessário trabalhar com a soma do capital (C) mais os juros (J). O resultado dessa soma recebe o nome de montante (M). M = C + J
	Considerando que o capital (C) corresponde à porcentagem total (100) e que os juros (j) correspondem ao produto da taxa pelo tempo (i.t), deduziremos desta proporção básica, e teremos a seguinte fórmula, em que são dados os montantes, a taxa e o tempo e procura-se determinar o valor do capital:
 C = 100 . M
 100 + i . t
	No caso de não ser procurado o capital, mas sim os juros, o tempo, a taxa ou o próprio montante, devemos trabalhar com as fórmulas comuns já enunciadas.
OBS: O método mais prático é o de substituir o 100 da fórmula por 1.200 (tempo em meses) ou por 36.000 (tempo em dias). Aconselhamos a optar por esse métodos devido a dificuldade da simplificação dos quocientes, caso fossemos usar as frações de 12 (mês) ou de 360 (ano).
	Ex. 52: Calcular o capital que, à taxa de 8% a.a., em 4 anos, elevou-se a R$ 660.000.
 C = 100 . M
 100 + i . t
 C = 100 . 660.000 = 66.000.000 = 66.000.000 = 500.000
 100 + (8 . 4) 100 + 32 132
	Ex. 53: Qual é o montante resultante de uma aplicação de R$ 29.800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses?
M = ? ; C = 29.800 ; i = 12% a.m.; t = 6 m M = C + J J=? 
 J = C . i . t J = 29800 . 12 . 6 ( J = 21.456 ( M = C + J ( 
 100 100
( M = 29.800 + 21.456 ( M = 51.256,00
	Ex. 54: R$ 72.000, depositados durante 1 ano, 2 meses e 20 dias, produzindo um montante de R$ 77.720. Determinar a taxa de aplicação.
C = 72.000 ; t = 1a + 2m + 20d =360 + 60 + 20 = 440 dias ; i = ? % ; j =?; M = 77.720
M = C + J ( J = M - C ( J = 77.720 – 72.00 ( J = 5.720
i = 36.000 . j ( i = 36 000 . 5720 ( i = 572 ( i = 572 ( i = 6,5% a.a. 
 C . t 72 000 . 440 2 . 44 88
 2
	Ex. 55: Qual a taxa média das seguintes letras: uma de R$ 1.200,00 em 1 mês e 15 dias, a 8% a.m., a outra de R$ 1.000,00 em 20 dias, a 5% a.m., e finalmente uma de R$ 800,00 em 1 mês e 5 dias, à taxa de 4% a.m? Qual o prazo médio? 
C1 = 1.200 , t1 = 45d , i1 = 8 % a.m. ( 1.200 . 45 . 8 = 	432.000
C2 = 1.000 , t2 = 20d , i2 = 5 % a.m. ( 1.000 . 20 . 5 = 100.000
C3 = 800 , t3 = 35d , i3 = 4 % a.m. ( 800 . 35 . 4 = 	112.000
 644.000
Peso (capital . tempo):					 
C1 = 1.200 , t1 = 45d ( 1.200 . 45 = 54.000
C2 = 1.000 , t2 = 20d ( 1.000 . 20 = 20.000
C3 = 800 , t3 = 35d ( 800 . 35 = 28.000
 102.000
Taxa média : 644.000 : 102.000 = 6,31% a.m.
Peso (capital . taxa):					 
C1 = 1.200 , i1 = 8% a.m. ( 1.200 . 8 = 9.600
C2 = 1.000 , i2 = 5 % a.m ( 1.000 . 5 = 5.000
C3 = 800 , i3 = 4 % a.m. ( 800 . 4 = 3.200
 17.800
Prazo médio: 644. 000 : 17.800 = 36,18 d
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO N° 04:
1 – Calcular o capital que, à taxa de 2,4 % a.a., em 2 anos e 3 meses, resultou num montante de R$ 263.500,00.
