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Problemas Resueltos de
Cálculo para Ingenieros
Daniel Franco Leis
Esther Gil Cid
Luis Manuel Ruiz Virumbrales
U f l E D 0
sanz y torres
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Prólogo
1. El paso al límite
2. Fundones derivables
3. Aplicaciones de la derivada
4. Integral de Riemann
5. Funciones de varias variables
6. Aplicaciones de la diferencial
Í N D IC E G E N E R A L
7
9
51
87
131
175
205
V
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P r ó l o g o
"Comienza en el principio," dijo el rey, muy seriamente, "y contimía
hasta que llegues al final: entonces detente."
Lewis Carroll: Alicia en el País de las Maravillas.
Uno de los principales objetivos que nos planteamos cuando decidimos
elaborar el material que tiene entre las manos fue que nuestros estudiantes
pudieran familiarizarse y llevar a la práctica las ideas expuestas en nuestro
libro Cálculo para Ingenieros, editado por Sanz y Torres. No entendemos un
texto sin el otro. Ambos son complementarios en el estudio de Cálculo, de
los grados en Ingeniería Eléctrica, Mecánica, en Electrónica Industrial y Au
tomática y en Tecnologías Industriales que impartimos en la Universidad
Nacional de Educación a Distancia. Ambos tienen similar forma de expli
car y de entender los conceptos y resultados. Ambos contienen los mismos
módulos y siguen el mismo orden de desarrollo de los temas, y su nivel es
similar.
Los capítulos de este libro no se han dividido en apartados. No obs
tante, se ha seguido el mismo orden que en el libro Cálculo para Ingenieros,
volviendo a veces "atrás", para abordar problemas ya tratados, cuando las
nuevas técnicas y resultados estudiados permiten un nuevo enfoque del
problema. Por eso, no es necesario (ni recomendable) haber estudiado un
tema completo del libro de teoría para empezar a resolver los ejercicios.
Una buena forma de trabajar es ir simultaneando ambos textos.
Observará que hay tres tipos de ejercicios: cuestiones cortas, pregun
tas tipo test y problemas para desarrollar, que coinciden con los tipos de
preguntas que se plantean en los exámenes y en las pruebas de evaluación
continua y de autoevaluación. Cada uno debe intentar resolverse de forma
distinta. Las cuestiones cortas son a menudo "pinceladas" que nos van a
ayudar a plantearnos y a asimilar la teoría, o pequeñas preguntas que nos
ayudan a adquirir destreza algorítmica. Las preguntas tipo test se deben
abordar con toda la información que se da, es decir, sabiendo las posibles
respuestas e intentando corroborarlas o desestimarlas. Los problemas son
un todo donde hemos de decidir qué resultados aplicar, cómo hacerlo y
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dónde se busca una respuesta a una pregunta. En ellos hay que estar aten
tos no sólo al método que se aplica, sino también a que el desarrollo sea
correcto.
Algunas preguntas y problemas de este texto están acompañados, en el
margen, por dibujo de un disco con la palabra MAXIMA. Esto indica que
este ejercicio se ha resuelto también con el programa de cálculo simbóli
co Maxima. En el blog http://calculoparaingenieros.wordpress.com están
las soluciones. Es muy recomendable utilizar este programa tanto como se
pueda, porque ayudará a comprobar los cálculos y los resultados, a desa
rrollar la intuición, y a comprender los conceptos y resultados.
Es aconsejable, después del estudio de una sección del libro Cálculo pa
ra Ingenieros, una primera lectura de los ejercicio correspondientes, refle
xionando sobre el enunciado, qué resultados se pueden aplicar y cómo se
podría resolver, pero sin dar mucha importancia a si se llega a la solución
o no. Ya habrá tiempo de llegar a la solución más adelante, esto no debe
preocuparnos en la primera aproximación. Y desde luego es imprescindi
ble estudiar los ejercicios anotando, escribiendo, viendo en un papel lo que
se piensa, lo que se hace y prestando atención (incluso más que si se llega
a la solución correcta) a lo que se hace mal y a lo que no se sabe hacer, por
que éstas son las claves de una asimilación correcta de los contenidos. Es
tan importante llegar a la solución de los problemas, como identificar y ser
conscientes de los errores y corregirlos, porque esto hará que no volvamos
a cometerlos.
Los autores.
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1 E l p a s o a l l í m i t e
En el módulo "El paso al límite" se introducen sucesiones, funciones y
sus límites y se trabaja con ellos y con resultados relacionados, básicos para
el cálculo infinitesimal. Estos conceptos no sólo deben ser conocidos, sino
que deben ser comprendidos y dominados para avanzar en esta materia.
Recuerde...
■ El conjunto de los números reales R "completa" a los números racio
nales y su representación en la recta, lo que ayuda a su comprensión.
■ El valor absoluto permite definir una distancia entre dos números.
■ Para conjuntos de números reales se definen cota superior, inferior,
conjunto acotado, supremo e ínfimo.
■ Una sucesión { a n} es una aplicación de N en R. Se define su límite.
Es importante darse cuenta de que para determinarlo no es relevan
te el valor de los primeros términos, sino lo que ocurre para valores
grandes de n.
■ Se puede ampliar la recta real considerando que oc y — oo forman
parte de R y utilizar una aritmética ampliada para calcular límites.
■ Una función es una aplicación de un subconjunto de R en R. Así es
fácil entender el concepto de límite de una función en un punto y por
qué muchos resultados relativos a sucesiones tienen equivalente en
funciones.
■ La representación gráfica de sucesiones y de funciones ayuda a en
tender conceptos (dominio, límite,.. . ) y propiedades (unicidad del
límite, propiedad del emparedado,...) .
■ En las funciones continuas (en las que nos centramos) son aplicables
resultados (como el Teorema de Bolzano, de los valores intermedios o
de Weierstrass) que las convierten en una herramienta muy potente.
■ Es normal (y necesario) realizar muchos ejercicios para llegar a tener
habilidad algorítmica, tan importante en ingeniería.
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10 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Contraejemplo: ejem plo con
el que se m uestra que una
afirm ación es falsa.
Ejercicios
Ejercicio 1. Sean I\ e h los intervalos dados por
II = ( -3 ,5 ] , I2 = {x € R : ¡x - 3| < 4}.
Elija la o las opciones correctas:
a) Los dos intervalos tienen el mismo radio.
b) El centro de I\ es menor que el centro de L¿.
c) Se cumple I\ c h -
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Son correctas las opciones a) y b). Vamos a demostrarlo; tenemos
que determinar el centro y el radio de los dos intervalos.
Determinamos el centro y el radio de de forma inmediata por la ex
presión de I-2 - su centro es <■■> = 3 y su radio es r-> = 4. Calculamos el centro
c.\ y el radio ? t del intervalo I\ por:
Vemos que los dos intervalos tiene el mismo radio. También es cierta la
segunda opción porque:
c\ = 1 < 3 = co-
Para saber si es correcta la opción c), escribimos I 2 en la forma habitual:
I 2 = (c - r. c + r) = (3 - 4. 3 + 4) = ( - 1 . 7) .
Con esta expresión, es inmediato comprobar que I¡ y L.
Ejercicio 2. Sean x e y dos números reales tales que |x| < |y|. ¿Debe ser
\x + 2| < \y + 4|?
Solución.- No necesariamente. Lo demostraremos con un contraejemplo.
Buscamos números x, y tales que |.r| < \y \ que no cumplan |.r + 2| < // - 1 .
Sabemos que al menos uno debe ser negativo, porque si los dos son positi
vos sí lo cumplen: el valor absoluto de un número positivo es el mismo y
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entonces \x\ = x < y = \y\, por lo que también se cumple:\x + 2| = x + 2 < x + 4 < y + 4 = \y + 4| .
Elegimos los dos negativos, por ejemplo, x = —5, y = —6 y se verifica que
5 = | —5 < |—6 | = 6 . Y además
\x + 2| = |—5 + 21 = 3.
\y + 4| = |-6 + 4| = 2,
y no se cumple \x + 2\ < \y + 4| , como queríamos demostrar.
La idea para elegir los números nos la puede dar la representación
gráfica del problema. Como son números negativos y se tiene que cum
plir ./' < \y\, entonces será y < x. Además, podemos representar lo que
significa sumar 4 a y y 2 a x y nos podemos imaginar cómo debemos "des
plazarlos" por la recta real para que se cumpla \x + 2| < [y + 4|:
!
1 i 1 —Y i I i T I
x x + 2
Ejercicio 3. Dado el conjunto .4 ~ {a: G E : Ü < x 2 < 1}, se pide elegir la
opción correcta:
a) ínf A — U. b) A tiene supremo pero no tiene ínfimo,
c) A está acotado, d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Vamos a escribir el conjunto A de una forma que nos resulte más
cómodo trabajar en él. Por definición:
x G A 0 < x 2 < 1.
Esto significa:
0 < Ix'l < 1.
Los puntos que cumplen esta condición son los del conjunto (— 1. 0) LJ (0 ,1 ) .
Su supremo es 1 y su ínfimo es —1. Por eso, la única opción correcta es la
opción c): A es un conjunto acotado.
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12 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Reducción al absurdo: es un
procedimiento utilizado pa
ra demostrar una afirmación.
Suponemos lo contrario de
lo que queremos demostrar
y llegamos a una contradic
ción. Entonces se concluye
que lo que hemos supuesto
es falso.
Ejercicio 4. Sea S el conjunto dado por
f H ! i-}-
Se pide encontrar su ínfimo y su supremo. ¿Están en S ?
Solución.- Podemos ver S como la sucesión de números reales cuyo término
general an está dado por:
1
n
para n E N. Determinamos, por ejemplo, los siete primeros términos de la
sucesión, que son:
l i l i l í
' 2 ' 3 4 ' 5 ' 6 ' 7'
Por su definición, todos estos términos son menores o iguales a 1, porque
como para n E N se tiene n > 1, entonces:
1- < 1 .n
Esto significa que 1 es una cota superior, que además está en S. Por eso, es
su supremo (cualquier otra cota superior no puede ser menor, porque si lo
fuera, no sería mayor que el 1, que es un elemento de S).
Los números del conjunto son mayores o iguales que 0, porque n > 0.
Por eso, 0 es una cota inferior. Pero además es la mayor de estas cotas, por
lo que es el ínfimo del conjunto.
Lo demostramos por reducción al absurdo. Suponemos que hay una
cota inferior c que es mayor que 0. Entonces existe un número m E K con:
1
c > — m
(basta tomar m > 1/c). Llegamos a una contradicción. Por eso, no puede
existir esta cota inferior mayor que 0 y este número es el ínfimo de S (es
la mayor de las cotas inferiores). Pero no pertenece a S, porque no existe
ningún número natural n tal que su inverso sea 0 .
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Ejercicio 5. Tenemos dos condensadores C\ y C-¿, conectados en serie.
La capacidad equivalente C de la asociación verifica:
1 _ 1 1
C ~ C ¡ + C~2 '
Los dos condensadores tienen capacidad variable y la capacidad de C\
varía entre 2 y 4 microfaradios ip F ) y la de Cb entre 1 y 7 ¡iF. Se pide
encontrar entre qué valores se encuentra la capacidad del condensador
equivalente C.
Solución.- Es un problema de ínfimos y supremos. Partimos de las dos
variables C\ y Cb; sus ínfimos son 2, 1 y sus supremos son 4, 7, respecti
vamente. Se trata de buscar el ínfimo y el supremo de una nueva variable
C , relacionada con las dos anteriores por la expresión de la capacidad del
condensador equivalente, dada en el enunciado. Resumiendo,
lo que implica que:
2 < C 1 < 4. 1 < C-2 < 7.
l i l i l í - < — < - , - < — < - .
4 - C\ ~ 2 7 - Cb - 1
Utilizando estas desigualdades, se tiene:
lo que implica:
1 _ 1 1 1 1 11
C ~ C b + r b - 4 + 7 " 2 8 '
1 _ 1 1 1 _ 3
C' ~ C ¡ + C 2 ~ 2 + 1 - 2 '
¡ , F < C< g
Ejercicio 6. La sucesión { x n} es convergente y la sucesión {yn} es di
vergente. Razone si puede ser convergente la sucesión {x nyn}.
Solución.- Sí. Para demostrarlo, basta con encontrar un ejemplo donde se
cumpla. Un ejemplo típico de sucesión divergente es la dada por yn = n.
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14 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Tenemos que buscar una sucesión que sea convergente y tal que si multi
plicamos cada xn por n, la sucesión resultante sea convergente. Elegimos,
por ejemplo x n = que tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Entonces
1 1
XnUn — ñ'U, — —, n n
y es convergente, porque
lím - = 0»—>-3c n
de forma obvia.
Ejercicio 7. Sea { o„ } la sucesión cuyo término general es
n
V n3 + 4
¿Es convergente?
Solución.- Intentamos calcular directamente el límite:
,, n lím „_^ n ac
lim — ; = ------------------ . = — .
n - > c o y/n 3 _|_ 4 lím „_í.0o v n 3 + 4 oc
y llegamos a una indeterminación. Pero se puede resolver si sacamos factor
común a la mayor potencia de n que aparece tanto en el numerador como
en el denominador y operamos con las potencias de n :
lím — - - = lím " = = lím "
n- >°° \JriA + 4 11 sjri;’' (1 + 4/u3) n-^oo n3/2q/l + 4/n3
= lím — : = lím
n3/2 1 \Jl + 4 / ir1' n xl 2 \J 1 + 4/n3
1
iíiii,. f n K- x/l + 4
1 = 0 .
lnnn^oc //b- • lím„_,^ \/l + 4/n3 oo ■ 1
Entonces la serie es convergente y su límite es 0.
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Ejercicio 8. Sea an la sucesión de término general
\/l6n4 — 4
a n ~ / 9 ■= ■
+ 5
Se pide calcular su límite cuando n tiende a infinito.
Solución.- Primero intentamos hacerlo directamente:
\/l6n4 — 4 líniji—^oo \/l6n4 — 4 oo
lim an = lim — ^ = — .
íwoo n->c» 77,V4n2 + 5 límjj^oo n v 4n 2 + 5 oo
Es una indeterminación y hay que proceder de otra forma.
El cálculo de este tipo de límites se aborda sacando factor común a la
mayor de las potencias de cada radicando y simplificando.
En este caso, en el numerador la mayor de las potencias del radicando
es 4 y en el numerador es 2:
\ H ¡"; 1 „ \Jn4 (16 “ iú)lim an = lim — = lnn ---- — .
n r^oC »woc n\JAn2 + 5 7WOC n n 2 (4 + 4 ,)
En este punto, se sacan fuera de la raíz estos términos y se simplifica:
lím an = lím — - = lím
1G - 4n4
^ 4 • 4 ™ y / r + 4
línin->oc y/l6 — 4^ 4 ^
límn_voo \ A + 4 ^ 2
Ejercicio 9. Se pide calcular el siguiente límite:
lím ( \/42 + 4??, + 8 — n ) .74—> 00 \ J
Solución.- Si intentamos aplicar las propiedades de los límites, nos encon
tramos con una indeterminación del tipo oo — oc:
lím ( y n2 + 4n 4-8 — n ) = lím \f n2 4- 4/7 4- 8 — lím n = oc — oc.
n —>oo V / n — >oc • n —>00
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16 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Además se cumple (a+ b)(a-
b) = a 2 - lr
Observamos la expresión original con detenimiento. Aparece una raíz y
puede ser complicado operar con ella. Pero vemos que los términos que
El conjugado de la expresión "dominan" son y/ñ1 = n y n. Por esto, intentamos eliminar la raíz.
a + b es a - b y viceversa. pjn procedimiento habitual es utilizar el conjugado de la expresión. Si
multiplicamos (y dividimos) por el conjugado nos aparece en el numerador
de la fracción una resta de cuadrados.
En este ejercicio, esto significa que desaparece la raíz:
I = lím ( \J n2 + 4n + 8 — ti)71—> OC V /
f \/n'2 + 4 ii + 8 — r i \ ( v u 1 + 4/j + 8 +
= lím A . ¿ A L
( v/ n 2 + 4 n + 8 +
n2 + 4?7 + 8 — n2 ,, 4n + 8
= lim — = lim
n_>oc \Jn2 + 4n + 8 + n n->oo \/n2 + 4n + 8 + n
n (4 + 8 - ) n (4 + 8 - )
= lím 1 = lím 1 " 1
n—>• oo \Jn2 (1 + 4^ + 8 4 ) + n n ( ^ 1 + 4 p - 8 ^ + l )
bm
?W0C y/l + 4i + 8^ + 1 2
Ejercicio 10. Sea {«„ } la sucesión dada por la expresión:
1 1 1
a n — —, 4-------^ + - ' • +
V ri2 + 1 Vn2 + 2 \/ n'2 + n
¿Cuál es su límite, cuando n tiende a infinito?
Recuerde la propiedad del Solución.- No podemos resolver directamente este límite, porque nos que-
emparedado: si tenemos tres daría la suma de infinitos sumandos. Lo vamos a resolver con la propiedad
sucesiones {a„} {b„ } y {c„ } dd emparedado.
tales que a„ < b„ < c„ para 1
todo n £ N y además esfe caso tenemos.
lím a„ = lím c„ = l. h —_____ 2______ i______ 1______ l _i______ ^n-toc n—*oc uTl. — /—7: 1 ,— -------- 1 l
V n 1 + 1 \/ / v2 + 2 y /ñ 1 + ñ
entonces la sucesión {b n} es
convergente y su límite es l. Vamos a buscar dos sucesiones {.an } y {cn} tales que se cumpla la expresión
de la propiedad del emparedado. Para ello, observamos que cada sumando
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de la expresión de bn es menor que el anterior, y por eso, tomamos:
1 1 1 n
a n = , ,, - H----- ; .. + • • • +
Vn2 + n V n2 + n V n2 + n \Jn2 + n ’
1 1 1 n
\Jv2 + 1 \Jn2 + 1 \/n2 + 1 \/n2 + 1
Entonces, es evidente que a n < bn < cn. Pero además, podemos calcular
fácilmente el límite de las sucesiones {//„ } y { cn}:
lím a n = lím , = lím -------- - -- = lím —j = ^ = = 1,
oc n ^ o o v /n 2 + n n^oo n . y i _p l / n n->°° -^/l + 1 / n
lím cn = lím —= ^ = — lím-------- = = lím — = = 1.
nm oo n-í-oo y / n 2 + 1 n-i-oo n . \ + l / n 2 n ^ o o \ + \ / n 2
Estos dos límites coinciden y además, sabemos que an < bn < cn. Por eso,
ya tenemos el límite que buscamos, por la propiedad del emparedado:
lím bn = lím f ^ H ^ — + ■ ■ • H ) = 1.
nm co nm co ^ ^ n 2 q_ X V n 2 + 2 \J n 2 + TI)
Ejercicio 11. Se pide encontrar la relación entre a y b para que el si
guiente límite valga 2:
lím ( \/n2 + an + 1 — \Jn2 + bn} .
n-±oQ \ /
Solución.- Si intentamos calcular directamente el límite, resulta una inde
terminación del tipo oc — oc:
l = lím ( \/v2 + an + 1 — \A?2 + bn)
n—>oo \ /
= lím \Jn? + an + 1 — lím y n 2 + bn = oo — oo.
n —>• oo n—> oo
Es fácil entender que para calcular expresiones del tipo \/n2 + kn, la poten
cia dominante es la de mayor grado (n2 en este caso) y el límite es infinito,
independientemente de que la constante k sea mayor o menor que 0 .
Para resolver /, observamos que la expresión dada es la resta de dos
raíces, y en el radicando aparecen polinomios de n, ambos de grado 2 .
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18 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Como hemos visto, este tipo de límites se resuelven normalmente mul
tiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
l = lím ( \Jri¿ + an + 1 — \/n2 + InA
n —¥oo V /
( \/ri2 + an + 1 — \Jn2 + bn ) ( \/n2 + an + 1 + \/V2 + £>/?')
= lím 7-V-----, ---------------------
v ?¿2 + a?(. + 1 + Vn2 + bn
\Zn'r + an + 1 - v/ñ 2~+7m“ n 2 + an + 1 - (n 2 + bn)
= lim — , = lim
\/n2 + (in + 1 + \/n2 + bn " ~^ \/n- + an + 1 + \Jn2 + bn
an + 1 — i r
án + 1 + v n
(a — b) n + 1
n 2 + an + 1 — n2 — bn an — bn + 1
= 11111 _ = lllll __ ____
n —>oo V n 2 _j_ a n _)_ 1 _|_ , J n 2 _|_ £,n n —>oo y /n 2 _|_ a n _|_ p _(_ V n 2 _j_
= lílll
\Jti2 + an + 1 + y/ n 2 + bn
Resolvemos el límite sacando factor común (en numerador y denominador)
a n. Obviamente, el límite va a depender de las constantes a y b:
/ = lím (“ - 4 1 " + ‘
v/w2 + an + l + Vn2 + bn
= lfm + = lím » - 4 + í
™ n x/l + 22 + 4 + n J 1 + ^ J l + 22 + 4 y ./i + Aw n n ¿ y n y n n z \ n
lím ^oc (o - 6 + a - b a - b
lím ,,^ .^ \ J l + j¡ + + lím ,W5C \ J 1 + 1 + 1
Para que el límite valga 2, se tiene que verificar que
a — b
2
Luego la relación buscada es a — b = 4.
= 2 =>- a — b = 4.
Solución.- Si aplicamos directamente las propiedades de los límites lle
gamos a una indeterminación del tipo 1 'x . Por eso, tenemos que recurrir
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a otra técnica. Vamos a manipular la expresión y escribirla de la forma
( 1 \ Q’n11 + — ) , donde a n tiende a ± 00 si n tiende a infinito. Como el límite
de esta expresión cuando n tiende a 00 es e, entonces el límite se transfor
ma en una potencia de e y así se llega a la solución. Comenzamos con la
fracción:: Recuerde que:
5» + 2 _ 5n + 3 - 1 _ 1 ífrn ( 1 + —
5n + 3 “ 5/7. + 3 " — 5n — 3 ’
si líriin-Kx> a ti = ±00 ■
Tenemos lo que buscábamos, porque l:T: 1, x (—5n — 3) = —00 . Co/no debe
aparecer —5n — 3 en el exponente, hacemos:
'hn + 3,1+1 ( 1 \ (~-r>n-3)3 gl_(3,1+l)
1 +/ 5n + 2 Y
\ 5/7 + 3 )
= 1 +
,5n - 3 .
1 \ - ( 5 » + 3 ) ^
- (5n + 3)
Ahora ya podemos calcular el límite:
' 5n + 2 \ 3n+1 / 1 ^ - ( 5”+ 3 ) y ^
/ = iim = lim 1 +o \ 5n + 3 J ih .x y — (5/7 + 3)
Y \ — (5n+3)\ lím» ^ 5n+3
= l lím , 1 + - ( 5 n + 3 ) ' I = e ' f '
-3n —1
Solución.- Este límite nos puede recordar al del ejercicio anterior y pode
mos tener la tentación de resolverlo igual. Pero es más sencillo, pues:
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20 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Entonces, podemos tomar límites y tenemos
n — n + 1 ¿ "+1
/ = lim — ¡-----------
n —yoo \ 2 n 4 — n + 2
= lím
1 1 i 1 \ n+1\
lím
n° n *
oo
9 - A + A.N n,! n 1 /
Fíjese que no había una indeterminación del tipo 1
= 0 .
