SOLUCAO P3-PROBEST_2014-2

Prévia do material em texto

P3 - Probabilidade e Estatística – 2014-2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Alexandre Street 
 
Problema 1 (0.8 pt) 
 
a) (0.4 pt) Em estatísitca o que quer dizer “Valor-p” ou “p-value”, dê um exemplo? 
 
SOLUÇÃO 
 
- O “valor-p” (p-value) indica o menor nível de significância que levaria à rejeição da hipótese nula. 
 -Por exemplo, se o p-value é 0.04, a hipótese H0 seria rejeitada com nível 5%, mas não com nível 
1%. 
 
 
 
b) (0.4 pt) Defina erro tipo tipo I e erro tipo II num teste de hipóteses. 
SOLUÇÃO 
 
 
Decisão tomada 
 
Aceitar H₀ (Rejeitar H₁) Rejeitar H₀ (Aceitar H₁) 
Estado da realidade 
 
H₀ é verdadeira 
DECISÃO CORRETA Erro do tipo I (α) 
(H₁ é falsa) 
H₁ é verdadeira 
Erro do tipo II (β) DECISÃO CORRETA 
(H₀ é falsa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (2.0 pts) 
Um certa industria de alimentos comercializa sacos de soja para serem exportados para fora do 
país. 
Toma-se uma amostra com 26 sacos de soja de uma determinada população, com média igual a 35 
Kg e desvio padrão igual 3,5 Kg. Assumindo que a distribuição desta população é NORMAL, pede-se: 
 
a) (1.0 pt) O Intervalo de confiança de 95% e 98% para a Variancia desta população. 
 
 = 35 
S = 3,5 S2 = 12,25 
n = 26 
g = 26-1 = 25 
 
IC para a Variância 
 
 - TABELA “χ2” 
- onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado com 
(n-1) graus de liberdade 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
n = 26 g = 26-1 = 25 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 025,0
2


 
 
 
 a= 13,12 b= 40,6 
 
 
 
 
 [7,5431 ; 23,3422 ] 
 
 
 
 
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
   











 


12,13
25.1225
6,40
25,122511
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
  05,0Pr 2 1  bn
  95,0Pr 2 1  an
 
- Intervalo de Confiança [1-α+ = 98% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,98 
 
 
 01,0
2


 
 
 
 a= 11,52 b= 44,30 
 
 
 
 
 
 [ 6,913 ; 26,584 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IC
  01,0Pr 2 1  bn
  99,0Pr 2 1  an
   











 


52,11
25,1225
3,44
25,122511
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
 
b) (1.0 pt) Se os pesos de sacos de soja comercializado por esta fábrica são especificados como 
uma v.a. Normal com Variância Nominal de 10 Kg², podemos dizer aos níveis de significância de 
0,5% e 25% que a Variância Nominal aumentou? Neste caso responda aos itens abaixo: 
I) Qual tipo de teste de Hipótese deve ser utilizado? 
II) Qual estatística do teste? 
III) Após ser aplicado o teste, qual foi a conclusão obtida (Decisão)? Mostre este resultado através 
de cálculos e esboce um gráfico da distribuição do teste indicando a área de rejeição e aceitação. 
 
Suposição: 
v.a peso de saco de soja. 
 
a.a. (n) n= 26 
 S2= 12,25 
 σ2= 10 
 
Teste de Hipótese: 
H0: σ
2 = σ0
2 
H1: σ
2 > σ0
2 (unilateral) 
 
Estatística do Teste: 
 
625,30
10
25,1225).1(
2
2
* 


xSn

 
 
Decisão: 
Região crítica – α=0,5% 
 
 Área de aceitação 
 Área de rejeição 
 
 
 
 
 
005,0
 
 
 
 
 
 30,625 46,9 
 
Resposta: 
Como א2= 30,625 < 46,9, não cai na região crítica, então, Aceita H0 ao nível de significância de 0,5%, 
quer dizer, a variancia não aumentou, conforme especificada de fábrica. 
 