2 – Qual a taxa média das seguintes letras: uma de R$ 400,00 em 1 mês e 20 dias, a 6% a.m., a outra de R$ 200,00 em 1 mês a 3% a.m., e finalmente uma de R$ 300,00 em 1 mês e 15 dias, à taxa de 5% a.m? Qual o prazo médio? 
3 – Calcular o capital que, à taxade 1,7 % a.a., em 4 meses e 12 dias, resultou num montante de R$ 103.877,00.
2	DESCONTO SIMPLES: Assim como os juros, o desconto é o valor resultante da aplicação de uma determinada taxa, durante um determinado tempo, sobre um determinado capital.
	A diferença reside, contudo, no sentido da operação. Enquanto nos problemas de juros simples o valor obtido (juros) é somado ao capital para se obter o montante, nos problemas de desconto o valor obtido (desconto) é subtraído do capital, obtendo-se, assim, o seu valor líquido. 
	Os problemas de desconto envolvem operações financeiras com títulos de crédito (duplicatas, notas promissórias, letras de câmbio etc). Por isso, o capital é chamado de valor nominal, enquanto o valor líquido do título (capital – juros) é chamado de valor atual: 
N (VN) ( valor nominal (VA + d)
A (VA) ( valor atual (VN – d)
d ( desconto (VN – VA) 		 d = N - L
i ( taxa
t ( tempo (prazo entre a data do desconto e a do vencimento do título)
L (VL) ( valor líquido recebido após o desconto
2.1	 DESCONTO BANCÁRIO OU DESCONTO POR FORA: O desconto por fora é aquele no qual os juros (descontos) são calculados sobre o valor nominal do título. Também conhecido como comercial ou bancário porque é usado pelos bancos para o cálculo dos juros nas operações do desconto de títulos.
	Considerando que os problemas de desconto por fora são idênticos aos de juros simples, podemos estabelecer a mesma proporção entre os seus elementos, com adaptações quanto à terminologia:
 i . t = d d = VN . i . t * tempo em meses 1 200
 100 * VN 100 tempo em dias 36 000
 D = N . i . t L = N . (1 – i.t)
	Dessa proporção, como o fizemos para os juros, iremos deduzindo todas as fórmulas necessárias. 
	Ex. 56: Um título no valor de R$ 1.200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal usada?
N = 1.200; t = 5m ; L = 900; i = ?% a.m; d = N - L ( d = 1200 – 900 ( 
d = 300 d = N . i . t ( i = d . 100 ( i = 300 . 100 ( i = 30000 ( i = 5% a.m.
 100 N . t 1200 . 5 6000
outra maneira:
L = N . (1 – i.t)
900 000 = 1200 000 . (1 – i . 5)
 900 = 1 – 5 . i ( 5i = 1 - 900 ( 5i = 1200 - 900 ( 5i = 300 ( i = 300 (
1200 1200 1200 1200 5 . 1200
( i = 300 = 0,05 ou 5% a.m.
 6000
2.2 	DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO: 	O desconto racional, ou por dentro é aquele no qual os juros (desconto) são calculados sobre o valor líquido (atual) do título.
	Como mudou a base de cálculo, o valor nominal (VN) será substituído pelo valor atual (VA):
i . t = d d = VA . i . t * tempo em meses: 1 200
 100 * VA 100 tempo em dias: 36 000
 Dr = L . i . t ( L = N	 ( Dr = N . i . t 
 1 + i.t 1+ i.t
	Ex. 57: Calcular o desconto por dentro de um título de R$ 6.864,00, à taxa de 12% ao mês, 1 mês e 6 dias antes do vencimento.