Solución.- Primero intentamos calcular el límite aplicando las propiedades
de los límites, llegando a una indeterminación:
/ /— — Dlím v n = lím n » = oc .
n —»o o n — too
Este tipo de límites se pueden transformar en un producto a partir de la
igualdad
lím ti" = lím e lnnn = lím e
n —> oc n —toc n —
¿ ln n _ e lím„^3c ¿Inri
Recuerde el criterio de En este punto, intentamos calcular primero
Stolz: si {a ,,} y { + } son
dos sucesiones tales que
'íni'— = / e r ,
entonces
lím — ln n = lím — lím ln n = 0 • oc.
n —roe n n —roo n n —ro c
que es de nuevo una indeterminación. Pero ya podemos aplicar el criterio
de Stolz. Tenemos el cociente de dos sucesiones, a n = ln n y bn = n. El límite
cuando n tiende a infinito de la sucesión del denominador es oc. Además,
existe el límite
I = lím —71—► OC f)
= lím
n-+oo 0„+l — 0„.
si {fen} es m onótona y se
cum ple que lím,1_+00 b„ =
± o c o que 0 = lím n->oo bn =
lim„-voc Tin .
bll+1 - br ¡-roe n + 1 — n
= ln lím ( — ] = ln 1 = 0 .twoc V n
1
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Entonces sabemos ya que
,, 1 n n, fln ,, Q-n+l 0,nlim — Inn = iim -— = inn -- — = ü.TI—>00 n T? TCO bn n—TOO 0,, II — b.n
y por eso,
lím n i = elím— ¿ ln" = e° = 1.
Ejercicio 15. Se pide calcular, si existe, el siguiente límite:
. ., - ,'2 32 43 (n + l ) r
Solución.- Tenemos que calcular el límite de una sucesión donde cada tér
mino sn es el producto de con la suma de n términos. Si calculamos
directamente los límites de cada factor y multiplicamos, nos da 0 • 00 .
En principio parece que se complica el cálculo del límite, pero resul
ta una ventaja si nos damos cuenta de que la suma de sn es la de s„._i más
^Í~i • Por eso, parece apropiado aplicar el criterio de Stolz; para ello, antes
debemos expresar el límite como una indeterminación del tipo Expre
samos el límite como
l = lím
2 , 32 , 43 , , (n+l)'T + -r 02 “T ■ ■ ■ 4----------
9 ’n —>00 77“
con lo que se transforma en una indeterminación del tipo y fácilmente si
aplicamos las propiedades de los límites. Para utilizar el criterio de Stolz,
identificamos:
2 32 43 (n + l ) n ,
a n - 7 + y + j 2 + " ' + h" - ? r -
Entonces la sucesión del denominador, b„ = rr , es evidentemente, una
sucesión monótona creciente, que tiende a oo, y se cumplen las hipótesis de
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22 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
este criterio. Así, tenemos
ün U~n—1l = lím
= lím
]n - bn .-1
f 2 + ^ ^ 2 +
(n+l)re \ ( 2 , 32 nn~
“T" J 1 1 2 ^ ( tí — 1 )
íhoo 2 — (n — l )2
(n+1),í / I 1 \n I I / I 1 \ r¡-l
= Jím = lím + i = lím Ü ± 1 . lím ( n + 1
n—roo 2n — 1 n—too (2n — l )n n 1 ti—roe 2n — 1 n-s-oo y n
Observe que en este caso, pa- Como
ra simplificar el cálculo, hace- , ,
lím ^ ± 1 = lím ?7 (1 + ^ = i ,
l í m a " ~ a " - 1 2/7 “ 1 ” ^ ° ° n ( 2 “ n ) 2
U:i' '' ' ' 'n + l V 1 „ / 1 \ " _1 „ ( l + lí)nI 1 1 / 1 I I 1 1 TVT ' 11/
que es otra forma de aplicar , " " Í ( n ) n -^ o í 1 + n ) (\ + I j 6 ’
el criterio de Stolz. \ n )
entonces podemos calcular ya el límite:
1 /2 32 43 (n + l ) n \ e
l — lili! —rr ( -— I — + 7-7 + • ■ • +n—too n 2 \ 1 2 32 nn 1 / 2
Ejercicio 16. Sean an Y zE^Li bn dos series de números reales que
son divergentes. ¿Debe ser ///m ian + K ) también divergente?
Solución.- No necesariamente. Buscamos un contraejemplo. Sean
- I ; - _ Io,n i onn n
Sabemos que
1OG OC= E^ n f V nn = l n = 1 = —OO.
Pero la serie /// | («„ + bn )es convergente; en efecto:
J OO OO
an + bn = ----------= 0 = h (an + bn) = V '' 0 = 0 .
n n n = l n =l
Si son series de términos positivos, podemos aplicar el criterio de compa
ración y la serie es divergente.
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23
Ejercicio 17. Sea la serie X ^ L i ° n de término general
•: .V-ií- 1
3 -f eos n + n5/2
Elija la opción u opciones correctas:
a) Es una serie convergente pero no es absolutamente convergente.
b) Es una serie absolutamente convergente.
c) Es una serie divergente.
d) Es una serie alternada.
Solución.- Como el valor del coseno siempre está entre —1 y 1, entonces se
va a cumplir que 3 + eos n > 2. Además, n5/2 es positivo, y por eso la suma
de ambos lo es y también su inverso. Así todos los términos de la sucesión
son positivos y la opción d) no es correcta.
Observando la serie, seguramente nos recuerde a una del tipo "T
y con ella vamos a intentar utilizar el criterio de comparación. El término
que parece que va a tener más peso va a ser n5/2. Además, el coseno nos
puede "molestar"para la comparación, pero esta dificultad se soluciona al
ser 3 + eos n > 2. Así, para n > 1, se verifica que Recuerde que la serie
3 + eos n + n5/2 > 2 + n5/2 > nr>/2.
Y entonces ya podemos utilizar el criterio de comparación: es convergente si y sólo si 1 > 1-
1 1
3 + eos n + n5/2 n5/2
para n > 1. Luego
Como la serie ~Y/2 es convergente/ entonces también lo es la serie de
este ejercicio. Al ser todos sus términos positivos, también es absolutamen
te convergente. Por eso, sólo es correcta la opción b).
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24 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 18. Se pide estudiar el carácter de la siguiente serie:
E
7 2 = 1
n l / 2 _|_ n 2 / 3
Solución.- Es una serie de términos positivos que nos recuerda a las series
del tipo
E
n= i n'
Además, sabemos para qué valores de 7 estas series son convergentes. Por
esto, parece apropiado intentar compararla con una serie de este tipo. Para
n > 1, se verifica que n1' 2 + n2/3 < ??2/3 + n2-'3 = 2n2//,i, por lo que
1 1
>,1/2 + „2/3 2 /i2 3 '
Entonces, se cumple
OO
E 1 >E 1n 1 2 + /73/2 2/<2 • 2 n 2 3
72— 1 7 2 = 1 7 2 = 1
Esta última serie es divergente, porque es una serie del tipo
1v _
^ 1p ’
(1 = 1
con 7 = | < 1. Por tanto, según el criterio de comparación, la serie es
divergente, ya que es mayorante de una serie divergente.
Ejercicio 19. Sea sn la serie dada por sn = Xu=i a n> donde
a n = 1 • 3 • 5 • • • (2n - 3) • (2n - 1)'
Se pide estudiar su carácter.
Solución.- Se trata de una serie de términos positivos. Por la expresión de
los términos parece adecuado aplicar o el criterio del cociente o el de la
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raíz. Entre los dos, elegimos el criterio del cociente, porque no es sencillo
calcular el límite de la raíz del denominador.
Realizamos el cociente entre dos términos consecutivos:
n-\- 1
(!„ +1 _ i-3-5'-'(2íí—i)-(2íi+i) _ 1 • 3 • 5 • • • (2n - 3) • (2n - 1) • (n + 1) a+ i
a 11 l-3-5-”(2n—3)-(2n—1)
(n + l ) í,+1 ^n + l \ n n + 1
1 ■ 3 • 5-- • (2n - 1) • (2n + 1) ■ n"
(2 ii + l ) n r n 2 n + 1
Esta expresión se presta ya a tomar límites directamente de cada uno de
sus factores:
lím ( — ) = lím ( 1 + 1
n -^ oc \ 71 J n —>oo V n
a + i i
= r .
Entonces:
lím
n—>30 2 n + 1
(hi + l w = lllll
n —> oo a „ n —>oo
lím
?? + 1 \ " í) + 1
2 n + 1 = 2 > L
Como el límite es mayor que 1, podemos afirmar que la serie es divergente.
Solución.- Estamos ante una serie de términos positivos y en el denomi
nador aparece una potencia n-ésima. No parece que el criterio del cociente
nos vaya a ayudar, así que lo intentamos con el criterio de la raíz
, ln n
lím = lím
71—> 0 0 71—>OC (ln n)
n "
= lím = A.n >3c lli n
En el numerador aparece n elevado a algo que también depende de n. Una
forma de abordar este nuevo límite es a través de logaritmos, porque se
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26 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
transforma la potencia en un producto:
Inn lnn
TI n TI 71 / l n n \
Indi = ln lím = lím ln = lím ( ln n ~ — ln (ln n ))
n —t oc ln Tí n—»oo ln T i n —Too V /
ln n (ln 77/)^
= lím ln n — lím ln ( ln n )= l í m lím ln(lnn)
n —Too TI n —>oo n—» oc Ti n —>oc
= 0 — oo = — oo.
El cálculo del primero de los límites requiere una explicación. De forma
intuitiva, lnn crece mucho más despacio que v/ñ, y por eso el límite de
su cociente es 0. Lo mismo ocurre con sus cuadrados y así se explica que
lím ^oc ! = 0. Su cálculo exacto se deja como futuro ejercicio a realizar
aplicando la regla de L'Hópital, que se estudia en el siguiente módulo.
Seguimos con el límite de este ejercicio. Como in A = — oc, entonces
A = f x = — = 0 < 1.
f D
Por tanto, la serie es convergente.
Solución.- Se trata de una serie alternada, porque los términos pares son
positivos y los impares son negativos, si escribimos
x e n
2 J - 1 )"a n, con a n = - y ^ .
n —1
Vamos a mostrar que los términos a n decrecen, es decir, a n+\ < an. Veamos
si se cumple la condición equivalente
<l ll-r 1 ^ j
Cln
Determinamos este cociente:
a n+1 _ e2n+2+i _ e" ' 1 {< -" + l) e2,l+1 + e
e2n + i e" (e2"-+2 + 1 ) e2"+2 + i ■
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27
Esta relación es menor o igual que 1 si y sólo si:
c 2,1+1 + e < e2" +2 + 1 <=> e2ra+1 - e2re+2 < 1 - e
e2n+1 (1 - e) < 1 - e.
Como 1 — e < 0, si dividimos los dos lados de la desigualdad por este
número, la desigualdad cambia y es menor o igual que 1 si y sólo si
e2"+i > y qUe se verifica para todo n G N. Por eso la sucesión a n = 1
es decreciente. Además, como
<" 1
lím ---------= lím — = 0 ,
n — voo e + 1 n —> oo e n + 6 n
podemos aplicar el criterio de Leibniz para concluir que la serie del enun
ciado es convergente.
Ejercicio 22. Sean f ( x ) y g(x) dos funciones con límite cuando x tiende
a xq. ¿La función f / g también tiene límite en xq?
Solución.- No necesariamente. Lo demostramos con un contraejemplo.
Sean / (x) = eos x. g (x ) = x. Ambas funciones tienen límite cuando x
tiende a 0 , pero sin embargo no existe el límite:
eos x
lim .
x —^0 CC
porque el numerador está acotado y el denominador tiende a 0 y se trata
por lo tanto de un límite infinito.
Ejercicio 23. Sea / la función dada por
f ( x ) =
2
X — X
x2 + 2 x - 3 '
Se pide calcular límx_>i f (x ) .
Solución.- La función / es continua en su dominio de definición, porque
los polinomios y su cociente lo son. Si x = 1 está en su dominio, podríamos
calcular el límite sin más que sustituir este valor en laexpresión de /.
Pero si intentamos hacerlo, llegamos a una indeterminación del tipo g.
Esto significa que los polinomios del numerador y del denominador tienen
Recuerde el criterio de Leib
niz. Sea i 0-" una serie
alternada tal que |a„ | es de
creciente. Entonces la serie
es convergente si y sólo si
l i l i, , . X ti I — 0 .
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28 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Recuerde que las raíces
a x 2 + bx + c son
— b — \'l>2 — 4ac
2a
como raíz común x = 1. En el numerador es evidente si sacamos factor
común a x, porque:
x 2 — X = x (x — 1) .
Buscamos las raíces del denominador (podemos hacerlo con la conocida
fórmula que nos da las soluciones de una ecuación de segundo grado o
aplicando la regla de Ruffini). Obtenemos que son x — 1 y x = —3. Por eso,
podemos escribir
x2 — x x (x — 1) x
x- + 2x - 3 (x - 1) (./■ + 3) x + 3
Ahora ya podemos calcular el límite:
lím f ( x ) = lím = —— =
X —>1 X —rl X + 3 1 “t“ 3 1
Ejercicio 24. Sea / la función definida por
f (x) — sen , /----------y ’ V (® -1)
Se pide determinar su dominio de definición.
Solución.- El seno está definido para cualquier valor de x € R. Por eso, el
único impedimento para que la función esté definida está en el argumento
de la raíz, que debe ser un número finito y positivo.
Estudiamos primero el denominador, para eliminar los puntos donde la
fracción sea ±oc. Este es siempre mayor o igual que 0, por ser una potencia
con exponente par. Sólo se anula si x = 1. Este punto está, pues, fuera del
dominio.
Además hace falta que el numerador sea mayor o igual que 0, que es lo
mismo que x > 0.
Resumiendo, el dominio de definición de f es
D = {x G R : x > 0. x ^ 1}
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29
Solución.- Si calculamos el límite aplicando las propiedades de los límites,
tenemos una indeterminación del tipo ^ . Aparecen logaritmos neperianos
en el numerador (de x) y en el denominador (de 4.r4). Si ambos logarit
mos tuvieran el mismo argumento, podríamos simplificar. Vamos a inten
tar conseguirlo aplicando las propiedades de los logaritmos:
ln (d.r1) = ln 4 + ln .rl = ln 4 + 4 ln x.
Con esta relación, ya podemos calcular el límite:
ln x ,, ln x
Recuerde que ln (a b ) = lna-
ln b, ln ( a 1') = b ln a.
X-»OC Ill4x4 = límx->dc ln4 + 41n:c
1
i í n v — + 4
= lím
ln x
ln x
x —>oo I n i 4 Í Í L Í
ln x ln x
1
4'
i ln x = límx —>oc ' n 4 i A
ln x
Solución.- Como es habitual, primero intentamos hacerlo directamente y
llegamos a una indeterminación del tipo ( — ) °°, que con la siguiente mani
pulación pasa a ser del tipo 1°°:
lím
x 1
= lím = lím
X —>OC y x — 1 J X —>OC l X ( l — J X —>OC l 1 — i /
( 1 \ lím^ o^o X
i ± i
l - ~ )
Por eso vamos a utilizar la relación que ya conocemos para sucesiones:
lím ( 1 + - 1- -
x — \ I (x) = c si lím f (x) = ± x .
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30 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Manipulamos la fracción y llegamos a una expresión de este tipo:
[ l m i £ ± i y = i , - m ó - i + 2 v = i , - m ( 1 + 2
x —¥oc \ X — 1 / x —>oc \ X — 1 / x roc \ 2’ — 1
= lím 1 + — y = lím 1 + —
x —>oo \ - — - / x —>oo \ ——V 2 / V 2
= Km. 1 1 ' + t | i )
línix^ -oc —^-rrX 2— g X —Í-OC X _ 1 _ _ ^
o
Ejercicio 27. La función dada por
r , N X1 + 1
tiene:
a) Asíntota vertical. b) Asíntota oblicua.
c) Asíntota horizontal. d) No tiene asíntotas.
Solución.- Son correctas la opciones a) y c). Comenzamos con las asíntotas
horizontales. Reescribimos la expresión de / como :
f U ) =
X2 + 1 1 + 7?
x2 — 1 1 —
Recuerde que una función / y podemos calcular fácilmente los límites cuando x tiende a ± o c :
tiene una asíntota horizontal
y = b si v sólo si:
lím / (x) = b y/oX —> OC
lím / (.c) = />.
lím / (x ) = lím
1 +
./ —, .t —r oc ^ — —Ej-
1 + 4,
lím /•(./•) = lím ------x—y—oo x—y — OC1 1 —
1 + lili! , . X 1
1" = T = 1-T 41 - límx_4(
1 + l ím x_
1 — lím-,
_L i- oc ,,2 r
ir = y ■
- ZVO O
Como estos límites existen, entonces y = 1 es una asíntota horizontal, tanto
cuando x tiende a oo como a — oo.
Ahora estudiamos si tiene asíntotas verticales. En esta función, el deno
minador se anula para x = ±1. Por eso, parece lógico pensar que puede
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31
tener una asíntota vertical en x = ± 1:
x2 -)- 1
lím f (x) = lím = —ex).
i - y l - .r—>1 ~ X a - 1
,)•- -|- 1
lím / (x) = lím —x — = 0 0 ,
x -> l + x -> l+ X a — 1
.r2 + 1
lím f (.r) = lím —5 = x .
x —> — 1 — ' x —^ — 1 — X a — 1
X2 + 1
lím / (,r) = lím —^ = —x .
x ^ -l + ■ X2 - 1
lím / (.r) — m r = lím I —5 mx
x —>±00 x —>±oc \ x — 1
= lím x + 1 — m r + mx
x2 — 1 = i 00
Como estos valores son ± 00 , las rectas x = 1 y x = — 1 son asíntotas Recuerde que una función
verticales, tanto por la derecha como por la izquierda. f tiene una asíntota vertical
x = a si y sólo si:
Ahora buscamos asíntotas oblicuas. Hacemos
l ím / (.t ) = ± o c y / o
x —> a
r2 + 1 lím / ( x ) = ± o c .
según sea el signo de m. Luego no tiene asíntotas oblicuas. Podíamos ha- Recuerde que una función
bernos dado cuenta de que una función con asíntotas horizontales en + 0 0 y / tiene una asíntota oblicua
- 0 0 no puede tener asíntotas oblicuas y entonces no hubiese sido necesaria
esta última comprobación.
La función / y sus asíntotas se han representado en la siguiente figura.
y = m x + b, con m / 0, si
y sólo si:
lím / (x ) — m x = b y/ox—too
lím / (x ) — m x = b
f ( x )
y= 1
X = — 1 X = 1
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32 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 28. Sea / la función dada por
, . x3 + 2a:2 - 1
m = — — —
Se pide encontrar las asíntotas de f , si las tiene.
Solución.- Si ,/’ tiene una asíntota vertical, entonces debe existir a ¡E R tal
que lím.,. / (a ) = ±oo. Para esta función, para cualquier a, tenemos
a;3 + 2x 2 - 1 a3 + 2a2 — 1
lim / (x) = lim 5 - = -^--------- .
x -^ a x -+ a x — 4 CL — 4
Si a2 / 4 (o, lo que es lo mismo, a ^ ± 2), entonces este límite es un número
finito. Pero si a = ± 2, el límite es ± 00 :
. . . , x + 2x — 1 , , x + 2a-' — 1
lim / (x = lim ------- :---- = lim -------— ------ — = +oo,
x->2 + ' ;r^2+ X2 - 4 xm2 + (x - 2) (x + 2)
, . a:3 + 2x 2 — 1 a:3 + 2a:2 — 1
Inri f (x) = lim k = lim — = —oca
x^ 2 - a—>2- a:2 — 4 a^ 2+(a-— 2) (a: + 2)
x 3 + 2a:2 - 1 .r3 + 2.r2 - 1
lim f (x) = iim ------- 7 = lím a ; = oca
*->-2+ X-+-2+ X- - 4 x->—2+ (a: - 2) (x + 2)
a:3 + 2.r2 - 1 .r3 + 2.r2 - 1
un t ,:r = lím a = imi = — oca
x—i—2 - ' x-m-2- X - 4 i a - 2+ (a: - 2) (x + 2)
Entonces, las asíntotas verticales son a’ = 2, a: = — 2.
Las asíntotas horizontales son las rectas y = b tales que /(a;) tiende a b
si x tiende a ±oo. Esta función no tiene asíntotas horizontales, porque:
t -f- 2 r — 1
lím / (a:) = lím ------- a = oca- ■- x—>oo x2 - 4
t3 2r 2 — 1
lím / (a:) = lím a——; = — oo.•—l—oo ’ x—t — oo X — 4
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33
Para encontrar las posibles asíntotas oblicuas, hacemos:
i i' \ u ( x A + 2x2 - lL = lim j lx) — m x = lim ------~----- m x
£ —>■00 £ —>oo \ X — 4
x3 + 2x2 — 1 — m x (x2 — 4)
= lím ----------------- r---------------------
x~ — 4
x 3 + 2x2 — 1 — m x3 + 4 mx= lím
£ —»o c
= límx—> OG
x2 - 4
y 3 _L O ^ 2
= lím
x —>oo
(1 — m) x + 2x + 4m x + 1
x 2 — 4
r 3 ((1 - m) + 2 ^ + l)" ,L + i )
X ( l - 4 ¿ )
2 si m = 1,
± o c si 771 / 1, dependiendo del signo de 1 — m.
Como este límite es finito para el valor m = 1, una asíntota oblicua es
y =x + 2. Repitiendo el proceso para x —t - oc (se dejan las cuentas para el
lector), resulta:
v t t s ! ' f ■''* + 2-»’2 - 1lim j (x) — m x = lim ------ « mx
x —>— oo :r—>—oo \ x — 4
(1 — r r i ) x 3 + 2x2 — 3mx + 1
= lim ----------------- -^--------------------
x — >oc x — 4
2 si m = 1,
i o c si m / 1, dependiendo del signo de 1 — m.
Es la misma recta, y = x + 2 .
Esta función se representa a continuación.
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34 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 29. Razone si existen funciones que tengan asíntotas horizon
tales y oblicuas.
Solución.- Sí existen y lo vamos a mostrar con la siguiente gráfica, que
tiene además una asíntota vertical.
La función que se ha representado es
1
x — 1
j J + 1
x — 1
x < 0 ,
. x > 0 .
Ejercicio 30. Sea / la función definida por
f ( x ) — arcos —.
¿Se puede definir en x = 0 de tal forma que sea continua en R?
Solución.- Para que esté definida en x = 0 hay que dar un valor a / (0).