 
 
 
 
Decisão: 
Região crítica – α=25% 
 Área de aceitação 
 Área de rejeição 
 
 
 
 
25,0
 
 
 
 
 
 29,3 30,625 
 
Resposta: 
Como א2= 30,625 > 29,3, cai na região crítica, então, Rejeita H0 ao nível de significância de 25%, 
quer dizer, a variancia aumentou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (2.0 pts ) 
Tem-se um modelo probabilístico (paramétrico) descrito por uma variável aleatória discreta, que 
modela o seguinte experimento: repete-se o experimento de Bernoulli com probabilidade "p" de 
sucesso até obter o r-ésimo sucesso. 
Pergunta-se: Que modelo é este e qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste 
modelo probabilístico? (mostrar todos os passos da solução). 
 
Solução 
 
 ~ Binomial Negativa (n,θ) 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “θ” 
 
L(θ ,r) = f(x1, x2,...xN) 
 
L(θ ,r) = 
 







N
i
rxr
r
x
1
)1.(.
1
1

 = 
 
  



N
i
rxr
rxx
x
1
1..
!)!1(
)!1( 
 
 = 
 
  NrxNr
N
i
i
N
i
rxx
x 









 11..
!)!1(
)!1(
.
1
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
l(Ɵ ,r) = log* L(Ɵ ,r)] 
 
 = log 
 
  NrxNr
N
i
i
N
i
rxx
x 









 11..
!)!1(
)!1(
.
1
 
 
 = log
 
  






















1log.log.
!)!1(
)!1(
1
1
N
i
i
N
i
xNrNr
rxx
x 
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 
1ª derivada - 
   







11
1
N
i
ix
NrNrl 
 
 
..... 2,+r 1,+r r,= x onde ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
 
 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
   
0
11
1 







N
i
ix
NrNr 

 
  01
1
 


N
i
ixNrNr
 
 
0
1
 


N
i
ixNrNrNr
 
 
 -
0
1


Nrx
N
i
i
 

 



N
i
ix
Nr
1

 
 
Substituir 
MV ˆ
 então 
X
r
MV ˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (1.6 pts) Um determinado Instituto de pesquisa divulgou uma semana antes da eleição 
o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 52,5% com uma 
margem de erro de ±3,0 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é 
IC=[49,5% , 55,5%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1100 pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central do 
Limite. 
SOLUÇÃO 
 
Intervalo de Confiança - [0.495;0.555] 
n = 1100 
 
 
 
Pelo Teorema Central do Limite.Coeficiente de confiança [1-α+ = ? 
 
 [1-α+=? 
 
 α/2 
 
 
 
 Z1-α/2= 1,992 
 
 
   
 
0232,00228,0
99,100,2
0233,00228,0992,100,2




x
X 
 
Pela tabela da distribuição Normal 
P(Z1-α/2= 1,992) = 0,0232 = α/2 α = 0,0232 . 2 = 0,0464 
 
[1-α+ = 1 – 0,0464 = 0,9536 = 95,36% 
 
 
 
 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 
1100
)525,01(525,0
525,0495,0 2/1

 z 
)ˆ1(ˆ
ˆlim 2/1inf
n
pp
zp

 
 015057,0.525,0495,0 2/1  z 03,0)015057,0(2/1 z 992,12/1 z
525,0ˆ p
0233,02/99,12/1  z
0228,02/00,22/1  z
Xz  992,12/1 
 
Problema 5 (1.6 pts) ) Pesquisadores de uma clínica de emagrecimento desejam comparar a eficácia 
de uma dieta com exercícios contra uma dieta sem exercícios. Oitenta pacientes foram 
aleatoriamente selecionados e divididos em dois grupos. O primeiro grupo, com 35 pacientes foi 
colocado no programa de dieta com exercícios. O segundo grupo, com 45 pacientes, foi colocado no 
programa com dieta sem exercícios. 
Os resultados com a perda de peso, em quilogramas, após 4 meses, foram: Grupo 1: média amostral 
de 8kg e desvio padrão amostral de 1,5 kg. Grupo 2: média amostral de 8,2 kg e desvio padrão 
amostral de 1,8kg. 
Através do Teste de Hipótese, determine com o nível de significância de 0,05, se existe diferença 
entre os dois tratamentos: 
I) Qual tipo de teste de Hipótese deve ser utilizado? 
II)Qual estatística do teste? 
III) Após ser aplicado o teste, qual foi a conclusão obtida (Decisão)? Mostre este resultado através 
de cálculos e esboce um gráfico da distribuição do teste indicando a área de rejeição e aceitação. 
 