Dr = ? ; N = 6.864 ; i = 12% a.m. = 0,12 a.m. = 0,12 a.d; t = 1m e 6d = 30 + 6 = 36 d
 30
 6864 . 0,12 . 36
Dr= N . i . t	 ( Dr = 30	 ( Dr = 988,416 ( Dr = 864,00 
 1 + i .t 1 + 0,12 . 36 1,144
 30 
Outra maneira:
 L = N	 ( L = 6864	 ( L = 6864	 ( L = 6.000,00
 1 + i.n 1+ 0,12 . 36 1 + 0,144
 30
D = N - L ( D = 6.864 – 6.000 ( D = 864,00
2.3 	PRAZO MÉDIO: É calculado da mesma maneira vista anteriormente com os juros. Quando os valores nominais forem iguais, e as taxas também, o prazo médio será a média aritmética dos prazos.
	Ex. 58: Tenho três letras iguais de R$ 480,00, a prazos de 20, 25 e 35 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 1,2% a.m., qual é o prazo médio de vencimento das três letras?
Como temos o mesmo valor nominal e a mesma taxa de juros para as três letras, podemos considerar o prazo médio como média aritmética dos 3 prazos. Assim: 
T = 20 + 25 + 35 = 80 ( 27 dias
3 
Outra maneira através da aplicação da fórmula: 
D = N . i . t N = 480 ; i = 0,012 a.m. = 0,012 a.d. n1 = 20d ; n2 = 25d ; n3 = 35d
 30
D1 = 480 . 0,012 . 20 ( D1 = 3,84 D2 = 480 . 0,012 . 25 ( D2 = 4,80 
 30 30 
D3 = 480 . 0,012 . 35 ( D3 = 6,72
 30
Total de Desconto = 3,84 + 4,80 + 6,72 = 15,36
Considerando N = 3 . 480 = R$ 1.440,00 vamos calcular D, usando o prazo médio calculado. (80/3)
D = 1440 . 0,012 . 80 ( D = 1382,40 ( D = 15,36 
 30 3 90
Logo o prazo médio de 27 dias está correto.
2.4 	TAXA MÉDIA: É calculado da mesma maneira vista anteriormente com os juros. Quando os valores nominais e os prazos forem iguais, a taxas média será a média aritmética das taxas.
Quando os valores nominais forem diferentes, mas os prazos iguais, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos.
Quando os valores nominais e os prazos forem diferentes, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se como pesos, os respectivos produtos dos valores nominais pelos prazos.
CASOS ESPECIAIS:
Desconto por dentro com somente valor nominal conhecido: Neste caso, não podemos usar a proporção já vista, pois o desconto não é baseado no valor nominal, mas sim no atual.
Proporção básica:
Como o valor atual (ou desconto por dentro) é a base do cálculo (100) o valor nominal corresponderá ao montante (100 + i . t):
VA = VN	( VN = VA . (100 + i . t)
100* 100 + i . t 100 desconto p/dentro
 VA = VN . 100		* tempo em meses: 1 200
 100 + ( i . t) * tempo em dias: 36 000
	Ex. 59: Calcular o valor atual de uma letra de R$ 20.400 descontada, por dentro, 2 meses e 20 dias antes do vencimento, a 9% a.a.
VA = ? ; VN = 20.400 ; i = 9% a.a. ; t = 2m + 20 d = 60 + 20 = 80 d
VA = VN . 100	como o tempo está em dias (36000) VA = VN . 36000	
100 + ( i . t)		 36000 + ( i . t)
VA = 20400 . 36000 = 734400000 = 20.000
 36000 + ( 9 . 80) 36720
2.5.2	Desconto por fora, com somente valor atual conhecido: Proporção básica:
Como no desconto por dentro a base do cálculo é o valor nominal, ele deverá corresponder a 100, enquanto o valor atual corresponderá a 100 - i . t, já que VA = VN – d.
VN = VA	( VN = VA . 100 	 
100* 100 - i . t 100 – (i.t) desconto p/fora
 VA = VN . (100- i.t)	 * tempo em meses: 1 200
 100 * tempo em dias: 36000
	Ex. 60: Calcular o valor nominal de uma nota promissória que, descontada por fora, 2 meses e 12 dias antes do seu vencimento, à taxa de 16 1/4 % a.a., resultou num valor líquido de R$ 96.750.