Para que además sea continua en este punto, se tiene que cumplir
lím f (x ) = / (O) .x—>0 ■
Por eso lo razonable es calcular el límite de f ( x ) cuando x tiende a 0 y dar
a / (0 ) ese valor. Observamos que como eos x. e [— 1, 1], entonces
1
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35
y aplicamos la regla del emparedado, para obtener que el límite es 0, porque
0 < lirad o \f(x)\ < lím.,. >() |x| = 0. A s í, redefinimos Recuerde que
f (x)
x c os i . si x £ l - { 0 }, \ímg(x) = 0
0 , si x = 0 , í
lím \<j{.r)\ = 0.x—>a
y la función / es continua, como se puede ver en la siguiente figura.
0.5
/ \
\ íllk
- 1 \r 1
/
- 0.5
Este ejercicio también se puede resolver viendo que es el producto de una
función acotada (eos por una función (que es x) que tiende a 0 .
Ejercicio 31. Sea / la función definida por
í x3 ~ & _Z O
[ fc, x = 2 .
Se pide encontrar para qué valor de k la función es continua en
Solución.- Se trata de calcular lím, . ,^2 /('./:), porque para que / sea continua
en x = 2 se debe verificar que coincidan el límite de la función y el valor de
/ en dicho punto. Observamos que f ( x ) , si x / 2, se puede reescribir como
. 0 - 8 (,r — 2)(.r2 + 2.r + 4) 2 o
= = i - + 2x + 4.
x - 2 ,r - 2
Como se cumple que
lím f ( x ) = lím(2-2 + 2x + 4) = 12.x—>2 x—>2
si elegimos k = 12, resulta que / es una función continua en E .
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36 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 32. Sea f la función dada por
( 1I ^ n -i
f (x ) = e u+^2 , a r ^ —1 ,i
e 4 , ,x — — 1 .
Se pide calcular límx_>_ i f ( x ) y estudiar la continuidad de / en ]
Solución.- Si x ^ —1, la función está definida por una exponencial. La
exponencial es una función continua y el exponente también es una función
continua, porque el numerador es una constante y el denominador no se
anula si x / — 1. Por eso, / es continua para x / — 1.
Para estudiar la continuidad en x — — 1, hay que ver si existe el límite
en este punto y si coincide con el valor de la función. Tenemos que:
lime-lím /(.r) = lím e u+ú2 _ 1 TT+Iji = e x = Q.
X —r 1 X —> — 1
Como el límite no coincide con el valor de /(—1), la función no es continua
en x = — 1, aunque sí lo es en M - { ! } .
Ejercicio 33. Sean f y g las funciones definidas por
f ( x ) = \x\,
g(x) =
e , x — 1,
i
> 4, :r 1.
Se pide estudiar la continuidad de g o /.
Solución.- Si las funciones / y y fueran continuas, tendríamos que g o f
y / o g también lo serían. Pero sabemos (por el ejercicio anterior) que g es
discontinua en x = — 1. Vamos a estudiar la continuidad de /. Escribimos
la función / (valor absoluto) como
m =
—x, x < 0 .
x, x > 0 .
Entonces la función / sólo puede ser discontinua en x = 0. Pero es conocido
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37
que en este punto también es continua porque
lím /(.r) = 0 = lím f ( x ) = /(O).
x -> ü + . r ^ ü -
Vamos a ver ahora si la función g o f es continua. Observamos que:
!J° /(-'Ó = 9 (l-r l) •
Esto significa que el argumento de g es siempre positivo y, por eso, nunca
vale - 1, es decir siempre se cumple:
1
fl 0 / (•'') = o 1' - J'if' .
Entonces, g o / es continua, aunque no es composición, suma y cociente de
funciones continuas.
Ejercicio 34. Se pide demostrar, utilizando el teorema de Bolzano, que
cualquier polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al me
nos una raíz real.
Solución.- Un polinomio es una función continua. Si es de grado impar se
puede expresar como
= a.2k+ix2k+1 + ak-xk + • ■ • + ai.r + o0.
para k G N. Podemos suponer que (i2k + i es mayor que cero, porque si no
lo fuera, multiplicamos p por - 1 y entonces ya lo es y si p(x) tiene una
raíz real, también la tendrá —p(x). Entonces calculamos los límites cuando
x tiende a ±oc:
lím p(x) = oo. lím p(x ) = — oc.
x — yoc x —y—oc
Como el límite cuando x tiende a - o c es —oo y un polinomio es una función
continua, existe un número a tal que p(a) < 0. De la misma forma, como
lím.,. , x p(x) = oc, existe un número b tal que p(b) > 0 .
Hemos comprobado que se cumplen las condiciones para aplicar el teo
rema de Bolzano al intervalo [a, b\ y por tanto existe un punto c G (a, b), tal
que p(c) = 0, es decir, que p tiene, al menos, una raíz real.
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38 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 35. Sean / y g las funciones definidas, para x 6 [0, oo), como
4x2
= ~2~,— rr> = cosx-x ¿ -f- x + 1
¿Existe algún punto x 6 [0, oo) donde f ( x ) = g{x)l
Solución.- Se define la función h(x) = f ( x ) - g{x). Entonces, existe un
punto donde f ( x ) = g(x) si existe un punto donde se anula h.
Podemos demostrarlo con el teorema de Bolzano, ya que h es una fun
ción continua en el intervalo [0 , oo), y las funciones / y g son continuas
en este intervalo. Tenemos que encontrar dos puntos a y b donde h tome
valores de distinto signo. Como:
h(0 ) = — 1 < 0 . lím h(x) = oo,
x —»oo
existe un punto b > 0 tal que h(b) > 0, por lo que existe un c. > 0 tal que
h(c) = 0, es decir, /(c) = g(c).
Por eso, la respuesta es que sí existe x £ [0. oc), con f ( x ) = g(x).
Ejercicio 36. Sea f la función definida, en el intervalo (0. oo), por
¿Existen los valores límT„>0+ f ( x ) y línia._).00 / (*)? ¿Alcanza la imagen de
f el valor del supremo o del ínfimo en algún punto de (0, oo)? ¿Contra
dice esto el teorema de Weierstrass?
Solución.- Contestamos a la primera pregunta. Comenzamos calculando:
e~x
lím f ( x ) = lím ------ = oc.
,T->0+ ' ' a;-40+ X
porque límx. ,(yt- \e~x \ = 1 y líma,_4.0+ 1/x = oc. Ahora calculamos el límite
del valor absoluto de / cuando x tiende a oc:
e~x 2lím < límX—>-0O X oc X
= 0.
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39
Hemos utilizado que
lím |eX—>00 = 0
y que por eso está acotada y así la hemos maximizado por 2 para poder Recuerde que la gráfica de
aplicar la propiedad del emparedado y concluir que líin,._>0O /(x) = 0 . e es:
Por otra parte f ( x ) = '-f- es una función continua en (0 ,00) y es de
creciente (lo podremos demostrar con las técnicas que aprenderemos más
adelante), pero no alcanza el supremo ni el ínfimo del conjunto imagen.
Este resultado no contradice el teorema de Weierstrass, porque el domi
nio no es ni cerrado ni acotado.
Ejercicio 37. Sea / la función dada por la expresión
x + 2
/(*) = x5 + 1 '
¿Existe un punto xq E [0,3] tal que /(x0) = 5 ?
Solución.- Vamos a ver si podemos aplicar el teorema de los valores inter
medios. La función / es continua en [0,3] porque es cociente de polinomios
(que son funciones continuas) y además no se anula el denominador. Tam
bién se cumple la otra hipótesis:
Por esosabemos que existe x() tal que / (xq) =
Note que la existencia del punto xq gráficamente se demuestra repre
sentando la función f ( x ) = TVy y la recta y =
/
2
f
1
v = 2 ,
-1 1 2
- 1
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40 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 38. ¿El método de la bisección puede aplicarse a cualquier
ecuación f ( x ) = 0 en un intervalo cerrado /?
¿Se puede aplicar a cualquier ecuación f (x) = 0 en un intervalo cerrado
/ cuando / sea continua?
Solución.- No puede aplicarse a cualquier ecuación f ( x ) = 0 en un in
tervalo cerrado I , porque es necesario que la función / sea continua en el
intervalo 1.
Tampoco se puede aplicar a cualquier ecuación /(.;;) = 0 en un intervalo
cerrado / cuando f sea continua, porque es necesario que la función f tome
valores de signo opuesto en los extremos del intervalo /.
Ejercicio 39. El polinomio x :i — 3 tiene una única raíz en el intervalo [0,4].
Se pide aproximarla realizando 3 iteraciones con el método de bisección
y estimar el error cometido.
Solución.- Buscamos aproximar la solución de f ( x ) = 0 en el intervalo
[0 .4], donde
f í x ) = .r3 - 3.
Claramente la función / es continua y como /(O) = —3 < 0 y /(4) = 64 -
3 = 61 > 0 podemos utilizar el método de bisección.
El punto medio del intervalo [0,4] es x\ = 2 y tenemos /(2) = 8 — 3 =
•r> > t). Por lo tanto, nos quedamos con el intervalo [0,2]. En la segunda
iteración calculamos el punto medio del intervalo [0 . 2] que es = 1 y
tenemos /(1) = 1 — 3 = —2 < 0. Nos quedamos con el intervalo [1. 2] y su
punto medio es la tercera iteración pedida, es decir, x-¿ = 1.5.
Para estimar el error cometido al aproximar ^3 (fíjese que esa es la raíz
del polinomio x3 - 3) por 1.5 utilizamos la cota del error r>n . En nuestro
caso obtenemos que el error cometido será menor que
4 - 0 _ 1
2 : : “ 2
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41
Ejercicio 40. Tenemos una función continua / : [0.1] —> R, con / (ü) —
-1 y / (1) = 4. Buscamos una solución aproximada en ¡0, I] por el méto
do de bisección para la ecuación / (ai) = 0. ¿Cuántas iteraciones son ne
cesarias para asegurar que el error que cometemos al tomar la solución
aproximada es menor que 0.11?
al No se puede aplicar el método de la bisección, b) Faltan datos,
c) 3. d) 4.
Solución.- Por el método de bisección, una cota del error cometido tras n
iteraciones es
^ __ l-'-'i ~ o
“ 2 ”
donde x {] y x\ son los extremos del intervalo inicial. En este caso, buscamos
II — 0 1A = — = — < 0,11
2 " 2”
Como
¿ = 1 = 0,0635 y ¿ = i = 0 , 1 2 5
tenemos que n = 4. Es correcta la opción d).
Ejercicio 41. Construya analítica o gráficamente una función / para la
que f ( x ) = 0 tenga una solución en el intervalo [0 , 1], /(0 )/ (l) < 0 y tal
que el método de la bisección no se pueda aplicar.
¿Existen funciones continuas en el intervalo [0,1], para las que /(c) = 0
para c € [0 .1 ] y a las que no se puede aplicar el método de la bisección?
Solución.- La función que debemos construir habrá de ser discontinua pues
de otra forma sabemos que el método se podría aplicar. En la primera ite
ración el método de la bisección calcula el valor de f (x ) en x = 1/2 y de
pendiendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0,1 /2]
o [1/2 , 1],
Es muy sencillo construir una función discontinua que verifique /(0) <
0, /(1) > 0 y /(1 /2) > 0, tenga una solución en [0 , 1] pero no tenga ninguna
solución en [0,1/2] (vea la gráfica siguiente). Por lo tanto, el método de la
bisección no se podrá utilizar.
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42 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
0.5 / 1.0
También hay funciones continuas en el intervalo [0, 1] y con una solu
ción en él y para las que no funciona el método de la bisección. En este caso,
se debe cumplir:
/(0 )/(l) > 0 ,
pues de otra forma sabemos que el método funcionará. En la primera ite
ración el método de la bisección calcula el valor de /(./■) en x = 1/2 y de
pendiendo del signo busca la solución de la ecuación en el intervalo [0 , 1/2]
o [1 /2.1], Si el signo de /( I/2) es el mismo que el signo de /(()) y /(i) no
sabremos en qué intervalo buscar y el método fallará. La siguiente gráfica
pertenece a una función con las características descritas.
Ejercicio 42. Sea {/n} una sucesión de funciones continuas que converge
puntualmente a la función f {x ) . ¿Debe ser / continua?
Solución.- No necesariamente. Si la convergencia es uniforme sí debe ser
continua, pero si no es uniforme puede no serlo.
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Ejercicio 43. Sea fn la función dada por:
f n{x) = (1 - x)n sen — .
Se pide estudiar en qué subconjunto de E converge puntualmente la su
cesión { f n}.
Solución.- Si reflexionamos un poco, nos damos cuenta de que para x = 0
no están definidas las funciones /„. Además, observamos que para cada xq
distinto de 0, el valor de f n es
y sen es un valor constante. Por eso, tenemos
27t 2 tr
lím f n{xo) = lím (1 — xq)n sen — = sen — lím (1 — xo)” .
n -A o o n —>00 X q X q n —>oc
Entonces, la existencia de lím. . N f n(xo) depende de los valores de sen ~
y límn_>0O(l — x 0)n . El seno se anula cuando su argumento vale kx para
k £ Z, lo que en nuestra función supone
Por eso, en estos puntos la sucesión converge puntualmente.
Estudiamos ahora lo que ocurre fuera de este conjunto. En particular,
nos interesa saber cuándo existe lím,, ^ x ( l - x q ) 11, porque en estos puntos
la sucesión converge puntualmente. Este límite es finito si y sólo si
fn (x o) = (1 - xo)n sen
En estos puntos siempre va a ser /„ í.r) = 0 y entonces
1 — X’ o| < 1 - 4 = » X q € ( 0 , 2 ) .
Por eso, la función límite puntual existe en el conjunto
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44 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
y se cumple:
/ (x) = 0 si x £ (ü, 2) U — — : k £ Z — {0}
Como práctica, se deja representar las primeras funciones de esta sucesión
con Maxima.
Ejercicio 44. Sea /„, la función dada por:
x
f n ( x ) = 2(77 + 1)-
Se pide estudiar si la sucesión { / „ } converge puntualmente y uniforme
mente en el intervalo [0,1].
Solución.- Comenzamos encontrando la función límite puntual / para es
tudiar después si la convergencia a esta función es uniforme. Representa
mos gráficamente los primeros términos de la sucesión:
/i
h
h
U
Fijado cualquier punto fijo xq £ [0,1], se cumple:
.'0 X()lím fn {xo) = lím
n - y oo 2(77 + 1) 21ím„_>00(n + 1)
= 0 .
Por esto, la función límite puntual es / (x) = 0 para todo x £ [0,1].
Ahora estudiamos la convergencia uniforme. Se cumple que
sup |/„(x) - /(x)| < 1 ,
.re [0.1] ¿n + ¿
porque al ser 0 < x < 1 entonces
Ifn{x) ~ f (x ) | =
X
2 n + 2
- 0 <
1
2 n + 2
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45
Al aplicar la propiedad del emparedado resulta:
0 < lím sup \fn(x) - f(x)\ < lím 1 = 0 .
n-^°°xe[o,i] n^ -oo ¿n + ¿
Así vemos que la sucesión de funciones tiende puntual y uniformemente a
/(■i') = 0.
Ejercicio 45. Sea f n la función dada por
1 — n\x[, \x\ < 1/n,
0 , jx j > 1/n.
Se pide estudiar si la sucesión {/„} converge puntual y uniformemente.
Solución.- Primero vamos a representar las primera funciones de la su
cesión, para hacernos una idea de cómo puede ser la función límite. Las
gráficas de estas funciones son de la forma
1 -
h
h
h
h
- 1 h 1
Parece que la función límite puntual va a ser:
/ (./;) = lím f n (.r) = j 1
íW og [ U, .1 f ü.
Lo demostramos. Si x = 0, tenemos:
f n (0) = 1 - n |0| = 1 = > lím f n (0) = lím 1 = 1 .
n —>oo n —> oo
Si |x| > 1, entonces
f n {-i') = 0 = > lím f n (.r) = lím 0 = 0.
n—> oo n—>■ oo
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46 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Si 0 < \x\ < 1, entonces va a existir un número no G N tal que |x| > 1/no y,
en ese caso, f ni¡[x) = 0. Entonces si m > no también va a ser f m(x) = 0 y,
por eso,
lím /„ (./') = 0.
n — >oo
Así está demostrado que la función límite puntual es / y además, no es
continua. Por eso, la convergencia de la sucesión {/„} no es uniforme.
Ejercicio 46. Sea Y^nLi fn (%) una serie de funciones que converge abso
lutamente. ¿Debe ser también uniforme la convergencia?
Solución.- No necesariamente. La convergencia absoluta implica conver
gencia puntual, pero no uniforme. Un ejemplo de esto es la serie
OO tiE X
n n’
7 1 = 1
que es una serie de potencias tipo 3 (Ejemplo 1.59 del libro Cálculo para In
genieros) y por eso converge absolutamente en R y uniformemente en cual
quier intervalo cerrado y acotado de R, pero esto no se cumple en R.
Ejercicio 47. Sea ]D^=i f n (x) la serie de funciones dada por:
OO
n.= 1
Se pide determinar el mayor subconjunto de R donde existe límite pun
tual y estudiar si converge uniformemente en este subconjunto.
Solución.- Para determinar el límite puntual, vamos a considerar un punto
x fijo:
lím g f n (x ) = lím \ x ( lm —»OC 771—> OC ‘ - - JT I— 1 7 1 = 1
= lím (x + x ( l — x) + .r(l — .r)2 + • • • + ,r(l — .r)m)
771-> O C
= lím x [l + (1 - x) + (1 - x f H h (1 - x )m]
m -A- oo
= X ( l + (1 - X) + (1 - x )2 + •••).
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47
Para cualquier x fijo, observamos que
1 + (1 - x) + (1 - x )2 4-----
es la suma de los términos de una serie geométrica, tal que su razón es
r = (1 — x). La suma de los primeros n términos de esta serie es
r - r" + 1 (1 - x ) - (1 - x ) n+1 (1 - x) - (1 - x )n+1
Sn. — 1 — r 1 — (1 — x) x
Por lo tanto, esta serie es convergente si y sólo si 11 — x \ < 1 y entonces
(1 — x) - (1 - x )'l+1 _ 1 - X
lím sn = límn—>oo n—>oo X
De esto se deduce que:
OO -E . x n — 1 t — Xx ( l - x) = X = 1 - X.
Xn—1
en |1 — x\ < 1, es decir, para 0 < x < 2 .
Nos quedan por estudiar los extremos de este intervalo. Si x = 0 tam
bién es convergente, porque:
OO oc
j : / „ ( o) = x ; o(i - o) " - i = o.
71 = 1 71=1
Si x = 2, entonces
OO OO
£ / „ ( 2) = 5 ^ 2(1 - 2)™-1,
77=1 77=1
que no es convergente (fíjese que su término general no converge a 0). Lo
mismo pasa si x ^ [0.2], En resumen, podemos decir que la serie sólo con
verge puntualmente en el intervalo / = [0 , 2) a la función
0 , x = 0 .
1 - x. 0 < x < 2 .
Además, la función suma no es continua, a pesar de que sí lo son las fun
ciones que conforman la serie. Luego la serie x ( l — x ) " _1 no converge
uniformemente en el intervalo I.
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48 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Ejercicio 48. Sea /»(•' ) Ia serie de funciones dada por
í C T . x ¿ n .M x ) — < li —
[O , x = n.
Se pide estudiar su convergencia puntual y absoluta.
Solución.- Si x G N, entonces /„(./•) = 0 para todo n G N, y además,
£~=i/»(*) = o.
Sea x G I \ N, entonces existe un número entero N tal que N > x y para
todo ii G N, con n > N > x tenemos que
n — x
/ j )71Por eso, para números naturales mayores que N resulta que K r es el
término general de una serie alternada. Además, el valor absoluto de es
te término general cumple
1
> 0
n — x
y es una sucesión decreciente. Por eso, la serie converge puntualmente a la
función suma / (x) = 0 por el criterio de Leibniz.
Para estudiar la convergencia absoluta, tenemos las funciones:
1
. X < 11
n — X
1
X — Tí
. X > II
0 , X = V
Además, para cada x existe un número natural n{] que es mayor que x.
Tenemos que estudiar lo que ocurre a partir de este término, es decir, si
converge la suma
i
E — ■' n — x71=710
porque podemos calcular , /„ (./■)|, al ser una suma finita. Pero la su
ma desde el término no no es convergente, por la misma razón que no es
sumable la serie 7; ■ P °r tanto, la convergencia no es absoluta.
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49
Ejercicio 49. Sea X^=i fn (x ) la serie de funciones dada por
f n (x) = e - nxn.
Se pide determinar su radio de convergencia y el tipo de convergencia.
Solución.- Observamos que es una serie de potencias, y que a n = c ". Por
eso, para determinar el radio cié convergencia, parece adecuado aplicar el
criterio de la raíz y calcular:
lím yíKn = lím Ve~'n = lím c_1 =
n —>00 n —>00 n — >og 6
Por eso el radio de convergencia de la serie es e y la serie es una serie de tipo
2. Esto significa que es absoluta y uniformemente convergente en cualquier
intervalo de la forma [—A:. k\ para 0 < k < e. No sabemos qué pasa en los
puntos x = e y x = —e. Comenzamos estudiando qué ocurre en x = e:
fn (e) = e~nen = 1,
por lo que la serie no es convergente en este punto.
En x = — e, tenemos
OO OO
/»<-*) =«- (-<=)" = (-ir, E /.(-«) = E (-1)" ■
ii = l r? = 1
que no converge ni puntual ni uniformemente.
Ejercicio 50. Sea Yl^Li fn (x ) la serie de funciones dada por
f n (x) = e r ^ x n.
Se pide determinar su radio de convergencia y el tipo de convergencia.
Solución.- La serie de funciones es una serie de potencias y a n = e <x . Va
mos a intentar calcular el radio de convergencia con el criterio del cociente:
lím
n —>oo
Cir
Q"n—l
= lím
71—>■ OO
= lím
n — >oo
e O -1)
— 2 n + 1
g (n — 1)^
= lím
71—>■ OO
1 1 i i
g ( n - i ) 2 g n 2 - lím
CN1
n —>oo
lím n -2n + l
= e n ¿ ( n — l ) ¿ — g ^ — Y
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50 C a p í t u l o 1 / El paso al límite
Por eso, el radio de convergencia es 1/1 = 1. Luego es una serie de tipo 2 y
para cualquier k con 0 < k < 1, la convergencia es absoluta y uniforme en
el intervalo [—A:, k}. Estudiamos qué ocurre para x = 1 y x = — 1:
f n ( - 1 ) = e - i P ( - 1 ) " . f > ( - 1 ) = ¿ ( - 1 ) ' ' e ~ b ,
n = 1 n = l
oo oo
f n (l) = e ~ ^ l n = e ~ ^ . ^ T / n (D = E e"
;í = 1 n = l
Para a: = — 1 tenemos una serie alternada cuyos términos tienden a 0 y es
decreciente y, por tanto, es convergente. Para x = 1 es una serie de términos
positivos que es convergente, lo que se demuestra sin más que aplicar el
criterio de la raíz para series:
lím V < = lím e ÍP = 1.
