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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS FACULDADE DE BIOTECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA DE BIOPROCESSOS Aluno : Marinaldo vilar de Souza Junior Questão 4.1 a) A Série de Maclaurin é, basicamente, um caso especial da Série de Taylor, na qual a constante "a" adota um valor nulo, ou seja, "a=0". Logo abaixo podemos ver a Série de Taylor : f(x)= f(a) Hx - aL0 + f ' HaL Hx-aL 1 1! + f '' HaL Hx-aL2 2! + f ''' HaL Hx-aL3 3! ... dessa forma ela pode ser definida por: f HxL = â n=0 ¥ fHnLHaL Hx - aLn n! , quando "a=0" temos que, f HxL = f H0L Hx - 0L0 + f' H0L Hx - aL1 1! + f'' H0L Hx - 0L2 2! + f''' H0L Hx - 0L3 3! + ..., logo : f HxL = f H0L + f' H0L x1 1! + f'' H0L x2 2! + f''' H0L x3 3! + ... aproximando f HxL = ãx = f' HxL = f'' HxL = f''' HxL ... temos que : ã0 = 1 = f' HxL = f'' HxL = f''' HxL, logo, ãx = f H0L + f' H0L x1 1! + f'' H0L x2 2! + f''' H0L x3 3! ãx = 1 + x + x2 2! + x3 3! In[1]:= ti = 0; h = t Out[1]= t In[2]:= u@t_D := ãt In[3]:= u@tiD Out[3]= 1 primeira ordem In[4]:= u@tiD + Hu'@tD . t ® tiL * h Out[4]= 1 + t segunda ordem In[5]:= u@tiD + Hu'@tD . t ® tiL * h + HHu''@tD . t ® tiL * h^2L 2! Out[5]= 1 + t + t2 2 terceira ordem terceira ordem In[6]:= u@tiD + Hu'@tD . t ® tiL * h + HHu''@tD . t ® tiL * h^2L 2! + HHu'''@tD . t ® tiL * h^3L 3! Out[6]= 1 + t + t2 2 + t3 6 Questão 4.1 b) In[7]:= xi = 0.2; xi + 1 = 1; h = 0.8; Exp@-1D = 0.367879; f Hxi + 1L = Exp@-xiD - Exp@-xiD h + Exp@-xiD 2 h2 - Exp@-xiD 6 h3 Ordem Zero In[8]:= f@0D = Exp@-xiD Out[8]= 0.818731 In[9]:= AbsBEt0 = Exp@-1D - f@0D Exp@-1D * 100F Out[9]= 122.554 Primeira Ordem In[10]:= f@1 aD = f@0D - Exp@-xiD h; In[11]:= f@1 aD Out[11]= 0.163746 In[12]:= AbsBEt1 = Exp@-1D - f@1 aD Exp@-1D * 100F Out[12]= 55.4892 Segunda Ordem In[13]:= f@2D = f@1 aD + Exp@-xiD 2 h2; In[14]:= f@2D Out[14]= 0.42574 In[15]:= AbsBEt2 = Exp@-1D - f@2D Exp@-1D * 100F Out[15]= 15.7281 Terceira Ordem In[16]:= f@3 aD = f@2D + - Exp@-xiD 6 h3 Out[16]= 0.355875 2 questão da simone.nb In[17]:= AbsBEt2 = Exp@-1D - f@3 aD Exp@-1D * 100F Out[17]= 3.26315 Questão 4.2 Sabe-se que as derivadas primeira, terceira e assim por diante são iguais à zero, logo os termos da série com x elevado a alguma potência ímpar não precisa ser escrito, já que ele vai ser 0, e como sabemos o 0 é um elemento neutro da soma.Dessa forma, a série fica com essa forma : f HxL = f' H0L HxL0 0! + f'' H0L HxL2 2! + f''' H0L HxL4 4! + f' H0L HxL6 6! + f' H0L HxL8 8! , Substituindo os valores das derivadas e da f H0L na série obtemos : f HxL = 1 HxL0 0! + H-1L HxL2 2! + 1 HxL4 4! + H-1L HxL6 6! + 1 HxL8 8! , Agora fazendo a multiplicação e simplificando o 1 ° termo : f HxL = 1 - x2 2! + x4 4! - x6 6! + x8 8! solução : In[1]:= f@x_D := Cos@xD In[2]:= Ξ = 0.5; M = 10; n = 2; In[3]:= x@iD = 0; x@i + 1D = Π 