VN = ? ; VA = 96.750 ; i = 16 1% a.a. = 65 % a.a.; t = 2m + 12 d = 60 + 12 = 72 d
 4 4
VN = VA . 100	como o tempo está em dias (36000) VN = VA . 36000	
100 - ( i . t)		 36000 - ( i . t)
VN = 96750 . 36000 = 3483000000 = 3483000000 = 100.000
 36000 - ( 65/4 . 72) 36000 – 1170 34830
2.5.3	Diferença entre os dois descontos: A diferença entre os dois descontos é motivada pelo fato de a taxa (no desconto por dentro) não incidir sobre o valor de d.
Assim, a diferença entre os dois descontos é exatamente o valor dos juros calculados sobre o valor de d.
Basta, pois, achar um capital que, aplicado aos dados do problema, daria como juros aquela diferença.
Proporção básica:
C = 100* . j ( j = C . i . t * tempo em meses: 1 200
 i . t 100* * tempo em dias: 36 000
 d = VN – VA ( VN = VA + d 	VA = 100* . d 	 
 i . t
	Ex. 61: A diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma letra, calculados em 180 dias (6 meses), à taxa de 5% a.a., é de R$ 45. Calcular o valor nominal da letra.
desconto p/dentro – desconto p/fora = juros
VN = ? ; t = 180 d = 6 m ; i = 5% a.a. ; j = 45
d = VN – VA ( VN = VA + d 	VA = 100* . d 	 
 i . t
Esse capital é o valor do desconto (por dentro):
 200 9
C = 1200 . j ( C = 1200 . 45 ( C = 1.800 (desconto por dentro)
 i . t 5 . 6
VA = 1200 . d (	 VA = 1200 . 1800 ( VA = 72.000	 
 i . t 6 . 5
VN = VA + d ( VN = 72.000 + 1.800 ( VN = 73.800 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO N° 05:
1 – Um título com valor nominal de R$ 2.000.000, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 meses antes do vencimento. Calcular a diferença entre os descontos bancário e racional.
2 – Calcular a taxa a ser aplicada, por dentro, numa duplicata de R$ 1.800,00, para que ela, dois meses e meio antes do vencimento, se reduza a R$ 1.000,00
3 – Calcular o valor nominal de uma duplicata que, descontada por fora, à taxa de 9% a.a., 120 dias antes de seu vencimento, produziu um desconto de R$ 981.
4 – Uma nota promissória de R$ 99.000,00 foi descontado por fora, 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de 8% a.a. Qual o valor do desconto?
5 – Calcular o desconto, por dentro, de uma duplicata de R$ 209.000,00, descontada à taxa de 13,5% a.a., 4 meses antes do seu vencimento.
6 – Certo título foi descontado por fora, 108 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9,5% a.a. e produziu um valor líquido de R$ 310.880,00. Calcular o desconto sofrido.
3	UTILIZANDO A CÁLCULADORA HP 12C:
3.1	CÁLCULO DE JUROS SIMPLES UTILIZANDO A CÁLCULADORA HP 12C: A hp 12c automaticamente calcula juros simples ordinários (utilizando o ano comercial) e exatos (utilizando um ano de 365 dias), simultaneamente. É possível exibir qualquer um dos dois, conforme descrito abaixo. Além do mais, com os juros acumulados no mostrador, você pode calcular o valor total (principal mais juros acumulados) apertando [+].
1. Digite ou calcule o número de dias e aperte [n].
2. Digite a taxa de juros anual e aperte [i].
3. Digite o valor do principal e aperte [CHS][PV]�
4. Aperte [f][INT]para calcular e exibir os juros ordinários acumulados.
5. Se você quiser exibir os juros exatos acumulados, aperte [R(][x><y].
6. Aperte [+] para calcular o total do principal mais os juros acumulados exibidos no mostrador.
As quantidades n, i e PV podem ser informadas em qualquer ordem.