?l—»oo
Además,
OO OO
£ / „ ( - ! ) = £ l / » u ) l .
h=1 n=l
por lo que en los puntos x = 1, x = — 1 converge absolutamente.
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2 F u n c i o n e s d e r i v a b l e s
En el módulo "Funciones derivables" se introduce el importantísimo con
cepto de derivada y se establece su relación con la existencia de una apro
ximación lineal local para la función (que, gráficamente, resulta ser la recta
tangente a la gráfica de la función). Después se establecen las reglas básicas
de derivación, pudiéndose observar que este proceso es, en general, senci
llo y algorítmico. Muy pronto la derivada muestra su utilidad y gracias a la
Regla de L'Hópital somos capaces de calcular muchos límites de forma sen
cilla. También se consideran en este módulo dos estrategias para resolver
numéricamente ecuaciones: Métodos de Newton y de punto fijo. Por últi
mo, se presentan los teoremas de Rolle y del valor medio y gracias a ellos
condiciones suficientes para el crecimiento o decrecimiento de una función
en un intervalo.
Recuerde...
■ La recta tangente a la gráfica de una función en un punto se define a
partir del valor de la derivada.
■ Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese
punto.
■ La Regla de L'Hópital no es infalible y debe utilizarse únicamente si
se cumplen las condiciones que lo permiten.
■ El Método de Newton tiene una interpretación geométrica que lo re
laciona directamentecon aproximaciones utilizando rectas tangentes
a la gráfica de la función que define la ecuación a resolver.
■ Para aplicar el Método de punto fijo a una ecuación es necesario, en
ocasiones, reformular el problema y no hay una única forma de ha
cerlo.
■ Los teoremas de Rolle y del valor medio son resultados que garan
tizan la existencia de al menos un punto con ciertas propiedades sin
informar sobre qué punto realmente es.
51
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52 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Ecuación de la recta.
La recta con vector director
(u, v) pasando por el punto
(a. b) tiene por ecuación
v(x - a) = u (y - b).
Si u / 0, la ecuación anterior
se puede reescribir como
y = m x + c
con m = v / u y c = b—ma. La
constante m recibe el nom
bre de pendiente y coincide
con el valor de la tangente del
ángulo que forma la recta con
el eje x.
Si u = 0, es decir si la
recta es vertical, su ecuación
no puede expresarse median
te la ecuación y = m x + c
y su ecuación es de la forma
x = a. En ocasiones se dice
que las rectas verticales tie
nen pendiente infinita.
Ejercicios
Ejercicio 51. La derivada en un punto a € R de una función derivable
/ : R —> K es:
a) Una recta tangente. b) Un número real. c) Una función.
Solución.- La derivabilidad de una función / en un punto a se establece a
partir del límite
lím ■/’(/' + !>)- /(»)
//->o h
Si el límite anterior existe y es finito, entonces la función es derivable en
a y su derivada es el valor del límite. Es decir, la derivada de una función
derivable es un número real. La opción b) es la única correcta.
Ejercicio 52. Si / : R —> M es derivable en a £ R, entonces
a) La recta y = f' (a )(x — a) + f ( a ) es tangente a la gráfica de / en el punto
(a, /(a)).
b) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el punto (a, f (ai))
es f (a).
c) La recta x = - f'(a )(y — f ( a ) ) + a corta perpendicularmente a la gráfica
d e / e n (a, f (a ) ) .
Solución.- Sabemos que las opciones a) y b) son correctas porque la in
terpretación geométrica de la derivada establece que ésta coincide con la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en el punto (a ,,f(a)) , es
decir, la recta tangente tiene por ecuación
y = f ' (a )(x - a) + f ( a ) . (2 .1)
Estudiemos la opción c). Si la recta con ecuación
x = —f'(o)(y - f ( a )) + a
cortase perpendicularmente a la gráfica de / en (a, /(«)), también debería
cortar perpendicularmente a la recta tangente a la gráfica de / en (a, /(«)).
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 53
Es decir, debería coincidir con la recta perpendicular en (a, f ( a )) a la rec
ta dada por (2.1). Obtengamos la ecuación de esa recta y veamos si coin
ciden. Necesitamos un punto por el que pasa, lo tenemos {a. / (a)), y un
vector director, que será un vector perpendicular a (1, /'(«)), por ejemplo,
{ - f i a ) , 1). Por tanto, la ecuación siguiente es la de la recta perpendicular Recuerde que un vector per-
a la gráfica de / en el punto (a, f { a )) pendicular al vector (u. v) es
a ) .
l(.r - a) = - f ' ( a ) ( y - /(«)) => .r = - f \ a ) { y - /(«)) + a.
Y la opción c) también es correcta.
Ejercicio 53. Encuentre los puntos en los que la recta tangente a la gráfica
de la función / dada por / ( ;r) = —^ .r3 — ;r2 — 1 es paralela al eje x.
Solución.- Las rectas horizontales tienen pendiente cero porque, por ejem
plo, (1. 0 ) es un vector director para esas rectas y se tiene rn = y = 0 .
Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto (x. f { x ) ) de
la gráfica de una función derivable / coincide con el valor de la derivada
f ( x ) . Por lo tanto, debemos buscar los puntos en los que la derivada de / es
nula. Derivando resulta f ( x ) = x2 — 2x, e igualando a cero, y resolviendo
la ecuación resultante, obtenemos los puntos buscados:
—.r2 — 2x — 0 =>■ .r(.r + 2 ) = 0 => .r = 0 y x = - 2 .
Por lo tanto, los puntos déla gráfica buscados son (0. /(O)) y (—2, /(—2)).
Es decir, (0 . - 1 ) y ( - 2 . =f).
Ejercicio 54. Calcule los puntos en los que la recta tangente a la gráfica
de la función dada por f { x ) = — |.r;3 — x2 — 1 forma un ángulo de j
radianes (45 grados) con el eje x (medido desde el eje a la recta en sentido
contrario al de las agujas del reloj).
Solución.- Las rectas que forman un ángulo de | radianes con el eje x (me
dido desde el eje a la recta en sentido contrario al de las agujas del reloj) son
las paralelas a la bisectriz del primer cuadrante. Por lo tanto, un vector di
rector para cualquiera de estas rectas es (1, 1) y la pendiente de cualquiera
de ellas es m = \ = 1.
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54 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Debemos buscar los puntos en los que la derivada f'(x) = - . r 2 — 2x
toma el valor 1:
9 o - 2 ± y/4 ^ 4
—x —2x = l => x 4- 2:r + 1 = 0 =4- x = => x = — 1.
Sustituyendo
Por lo tanto, existe un único punto de la gráfica en el que la recta tan
gente forma un ángulo de ~ radianes con el eje x. Ese punto es (—1, — |).
Ejercicio 55. De una función derivable / : R —» R se sabe que f'(x ) =
sen(7rx)e2x ~x. Señale la afirmación correcta relativa a la recta tangente a
la gráfica de / en (x, /(x)):
a) Nunca es paralela al eje x.
b) Para x — | es perpendicular al vector (—1.1).
c) Sólo es paralela al eje x si x = 0. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La pendiente de la recta tangente a la gráfica de / en cierto pun
to (x,/(x)) viene dada por el valor de la derivada de / en x. Si la recta
tangente es paralela al eje x para x = c, se debe verificar f { c ) = 0. Por lo
tanto,
sen(7rc)e2c -c = 0 =>• sen(7rc) = 0 => c = —2. —1 . 0 . 1 . 2----
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 55
y existen un número infinito de puntos en los que la recta tangente es para
lela al eje x.
Así que las únicas opciones que pueden ser válidas son b) o d). La pen
diente de la recta tangente e n (| ,/ (^ ))e s
/'(s)=sen(Dexp(2i-í) = 1-
Por lo tanto, un vector director de la recta es (1,1) que es perpendicular Note que un vector director
a ( — 1. 1) porque para una recta con pendiente
f ' ( a ) e s ( 1 , / ' ( « ) ) .
(1 , 1) ■ ( - 1, 1) = 1( - 1) + 1 - 1 = 0 .
Resultando únicamente válida la opción b).
Ejercicio 56. Calcule las derivadas de las funciones dadas por
f { x ) = sen x eos x y g{x) = secx.
Solución.- Utilizando la fórmula de derivación de un producto se tiene
f'{x) = eos x eos x + sen x (— sen x) = eos2 x — sen2 x.
Otra forma de llegar al resultado anterior es recordar que
sen(2x) = 2 sen x eos x.
Por tanto, f ( x ) = | sen(2x), y derivando se tiene
f\ x ) = ^ s e n ( 2.r)^ = ^cos(2x)2 = cos(2.x).
¡Oh! ¿Hemos llegado a resultados distintos? No. Puesto que debemos
recordar que se verifica la igualdad
cos(2x) = eos2 x — sen2 x.
(/ • g)' = /' • g + f ■ g ■
Recuerde que para c e R
(e/ )' = c f ,
y que la Regla de la cadena es
tablece
(/ ° = (/' o,9) • 9
Pasemos a la derivada de g. Puesto que secx = ¿ ¿ y , utilizando la
fórmula de derivación de un cociente se tiene Recuerde que
</(*) =
0 — (— sen x) sen x t g . r
e o s- x eos x eos x eos x
= sec x tg x.
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56 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Recuerde que
(/ + <?)' = / '+ </'■
Puesto que sec(x) = (eos x) 1, la derivada de y también se puede calcu
lar con la Regla de la cadena de la forma siguiente:
f /(x) = — l(cos x )-2 sen x = sec x tg x.
Ejercicio 57. Calcule la derivada de la función dada por
h(x) = sen((l + cosa:)2).
Solución.- Como hemos recordado al margen, la Regla de la cadena garantiza
que la derivada de la composición h(x) =j'{fj{x)) es
h ' {x ) = f' (g (x ) ) -c j{x ) .
Para h(x) = scn((l + cosa:)2) tenemos que f ( x ) = sena: y g{x) = (1 +
eos a )2. Por lo tanto,
h'{x) = f { g { x ) ) ■ g'{x) = cos(g(x)) ■ g'(x) = cos((l + cosx)2) • g'(x). (2 .2)
Solamente resta calcular la derivada de g(x) = (1 + co sx )2. Se trata de
la composición de u(x) = 1 + cosx con v(x) = a:2, esto es, g(x) = v(u(x)).
Utilizando la Regla de la cadena y la fórmula de derivación de una suma
g'{x) = v'(a(x)) ■ u (x) = 2u(x) ■ ur(x) = 2(1 + cosa:) • (— senx).
Sustituyendo el valor de g'(x) en (2.2) se tiene
//(.r) = cos( (1 + cosa:)2) • g'{x)
= cos((l + cosa:)2) • 2(1 + cosx) • (—senx)
= —2senx (1 + cosx) cos((l + cosx)2).
Ejercicio 58. Calcule la derivada de la función dada por
f ( x ) = sen(e:zr + (x + 1) Inx2).
Solución.- La función f es de la forma sen(y(x)) con g(x) = ex + (x +
1) ln x2. Utilizando la Regla de la cadena
f'(x) = coso r + (,:r + 1) ln x2) ■ (rj/J + (x + 1) ln.r2)'.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 57
Por otro lado, debido a las propiedades aritméticas de la derivada y a
la Regla de la cadena
O V»
( e '1'2 + (x + 1) l n x 2 )' = 2x e x¿ + l u x 2 + (x + 1 ) - ^
x -
2 2
= 2x 6 -h ln x y 2 y —.
x
Por lo tanto, la derivada buscada es
O
/;(x) = cos(eJ'2 + (x + 1) ln x 2) ( 2 x e :l’2 + lnx2 + 2 y— ).
x
Nótese que el dominio de la función / es R \ {()} porque ln no está de
finido en ( —oo, 0]. El dominio de f también es M \ {()}.
Ejercicio 59. Compare el dominio de las funciones dadas por
f ( x ) = \J'2 + tyx y g(x) = eP+Ñ
con el de las funciones dadas por las expresiones que se obtienen al apli
car las reglas de derivación a f ( x ) y g(x).
Represente gráficamente / y g utilizando Maxima.
Solución.- Como {j/x está definido para todo x t M, el dominio de / es
tará formado por todos los números reales salvo los que verifiquen
2 • x x 0 <==> x < - 8 .
Es decir, el dominio de f es dorn(f) = [—8 , oc).
Derivando resulta
/vi=(v^ py=vj
1 1 1
2^/2 + 3 \f/* 6(\/2 + v/x )(v /x^)
El dominio de la función dada por f { x ) está formado todos los puntos
del dominio de / salvo en los que no esté definida f ' { x ) . En este caso, pues
to que el denominador de la expresión f '(x) se anula únicamente en x = 0
y x = —8, se tiene d o r n ( f ) = (—8 . 0) U (0. x c ).
Recuerde que A \ B denota
ia resta entre los conjuntos .4
y B, esto es, el conjunto for
mado por los elementos de A
que no pertenecen a B. Esta
resta conjuntista también se
denota como A — B cuando
no existe confusión.
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58 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
En el caso de la función g, su dominio es dom(g) = R \ { — 1} porque en
x = — 1 se anula el denominador de - t t •£ + 1
Utilizando la Regla de la cadena y la fórmula de derivación para un co
ciente
x
n \ x m - i - x + l - x e x+ig (x ) = i: ‘ -i ( ) = e '-+1
x + 1 (./■ -f- 1) (.r + 1)
y el dominio de g' coincide con el dominio de g.
En elblog h t t p : //c a lc u lo p a r a in g e n ie r o s . w o rd p ress . com en
contrará cómo realizar la representación gráfica con Maxima.
Ejercicio 60. Señale la derivada de la función dada por h.(x) = cotg x'
Qo■» 2 1 O 2
a) t í(x ) = b ) t i ( x ) = - ^ - . c ) t i(x ) =
3
sen2 x 3 sen2 x 3 ' ' sen x
Solución.- Recordando que
eos x
cotg x = ------
sen x
y aplicando la regla de derivación de un cociente se tiene
— sen x sen x — eos x eos x — 1
(cotg x)' =
sen2 x sen2 x
Aplicando ahora la Regla de la cadena a la función h,
h'(x) = ^ - < x :iy =
sen"1 sen'" x
Por lo tanto la opción válida es la a)
Ejercicio 61. De la función g se sabe que es derivable en todo R y además
verifica que
<?(1) = 2 y </(()) = 4.
Para a -- 1 y a — 0, calcule el valor de /'(O) para la función / dada por
f ( x ) = g{xa -g( 1)).
Solución.- Aunque puede parecer que no tenemos datos suficientes para
calcular el valor de la derivada solicitada, no es así.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 59
En el caso a = 1, en la expresión que define a f ( x ) intervienen g que
sabemos que es derivable, la función identidad, y el valor 3 (1) que será un
número concreto. Por lo tanto, aplicando la Regla de ¡a cadena y la fórmula
de derivación para un producto tenemos que
f { x ) = 9 (y '//(I)) ' (x-ff( l )) ' = </(x-y( 1)) ■ 5(1).
Sustituyendo,
/'(O) = g (0 • 5 (1)) • 5 (1) = y(0) • 5 (1) = 4 • 2 = 8 .
En el caso a = 0, se tiene
f { x ) = g(x° ■ 5 ( 1)) = 5(5(1)) = 5 (2 ).
Por lo tanto, en ese caso / es constante, aunque no conozcamos el va
lor de 5 (2 ) será un número concreto, y su derivada es 0 en todo punto.
Ejercicio 62. Calcule el dominio y la derivada de función dada por
f ( x ) = árceos y / x .
Solución.- La función arcocoseno asigna a cada valor x un ángulo a tal que
eos a = x, esto es, se trata de la función inversa de la función coseno. Como
el coseno solamente toma valores entre — 1 y 1, el dominio de la función
arcocoseno es [—1, 1]. Y el dominio de la función del enunciado es [0 , 1]
porque para que y'v pertenezca a [ - 1. 1] debe ocurrir que x pertenezca a
[0,1].
Al ser eos x y are eos x funciones inversas una de la otra, se verifica la
igualdad
are eos (eos x ) = x.
Derivando ambos miembros de la igualdad y utilizando la Regla de la
cadena en el primero de ellos se tiene
arccos/(cosa:)(—senx) = 1 => are eos7 (eos x) = -------
sen.r
- 1=> árceos eos .r = .
y/l - eos2 x
Si denotamos y = eos.r, obtenemos la fórmula de la derivada de la
función arco coseno
arccos^y) = —,
E ?
Note que el valor de are eos r
no está unívocamente defini
do, es decir, para cada x €
[—1.1] existen varios o ta
les que eos a = x. Para que
are eos x defina una función
debemos determinar un úni
co a para cada x £ [—1,1],
si no se indica lo contrario to
maremos a 6 [—f , f ]• Es de
cir,
árceos : [ - l . ! M [ - | , | ]
y
eos: [ - J . j M M - l ]
son funciones inversas.
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60 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Utilizando la derivada del arcocoseno que acabamos de calcular y la
Regla de la cadena se tiene
/ V ) = -r ~ 1 =- (n/^)/ = -7 = = ^ = , /— — 2 -
Ejercicio 63. Señale si es correcta la afirmación relativa a / : [0 , 1] -a R
con / derivable en (0 , 1).
Si í lím f { x ) ) í lím f ( x ) ) < 0, entonces la ecuación f ( x ) = 0 tiene solu-
\ «T ^0 + J \ X ^1 J
ción en [0 , 1].
Solución.- Puesto que / es derivable en (0 ,1) , tenemos que / es continua
en (0,1). Para verificar la afirmación es suficiente utilizar el Teorema de
Bolzano en [U 1 — para n suficientemente grande.
Efectivamente, como lím f ( x ) lím f (x )\ < 0 existirá un n € N
\x—>0+ ' ) \ x^ \ - J
tal que
/ ( - ) • / ( i - - ) < on n
y el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un c
tal que f ( c ) = 0 .
Ejercicio 64. Señale el valor de la derivada de la función inversa de /
dada por f ( x ) — x 5 + x3 + x en el punto y — 3:
( r ' r m =
Solución.- La función f ( x ) = x5 + x 3, + x tiene inversa f ~ ¡ definida en
todo M puesto que tiende a — x y oo en - x y x respectivamente, y / es
estrictamente creciente ya que
f'(x) = n.r4 + 3:r2 + 1 > 0. V.r E M.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 61
Derivando la igualdad / 1 ( f (x ) ) = x se tiene
( r 1 ) '(/ ( , '■ ) ) ./ > ) = i ,
que implica:
( . r i ), ( / ( . r ) ) = 15x4 + 3.r2 + 1
Buscamos el valor de ( f ~ 1)'(3). Así que debemos encontrar el valor de
x tal que
f ( x ) = .r5 + x 3 + x = 3.
Y es evidente que elvalor buscado es x = 1. Sustituyendo x = 1 en
r - u / ' 1
5.r4 + 3 / 2 + 1
tenemos
<r l ) , ( 3 ) = T T T T T T T = 5'
La opción d) es la única correcta.
Ejercicio 65. Calcule el valor de la derivada de la función /: (0, oo)
dada por
f ( x ) = y / x .
Solución.- Tenemos que f ( x ) = </J- = x~-. Debido a que la variable x apa
rece tanto en la base como en el exponente de esta función potencial utili
zaremos derivación logarítmica. Tomando logaritmos
Derivando
ln f ( x ) = — ln x.
x
f ( x ) “ I, , 1= — ln x + T7.
f ( x ) X~ ,T2
Finalmente, despejando obtenemos la derivada buscada
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62 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Ejercicio 66. Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:
Si una función f es derivable por ¡a izquierda y la derecha verificando que
f ( a ~ ) = f ' ( a + ), entonces f es continua en a.
Solución.- Sabemos que si las derivadas laterales en a existen y coinciden,
entonces la derivada en a existe y su valor coincide con el de las deriva
das laterales. Además sabemos que la derivabilidad de / en a implica la
continuidad de / en a. Por lo tanto, la afirmación es correcta.
Ejercicio 67. Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:
Si una función f es derivable por ¡a izquierda y la derecha en a, entonces f es
derivable en a.
Solución.- La afirmación es falsa. Además de existir, las derivadas laterales
deben coincidir. Intente buscar algún contraejemplo. Si no lo consigue en el
próximo ejercicio lo encontrará.
Ejercicio 68 . Calcule /'(0+ ) y /'(O- ) para la función valor absoluto
f ( x ) = \x\. Deduzca que la función valor absoluto no es derivable en
0 pese a ser continua en 0 .
Solución.- Utilizando la definición de derivadas laterales y que
.r =
x, x > 0.
—x. x < 0.
obtenemos
"A = ..... — ..... .....
/i—>o+ h h-+o+ h o+ h
lN „ f ( 0 + h ) - f ( 0 ) „ \ h \ - 0 „ h/ (0 ) = lím — l ALA = h'm L A = lím T = 1 ,
= too /■(? + *)- ./(O) = lím !AA = 1(m A = _L
A— o- h h -> o- h h-> o - h
Como las derivadas laterales no coinciden, aunque existen, la función
no es derivable en 0. Sin embargo, como sabemos, sí es continua en 0 por
que
lím \x\ = lím |./:] = 0 = |0|.
x->(U .r—>0
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 63
Ejercicio 69. Señale la afirmación correcta:
á) f (x ) — ¡:cj es derivable en 0. b) g(x) — jar* | es derivable en 0.
c) h(x) — |2 sen x\ es derivable en 0. d) j {x ) — ¡x! es derivable en 0.
Solución.- La primera afirmación es falsa como acabamos de ver en el ejer
cicio anterior.
Para la función g se tiene
9 ' « T ) = lím K0 + * ) » | - | t f > | _ lím = ñ = 0,
x —>0 X x — X
g ' { 0 + ) — lím KO + n t l - K * I _ l ím í ! = 0 .ñ d ñ - l ím P
x —>0+ X x —>0+ X
Por lo tanto g es derivable en 0 y g'{0) = 0.
La función h no es derivable en 0 porque
ll/n . ,, |2 sen(0 + x)\ — |2 sen0 | ,, —2 senx
h ' { CT) = lím -1 ^ ^ ----- 1----------- 1 = l ím = - 2 .
x - > 0 - X x ^ Q - X
., i |2sen(0 + u:)I — |2sen01 2 senx
h (0 ) = lim --------------------------------- = lim = 2 .
x —>0+ X x —>0+ X
en donde los últimos límites resultan de aplicar la Regla de L'Hópital.
Tampoco j es derivable en 0 porque
i ' \ / | 0 + x| - V W Í t , \ ^ X j (0 ) = lim — x = lim ------- = —oo,
x — X x — ■ X
j /(0+ ) = lím V/lQ + a’| - \ ^ = l ím ^ E = 0 0 .
x —>0+ X x —>0+ X
A la vista de los estos ejemplos tal vez pueda aventurarse a dar una condi
ción que garantice la derivabilidad de |/¡. Si no es así, el próximo ejercicio
le ayudará a encontrarla y el siguiente a conocer el valor de la derivada.
