Mecânica dos fluidos - Equação da Quantidade de Movimento - Parte 2

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Análise dimensional e Semelhança I
Prof. Msc. André Gorjon Neto
Introdução
Muitos problemas de interesse da Mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos somente com o uso de equações integrais ou diferenciais, neste contexto:
Métodos experimentais são necessários;
Para estabelecer relação entre variáveis de interesse
Estudos experimentais são muito caros
Deve-se fazer o número mínimo de experimento
Isso é feito usando uma técnica chamada análise dimensional, que é baseada na noção de HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Análise Dimensional
Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação tem as mesmas dimensões. Por exemplo:
Dividindo o lado esquerdo por Z1
Todos os termos se tornam adimensionais
Equação escrita como a combinação de parâmetros adimensionais
Essa é a idéia da análise dimensional
Semelhança
Muitas vezes é necessário efetuar experimentos em objetos que são muito grandes, para serem manipulados em experiências a um custo razoável
Semelhança é o estudo da previsão de condições do protótipo a partir de observações de modelos. 
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional
Semelhança
Escoamento sobre açudes e represas
Semelhança
Escoamento através de grandes bombas e turbinas
Semelhança
Escoamento através de grandes bombas e turbinas
Analise Dimensional
Análise Dimensional - Definição
No escoamento de fluidos existem muitos parâmetros geométrico e escoamentos envolvidos.
Com o intuito de economizar temo e dinheiro, deve ser usado um número mínimo de combinações de parâmetros.
Considere a queda de pressão através da válvula.
Placa
deslizante
Todos os parâmetros podem ser fixados, menos a velocidade;
Série de experimentos variando a abertura h;
Série de experimentos variando o diâmetro d;
Análise Dimensional - Definição
Considere que qualquer equação que relacione um conjunto de variáveis, por exemplo na Equação de Bernoulli, pode ser escrita em termos de parâmetros adimensionais.
Pode-se organizar as variáveis da equação acima em parâmetros adimensionais, como segue:
Análise Dimensional - Definição
Pode-se agora fazer um experimento com h/d fixo, e variando o termo Vρd/µ
Deve-se ter em mente que nem sempre é claro os parâmetros que devem ser incluídos, sendo a seleção deste parâmetros apropriados uma etapa essencial na análise dimensional.
Análise Dimensional – Revisão de dimensões
Todas as quantidades tem alguma combinação de dimensões de comprimento, tempo massa e força, que são relacionadas pela segunda lei de Newton
Assim vemos que é suficiente usar apenas três dimensões básicas, o sistema MLT
M – Massa
L – Comprimento
T - Tempo
Análise Dimensional – Revisão de dimensões
Outro exemplo – Escoamento compressível de um gás em função dos efeitos térmicos
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Comprimento
l
L
Tempo
t
T
Massa
m
M
Força
F
ML/T2
Velocidade
V
L/T
Aceleração
a
L/T2
Freqüência
w
T-1
Gravidade
g
L/T2
Área
A
L2
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Vazão
Q
L3/T
Fluxo de massa
M/T
Pressão
p
M/LT2
Tensão
t
M/LT2
Massa específica
r
M/L3
Peso específico
g
M/L2T2
Viscosidade
m
M/LT
Viscosidade cinemática
n
L2/T
Análise Dimensional – Símbolos e dimensões em Mec. Fluidos
Quantidade
Símbolo
Dimensões
Trabalho
W
ML2/T2
Potencia, fluxo de calor
ML2/T3
Tensão superficial
s
M/T2
Módulo da elasticidade volumétrica
B
M/LT2
Análise Dimensional – Passos para a aplicação
Passo
1
Determinar o número de variáveis n que influenciam o fenômeno
Passo
2
Escrever a equação dimensional de cada uma das variáveis
Passo
3
Determinar o número de dimensões m envolvidas
Análise Dimensional – Passos para a aplicação
Passo
4
Passo
5	
Estabelecer a base dos números adimensionais