Relatório Cálculo Numérico

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
Disciplina​ ​MA33A 
 
 
 
Relatório - Atividade de implementação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nomes: ​Gabriel Montanha 
Leonardo Pedroso 
Matheus Henrique de Souza 
Natanael Matias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cornélio Procópio 
2019 
1. Fundamentação Teórica 
 
Método de Newton ​: É um dos principais métodos para encontrar raízes. 
Graficamente podemos dizer que é a intersecção da reta tangente aoxi 
gráfico da função com o eixo das abscissas. 
Sabendo que a reta tangente é a derivada da própria função podemos utilizar 
as relações trigonométricas para estabelecer uma igualdade: 
g θ (x )t = f ′ i−1
 = f (x )i−1x −xi i−1 
Dessa forma podemos reorganizar a equação isolando xi : 
 
 , sendo i o número de iterações.xi = xi−1 −
f (x )i−1
f (x )′ i−1 
 
 
Como critério para parar o cálculo podemos definir um erro ( ) e efetuar 2ε 
testes: 
 
 e f (x )|| i+1
|
| < ε
|
|
| xi+1
x −xi+1 i ||
|
< ε 
 
Método de Briot-Ruffini-Horner:​ Dado um polinômio na forma 
,podemos utilizar esse método para(x) x x .. x x P = an n + an−1 n−1 + . + a2 2 + a1 1 + a0 
calcular o resultado de qualquer valor de x e suas derivadas. 
Exemplo: Considere uma função polinomial de grau 3, sendo seus(x) P an 
coeficientes 
 
 
 a3 a2 a1 a0 
x b3 = a3 b2 = b x3 + a2 b1 = b x2 + a1 b0 = b x1 + a0 
x c3 = a3 c2 = c x3 + b2 c1 = c x2 + b1 
x d3 = a3 d2 = d x3 + c2 
 
Para a primeira linha nos fornece o resultado de um valor para xb0 
A partir da segunda linha temos a primeira derivada da função onde serác1 
dado por: c1 = 1!
P (x)′ 
Na terceira linha temos que: d2 = 2!
P (x)′′ 
E assim sucessivamente. 
 
 
 
2. Algoritmo 
 
Passo 1: ​Dados: grau do polinômio, coeficientes de cada um, precisão ,ε 
valor inicial x0 
 
Passo 2:​ Calcula , e faça:(x ) f 0 f (x ) ′ 0 
2.1Calcula : xi = xi−1 −
f (x )i−1
f (x )′ i−1 
 
 
2.2 ​Se não for bom ou escreva outrox0 f (x ) , ′ 0 = 0 
 
2.3 ​Teste de parada: 
, ​então ​e vai para Passo 3e e S f (x )|| i+1 || < ε
|
|
| xi+1
x −xi+1 i ||
|
< ε x = xi 
 
Se não retorna Passo 2.1 
 
Passo 3: ​Retorna valor x 
 
3. Exemplos 
 
*Início( 
*São declaradas as variáveis de tipo int, Vetor e PF(ponto flutuante) 
 
*A variável (pol) recebe o multiplicador do polinômio de maior valor. 
 
*A variável (erro) recebe o valor de precisão que deve ser alcançado pelo 
algoritmo. 
* A variável (x0) recebe o valor inicial para o método. 
 
*É armazenado o número do coeficiente na variável. 
 
* O algoritmo roda e faz as iterações 
 
*É aplicada a regra do tombo ao se derivar, o expoente é subtraído por um e 
o valor anterior do expoente é multiplicado na variável que é derivada. 
 
* Executa a iteração para o valor da função no ponto (x0), e soma-se o valor 
de cada interação. 
 
 
*É somado o valor em cada interação,também é feita a soma quando o 
mesmo possuir coeficiente. 
 
* A função é derivada no ponto (x0). 
 
*É aplicada a regra do tombo ao se derivar, o expoente é subtraído por um e 
o valor anterior do expoente é multiplicado na variável que é 
derivada(novamente). 
 
*É somado o valor em cada interação,também é feita a soma quando o 
mesmo possuir coeficiente. 
 
* Aplicando parte do teste de parada o ponto é dividido por sua derivada no 
mesmo ponto e checa-se a condição, esse valor obtido é subtraído da 
condição inicial. 
 
* Checa se o valor da condição 1 é negativo, se for negativo multiplica por 
1(módulo). 
* Checa se o valor da condição 2 é negativo, se for negativo multiplica por 
1(módulo). 
 
*Se os testes de parada forem satisfeitos o laço de repetição é interrompido, 
caso contrário ele recomeça. 
 
 *Caso contrário, cond irá receber o valor da iteração, e será repetido todo o 
processo novamente. 
 
*Por fim os valores a quantidade de interações são mostradas, o valor que 
satisfez os testes de parada e o valores dos 2 testes de parada. 
 
 
 
 
 
4. Referências 
 
UFRGS. Método de newton-raphson. Disponível em: 
<https://www.ufrgs.br/reamat/calculonumerico/livro-oct/sdeduv-metodo_de_ne
wton-raphson.html>. Acesso em: 28 abr. 2019. 
 
ICMC.USP. ​Determinação de raízes de polinômios: método de 
briot-ruffini-horner​. Disponível em: 
<http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0100-2-12/au
la9-briotruffini.pdf>. Acesso em: 28 abr. 2019.