Ejercicio 70. Muestre que si / es derivable en a y f ( a ) 0, entonces |/|
es derivable en a.
Solución.- Para mostrar que ¡ /1 es derivable en a, debemos comprobar que
existe el siguiente límite
íím l/ (,1 + ',)|- |/M! (2.3)
/(-> 0 li
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64 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Recuerde que
lím g ( x) = 0
x —¥a
t
lím \g(x)\ = 0.
Ahora bien, como / es derivable en a, tenemos que / es continua en a.
Por otro lado sabemos que f ( a ) ^ 0 y la continuidad garantiza que para h
suficientemente pequeño f { a + h ) f (a) > 0 (es decir, f ( a ) y /(o, + h) tienen
el mismo signo). Con estos datos en mente vamos a estudiar el límite (2.3).
lím !/(« + h)\ ~ If in )
h —>0 h
f (a + /?) - f ( a )
lm. - -h = / ( a ) , / ( ,,)> 0
- n a + h) + / W ) = _ ,
h —>0 I) V V
Ya hemos terminado el ejercicio. Pero, ¿qué ocurre si /(«) = 0?. Trate de
pensar qué condición adicional será suficiente para que |/| sea derivable en
a. El siguiente ejercicio le dará la solución.
Ejercicio 71. Sea / derivable en a. Señale la afirmación correcta:
a) j/ j siempre es derivable en a.
b) Si f ' (a) > 0, entonces j/| es derivable en a y l/l/os) > 0.
c) Si f ' (a) — 0, entonces |/| es derivable en u, y \f\'(a) — 0.
d) Si f { a ) 0, entonces j/j es derivable en a y \f\'(a) yf 0.
Solución.- Como hemos visto f í.r) = x es un contraejemplo para la afir
mación a) puesto que |/(x)¡ = |:r| no es derivable en ü. Además, fijándonos
bien, esta misma función es un contraejemplo para las opciones b) y d) ya
que /'(0 ) = 1 > 0 .
Ya sólo nos queda mostrar que la afirmación c) es correcta. Para ello
deberemos demostrar que el siguiente límite existe y vale 0
,/ r w = lfm l A Q l - l / W I .
x — a
Teniendo en cuenta la propiedad que aparece al margen es suficiente
con demostrar que
\f(x)\ ~ \f(a)límj: a X — a
= 0 .
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 65
Lo haremos utilizando la Propiedad del emparedado. Tenemos que
0 <
<
x — a
!/(■'•) ~ .A»)
\x — a\
= \\f{x) \ - 1 f (n)
\x — a |
fi-r) ~ /(«)
x — a
en donde hemos utilizado la propiedad del valor absoluto que aparece al
margen.
Ahora bien, el límite cuando x tiende hacia a del último término de la
desigualdad anterior es 0 porque
límx—»a x — a ■Hii ,r — a
donde hemos utilizado la definición de derivada en un punto y que esta
mos suponiendo que /'(a) = 0 .
Por lo tanto, estamos en condiciones de utilizar la Propiedad del empa
redado para garantizar que
límx—yo, x — a = 0 ,
que a su vez implica, como hemos recordado más arriba,
l/l'W = lím I/(J)I - l/(a)l = 0
tal y como queríamos demostrar.
Ejercicio 72. Indique los valores de a y 6 que hacen derivable en todo M
a la función f ( x ) = | 2a; + sen.r, x < 0 ,
sen(aa; + b). x > 0 .
a) a = — 3 y b = 0. b) a = 3 y b = 1.
c) a = 0 y b = —3. d) a = — 3 y b = — 7tt.
Solución.- En R \ {0 } la función está definida a partir de funciones elemen
tales y por lo tanto es derivable.
Para que / sea derivable en 0 lo primero que debe ocurrir es que sea
continua en 0 . Sustituyendo tenemos /(O) = 2 • 0 -f senO = 0, luego para
Recuerde que
||« - fc| < |a — lt\ .
para a . b e R.
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66 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
garantizar la continuidad debe ocurrir lím f ( x ) = 0 ,
i->0+
lím f ( x ) = lím sen(ox + b) = senb.
£->0+ ' :r—>0+
La función seno se anula en todos los puntos de la forma kn con k G Z.
Por lo tanto b debe ser igual a kn para algún k G Z. Esto solamente ocurre
en las opciones a) y d).
Para que la función sea derivable deberá ocurrir /'(0+) = /'(O- ). Ahora
bien, utilizando la Regla de L'Hópital
/'«>+) = lím W ± h ) ^ m = 1(m
h-r o+ h h,->o+ h
a cosÍO:/;, + kir)
= lim = a cos(Á;7r),
íi->0+ 1
y
f'(O-) = lím /(U + hl -m = lím 2 ,,+ ; ei11'
m o - h h-+o- h
2 h w senh
= lim —— h lim —-— = 2 + 1 = 3.
h—^0 h h—>-0_ h
Por lo tanto, debemos buscar a tal que a cos(fcvr)= 3. Recordando que
1. k = . . . , - 2 , 0 , 2 , . . .
c o s ( A '7t ) =
- 1 , A: = . . . , - 3 , - 1 , 1 , 3 .
Recuerde que
lím f ( x ) = ± o c
x —> a
3
i
l ím ,1 + 7W = e
Tenemos que a =
ción válida la d).
3, k - 2,0,2,
- 3 , A; = . . . . - 3 . - 1 , 1 , 3 . .
, siendo la única op-
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo 1°°.
Utilizando las propiedades de los logaritmos y las potencias se tiene
límx—yoo
ln x 2 + 1
2 ln x
ln x
= límx -^oo
ln x ¿ + 1
ln x 2
ln x j y 4 lu ■>’
lím I 1 + -—-,t=oo \ m x ¿
= | lím I 1 +xmoo \ ln x¿
ln x 2
= ve.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 67
Ejercicio 74. Calcule el valor de lím '" --■■■--■■-í jl—^
x-+0 1 _ V i - í 2
Solución.- El límite nos lleva a una indeterminación del tipo g. Estamos
en condiciones de utilizar la Regla de L'Hópital puesto que tanto el deno
minador como el numerador son funciones derivables cerca de x = 0 y
además la derivada del denominador cerca de cero no se anula. Aplicando
L'Hópital se tiene
1 1 —Xln(l + x) — x 7+7 “ 1 ,, HA ,, v7!iim = lim ------- :---- = Iim — -— = lim -----------------= — 1.,->o 1 _ ,->(> 1 + .r
Ejercicio 75. Calcule el valor de lím x 5 + x 4 — x 2 + 1 Í4
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo jj y además estamos
en condiciones de utilizar la Regla de L'Hópital porque las funciones que
definen el numerador y el denominador son derivables y la derivada del
denominador no se anula si x está a distancia menor que 1 de — 1 (solamen
te se anula para x = 0)
x0 + x4 — x2 + 1 5x4 + 4x3 — 2x 3
hm : = lim ------------^
a--+-i .í’ 1 — 1 i 4
Este límite también se podría haber resuelto factorizando numerador y
denominador y simplificando.
sen x ~f* c
Ejercicio 76. Calcule el valor del límite lím :--------------.
x >oo eos x + ex
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo Estamos en condi
ciones de aplicar la Regla de L'Hópital puesto que tanto el denominador
como el numerador son derivables y para valores suficientemente grandes
de x la derivada del denominador no se anula. Sin embargo, aplicando la
Regla de L'Hópital ocurre
sen x + ex eos x + cxlim -------------- = lim
■ T - f X e o s ./• + ex ; r - > x — S611 X + <"'
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68 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Y si volvemos a aplicar L'Hópital para calcular este nuevo límite
lím
eos x + e
lím
sen x + e ‘
iodo — sen x + ex x->oc — eos x + ex
nos encontramos en una situación similar a la inicial1.
Por lo tanto, debemos buscar otro camino. Dividiendo numerador y de
nominador entre < ' y teniendo en cuenta que el límite de una función aco
tada por otra que tiene a cero es cero, se tiene
sen x + 6
lím eos x-\-e r = lím
+ 1 lím + 1
+ 1 lím + 1
= 1.
Este ejercicio debe dejarle claro que la Regla de L'Hópital no es infalible.
Ejercicio 77. Calcule el valor del límite lím
2 — lnjcos x )
*_♦*+ 2 + t g x
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo —. Estamos en condi-
L OO
dones de aplicar la Regla de L'Hópital ya que tanto el denominador como
el numerador son derivables a la derecha de ~ y la derivada del denomina
dor no se anula si x está suficientemente próximo a f .
m, 2 - l n j c o s a : ) = ^ drillím
sen x
= lím sen x eos x = 0 .
x->f +
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo oc°. Puesto que para
1
valores suficientemente grandes de x la expresión i1 es positiva, tiene
sentido que supongamos que el límite de existir sea un número no negativo
o oo. Escribamos 1
lím 1 = /
1 Aplicando L'Hópital dos veces más obtendríamos el límite de partida.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 69
en donde / es un número no negativo o oo. Aplicando logaritmos obtene
mos 1
ln lím x 1 = Inl.x—^OO
Pero al ser la función ln continua se verifica que el límite del logaritmo
es igual al logaritmo del límite, luego
1 1
ln lím am+i = lím ln —1 = ln l.
x —>-oo x — >oo
Utilizando que los logaritmos bajan exponentes
lím ln .rr|1 = lím ( —-— ]ln ;r = ln/.
.'COOO X—>OC' \ X + 1
Con lo cual, hemos reducido el problema de calcular el límite del enun
ciado a calcular el límite siguiente
ln x
lnnn c c x + 1
que da lugar a una indeterminación del tipo — y al que podemos aplicar la
Regla de L'Hópital
lím -----— = lím — = 0 .x—s-oc x + 1 ;r—voo 1
Luego ln l = 0 y l = 1 siendo la solución correcta b).
Solución.- Se trata de una indeterminación tipo 0 • oo a la que no podemos
aplicar directamente la Regla de L'Hópital.
Sin embargo, observando que x ln x = ^ r , se obtiene un límite al que
x
sí podemos aplicar L'Hópital
ln x ~
lím x ln x = lím —¡— = lím -fy = lím —x = 0 .
,x—>0+ x -> 0 + - , io ü + —.y .m ü +X xz
Tal vez algún lector haya tomado otro camino sin éxito. Efectivamente,
X
también podemos escribir x ln x = y aplicar L'Hópital
\nx
X 1 1lím ,t ln x = lím —¡— = lím ---------— = lím — ;j:(ln . r ) 2 .
x — ,>0+ x — >0+ —^ x - o 0+ 7 , m 0+ln x — ■'(lnx)z
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70 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Pero obtenemos un límite más complicado que el de partida.
Solución.- Se trata de una indeterminación del tipo 0o a la que no podemos
aplicar la Regla de L'Hópital directamente. Pero sí si suponemos
lím xx = /
.r—>0 1
con / G [0 , oc] y tomamos logaritmos neperianos
lím x 2 ln x = ln /.
x—>U 1
Utilizando L'Hópital el límite que aparece en la expresión anterior re
sulta
2 - ln x - .v2lim x ln x = lim —j— = lím = h m = 0 .
x^0+ x^0+ -L x—>0+ - 4 x-+0+ 2X a X o
Por lo tanto ln / = 0 y el límite es l = 1.
Ejercicio 81. Utilizando la Regla de L'Hópital calcule el valor del límite
í ln vM 1
de la sucesión < ----------> cuando n tiende a oo.
1 111 L+I J
Recuerde la relación entre
límites en el infinito de fun
ciones y límites de sucesio
nes:
lím f {x )
x —>oo
J.t
lím f {n)
= I
= J.
Solución.- No es posible aplicar la Regla de L'Hópital a un límite de suce
siones directamente. Pero utilizando la propiedad que aparece al margen
podemos calcular el límite utilizando un límite de funciones al que sí po
dremos aplicar la Regla de L'Hópital. Consideremos la función / dada por
ln ^±1
./(•'■) = ln -44'x + l
ln^+I
Sabemos que si lím Cr
^ J^ o c ln 2 + 2
111 x + l
= l. entonces lím
ln n±I
Apliquemos L'Hópital al primer límite (estamos en condiciones de ha
cerlo puesto que tanto la fundón numerador como la denominador son
derivables, se trata de una indeterminación del tipo § y la derivada del
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 71
denominador nunca se anula para x suficientemente grande).
1 •'•-(•'• + !) x - i
— 'í'2 r I I ' X + 2
lím —— ------—- = lím —— -------—f = lím -------- = 1.
x —>oo 1 X + i — [x + ¿ ) x -> o o X + 1 — 1 ; r ^ o c x
(./' + l )2 x + 2 (.r + 1)2
Luego
ln —
lím -----= 1-n —>oo ln BdlA
n + 1
Ejercicio 82. Utilice el método de Newton para aproximar la solución de
x2 = 0, tomando como dato inicial el punto xq = 0,4 y realizando tres
iteraciones.
¿Es posible utilizar directamente el método de bisección para aproximar
la solución de la ecuación x 2 = 0?
Solución.- Sustituyendo f ( x ) = x en la fórmula que aparece al margen
resulta Recuerde que el método de/ \ 2
\ X n )~ X n X „ Newton establece que para
2 " +1 1" 2 • x„ l " 2 2 resolver la ecuación
Por lo tanto, tomando .r(l = 0,4 obtenemos: /Y rj = o
= — _ g 2 - X‘2 = — = 0 , 1 : utilicemos el esquema
2 „ ^ 2 - ....
x3 = — = 0,05.
2 partiendo de un x¡, inicial co-
Pasemos ahora a la preguntadel enunciado. La función dada por f ( x ) = nocido.
x2 no toma valores negativos por lo que no es posible aplicarle el método de
bisección. Recuerde que, entre otras cosas, la función debía tomar valores
de signo opuesto en los extremos de un intervalo.
Ejercicio 83. ¿El método de Newton y el método de bisección se pueden
utilizar indistintamente?
Solución.- Acabamos de ver en el ejercicio anterior que existen ecuaciones
fí.r) = 0 para las que el método de Newton es aplicable y el de bisección
no.
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72 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Por otro lado, fijémonos en que para poder aplicar el método de New-
ton a una ecuación f i x) = 0 necesitamos que la función / sea al menos
derivable. Sin embargo, el método de la bisección no impone esa condición.
Por lo tanto, hay ecuaciones a las que se podrá aplicar un método y no
el otro.
Ejercicio 84. Utilizando el método de Newton, encuentre una solución
aproximada de la ecuación
e~* - x = í)
realizando tres iteraciones y partiendo de las condiciones iniciales xo ■
0,5 y a’o — 5. Estime el error relativo aproximado en cada caso.
Solución.- La función dada por f ( x ) = c x — x es continua y derivable en
todo IR, porque es suma de funciones continuas y derivables. Su derivada
es f'{.r) = —c A — 1 y es distinta de 0 en IR \ {0}.
El método de Newton establece que la sucesión recursiva que puede
converger a una solución de f ( x ) = 0 es
Recuerde que el error relati
vo aproximado en un méto
do iterativo tras n iteraciones
viene dado por
•O, - .0 , - 1
! = X 7. - 1
En el caso de tomar .r() = 0.5 la primera iteración es
o - 0* - 0.5
•n = 0.5 - _ i
La segunda iteración, con aq = 0,5603, es
e ~ o .r ,(i(¡: i _ ( )> 5 6 6 3
x-2 — 0,5663 _ r o.v,c:í _ i
La tercera iteración, con x¿ = 0,5671, es
e-o.5(¡71 _ o 5671
,r3 = 0.5671
0.5663.
0,5671.
_ f . - 0 . 5 6 7 1 _ l
0.5671.
El error relativo aproximado tomando xq = 0,5 y realizando tres itera
ciones es
- X‘2 ¡0,5671 - 0,5671)
iPil ¡0,56711
= 0 .
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 73
Si tomamos xo = 5. Resulta de forma similar que x¡ ~ 0.0401, x ■? ~
0.5096 y % 0.5665.
El error relativo aproximado tomando xq = 5 y realizando tres iteracio
nes es
= | , 3 - r 2 | = I ' ) .5 6 Im - 0.51196; =
|.r3| (0,5665,
Observe que el error relativo aproximado depende de la elección de la
condición inicial.
Ejercicio 85. Sea / : [—1.1] -» [—1,1]. Sabiendo que la única solución
de la ecuación f ( x ) — x en el intervalo [—1,1] puede ser aproximada
utilizando el método de punto fijo, ¿cuántas iteraciones necesitaremos
para garantizar que el error cometido sea menor que 0.1 si |/'(x)| < 0,8
en [-1 ,1 ]? ¿Y si |/'(x)j < 0,2 en [ - 1 , 1]?
Solución.- Puesto que 1 — (—1) = 2, debemos encontrar el primer número
natural n € N que verifique
k ”
2 ~ . < w
con k = 0.8 y k = 0.2 respectivamente.
Supongamos primero que k = 0.8, entonces
0 871
2 — - — < 0.1 ^ 2 ■ 0.8" < 0.02 ^ 0.8" < 0.01.1 - 0.8
Tomando logaritmos en ambos miembros de la última desigualdad re
sulta
0 ,8 " < 0 , 0 1 O ln ( 0 ,8 " ) < ln (0 ,0 1 ) ^ n ln ( 0 ,8 ) < ln ( 0 ,0 1 )
^ iu(04)i) _
^ ~ 20,6377;ln(0 .8 )
donde el cambio de sentido en la última desigualdad se debe a que hemos
multiplicado ambos miembros por el número negativo ln(|l) N[. Como 21 es el
primer natural mayor que el valor calculado, son necesarias 21 iteraciones
para garantizar que el error cometido es menor que 0 .1.
Supongamos ahora que k = 0 ,2, entonces
0 . 2 "
2 ---------- < 0.1 O 0.2" < 0.08 <=■ 0.2" < 0.04.
1 - 0 . 2
Recuerde que el error abso
luto cometido por el método
del punto fijo tras n iteracio
nes es menor que
donde k es el número que
acota a |/'| en [a, b}.
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74 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Note la importancia del valor
de A' para que el método de
punto fijo sea más o menos
rápido en su convergencia.
Como
0,22 = 0.04 y 0,2:i = 0.008,
obtenemos que en este caso el número de iteraciones necesarias se reduce
a tres.
Ejercicio 86. Dada la ecuación e x — x.
1. Compruebe que el método de punto fijo converge para cualquier
dato inicial 0,1 < xq < 2.
2. Utilice el método de punto fijo para aproximar la solución de la
ecuación partiendo del dato inicial xq — 1 y realizando cuatro ite
raciones.
Solución.-
1. Resolver la ecuación = x es equivalente a encontrar los puntos
fijos de g(x) = e r x. Veamos si se cumplen las hipótesis que garanti
zan la convergencia del método de punto fijo para g(x) = e~x en el
intervalo [a.b] = [0 .1. 2].
En primer lugar comprobemos que g : [a, b] -A [a,b].
La función g(x) = c x es estrictamente decreciente porque g'(x) =
—e~x es siempre negativa. Por lo tanto, si x G [0.1.2] se cumple
( 2 . , '
Como además, < 2 » 0.1353 > 0.1 y l ~ 0.9048 < 2, tenemos
0.1 < e ~2 < e~x < ■ 'u < 2 .
y hemos probado que para x G [0,1, 2] se cumple < J G [0.1, 2].
Ahora probemos que \g'(x)\ < k < 1 para todo x G (a, b).
La derivada de í r en (0,1,2) verifica
¡ - | = e~x < A ,u « 0,9048 < 1
porque, como ya hemos señalado, e~x es decreciente.
Utilizando el Teorema 2.2 del libro Cálculo para Ingenieros podemos
garantizar que el método de punto fijo converge para cualquier dato
inicial xq G [0.1. 2],
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 75
2. Tomamos como dato inicial xq = 1. Resulta
X l = g ( 1) % 0.3679:
x 2 = 5(0.3679) « 0.6922;
: r :> = g { 0.6922) « 0.5005:
:r4 = 5(0,5005) « 0,6062.
Recuerde que el Teorema
de Rolle establece que si
/ : [o, 6 ] —> R es continua en
[a, b], derivable en (a. b) y tal
que f ( a ) = f (b) , entonces
existe al menos un c 6 (a. b)
tal que f' (c) = ü.
Recuerde que las rectas para
lelas al eje y tienen por ecua
ción x = d con d e R.
Ejercicio 87. Dada una función /: [—1,1] —y R continua en [—1,1], tal
que /(—1) = / (1) y derivable en ( - 1 , 1) se verifica:
a) Para algún c 6 (—1,1) la recta tangente a la gráfica de f en (c, f ( c ) ) es
paralela al eje y.
b) Para algún c € (—1,1) la recta tangente a la gráfica de / en (c, /(c)) es
perpendicular al eje y.
c) Para algún c G (—1,1) la recta tangente a la gráfica de / en (c, /(c)) es
perpendicular al eje x.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Aplicando el Teorema de Rolle, las condiciones del enunciado
garantizan la existencia de al menos un punto c G (—1,1) tal que
./>) = 0 .
Como la derivada de la función en el punto c coincide con la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (r. f (c )) , tenemos
garantizada la existencia de una recta tangente con pendiente 0. Esto es,
paralela al eje x y perpendicular al eje y. La opción b) es correcta.
Las opciones a) y c) son la misma puesto que una recta paralela al eje y
es perpendicular al eje x. Veamos que son falsas. El enunciado del ejercicio
garantiza que la función es derivable en (—1,1). Luego tiene derivada finita
en todo punto de ese intervalo y la ecuación de la recta tangente en un
punto ( 6 , f (b)) con 6 G ( -1 ,1 ) arbitrario será de la siguiente forma
y - m = f ( b ) ( x - b )
que no incluye a las rectas paralelas al eje y.
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76 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
continua en [0,1] y deriva-Ejercicio 88. Dada una función / : [0,1] -
ble en (0,1) se verifica:
a) Si /'(O) > /(1 ) , existe un punto c € (0,1) tal que f '{c) > 0.
b) Si /(0 ) > /(1 ) , existe un punto c G (0,1) tal que f'(c) < 0.
c) Siempre existe c G (0,1) tal que f '(c) = 0.
d) Siempre existe c G (0,1) tal que f'(c) = 1.
Solución.-Las dos primeras afirmaciones establecen que si la imagen del
punto inicial del intervalo [0 , 1] es mayor que la imagen del punto final,
entonces la derivada en algún punto tendrá un signo determinado.
Recuerde que el Teorema del Si /(0) > /(1), entonces /(1) - /(0) < 0. Y por el Teorema del valor
valor medio afirma que si medio resulta que existirá al menos un c E (0 . 1 ) tal que
una función es continua en
[a, b y derivadle en (a. b), en
tonces existe un punto c £
(a.b) tal que
f i e ) = /Y)-./Di b — a
Por lo tanto la opción b) es correcta.
La función f ( x ) = —x sirve de contraejemplo para las opciones a), c) y
d) puesto que
/(0 ) = 0 > —! = / (!)
y sin embargo
f'(r) = - 1
para todo r E (0 . 1 ).