3; h = x@i + 1D - x@iD; In[4]:= truevalor = Cos@Π 3D N Out[4]= 0.5 Ordem Zero In[5]:= oz = f@0D Out[5]= 1 In[6]:= AbsBeaa = truevalor - oz truevalor * 100F Out[6]= 100. Primeira Ordem In[7]:= por = oz - HΠ 3L2 2! N Out[7]= 0.451689 In[8]:= AbsBeaa1 = por - oz por * 100F Out[8]= 121.391 Segunda Ordem questão da simone.nb 3 In[9]:= sor = por + HΠ 3L4 4! Out[9]= 0.501796 In[10]:= AbsBeaa2 = sor - por sor * 100F Out[10]= 9.98564 Terceira Ordem In[11]:= tor = sor - HΠ 3L6 6! Out[11]= 0.499965 In[12]:= AbsBeaa3 = tor - sor tor * 100F Out[12]= 0.366353 Questão 4.3 Faça os mesmos cálculos do Problema 4.2, mas use a expansão em série de Maclaurin para o sen x para fazer uma estimativa de sen(Π/3), In[1]:= f@S_D := Sin@SD In[2]:= fvr = f@Π 3D N Out[2]= 0.866025 Ordem Zero In[3]:= sd = Π 3 N Out[3]= 1.0472 In[4]:= AbsBea0 = fvr - sd fvr * 100F Out[4]= 20.92 Primeira Ordem In[5]:= sd1 = sd - HΠ 3L3 3! Out[5]= 0.855801 In[6]:= AbsBea1 = sd1 - sd sd1 * 100F Out[6]= 22.3646 Segunda Ordem 4 questão da simone.nb In[7]:= sd2 = sd1 + HΠ 3L5 5! Out[7]= 0.866295 In[8]:= AbsBea2 = sd2 - sd1 sd2 * 100F Out[8]= 1.21142 Terceira Ordem In[9]:= sd3 = sd2 - HΠ 3L7 7! Out[9]= 0.866021 In[10]:= AbsBea3 = sd3 - sd2 sd3 * 100F Out[10]= 0.0316403 Como o erro aproximado está abaixo de 0, 5 % o cálculo pode ser finalizado. Questão 4.4 ArcTanBx =â n=0 ¥ H1Ln 2 n + 1 x2 n+1F arctan HxL = x - x3 3 + x5 5 - x7 7 ... In[1]:= f@n_D := H1Ln 2 n + 1 x2 n+1 a) Escreva os quatros primeiros termos In[2]:= n0 = f@0D Out[2]= x In[3]:= n1 = f@1D Out[3]= x3 3 In[4]:= n2 = f@2D Out[4]= x5 5 In[5]:= n3 = f@3D Out[5]= x7 7 b) questão da simone.nb 5 In[6]:= vr = ArcTanB Π 6 F N Out[6]= 0.482348 In[7]:= z = Π 6 ; In[8]:= l@0D = Π 6 ; In[9]:= bb = TableB:i, l@iD = l@i - 1D + H1Li 2 i + 1 z2 i+1, ERv@iD = Abs@Hvr - l@iDL l@iDD, ERa@iD = Abs@Hl@iD - l@i - 1DL l@iDD>, 8i, 1, 10, 1<F N; In[10]:= TableForm@bb, TableHeadings ® 88<, 8"i", "fa", "Ev", "Ea"<<D Out[10]//TableForm= i fa Ev Ea 1. 0.571448 0.15592 0.0837332 2. 0.579319 0.167388 0.0135864 3. 0.58086 0.169597 0.00265351 4. 0.581189 0.170067 0.000565494 5. 0.581263 0.170172 0.000126829 6. 0.58128 0.170196 0.0000294207 7. 0.581284 0.170202 6.99037 ´ 10-6 8. 0.581285 0.170204 1.69098 ´ 10-6 9. 0.581285 0.170204 4.14793 ´ 10-7 10. 0.581285 0.170204 1.02888 ´ 10-7 In[11]:= Questão 4.5 Use a expansão em série de Taylor de ordem zero até três para prever f(3) para f(x) = 25x3 - 6x2 + 7x - 88 utilizando o ponto-base x =1. Calcule o erro relativo porcentual ¶ t para cada aproximação. f Hxi+1L = f HxiL + f' HxiL h + f'' HxiL h 2 2! + f''' HxiL h3 3! ... In[1]:= xi = 1; xi+1 = 3; h = 2; In[2]:= f@x_D := 25 x3 - 6 x2 + 7 x - 88; fv = f@3D; Ordem zero In[3]:= fap0 = f@xiD Out[3]= -62 In[4]:= E0 = Abs@fv - fap0D * 100. fv Out[4]= 111.191 Primeira ordem In[5]:= fap1 = fap0 + Hf'@xD . x ® xiL * h N Out[5]= 78. 