Ex. 62: Seu amigo precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu R$ 950 emprestados por 90 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 8%. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 90 dias e qual será o valor total devido?
Teclas 			Mostrador
[CLx] 			0,00 		Limpam os valores do visor
90 [n]			90,00 		Registra o número de dias.
8 [i]			8,00 		Armazena a taxa de juros anual.
950 [CHS][PV]	–950,00 	Armazena o principal.
[f][INT]		19,00 		Juros ordinários acumulados. (ano 360 d)
[+]	[+]			969,00 	Valor total: principal mais juros acumulados = 						Montante.
Ex. 63: Seu amigo concorda com os juros de 8% no empréstimo do exemplo anterior, mas pede a você que os calcule com base no ano civil em vez do ano comercial. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 90 dias e qual será o valor total devido?
Teclas 			Mostrador
90 [n]	90[n]			90,00	 	Se não tiver alterado o nº nos registros n, i e PV 
8 [i]			8,00 		do ex. anterior, você pode omitir estas instruções.
950 [CHS][PV]	–950,00 
[f][INT] [R(][x><y]	18,74 		Juros exatos acumulados. (ano 365 d)
[+]	[+]			968,74 	Valor total: principal mais juros acumulados = 						Montante.
3.2	CÁLCULO DO DESCONTO SIMPLES UTILIZANDO A CALCULADORA HP 12C: Para calcular desconto e valor descontado em operações do Desconto Comercial a Juros Simples:
Ex. 64: Um título de 5 meses de valor nominal igual a R$ 100.000,00, foi descontado sob o regime de juros simples a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual foi o valor do desconto e qual o valor descontado?
Teclas 			Mostrador
[f] REG			0,00 		para zerar os registros financeiros
100000 [CHS][PV]		-100.000,00
5 [ENTER] 30 [X][n]	150,00		prazo em días
2 [ENTER] 12 [X] [i]	24,00		taxa de juros ao ano
[f]	[INT]			10.000,00	valor do desconto
[RCL] [PV] [+] [CHS]	90.000,00	valor descontado
	Para calcular a taxa de desconto em operações de Desconto Comercial a Juros Simples.
Ex. 65: Um título de 6 meses de valor nominal igual a R$ 100.000,00, foi descontado por R$ 90.000,00 (desconto comercial ou bancário). Qual foi a taxa de desconto?
Teclas 			Mostrador
[f] REG			0,00 		para zerar os registros financeiros
100000 [ENTER][ENTER]	100.000,00
90000 [-]			10.000,00	valor do desconto 
[%T]				10,00
6 [÷]				1,67		taxa de desconto ao mês
12 [X	]			20,00		taxa de desconto ao ano
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO N° 06:
Utilizando a A HP 12C faça o que é pedido:
1 - Seu amigo precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu R$ 2.500 emprestados por 120 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 7%. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 120 dias e qual será o valor total devido?
2 - Seu amigo concorda com os juros de 7% no empréstimo do exemplo anterior, mas pede a você que os calcule com base no ano civil em vez do ano comercial. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 120 dias e qual será o valor total devido?
3 - Um título de 4 meses de valor nominal igual a R$ 120.000,00, foi descontado sob o regime de juros simples a uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual foi o valor do desconto e qual o valor descontado?
4 - Um título de 7 meses de valor nominal igual a R$ 130.000,00, foi descontado por R$ 115.000,00 (desconto comercial ou bancário). Qual foi a taxa de desconto?
� Apertando-se a tecla [PV] o valor do principal é registrado no registro PV, que então conterá o valor presente do valor sobre o qual os juros acumularão. A tecla [CHS] é pressionada primeiro para trocar o sinal do principal antes de armazená-lo no registro PV. Isso é necessário devido à convenção para sinais de fluxos de caixa, que se aplica principalmentea cálculos de juros compostos.