Ejercicio 89. Dada una función continua f : [ 0,1] —> R se verifica:
a) Existe un punto c G (0,1) tal que f '(c) = / (1 ) — /(0 ).
b) Si / es derivable en (0,1), entonces existe un punto c G (0,1) tal que
/ '(c ) = / ( l ) - / ( 0 ) .
c) Solamente si / es derivable en (0,1), existe un punto c G (0,1) tal que
f i e ) = /(1) - /(0).
d) Existe un punto c G (0.1) tal que f ( c ) = /(0 ) - /(1 ).
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Ejercicios de Cálculo para
Solución.- La opción b) es correcta por el Teorema del valor medio (vea
anterior nota al margen). Busquemos contraejemplos para el resto de las
opciones en el enunciado.
La función dada por f ( x ) = |.r — |^ es un contraejemplo para la opción
a) puesto que es continua [0,1] pero no derivable en \ E (0.1). Además,
como
Í - . . - + P e [0. iJ.
I i ' - 5 -
se tiene
f u -
- 1.
1. € ( 9 , 1).
Pero / (I ) - /(O) = - 77 = 0 y no existe c E (0, 1) tal que f'(c) = ü.
La función dada por f(:r) = |scn(27r.r) es un contraejemplo para la
opción c). Se trata de una función continua por ser una composición de
funciones continuas. Sin embargo, no es derivable en ^ e (0.1) (es sencillo
comprobar que ) = — 2ir ^ 2n = )), por lo que no verifica las
hipótesis del Teorema del valor medio. Pero sí verifica la tesis del teorema
puesto que si tomamos c = j se tiene
f'{c) = 27rcos = 0 = son 2 tt - senO = /(1) - /(()).
Por último, la función f ( x ) = x verifica f '{x) = 1 por lo tanto es impo
sible que exista c G (0 . 1) tal que
/ /( c ) = / ( 0 ) - / ( l ) = 0 - l = - l ,
y la opción d) es falsa.
Las gráficas de las funciones de los dos primeros contraejemplos que
hemos presentado aparecen a continuación.
o ,
3q
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78 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
Recuerde que / es estricta
mente creciente en un inter
valo I si para a . b € / con
a < b se tiene /(o) < f ( b ) .
Recuerde que / es decrecien
te en un intervalo / si para
cualesquiera a, b 6 / con a <
6 se tiene /(a) > /(b).
Ejercicio 90. Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:
Si f y g son funciones estrictamente crecientes en I , entonces f + g es estricta
mente creciente en I.
Solución.- Parece natural que si / y g son estrictamente crecientes, también
lo sea su suma. Tomemos a ,b E I con a < b, tenemos
(/ + flO(a) = /(«) + g(a) < f (b ) + g{a) < f {b ) + g{b) = (/ + g)(b),
donde la primera desigualdad se debe a que / es estrictamente creciente y
la segunda a que g es estrictamente creciente. Por lo tanto / + g es estricta
mente creciente en I.
Fíjese en que si las funciones fuesen derivables y verificasen la condi
ción suficiente para ser estrictamente crecientes: tener derivada mayor que
cero en I . Claramente su suma también tendría derivada mayor que cero y
sería estrictamente creciente. Pero los datos que aparecen en el enunciado
no permiten utilizar este camino.
Ejercicio 91. Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:
Si f : R -> M es una función continua y decreciente en [—7r, 0] y en [t, 27r],
entonces f ( a ) > f ( b ) para todo a G [—ir, 0] y b G [7r, 2tt\.
Solución.- La afirmación del enunciado establece que si una función es de
creciente en dos intervalos disjuntos ([—tt. 0] y [tt. 2n\), entonces las imáge
nes de los elementos del primer intervalo serán mayores que las del segun
do.
Por el carácter decreciente de / en cada uno de esos intervalos, para
cualquier a G [-tt. 0] se verifica
/(«) > /(0 ).
y para cualquier b G [tt. 2tt] se verifica
/O) > /(&)•
Por lo tanto, si
/(~) > /(0)
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 79
la afirmación será cierta. Pero ninguna condición en el enunciado impone
la desigualdad anterior. Es sencillo construir un contraejemplo, si
f ( x ) = — eos X
estamos en las condiciones del enunciado (vea la gráfica a continuación) y
sin embargo
1
1
i
3.14 — 1.5 7
- 1
1.57 3.14 4.71 6.28
Ejercicio 92. Sean cosh x
_j_ g X gJ7 _ X
= ----- ------y senh x — ------ —— . Señale la op-
ción correcta:
a) (cosh x)' = — senh x. b) senh x + cosh x es constante.
c) (senh z)' = — cosh x. d) cosh2 x - senh2 x es constante.
Solución.- Claramente las opciones a) y c) no son correctas porque deri
vando
(coshz)' =
(senil .r)' =
ex + e-'T(—1)
ex — e x( —1) ex + e
2 2
Por otro lado, sumando ambas funciones
cosh x + senh x =
ex + e x <■" — e
+
= senhx
= cosh x.
2ex
Funciones hiperbólicas. Las
funciones dadas por cosh x
y senh .r se llaman coseno y
seno hiperbólicos. El adjeti
vo hiperbólico se debe a que
se pueden construir geomé
tricamente a partir de una
hipérbola.
= e
Por lo tanto la suma no es constante y b) es falsa.
Para comprobar que aparece al margen, que se verifica d), en lugar de Recuerde que / es constante
elevar al cuadrado y restar (el lector puede comprobar que ese camino con- en intervalo / si y sólo si
duce a la misma conclusión), utilizaremos, ahora que conocemos los valo- ^ “ ü Para todo J e L
res de las derivadas de cosh x y senhz, otro camino: ln caracterización de ¡as
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80 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Recuerde que f ' (x) > 0 en
un intervalo / garantiza que
/ es estrictamente creciente
en /. Mientras que /'(.r) < 0
en I garantiza que / es estric
tamente decreciente en I.
funciones constantes. Derivando cosh2 x — senh2 x se tiene
(cosh2 x — senh2 x f = 2 cosh .r(cosh x f — 2 senh x(senh x)'
= 2 cosh x senh x — 2 senh x cosh x = 0.
Por lo tanto, cosh2 x - senh2 x = constante y la opción d) es correcta.
Como además
cosh2 0 - scnlr 0 = 1 — 0 = 1
obtenemos la importante igualdad
cosh2 x — senh2 x = 1.
Ejercicio 93. Señale la opción correcta relativa a / : R —>■ R tal que su
derivada es ,f'{x) § ¡ sen(irx)e2x ~x:
a) / es creciente en R. b) / es decreciente en R.
c) / es estrictamente creciente en R. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La función seno cambia de signo y la función e2j’2 ' es siempre
positiva. En consecuencia
f'(.r) = sen( Trx)e2x‘ ~x
cambia de signo y la función / es en ocasiones estrictamente creciente y en
otras estrictamente decreciente.
Ninguna de las tres primeras opciones es correcta y esto hace que la
opción d) sea cierta.
Ejercicio 94. Señale la opción correcta relativa a / : R —» R con derivada
f ' (x) = \n(x2 + 2):
a) f es creciente pero no estrictamente creciente en R.
b) / es decreciente en R. c) / es estrictamente creciente en R.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Puesto que para todo x G R se verifica
x 2 + 2 > 2 > 1 .
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 81
tenemos que la derivada es siempre positiva y la función es estrictamente
creciente en IR.
La opción c) es la única correcta.
Ejercicio 95. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
/ : R -» E tal que f ( x ) = e2x ~x. A continuación discuta si la siguienteafirmación es correcta: / es decreciente en J = (—oo,.— -|).
Solución.- Derivando tenemos que
f 'U ) -- e ^ - ' U v - l i
l i factor < 2s~ r es siempre positivo por lo que el signo de la derivada
vendrá dado por el signo de 4.r — 1. Así / es estrictamente creciente en
(|, oc) y estrictamente decreciente en I = (—oo, |).
La afirmación del enunciado es correcta porque toda función estricta
mente decreciente es, en particular, decreciente y toda función decreciente
en I es también decreciente en J c I.
Ejercicio 96. Señale la afirmación correcta relativa a la función
{ I senfa; — 1)1 si x > 1 x — 2 si K l .
a) / es derivable en 1. b) lím f(x') = 0 .
x-^ oo
c) / verifica las hipótesis del teorema de Rolle en [1 + 27t, 1 + 37t],
d) / es derivable en E \ {1 }.
Solución.- Para estudiar la derivabilidad en 1 comencemos considerando
la continuidad en dicho punto. Claramente la función es discontinua en 1
porque
lím /(.;:) = lím x — 2 = —1
X — X —> 1 “
y
lím f ( x ) = lím | sen(.r — 1)| = 0 .
X ~ > 1 ~ X —>-1 +
Al ser discontinua en 1 no puede ser derivable y la opción a) es falsa.
Recuerde que el valor del lo
garitmo de r en cualquier ba
se es positivo si ./• 6 ( 1 . oc) y
negativo si x £ (0 . 1 ).
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82 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Para analizar la opción b) debemos recordar que la función seno es pe
riódica de periodo 2?r y alcanza todos los valores entre —1 y 1.
Para las sucesiones crecientes y no acotadas { a n} = {1 + \ + 2mr} y
{bn} = {1 + 2nir} se tiene
lím sen (a.,, — 1)| = lím sen (
71—> 0 0 71—> 0 0 V
7rsen ( 1 + — + 2nir — 1 = lím 1 - 1n—>oc
Note que
lím f (x ) = I.
i- • >
garantiza que
lím /(«„) = /.
y
lím ¡sen(¿>„ — 1)| = lím (sen (1 + 2mr — 1)| = lím 0 = 0 .
ti—> oo n—yoo n-^-oc
Por lo tanto, lím f ( x ) no existe y la opción b) es falsa.X-^ OO
Con el propósito de comprobar las hipótesis del Teorema de Rolle, bus-
para cualquier sucesión a„ quemos la expresión de la función / restringida al intervalo [ 1 + 2 tt. 1 + 3 " ] .
que tienda a ac. ege jn j-e r v a j 0 ^ claramente x es mayor que 1. Además ./■ — 1 \raría entre
2tt y 37r, en consecuencia sen(.x - 1) es mayor o igual a cero en el intervalo
[1 + 2tt. 1 + 3tt] .
Así, en realidad, debemos comprobar que la función
dada por
g: [1 + 27t, 1 + 37t]
g(x) = sen(x — 1)
verifica las condiciones del Teorema de Rolle.
La función g es claramente continua en [1 + 2tt, 1 + 3tt] y derivable en
(1 + 27t, 1 + 3tt), además
g( 1 + 27t) = sen27r = 0 = sen37r = g{ 1 + 37t).
Luego la opción c) es correcta.
Por último debemos ver si d) es correcta o no. Debido a la definición
de la función valor absoluto y a los cambios de signo de la función seno
se tiene que, por ejemplo, f ( x ) = sen.r en el intervalo [1 + 2tv, 1 + 3tt] y
f ( x ) = — sen x en el intervalo (1 + 37r, 1 + 4tt). Así las derivadas laterales en
1 + 37t toman los valores 1 y —1. La opción d) es falsa.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 83
Ejercicio 97. Deduzca cual de las siguientes figuras coincide con la re-
,r'! + 1
presentación gráfica de j {xj — --------- :
a)
Solución.- Todas las gráficas muestran que x = 0 es una asíntota vertical
tanto si nos acercamos por la derecha como por la izquierda. Veámoslo,
x + 1
lím /(.x) = lím
i - > 0 + ' ,r - > 0 1 X
= oo y lím f ( x ) = lím
x —>()_ x —>0~
X + 1 = — OO.
Así se confirma que x = 0 es una asíntota pero además sabemos que
la función debe tender a oo cuando nos acercamos a ü por la derecha y a
- o o cuando lo hacemos por la izquierda. Esta información no nos ayuda
a eliminar opción alguna porque todas las funciones representadas tienen
este comportamiento.
Veamos si f ( x ) = tiene asíntotas horizontales. Utilizando la Regla
de L'Hópital
lím f ( x ) = l ím t i = lím t í i l = ^
x—yoc x—>oo x x—^oo 1
lím f ( x ) = lím x + 1 3x2l im ----- = oo.■ —y—cxd 1
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84 C a p í t u l o 2 / Funciones derivables
Luego no hay asíntotas horizontales y las opciones c) y d) no son váli
das. Además la opción b) no puede ser cierta porque obligaría a
lím f ( x ) = — oc.
x —¥ — OC
Para asegurarnos de que la figura a) es la representación gráfica de
f ( x ) = calcularemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Derivando
3x2x - — 1 2a:3 - 1
./ (D = -
tenemos:
X - x-
2 a;3 — 1 = 0 =» x = \ ~ .
Luego la función es decreciente en ( — oc.0) v (0. y ¿ ) y creciente en
o 5 , oo) lo que coincide con la gráfica de a).
Solución.- Una primera diferencia observable entre las gráficas es el va
lor de las derivadas laterales en 0 y 2tt. Si la opción b) es correcta éstas
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 85
derivadas deben ser nulas. Calculemos los valores de las derivadas late
rales en 0 y 2tt. Utilizando la definición de derivada lateral y la Regla de
L'Hópital
r(o+, = i,-m = íím
r r ^ 0 + X :í;->0+ X
COS X + eos 2x
= lím = 2
.<■->0+ 1
y
senx + \ sen2x , eosx + eos 2x f'{ 2 n ~ ) = lím ----------- =--------- = lím = 2 .
x V ;t X :r <2;r 1
Como consecuencia la opción b) no puede ser válida.
Otra diferencia clara entre las cuatro gráficas es el número de puntos
con recta tangente horizontal que poseen: 3, 2, 4 y 6 .
Calculemos los puntos con derivada cero de f ( x ) = sen.r + ^sen 2x en
el intervalo [0 . 2tt], Derivando
f ' (x) = eos .r + - 2 eos 2x = eos x + eos 2x.
Igualando a cero
eos x + eos 2x = 0 .
Encontrar todos los ceros de la ecuación anterior en el intervalor [0, 2tt]
puede realizarse utilizando que eos 2a: = 2 eos2 a; — 1 y obtener que son
x = | ,7r. Animamos al lector a que lo intente. Aquí, en lugar de ha
cerlo seguiremos buscando información en las gráficas. Observamos que
solamente una de ellas tiene recta tangente horizontal en el punto medio
del intervalo (U,2tt), esto es, x = rr. Veámos si la gráfica de / tiene recta
tangente horizontal en ese punto, sustituyendo
eos 7T + eos 2tt = — 1 + 1 = 0,
y efectivamente en tt la recta tangente debe ser horizonal.
Por lo tanto, la única gráfica que puede ser válida es a).
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86 CAPÍTULO 2 / Funciones derivables
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3 A p l i c a c i o n e s d e l a d e r i v a d a
El estudio de la derivada de una función se completa conociendo sus
aplicaciones. El teorema de Taylor nos permite aproximar funciones por un
polinomio y conocer cuánto nos "alejamos" de su valor exacto. Las deriva
das sucesivas de una función dan mucha información sobre su comporta
miento local (máximos, mínimos relativos) y global (concavidad, convexi
dad). También nos ayudan a estudiar las sucesiones y series de funciones
y nos indican el camino para obtener una expresión aproximada de una
función cuando sólo se conocen algunos de los valores que toma.
Recuerde...
■ La derivada de una función f es a su vez una función, que puede
tener derivada, y así sucesivamente.
■ Las derivadas de orden superior nos permiten aproximar en un punto
(localmente) una función con unas ciertas características por un poli
nomio (polinomio de Taylor). Se puede acotar el error que se comete.
■ Para sucesiones o series de funciones, las derivadas nos ayudan a de
terminar el tipo de convergencia.
■ Para series de potencias convergentes, el intercambio entre límite y
derivación es posible.
■ Las diferencias divididas es un método que resulta útil para la inter
polación de un conjunto de datos.
■ Las derivadas sucesivas nos permiten clasificar los puntos críticos de
una función en máximos o mínimos relativoso puntos de silla.
■ El signo de la derivada segunda (eventualmente, derivadas de orden
superior) nos ayuda a distinguir cuándo en un punto crítico de una
función / se alcanza el máximo o mínimo relativo.
■ Con la derivada segunda (y sucesivas derivadas, en algunos casos)
podemos determinar los intervalos en los que una función dos veces
derivable es cóncava o convexa y sus puntos de inflexión.
87
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88 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
Ejercicios
Ejercicio 99. La derivada tercera de la función f (x) = sen (x2 + l) es:
a) f " (x ) = - sen (x2 + l) .
b) f " {x) = — (4.r + 2) sen (x2 + l) - i x 2 eos (x2 + l ) .
c) /'" (x) = — 12xsen (x2 + l ) — 8x3 eos (x2 + l) .
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Es correcta la opción c).
Sin más que derivar la expresión de / tenemos:
f ' (./') = 2./'eos (,r“ + l) ■
f " (x) = 2 eos (,rJ + l) — 4.r¿ sen (.r2 + l) .
f'" (./:) = - 2 • 2x sen (x2 + 1) — 8a: sen j.r2 + 1) — 8 .r’ eos {.r2 i- 1)
= - 12x sen [x2 + 1) — eos (,r2 + l) .
Ejercicio 100. Sea / :
Entonces sé cumple:
a) / ,4M = (/(!))*
c) /<“ (*) no existe.
K la función definida por / (x) = 3x2 —x+ . 1.
b) /(4 (x) = 0 .
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Es correcta la opción b).
Aunque la notación nos puede confundir, la derivada cuarta de una
función se indica con un superíndice "(4" y no tiene por qué coincidir con
la potencia cuarta de la función.
En este caso, la función / es un polinomio y es derivable. Su derivada
también es un polinomio, que es derivable y así sucesivamente. Por eso,
no es correcta la tercera opción. Como/ es un polinomio de grado 2, su
derivada cuarta va a ser 0; lo vamos a comprobar:
f ' O3') = 6.r — 1, r ( x ) = 6. f"'(x) = 0 . f {4(x) = 0.
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89
Ejercicio 101. Señale la opción correcta relativa a f ( x ) = \/\x\-
a) / es creciente en ( —0 0 , 0). b) / es creciente en M.
c) / es derivable en M. d) f " es negativa en ( —0 0 , 0) U (0, oc).
Solución.- La solución correcta es d). Utilizando la definición de valor ab
soluto se tiene Í v/r si x > 0 . y — X SÍ X < 0.
En IR \ {()} podemos utilizar la Regla de la cadena para obtener
1
/'(*) =
si x > 0 .
si x < 0 .
En consecuencia / es estrictamente creciente en (0. oc) y estrictamente de
creciente en (—oc. 0). Las opciones a) y b) son falsas.
La función / no es derivable en 0 ya que de serlo las derivadas laterales
deberían ser finitas y coincidir, pero
v/ Ó T 7 ) _ v /ó VTi 1
lim ---------------------- = l im ----- = hm —r = = o c .
/í^o+ h /,-> 0+ h 0+ y j h
Lo corroboramos con la gráfica de la función:
Volviendo a derivar obtenemos
- 1
¡\ A-''
-ly '^u,3
si x > 0 ,
si x < 0 .
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90 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Recuerde que la derivada de
una función / en x se calcula
como:
lím f L l \/,-,u h
Ejercicio 102. Sea f la función dada por
f x 2 - 1
/ ( * ) = < x ’ x - 0 '
0 , x = 0 .
Se pide calcular la derivada primera y la derivada segunda de / en todos
los puntos de R, supuesto que existan.
Solución.- Las derivadas primera y segunda, si x / 0, se calculan directa
mente, porque la función es un cociente de polinomios:
2x ■ x - (x2 - l) _ x2 + 1
~~ ^ ~~ ~ r 2 '
„ . ^ '2x ■ x2 — 2x (x2 + l) 2
/ "(* ) = XA X2
Si x = 0 y la función es derivable, entonces debe ser continua (la continui
dad es una condición necesaria para la derivabilidad). Estudiamos primero
si es continua, porque si no lo es, tampoco va a ser derivable:
x2 - 1
lím f (x) = lím ---------
x —> 01 x -> 0 + X
x 2 - 1
lím I[ x - i>11 + \ x
lím |* - 1X—>0“ V
lím / (x) = lím
■r-^0- .r ^ 0 ~ X
Por tanto, no va a existir derivada primera en x = 0 . Como la función f no
está definida en x = 0, tampoco va a tener derivada segunda en este punto.
Cabe preguntarnos qué pasa si intentamos calcular la derivada primera
en x = 0 recurriendo a la definición:
f (0 ) = lím 'f ^ ~ ^ = lím — ^ = lím 1 - \ = -oo .
h-H) ll h-xO ll h-> 0 h ¿
Como era de esperar, la derivabilidad es una condición suficiente para la
continuidad, el resultado es que no existe f (0 ).
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91
Ejercicio 103. Sea / la función definida y continua en R dada por
ex — \
a : = 0 .
/ (®) = S x
Se pide calcular la derivadas primera y segunda de / en todos los puntos
de R.
Solución.- Podemos calcular la derivada primera de / en R — {()} aplicando
las reglas de derivación, porque en este conjunto, la expresión —^ es suma
y cociente de funciones continuas:
exx — (cx — 1) xex — ex + 1
t 2X “ x-
Calculamos la derivada primera en x = 0 utilizando la definición:
eh - 1
“ 1 eh - 1 - h/- (0) = ,ím / w - / w = lím .
h - > 0 h h - > 0
= lím//—(i h2
Si calculamos directamente el límite llegamos a una indeterminación del
tipo y como además el numerador y el denominador son funciones deri
vables cerca de h = 0, podemos aplicar la regla de L'Hópital (en este caso,
se aplica dos veces):
fJi — i fJ¡ i
f' {()) = l ím = lím — =
/,—ii 2h /!->o 2 2
Podemos afirmar que existe la derivada de / en todo R.
La derivada segunda cuando x ^ 0 se obtiene directamente:
... :r2 ( r r + .re'' — c r) — 2 (are* — + 1) x2ex - 2xex + 2e-c — 2
./ 0':) = -------------------
Regla de L'Hópital: Si / y g
son funciones derivables cer
ca de a, además g(x) L 0 cer
ca de a y
l ím f ( x ) = l ím g ( . r ) = 0 .
lím J'(.r) = ± o o ,
X
En el punto x = 0, la derivada segunda se calcula, de nuevo, aplicando la s(-,:) = ±oc'
entonces
______________ I lím ^ = lím ^
h2 2 9(*) 9'{x)
definición, considerando que f es una función:
heh - eh + 1
f" (,), = lím I M x f M = lím .
/ i -* - o h h->o
2heh - 2eh + 2 - h2
= lím •
h-> o
2h¿ = lím
/;—o
2he - 2t h + 2 - h¿
2lv‘
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92 CAPÍTULO 3 / A plicaciones de la derivada
Calculando el límite directamente tenemos una indeterminación del tipo jj,
pero observamos que podemos aplicar la regla de L'Hópital. Lo hacemos
varias veces:
f" (0) = lím
I i 4 0
2 he'1 + 2c11 - 2eh - 2h
(i h'2
= lím
he - h
= lím
< — 1
h—>0 3/i2 /i—> o 3/?