 
Solução 
 
Suposição: 
v.as. eficacia de uma dieta com exercícios e sem exercícios 
 
a.a. (n1 1= 8 kg 
 S1= 1,5 kg 
 n1= 35 
 
a.a. (nB 2= 8,2 kg 
 S2= 1,8kg 
 n2= 45 
 
25,25,1 2
2
1 S
 
24,38,1 2
2
2 S
 
 
Teste de Hipótese: 
H0: μ1=μ2 
H1: μ1≠μ2 (bilateral) 
 
 
 
Valor Crítico 
 
n= 35 + 42 -2 = 75 
Região crítica – 
025,0
2


 z = 1,96 
 
 
 
 
 
Estatística do Teste: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decisão: 
Região crítica – 
025,0
2


 
 
025,0
2


 
 
 
 
 
 
 
 -1,96 -0,5295 1,96 
 
Resposta: 
Como t= -0,5295 > -1,96, não cai na região crítica, então, Aceita H0 ao nível de significância 
de 5%, quer dizer, não existe diferença entre os dois tratamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2~
11
)(




yx nn
Yx
c
t
nn
S
yx
t
   
6758,1
24535
24,3.14525,2.135



cS
5295,0
45
1
35
1
6758,1
)2,88(



t
   
2
.1.1
22



yx
yyxx
c
nn
SnSn
S
 
Problema 6 (2.0 pts) Uma amostra de 16 medidores de participação de manganês numa liga de 
ferro-manganês apresentou uma média de 93% e desvio padrão de 16%. Assumindo que a 
participação nominal da média na liga é de 87%. 
Pede-se: 
a) (1.0 pt) Verificar através de Teste de Hipótese ao nível de significância de 1%, se a média da 
participação de manganês da amostra é igual a 87%: 
I) Qual tipo de teste de Hipótese deve ser utilizado? 
II) Qual estatística do teste? 
III) Após ser aplicado o teste, qual foi a conclusão obtida (Decisão)? Mostre este resultado através 
de cálculos e esboce um gráfico da distribuição do teste indicando a área de rejeição e aceitação. 
 
Solução 
 
Suposição: 
v.a. participação de manganês numa liga de ferro-manganês. 
 ~ N(µ,σ2) 
 
a.a. (n) n= 16 
 S = 16% 
 = 93% 
 
Teste de Hipótese: 
H0: µ
 = 87% 
H1: µ
 ≠ 87% (bilateral) 
 
Estatística do Teste: 
 
 
 
Decisão: 
Região crítica – α=1% 
 
Área de aceitação 
 Área de rejeição 
 
 
 
005,0%5,02/ 
 
 
 
 
 
 -2,947 1,5 2,947 
 
 


t
ns
x
t 

 0 5,1
16
16
8793
 0 




ns
x
t

 
Resposta: 
Como T = -2,947<1,5 < 2,947, não cai na região crítica, então, aceita H0 ao nível de significância de 
1%, quer dizer, estatisticamente as médias são iguais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (1.0 pt) Aumentou-se a amostra para 50 medidores e apresentou como resultados: média de 
85% e desvio padrão de 18%. 
Pergunta-se: Qual o Intervalo de confiança ao nível de confiança de 97,0%, para a “Média”. 
 
SOLUÇÃO a) 
X
= 85% 
 S = 18% 
 n = 50 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Desconhecido - Caso II 
 
n=40, verificar na tabela “Z”. 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α+ = 97,0% 
 
 Tabela “Z” - 
17,2015,02/ Z 
 
 (1-α)=0,97 
 
 
 015,0
2


 
 
 
17,2
015,0
2


Z
 
 
 
 
 
 
 [ 0,7948 ; 0, 9052] 
 
 
BOA SORTE !!! 
 
 
 
 
 
 






 
n
S
tX
n
S
tX
n
S
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 






 
50
18,0
17,285,0;
50
18,0
17,285,021
n
S
ZXIC 
 
n
S
ZXIC 2/1 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
Intervalos de Confiança





 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2
* .1


Sn

s
s
Y
Xf
2
2

)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx





)1,0(~0 N
n
s
x
Z


)1,0(~0 N
n
x
Z





t
ns
x
t 

 0 
2~
11
)(




yx nn
Yx
c
t
nn
S
yx
t
   
2
.1.1
22



yx
yyxx
c
nn
SnSn
S