6 questão da simone.nb In[6]:= E1 = Abs@fv - fap1D * 100. fv Out[6]= 85.9206 Segunda Ordem In[7]:= fap2 = fap1 + If''@xD * h2 . x ® xiM 2! Out[7]= 354. In[8]:= E2 = Abs@fv - fap2D * 100. fv Out[8]= 36.1011 Terceira ordem In[9]:= fap3 = fap2 + If'''@xD * h3 . x ® xiM 3! Out[9]= 554. In[10]:= E3 = Abs@fv - fap3D * 100. fv Out[10]= 0. 4.8 - Use uma aproximação por diferença centrada de O(h2) para fazer uma estimativa da segunda derivada da função examinada no Problema 4.5. Faça o cálculo em x=2 utilizando tamanhos de passos de h =0,25 e 0,125. Compare suas estimativas com o valor verdadeiro da segunda derivada. Interprete seus resultados com base no termo de resto da expansão em série de Taylor. In[1]:= x = 2; h1 = 0.25; h2 = 0.124; In[2]:= f@x_D := 25 x3 - 6 x2 + 7 x - 88 In[3]:= f''@xD Out[3]= 288 fórmula da diferença centreada de segunda ordem: f''HxL = f Hx+hL-2 f HxL+ f Hx-1L h2 Para h = 0, 25; In[4]:= f23 = 1 h12 Hf@x + h1D - 2 * f@xD + f@x - h1D L Out[4]= 288. Para h = 0, 125; In[5]:= f23 = 1 h22 Hf@x + h2D - 2 * f@xD + f@x - h2D L Out[5]= 288. Ambos os resultados são exatos 4.16- onde Q é o escoamento Im3/s), n é o coeficiente de rugosidade, B é a largura (m), H é a profundidade (m) e S é o declive. Você está aplicando esta fórmula para um córrego onde você sabe que a largura é 20 m e que a profundidade e 0,3 m. Infelizmente, você sabe a rugosidade e o declive com uma precisãoapenas de +/- 10%. Ou seja, você sabe que a rugosidade é de cerca de 0,03 com uma variação de 0,027 a 0,033 e o declive é 0,0003 com uma variação de 0,00027 a 0,00033. Utilize uma análise de erro de primeira ordem para determinar a sensibilidade da previsão do escoamento para cada um desses fatores. Qual deles você deveria tentar medir com mais precisão? questão da simone.nb 7 4.16- onde Q é o escoamento Im3/s), n é o coeficiente de rugosidade, B é a largura (m), H é a profundidade (m) e S é o declive. Você está aplicando esta fórmula para um córrego onde você sabe que a largura é 20 m e que a profundidade e 0,3 m. Infelizmente, você sabe a rugosidade e o declive com uma precisão apenas de +/- 10%. Ou seja, você sabe que a rugosidade é de cerca de 0,03 com uma variação de 0,027 a 0,033 e o declive é 0,0003 com uma variação de 0,00027 a 0,00033. Utilize uma análise de erro de primeira ordem para determinar a sensibilidade da previsão do escoamento para cada um desses fatores. Qual deles você deveria tentar medir com mais precisão? In[1]:= n = 0.03; s = 0.0003; Q = 1 n HB HL 53 HB + 2 HL 23 * s q0 = ¶nQ q2 = - 2.63638 s n2 q1 = ¶sQ q1 = 439.396 s DQ = ¶Q ¶n * Dn + ¶Q ¶s * Ds In[2]:= f0@n_D := - 2.6364 s n2 In[3]:= q0 = f0@nD Out[3]= -50.7375 In[4]:= f1@s_D := 439.396 s In[5]:= q1 = f1@sD Out[5]= 25 368.5 In[6]:= DQ = Abs@Hq0 * nL 10D + Hq1 * sL 100 Out[6]= 0.228318 8 questão da simone.nb
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