( 1= lim — = - .
h-y 0 3 3
Hemos calculado la derivada segunda de f (x) en x = 0 a partir de la
definición de derivada, y habiendo calculado antes la derivada primera en
este punto también a partir de la definición. La gráfica de / se representa
en la siguiente figura:
6 -
4
2 -
-3 - 2 - 1
- 2
1 2 3 1
Ejercicio 104. Razone si es cierto o falso que el polinomio de Taylor
pn (x) de orden n de una función / (x) es un polinomio de grado n.
Recuerde que el polinomio
de Taylor de orden n centra- Solución.- Es falso: el polinomio de Taylor de orden n de / centrado en x n
do en x0 de / es: está dado por:
p„ ( . r ) = / ( . r „ )
— / (.Cu) (.r — ./■())
4----
P n ( ■! ' ) = / ( . T 0 ) + f ( . I ’ o ) ( X - .? ’ () ) +
, f [" (-no) v„H 4 t — ./•,,) .
f t r i )
2 ! (x - ,r0)
. r - . r o ) ' ' . Vi!
Este polinomio tiene grado w si y sólo si (tq) es distinto de 0 .
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93
Ejercicio 105. El polinomio de Taylor de orden 3 centrado en x — 0 de
f ( x ) = ln (x2 + 1) es:
3:
a ) l _ + _ b ) . T + l - 2, , 3 ,
c ) x 2. d) Ninguno de los anteriores.
Solución.- Es correcta la opción c). Vamos a comprobarlo. Como queremos
determinar el polinomio de orden 3, vamos a calcular las derivadas hasta
orden 3 de f ( x ) y luego particularizar en x = 0. Estas derivadas son
f {■>') = o1 . 2;r = ,x~ + i x¿ + 1
2 (.x2 + 1) - 2x ■ 2x 2- 2x2
■t . o , -i \2 / o . . \ 2 ’\xx + 1 ) (x- + 1)
,/// , ^ _ - 4-C ('r'2 + O 2 “ (2 - 2:f'2) 2 i'1'2 + 1) 2j:
f \x ) = T~¿ “74{x + 1 r
—4.r (x2 + 1) — 4,r (2 — 2./;") x 2 — 3
- ' = l;r-
(x2 + 4)3 (a:2 + l )3
Particularizando en x = 0, se tiene:
f (0 ) = 0 . f ' { 0 ) = o,
/"(0) = 2 , .H .r ) = 0 .
Por eso el polinomio de Taylor de orden 3 de / centrado en r = 0 es:
n i ? ) = \ (:*-2 - 0 ) = x2.
Ejercicio 106. Razone si es cierto o falso que el polinomio de Taylor
pn (x ) de un polinomio P (x) coincide con el polinomio P (ab
solución.- Esta afirmación no es cierta en general. Lo vamos a demostrar
con un contraejemplo: vamos a calcular el polinomio de Taylor de orden
n = 1 de P (x) = x2 centrado en x = 0. Calculamos
P' (x) = 2.x, P' {0) = 0, P (0) = 0.
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94 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
Por eso, el polinomio de Taylor de orden n = 1 es
Vl (x) = p (0) + P' (0) x = 0 + 0 • x = 0,
que no coincide con P (x).
Sin embargo, sí es cierto si los dos polinomios tienen el mismo grado,
porque si el grado de P (x ) es n, entonces se anulan las derivadas de or
den mayor que n. Como consecuencia, R n+i (x) = 0. lo que significa que
P n ( . r ) = P ( X ) .
Ejercicio 107. Sea P (x ) el polinomio dado por P (x ) = x 3 — x2 + x — 2.
Se pide escribirlo en función de las potencias enteras no negativas de
{x — 1).
Solución.- Se trata de expresar P (x ) como:
P { t ) = ^ - l ) n.
Para conseguirlo, podemos calcular el polinomio de Taylor centrado en
x = 1 de orden 3 (porque P (x ) es un polinomio de grado 3). Primero cal
culamos las derivadas de P y particularizamos en x = 1:
P{x) = x3 — x 2 + x — 2 . -P(l) = — b
P'(x) = 3x2 — 2x + 1, P ' ( l ) = 2,
P"{x) = 6.x - 2. P " ( l ) = 4,
P'"(x) = 6 . P w(l) = 6 ,
P (4(x) = 0, P (4(1) = 0.
Observamos que si n > 3, entonces P ("(x) = 0, y esto confirma que es
suficiente encontrar el polinomio de Taylor de orden 3. Así, llegamos a:
P (x ) = - 1 + 2(x - 1) + — (x - l )2 + - ( . r - 1):!
= —1 + 2 (x — 1) + 2 (x — l )2 + (x — i ) 3.
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95
Ejercicio 108. Sea / la función dada por
/(x) = ln (cosa;).
Se pide determinar p3 (x), el polinomio de Maclaurin de orden 3 y en
contrar una cota del error cometido si se aproxima / (x) por el polinomio
P3 (x) en el intervalo (—1, 1) .
Solución.- Para obtener el polinomio de Maclaurin, tenemos que calcular
las derivadas hasta orden 3 de f ( x ) y luego particularizar en x = 0 :
/'(./■) = — (— senx) = - tgx , /' (0 ) = 0 ,
eos X
r w = - ^ , /*(») = - i .
f ' " ( x ) = - / —2 ^ 'j ( - s e n x ) = - 2 - ^ ^ - , /'"(O) = 0.
\ eos ó x ) eos-\r
Como / (0) = 0, el polinomio buscado es:
p3 (x) = 0 + 0 • x + + | x 3 = - i x 2.
El error cometido en x e ( — 1.1) está acotado por el resto de Lagrange:
#3 (x) = / (x) - P3 (x) = f -J C' x 4 ,
para c t (0, x) o c G (x. 0), según sea x > 0 o x < 0 . Tenemos que buscar
una cota suya; primero calculamos la derivada cuarta:
eos4 x
y llegamos a
p , v _ x 4 0 2 eos2 c — 3(x) 2 j
4! eos4 c
Vamos a calcular su valor absoluto:
m - r ) \ =
x 4 ^2 eos2 c — 3 I
4! eos4 c
Recuerde que el polinomio
de Maclaurin es el polinomio
de Taylor centrado en x = 0.
Recuerde que al aproximar
una función / por p„, su po
linomio de Taylor de orden n
centrado en .j o , el resto de La
grange de orden n en el pun
to x es el error cometido y
cumple
R„ (,r) = f [.r) - p„ (.)■)
/o-n(r) ti + ]
' (" + I)! •
para c < [.r - ,ío|.
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96 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
x4 2 eos2 c — 3O x4 2 eos2 c — 3 x4 2 eos2 0 — 3
4! ^ eos4 c 12 eos4 c ~ 12 eos4 1
y además vamos a acotarlo, para llegar a la cota del error pedida. Sabemos
que el coseno de x e (—1,1) está entre eos 0 = 1 y eos (—1) = eos 1. Por eso,
Pero además, como x € ( — 1,1), tenemos
, , „ ,r4 12 e o s 2 0 — 3 1 1 12 — 31\R3(x ) < — J L < — J----- —!■ = 0,97785,
1 n ~ 12 eos4 1 “ 12 eos4 1
que es una cota del error (puede haber más).
Ejercicio 109. Sabiendo que el polinomio de Taylor centrado en xq = — 1
de orden 3 de g (x) = ex es:
- i ( , s (* + l )2 (x + 1)3\p (x) = e l + (x + l) + — +
2! 31 J
se pide obtener ps (x ), el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en este
punto de la función / (x) = (x + l ) e x.
Solución.- Podemos escribir
f ( x ) = h { x ) g ( x ) .
donde h (x) — x + 1. Además, el polinomio de Taylor de orden 3 centrado
en xo = — 1 de h (x) = x + 1 es esta misma función, y por eso el polinomio
de orden 4 es
p4 (x) = h (x) p (x ) = (x + l)e _1 ( 1 + (x + 1) + -— ^ ^ +2! 3!
i / , o {■>' + 1)' (-C + 1)= e (x + 1) + (x + 1)- + — xr1 - +2! 3!
De esta expresión obtenemos el polinomio de orden 3:
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97
Ejercicio 110. ¿Para qué valores de x > 0 podemos asegurar que es váli
da la aproximación
9 S
ln(l + x ) = x - - + j
con un error menor de 0 .0001?
Solución.- La función f ( x ) = ln(l + x) está aproximada por un polinomio
de grado 3. Vamos a ver si es su polinomio de Maclaurin centrado en 0 de
orden 3. La función /, sus derivadas y su valor en 0 son
f { x ) = ln(l + x),
™ = T T x
/"(. r) = -
r w =
(1 + x )2 '
2
(1 + x )3 '
Por eso, su polinomio de Maclaurin es
/(O) = 0 ,
/ '(0 ) = 1,
/"(0 ) = - i ,
/"'( 0) = 2 .
P 3 { x ) = / (0) + /' (0) X +
/"(OI , , / P (0) ,
2 ! + ; 3! 7' = “ T + T ’
que coincide con el polinomio del enunciado. Vamos a estudiar el resto de
Lagrange de orden 3. Como f 4 ^(x) = pyrfyr, entonces
R 3 ( x ) = - - 4 (1 + c)4
Ahora tenemos que buscar valores de x para los que el valor absoluto
del resto sea menor que 0 ,0001, es decir
I #3 0*01 =
para |c| < x. Si x > 0, tenemos:
4(1 + c)4 < 0 .0001 ,
4 ( 1 + c )4 4 ’
lo que implica:
4 ( 1 + c )4 ' < 1.x4 = 0,0001.
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98 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
despejamos el valor de x y tenemos:
x =
y/2
10
para x > 0. Por lo tanto, en el intervalo í 0. 10 el error cometido al apro
ximar / (x) por ]>;> (.x ) es menor que 0,0001. Hay otros intervalos donde
esto ocurre, según encontremos una cota más o menos ajustada del resto
de Lagrange.
Ejercicio 111. Sea } la sucesión de funciones dada, para x e ( -2 ,2 )
por
Se pide calcular su límite y comprobar que converge uniformemente a
él. ¿Son derivables las funciones f n (x) y su límite?
Solución.- Determinamos la función límite. Para cada x € M, tenemos
/ ( .r )= lím /„(./’) = lím \¡x- -\----- = lím V.r'2 = \.r\.
n —>oc n —toc y 77, n —^oc
Ahora vamos a ver si son derivables las funciones f n (x). Cada f n es una
raíz de un polinomio que es siempre mayor que 0 y por eso, es derivable.
Su derivada es
f n (■'-') = ------r = = 2 x
Pero, sin embargo, la función límite / (x) = .r no es derivable.
Veamos finalmente si la convergencia es uniforme:
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99
La función g (x) = \Jx'2 + ^ — V’x2 es derivable si x ■/ O y en ese caso su
derivada es x
= — 1, si x > 0 ,
9 U') =
.2
X
+ Ti
4-1, si x < 0.
x2 - i
Como \íx— G (—1,1), entonces g' (x) < 0 si x > 0 y g' (x) > 0 si x < 0.
Esto significa que la función g(x) es creciente para x < 0 y decreciente para
x > 0 y, por eso, su supremo se alcanza en x = 0, y vale Ahora ya
podemos calcular
lím sup
n ' N jCR
\/x2 4------- v/.r2 = lím
I T
= 0
V n n-y?c V n
y está así demostrado que f n tiende a / uniformemente.
Este resultado no contradice la proposición sobre convergencia unifor
me y derivabilidad,porque para que f ' ix ) = lím,, rX f'n(x) hace falta que
{/ '} converja uniformemente en ( a , b ) y que exista /'(./:o), lo que no ocurre.
Ejercicio 112 . Sea {/„} la sucesión de funciones definida, para cada n G
N, por
fn O ) = arctg Q .
Se pide:
1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme en M.
2. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de {/' (x)} .
3. Estudiar la convergencia uniforme en [0,1],
Solución.-
1. Estudiamos primero la convergencia puntual y una vez que tenemos
la función límite, veremos si la convergencia es uniforme. Observa
mos que ~ tiende a 0 si n —> oo, y por eso, para todo x:
lím arctg ( —) = arctg 0 = 0 .n-y v V a )
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100 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Por eso, el límite puntual es f (x) = 0. Veamos ahora si | converge
uniformemente a f (x), estudiando
lím sup \fn (x) - f (x)| = lím sup arctg ( - ) = lím ^ ^ ± 0,
n a o ' n—>(x>x \n/ n—>00 ¿ ¿
porque el supremo de |arctg (^) | en E es |. Por tanto, la convergencia
no es uniforme.
2. Las funciones f'n (x ) son:
f n { * ) = - - 111 | . {-• j •’ n2 + x2
Estas funciones convergen a
Tíg (x ) = lím ' = 0.
n -> 00 n ¿ + XX
Además, la convergencia es uniforme, porque
lím sup | f' (x) — q (,t)| = lím sup
nxooxeR ' nxcox(z R
n
n2 + x2
n
= lim —;y = 0 .
n —>00 TI
Observamos que tenemos una sucesión de funciones {/„} que son
derivables, de tal forma que las derivadas convergen uniformemente
y tales que para .ro = 0 la sucesión {arctg (0 )} = { 0} es convergente,
pero la sucesión /„ no converge uniformemente. Parece contradecir la
proposición sobre convergencia uniforme y derivabilidad, pero no es
así, ya que no se cumple una de las hipótesis: considerar un intervalo
acotado.
3. Obviamente, el límite puntual de {/.„ } en [0,1] es f (x) = 0. Pero
en este caso, el supremo de | arctg ({[) | en [0 , 1] se alcanza en x = 1,
porque el arcotangente es una función estrictamente creciente (se ve
fácilmente porque la derivada primera es mayor que 0). Entonces, se
verifica
lím sup f n (x ) — f (x)\ = lím sup arctg ( — ]
" ^ ° ° . T e [ o , i ] ' ‘ í W O ° x - e [ o , i ] v ? ? /
= lím arctg ( — ] = arctg 0 = 0.
n-S-oc \ n J
Y podemos afirmar que converge uniformemente. La situación ha
cambiado al considerar un intervalo acotado.
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101
Ejercicio 113. Sabemos que
OO |
E^rb-ra=0
para x € (—1,1) por ser una serie geométrica. A partir de esta expresión,
se pide expresar (1 — x)~2 como una serie de potencias para x e ( -1 , 1 ) .
Solución.- La serie geométrica
1
1 — x = ^ 2 xn = i + x + :i'2 + j;3 +
n = 0
converge uniformemente en ( —1,1). Por eso, su derivada
1
(1 — x)
se puede expresar como la suma de las derivadas de xn, que son
(x11)' = n a ;"-1.
Y entonces
^ OO
^ = V nx"^1 = 1 + 2x + ^x’’ + ■ • ■ .
v ' n = 1
Observe que el primer sumando de la serie original es ./;ü = 1 y que su
derivada es 0. Por eso, en este sumatorio, los subíndices van de 1 a oc.
Recuerde que la suma de los
términos de la serie geomé
trica de razón r 6 R con |/j <
1 es
Ejercicio 114. Sea fn ix ) Ia serie de funciones dada por
f n (x) = e - nx n.
En los ejercicios del Tema 1 vimos que es una serie absoluta y unifor
memente convergente en cualquier intervalo de la forma [—k ,k \ para
0 < k < e. Se pide construir la serie fn (x ) Y estudiar dónde con
verge puntual y absolutamente.
Solución.- Derivamos la función f n (x) y tenemos
f ! , ‘, r ) nr "x"
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102 CAPÍTULO 3 / Aplicaciones de la derivada
Por eso, la serie
¿ 1 = f> + ii<
n= 1 7¡ = 1 n= 0
Criterio del cociente: Si
fln + 1lím
n —> oo
= S.
Es una serie de potencias y por la forma de a n parece adecuado intentar
calcular su radio de convergencia con el criterio del cociente:
entonces la serie a nXn
tiene un radio de convergen
cia oc si S = 0, 0 si S = oc y
lím
n —¥ oo ne
= lím
n —>oo
(n + 1) e"
ne 71 + 1 lím71—PCX)
n + 1
ne
-C en otro caso. Como el radio de convergencia es e, la serie f n (x ) converge absoluta
y puntualmente en cualquier intervalo [ - k , k] para 0 < k < c.
Nótese que se podía haber aplicado el Teorema 3.1 del libro Cálculo para
Ingenieros sobre derivación de series de potencias.
Ejercicio 115. Sea
f ( x ) = e*.
Se pide calcular su serie de Taylor centrada en xo = 0 y derivar término
a término la serie resultante. ¿Qué ocurre?
Solución.- La derivada de / (x) = e x es ella misma y para todo n e N se
cumple:
f {" (-r) = eT, f " (0 ) = 1.
Recuerde que la serie de Tay- Entonces su serie de Taylor, con radio de convergencia infinito, es
lor de una función / es
OO -
E /'"(*<■) (T 7, + ¡---- (■' - J-o)77!
f ( 0 ,
1
1 + X + — X + — x '5 + — X1 3 12! 3! 4! E:71—0 x " .
entendiendo que / (,r0 ) = La derivada de \ x n es
/(.re).
- p o r " - [ = ' . . .r”- 1
ni i» - 1)!
Y la derivada de la serie de Taylor de e x es
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103
que coincide con la serie de Taylor de . Este es el resultado que cabía
esperar, porque la derivada de ex es ella misma.
Ejercicio 116. Sea / la función definida, para x > — 1, por
f ( x ) = ~r
y ’ (1 + x)k
para k € N, k > 0. Se pide obtener su desarrollo en serie de Taylor
centrado en xq = 0 y su radio de convergencia. ¿Cuándo es analítica?
(k + n — 1)!Nota: Téngase en cuenta que f n\x) — (—l) r
[k — 1)1(1 + x )k+n'
Solución.- Para determinar la serie de Taylor, evaluamos la derivada n-
ésima de / en :ro = 0 :
/ w = ( T T V jt ’ /(0) = »•
/ 'W = m = -*•
/"(,■) = , /"(O) - 11.
f n ) ( r ) = (' — 1 1 " ____^ n 111 f n)(n i = ( — 1 Y't (fc+ w~ 1) !J u 1 J (fc _ ! ) ! ( ! + x )A-+n’ J u l ) (k-l)\ ■
Como es la serie de Taylor centrada en xq = 0, el coeficiente de la potencia
n-ésima es, para n > 1:
/ 1]n (k + n ~ 1) 1
f {" (0 ) = ( A : - ] ) ! = (fc + n - 1 )!
n\ n! (k — 1)! r?.!
= , l V , (*: + r c ~ l ) - - - k ( k - i ) \ = ( k + n — 1) ■■■ k
[ ’ ( k - l )\n\ 1 j n!
Así, el desarrollo de Taylor de / en x = 0 de orden n es
/ (*) = 1 - k r + W + D - j H - » - ! ) , , .
2 ! ni
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104 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
Por la expresión de los coeficientes f , parece apropiado aplicar el crite
rio del cociente para encontrar su radio de convergencia. Calculamos:
lím
n —>00
/(n+1(Q)
(n + 1)!
/"'(O)
n\
= lím
n —>• 00
= límn—^00
( - 1)K+i
(A- + (n + 1) - 1) • • • A:
(n + 1)!
( - 1)'
(k + n — 1) • • • k
ni
( - D
(k + n) • • • k • n\
(k + n — 1) ■ • • k ■ (n + 1)!
= Hm = 1.n—>00 n + 1
Por eso, el radio de convergencia es j = 1 y podemos afirmar que la serie
es analítica en el intervalo (—1, 1) y que en este intervalo se cumple
1 , k(k + 1)= 1 - kx H — x~ -
(1 + x)k ' 2 !
+ ( ^ytk(k + 1) ■ ■ ■ {k + n - 1) + _
= 1 + ¿ ( - l ) » (A; + n ~ l ) k x>\
n=1 77,!
Ejercicio 117. Razónese si es cierto o falso que el polinomio interpolador
que pasa por 11 puntos debe ser un polinomio exactamente de grado 10.
Solución.- Es cierto que al tener 11 puntos, el grado del polinomio va a
ser como máximo 10. Pero puede ser menor. Por ejemplo, pueden estar
alineados y lo vamos a ver con un ejemplo. Si tenemos los puntos {a, a),
para a = 1, 2 . --- , 11, el polinomio de interpolación es la recta y = x, que es
de grado 1.
Ejercicio 118. Razónese si es cierto o falso que si se interpola un polino
mio de grado n el resultado va a ser un polinomio de grado n.
Solución.- Es falso, ya que el grado no depende de la función a interpolar,
sino de cuántos puntos tengamos para determinarel polinomio interpola
dor y de sus características.
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/(1) = 1, /(3) = 2, /(4) = —1, /(5) = 0,
¿puede haber más de un polinomio interpolador de grado 3 o menor que
coincida con / en 1, 3 ,4 y 5?
Ejercicio 119. Dados los siguientes datos:
Solución.- No. Aunque haya más de una función que pase por estos pun
tos, el polinomio interpolador de grado menor o igual que 3 es único.
Ejercicio 120. Determínese, mediante diferencias divididas, el polino
mio de grado 3 que interpola los siguientes datos:
k 0 1 2 3
Xk 1 5 8 10
f (xk) 3 11 38 56
Solución.- Construimos una tabla de diferencias, donde las columnas son
diferencias divididas de orden creciente. Las diferencias divididas de orden
0 son /[:/•;,] = f (x/,.) para k — (),••• , n. Las diferencias divididas de orden 1
son
j í Xk r 1 = / (JL l ) - f { x k) = /[:fA. + i] - f [ x k]
%k-\-1 %k %k-\-1 %k
Y para orden m, en general, se definen de forma recursiva
^ ™ 1 %k+2i 9 /^c+m] ílp^ki 3'k+l'! »*^ /c+m—l]
X'k+m
La tabla de diferencias es:
Xk f[xk] f[Xk,Xk+1] /[^A - ' • ' ,Xk+2] /[a?o, • • • ,x-¿\
1 3 f [ x i \ - f [ x 0\ 1 1 - 3 o
11
J-'i — x 0 5 — 1 9 - 2 = 1
8 - 15 f [ x 2] - f [ x i ] 3 8 - 1 1 n 0 - 1 1
8
10
38
56
.('2 — x i 8 — 5
/ N - f [ x 2] _ 56 - 38
X2 — X 1 10 — 8
9 - 0
=0
10 - 5
1 0 - 1 9
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106 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Con estos valores tenemos el siguiente polinomio interpolador de grado .'i:
P: i ( t ) = f [./•()] + / [ £ , ) . . n ] ( x - X 0 ) + / [ . T ü . ( x - X q ) ( x - X i )
+ / [ x 0 • X’ i ■ X 2 ■ X 3 ] (x - X q ) ( x - X i ) (./• - X o )
= 3 + 2 ( x — 1) + 1 ( x — 1) ( x — 5) — - ( x — 1) ( x — 5) ( x — 8)
9
= 3 + 2 (x - 1) + 1 (x - 1) (x - 5) - i (x :! - 14a-2 + 53X - 40)
1 o 23 2 89 94= — -x' H x~ x H .
Ejercicio 121. Se mide la velocidad de un coche de carreras al frenar, tras
haber pasado 1 segundo, a los 2 segundos y a los 4 segundos (variable
t). Los resultados son los siguientes:
t (s) 0 i 2 4
v (krn/h ) 210 180 160 140
Se pide:
1. Determinar el polinomio interpolador que aproxima los datos
mediante diferencias divididas considerando únicamente los ins
tantes inicial y final.
2. Determinar el polinomio interpolador que aproxima los datos me
diante diferencias divididas considerando todos los datos.
3. Aproximar la velocidad transcurridos 3 segundos desde que co
mience el frenado mediante ambos polinomios.
Solución.- Construimos una tabla de diferencias, donde las columnas son
diferencias divididas de orden creciente.
1. Construimos la tabla:
Xfc /[■'■ A:] f [ x k, x k+1]
0 210 140 - 210 35
4 140
1 ^1IIO1
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107
Por eso, la recta que aproxima estos datos es:
P l ( X ) = / [./'o] + / [ £ ( ) . • i ' l ] ( X - X q )
35 35= 2 1 0 (x - 0 = 2 1 0 x.
2 2
2. Construimos la tabla con todos los datos posibles:
Xk /[xfc] f [ x k-X-k+l] f[xk- ■ ■ • , ^ + 2] f [ x 0. • • • ,x 3]
0 210
1 180 -3 0 5 5
- 2 0 10 -------2 160 i n 12
4 140 1U O
El polinomio que verifica estos datos es:
P'i (■?') = / [a'o] + / [.ÍO,.i'l] (x - X q )
+ f X l , . r 2 ] ( X - X q ) ( X - X i )
+ f [XQ. J ' I , X>. Xq) [x ~ Xq) (x ~ ./'] ) (x - X2 )
= 210 - 30 (.r - 0) + 5 (x - 0) (x - 1)
- ^ ( x - 0 ) ( , ' - l ) ( . r - 2 )
215 25 o 5 o
= 2 1 0 x + — .r2 -------.r3.
6 4 12
3. Con los polinomios anteriores aproximamos los valores pedidos:
35 315
pi (3) = 210 - — 3 = — = 157,5 krn/h.
215 25 o 5 ■, 295
p:> 3) = 210 - — 3 + — 3 - — 3 = — = 147,5 krn/h.0 4 12 2
Ejercicio 122. El polinomio interpolador de f ( x ) = eos x en los puntos:
X = 0 , X = 7T, X = 27T
¿es el polinomio idénticamente nulo?
Solución.- Si reflexionamos un momento, observamos que / (0) = / (7r) =
f (2tt) = 1. Luego nos damos cuenta que el polinomio que pasa por estos
puntos es (x) — 1, y la respuesta es no.
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108 CAPÍTULO 3 / A plicaciones de la derivada
O
Ejercicio 12,
referentes a
Año
3. Los dato
aoblación ei
2004
s a 1 de ene
a España so
2005
:ro de los a
n:
2006
ños 2004 a
2007
2008 del INE
2008
Población
Con esto
julio de 2007
Si conoce
2009 es 4674
julio de 2007
43197684
s datos, ¿Ci
?
rnos el date
15809, ¿cuál
?
44108530
rál es la po
adicional c
sería la po
44708964
alación esti
le que la pe
alación esti
45200737
mada en Es
>blación el 1
mada en Es
46157822
paña el 1 de
de enero de
paña el 1 de
Solución.- Tenemos 5 datos y n = 4. Por tanto, vamos a encontrar un poli
nomio de grado 4. Las diferencias de orden 0 son:
f[xk] = f (x k) para k = 0.
Por otro lado, como:
Xk-)-i — Xk = 1 para k = 0, • • • ,3,
Xfc+2 ~ x k = 2 para k = 0, • • • ,2
podemos simplificar el cálculo de las diferencias divididas:
/ [ x fc, T fc + i ] = ^ f = f ( x k + 1 ) - f {Xk ) ■
Xk -\ -1 A:
,[ -i f[% k+\ ■ T A ' + 2 ] / [ ^ A'■ T f c + i ]
/ [ T f c , , Xk -\-2\
Xk +2 ~ Xk
f [ % k + l i T f c + 2] í [ “A-A' , l A - I - 1 ]
2 '
Entonces,
/[x0,n ] = 44108530 - 43197684 = 910846,
f [ x i , x 2] = 44708964 - 44108530 = 600434,
f [ x 2. x 3] = 45200737 - 44708964 = 491773.
f [ x 3.X4] = 46157822 - 45200737 = 957085.
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109
. 600434 — 910846 -310412
f [ x o ,.t i ,x 2] = = = -155206,
. 491773 - 600434 -108661
f [ x I ,x 2,x 3] = = = —54330,5,
! 957085 -4 9 1 7 7 3 465312 ooorrr.
f[x2,x:hXi\ = = — - — = 232656.
Las diferencias divididas de orden 3 y 4 son
/[■í'i - x 2 ■ -í'.'í] - / [ ^ o . . r i . . r 2]
/ [ .C o . . r i .x 2 . x 3] =
■r 3 - J-o
-54330.5 - (-155206)
3
100874,5
= 33624,83.
3
1..r2..r:i../'i] =
x 4 - . í ’ i
232656 - (-54330,5)
1 95662,17,
u
f [x j , .rL>, ■<'i] - /[.r )(..r 1,.r2,.r;{]
xa - ''o
_ 95662,17 - 33624,83
= 1 15509,335.
Con los valores anteriores, construimos la tabla de diferencias:
f [ x 0,Xi ,X2,X3,XA] =
■T k f [ x k ,.rk+ i] f [xk ■ ■ ■ x k+2} f [xk ■ ■ ■ Xfe+3] f [ x 0 • • • X4 ]
2004
2005
2006
2007
2008
43197684
44108530
44708964
45200737
46157822
910846
600434
491773
957085
— 155206
-543 3 0 ,5
•232656
33624,83
95662,17
15509,335
El polinomio interpolador es:
p4 (x) = 43197684 + 910846 (,r - 2004)
- 155206 (x - 2004) (x - 2005)
+ 33624,83 (x - 2004) (x - 2005) (x - 2006)
+ 15509,335 (x - 2004) (x - 2005) (x - 2006) (x - 2007) .
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110 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Desarrollar esta expresión puede ser muy tedioso. Además, no hace falta
para calcular el valor estimado de la población el 1 de julio de 2007. Esta
fecha coincide con la mitad del año, luego buscamos p\ (2007,5):
p4 (2007.5) = 43197684 + 910846 (2007,5 - 2004)
- 155206(2007.5 - 2004)(2007,5 - 2005)
+ 33624.83 (2007.5 - 2004) (2007.5 - 2005) (2007,5 - 2006)
+ 15509,335 (2007,5 - 2004) (2007,5 - 2005) ■
(2007.5 - 2006)(2007,5 - 2007)
% 45570702,27 ~ 45570702.
Hemos redondeado porque así lo pide la naturaleza del problema: ¡el nume
ro de personas siempre es un número natural o cero!
Si añadimos un nuevo dato, tenemos la siguiente tabla de diferencias:
f in-} f [ x k , x k+1] f{xk • ■ ' .í'fc+2 ] f ■ • • ./•/, +3] /[.rn ■ ■ ■ ,r5]
43197684
44108530
44708964
45200737
46157822
46715809
910846
600434
491773
957085
587987
-155206
-543 3 0 .5
232656
-184549
33624.83
95662.17
— 139068.3
15509.335
—58682,6175
-14838.3935
El polinomio interpoladores
p- (.,■) = 43197684 + 910846 (.r - 2004) - 155206 (x - 2004) (,r - 2005)
+ 33624,83 {x - 2004) (.r - 2005) (x - 2006)
+ 15509,335 (x - 2004) (x - 2005) (x - 2006) (x - 2007)
- 14838.3935 (x - 2004) (x - 2005) (x - 2006) (x - 2007) (x - 2008).
Y entonces:
p5 (2007.5) = p4 (2007.5) - 14838.3935 (2007,5 - 2004) (2007.5 - 2005) •
(2007,5 - 2006)• (2007.5 - 2007)(2007.5 - 2008)
« 45619390.68 % 45619391.
Los dos números son muy parecidos, aunque este segundo es menor por
que el nuevo dato muestra un crecimiento más lento de la población.
Obsérvese que al añadir un nuevo dato, no hace falta calcular otra vez
todas las diferencias divididas, sino solamente aquellas en las que el nuevo
dato esté implicado.
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111
Ejercicio 124. Sea / (x ) la función dada por f ( x ) = a x3 + bx2 + ex + d,
para a, b, c, d G R con a ^ 0. ¿Es cierto que tiene exactamente un máximo
local y un mínimo local en su dominio, cualesquiera que sean a, b, c, d?
Solución.- No es cierto. Como los extremos locales y los puntos de inflexión
de una función derivable en todo R están en puntos donde se anula su
derivada, la calculamos:
f ' (./') = 3a x 2 + 2bx + c.
La derivada primera es un polinomio de grado 2 y puede tener dos raíces
reales diferentes, una raíz real doble o bien dos raíces complejas. Por eso,
puede que la derivada no se anule en R (en cuyo caso no tiene extremos
relativos; un ejemplo es / (.r ) = 2.r! + (>./•) o que se trate de un punto de
inflexión (si tiene una raíz doble; un ejemplo es / (x) = x3).
Ejercicio 125. De una función / : R —>■ R tres veces derivable conocemos
la gráfica de su derivada primera f que mostramos a continuación:
Se pide elegir la afirmación correcta.
a) / alcanza un valor mínimo relativo en x = 0.
b) / alcanza un valor máximo relativo en x = 0.
c) / es siempre creciente.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La opción correcta es a). Los posibles extremos relativos de /
son los que verifican f\ x ) = 0. Esto sólo ocurre en x = 0. Además, como
Sólo fines educativos - FreeLibros
112 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
f es creciente, su derivada, es decir f" , será siempre mayor o igual que 0 y
por eso, en x = 0 la función / alcanza un mínimo relativo.
Ejercicio 126. Un móvil recorre un espacio
s (í) = ¿4 - 813 + 1812.
expresado en metros, si t es el tiempo expresado en segundos. Podemos
suponer que el instante inicial es f = 0 y que t 6 [0, oo). ¿Cuáles son las
expresiones de su velocidad y de su aceleración? ¿Cuándo es máxima la
velocidad?
Solución.- Es sabido por la Física que la velocidad de un móvil en movi
miento es la derivada primera del espacio que recorre con respecto al tiem
po y la aceleración es la derivada segunda. Todas estas funciones son con
tinuas, porque son polinomios. Vamos a derivar para calcular su velocidad
v(t) y su aceleración a(t) :
v(t) = s\t ) = 4t3 - 24f2 + 36t,
a{t) = s"(t) = 121'2 - 481 + .36.
La velocidad está expresada en m s ^ 1 y la aceleración en m C 2, ya que el
espacio recorrido está dado en metros y el tiempo en segundos.
Las velocidades máxima y mínima relativas se alcanzan en los puntos
donde se anula su derivada, es decir, la derivada segunda de s(t):
!-'(/) = s"(l) = 0 4=^ 12t2 — 48í + 36 = 0 «*=>
l'2 - 41 + 3 = 0 <=4 /: =
2 -1 2 2
= > t = 1 y t = 3.
Por eso, t = 1, f = 3 son los posibles extremos relativos de la velocidad. A
partir de ellos sabemos que podemos escribir la aceleración como
v\t) = (/ - 1) (t - 3).
2 ,,, , o « , 4 ¿ V ( ' 4 ) " “ 4 • 1 •3 4 ± \ / 4 4 ± 2
Estudiamos su signo para ver cuándo es positiva y negativa (lo que nos va a
decir cuándo v (t) es creciente o decreciente). Representamos en la siguiente
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113
tabla el signo de t — 3, de t — 1 y de v' (t) según esté el punto i en (0,1),
(1,3) o (3, oo):
t - 3 t - 1 v' ('t)
(0,1) - - +
(1,3) + -
(3, oo) + + +
Entonces v (i) es creciente en (0,1) U (3, oo) y decreciente en (1,3), en t = 1
hay un máximo relativo y en t = 3 un mínimo relativo (se puede comprobar
también con la derivada segunda de v (t)). Como la velocidad es creciente
para t > 3, y la derivada no tiene asíntotas (su comprobación se deja como
ejercicio para el lector), no se alcanza nunca el máximo absoluto. La gráfica
de la velocidad se representa a continuación:
20
10
v(t)
1 2 3 4
Ejercicio 127. Sea f (x) la función dada por
1 - x2
f { x ) = x + 3
¿Dónde alcanza los extremos relativos y absolutos en el intervalo [—1,1]?
Solución.- Los extremos relativos se alcanzan en los puntos donde se anula
la derivada de / o donde no existe (puntos críticos). Además, como el inter
valo es cerrado y acotado, sabemos que en él se van a alcanzar los extremos
absolutos. Por eso, tenemos que estudiar en [—1,1] los siguientes puntos:
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114 CAPÍTULO 3 / Aplicaciones de la derivada
1. donde f (x ) no tiene derivada,
2. donde f (x) = 0,
3. los extremos de [—1,1], a saber x\ = - 1 , x2 = 1.
Tenemos:
1. El único punto posible donde no existe f es x = — 3, pero como no
pertenece al intervalo [—1.1], lo descartamos.
2. La derivada de / es:
, , (x + 3) (~2:7’) - (1 - x2) X 2 + 6x + I
/ ( X ) = ----------------------------------9------------------ = ----------------------- 9 ■
(x + 3) (./• + 3)-
La derivada se anula si y sólo si x2 + 6x + 1 = 0. Las soluciones de
esta ecuación x = — 3 ± \/8- Como —3 — \/8 ^ [— 1.1], lo descartamos.
Estudiemos si x\ = — 3 + V8 es máximo o mínimo relativo a través
del signo de la derivada segunda:
. (2x + G) (.r + 3)2 - (,r2 + 6x + l) 2 {x + 3) 16
f w = ---------------------------( 7 T + -------------------------
Como la derivada segunda es negativa, entonces / (x) alcanza un
máximo relativo (a lo mejor también absoluto) e n x i = — 3 + \/8 y
/ ( - 3 + = 6 - 2\/S w 0,34315.
3. Estudiamos el valor de f en los extremos del intervalo. Como
./ ( 1) = ,/ (1) = 0
y / í.v i) = 6 — 2\/8 > 0, resulta que / (./■ ) alcanza un máximo absoluto
en í j = — 3 + \/8 y mínimos absolutos en xi = —1 y x-2 = 1.
No tiene mínimos relativos que no sean absolutos en este intervalo.
La gráfica de la función es:
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115
f ( r ) = 1 - J-
x + 3
-1
Ejercicio 128. Una partícula recorre una distancia de 10 metros en 1 se
gundo según la ecuación
s(t) £= at3 + bt2 + ct + d.
donde t es el tiempo en segundos. Sabiendo que la velocidad es nula en
los instantes inicial y final, se pide determinar los valores de los coefi
cientes a, b, c y d, así como la aceleración de la partícula en los instantes
t = 0 y t = 1.
Solución.- Veamos primero qué nos indican las hipótesis del problema. Po
demos suponer que en el instante t = 0 no ha recorrido ningún espacio y su
velocidad es cero, es decir, s(0) = 0 y s'(0) = 0. Por otra parte, en t = 1 ha
recorrido 10 m y la velocidad también es nula, luego s (l) = 10 y s'( 1) = 0.
Como s'(t) = 3at2 + 2bt + c, tenemos
s(0) = (I = 0, s(l ) = a + b + c + d = 10,
C(0) = r = 0. C( 1) = 3a + 2 b + c = 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a:
a = -2 0 . b = 30. c = 0. d = 0.
por eso, la expresión de s es:
,s(t) = - 2 0 13 + 30í2.
La aceleración se determina a partir de la derivada segunda, que es
s " ( t ) = -120/ + 60.
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116 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Vamos a trabajar con derivadas laterales. Sustituyendo en t — 0 y t = 1,
tenemos
s"(0+) = 60 ms~2. •"'"(I- ) = -6 0 m s “ 2.
Observe que en t = 0 la aceleración es positiva, o la partícula está aceleran
do y queen t = 1 es negativa, es decir, está decelerando.
Ejercicio 129. Sea / la función dada por
¿Tiene un extremo en x = 1? ¿Es máximo o mínimo? Justifiqúese la res
puesta.
Solución.- Los extremos de una función están en los puntos críticos o en
los que se anula la derivada segunda. Nuestra función f (x) = x - 1 es
derivable si x ^ 1 y la derivada es
Como la derivada no se anula, el único candidato a extremo relativo es el
punto crítico x = 1. Además,
y el valor absoluto siempre es mayor o igual que 0. Sólo es cero cuando su
argumento es 0, es decir si,
Por eso f (x) > 0 si x ^ 1 y / (1) = 0. Y podemos afirmar que en x = 1 se
alcanza un mínimo absoluto.
Ejercicio 130. Sea / la función dada por
f ( x ) = \ x - l
X > 1 ,
X < 1 .
/ ( 1) = |1-1| = 0
£ — 1 = 0 4=> X = 1 .
f { x ) = x¿r\
¿Alcanza un extremo relativo en x — 0? Si es así, ¿de qué tipo?
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117
Solución.- La fundón no es derivable en x = 0, porque
n / „ / (x ) — f (0) „ x 2/3 — 0 „ _1/ (0 ) = lim : = lim -------------= lim x s = — oo,
x—>0_ X £—>0~ X
f (0+) = lím Í L L d B = lím " 2/;i - 0 = lím x - i = + 00 .
x ^ ü + X : r - > 0 + X a:—>0 "*
Como los valores anteriores son ±oo, y además no coinciden la derivada
por la izquierda y por la derecha, / no es derivable en x = 0. Pero observa
mos que / siempre va a ser mayor o igual que 0 = / (0). Por eso, en x = 0
hay un mínimo absoluto (y también relativo).
Ejercicio 131. La siguiente figura
función /.
3 ’
✓"“ N. 2
/ 1
es la gráfica de la derivada de una
j 2 - I
/ /' .1
Señale las respuestas correctas.
a) / tiene dos puntos críticos, pen
b) / tiene dos extremos relativos.
c) La ecuación f" (x ) — 0 no tiene
d) Ninguna de las anteriores.
¡1 ;:=::;):; i j; i:r i;': i i í ; i:::: i:::::;:; i: ¡; i=: i: i;:; i =:; i i j :
.1 2
> un solo extremo relativo,
soluciones reales.
Solución.- La opción a) es la correcta. Los puntos críticos coinciden con
los puntos de corte de la gráfica con el eje x y podemos observar que hay
dos. En uno de ellos la derivada cambia de negativa a positiva y en otro se
mantiene positiva. Por lo tanto, en el primero x = — 2 la función tendrá un
mínimo relativo y en el segundo x = 1 no hay extremo relativo porque la
función es creciente.
La opción c) no es correcta porque en la gráfica de f es suave y aparecen
extremos relativos en los que f " se anulará.
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118 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Ejercicio 132. A una lámina de acero cuadrada de 40 centímetros de lado
se le quitan 4 cuadrados iguales en sus esquinas y se doblan los lados
para formar una caja de base cuadrada. Determinar la longitud de cada
lado del cuadrado que se debe quitar para que el volumen sea máximo.
Solución.- Llamamos d al lado del cuadrado que tenemos que quitar para
formar la caja y que será, además, la altura de la caja que formemos. Enton
ces, la base de la caja seguirá siendo cuadrada y su lado será de longitud
40 — 2d cm. El volumen de una caja de estas dimensiones será:
Buscamos d para que V sea máximo, por eso buscamos dónde se anula V'\
Analizamos las dos soluciones: si tomamos d = 20 nos quedamos sin caja,
porque la longitud total de los lados de los cuadrados que quitamos es igual
al lado que teníamos. Luego, la única solución posible es d = 20/3 cm.
Determinamos si el volumen de la caja resultante es máximo o mínimo
recurriendo a la derivada segunda de V
V(d) = (40 - 2d f • d = 4d3 - 160c¿2 + 1600d.
Representemos la situación gráficamente
40 - 2d 40
V\d) = 12d - - 320d + 1600 = 0 <*=>• d = 20/3 y d = 20.
Como la segunda derivada es negativa, el volumen es máximo.
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119
Ejercicio 133. Representamos en el plano una carretera compuesta por
tres tramos claramente diferenciados.
■ Un primer tramo coincide con el eje y = 0 desde (—1,0) hasta (0,0).
■ Un segundo tramo enlaza este punto con el punto (1,1) y de él des
conocemos su ecuación, pero sabemos que es un polinomio, p (x).
■ El tercer tramo es el segmento contenido en la recta y = 1 que va
del punto (1,1) al (2,1).
Intentamos que coincidan las derivadas primera (que representa la velo
cidad de un móvil) y la segunda (aceleración de un móvil) de sus gráficas
en los puntos donde se encuentran, para que un móvil que la recorra no
sufra la fuerza centrífuga que lo mueva fuera de la carretera. ¿Cuál es la
ecuación del segundo tramo?
Solución.- Primero vamos a representar gráficamente la carretera:
- i
Ahora vamos a escribir los datos que tenemos: el primer tramo de la ca
rretera verifica la ecuación y = 0 y el tercero y = 1. Además, la ecuación
genérica de un polinomio de orden n es
p(x) = oo + a\x + ci2 'X2 + • ■ • + a nxn.
Debe pasar por los puntos (0, 0) y (1.1), lo que significa:
p ( 0) = 0, p(l) = l.
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120 C a p í t u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Además deben coincidir las derivadas hasta orden 2 en x = 0 y en x = 1.
En estos puntos y en las rectas y = 0 e y = 1 estas derivadas son todas
nulas, tenemos que las otras condiciones que debe verificar p son p'(0) = 0,
; / ( l ) = 0, p"(0) = 0 y p"(l) = 0. En total, tenemos 6 ecuaciones lineales
y con ellas podemos determinar 6 incógnitas y por eso, vamos a buscar
un polinomio p de grado 5, aunque el grado podría ser mayor. Hay que
resolver:
p(0) = a0 = 0, p( 1 ) = a 0 + ai + -----1- a5 = 1 ,
p; (0) = a i = 0, p'(l) = a i + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a3 = 0,
p"(0) = 2a2 = 0, p"( 1 ) = 2 a2 + 6a3 + 12a4 + 20a5 = Ü.
Como ao = a4 = a2 = 0, en las ecuaciones de las derivadas de p en x = 1,
resulta
a3 + a4 + as = 1, 3a3 + la 4 + 5a3 = 0, 6a3 + 12a4 + 20a,5 = 0,
lo que implica:
a3 = 10, a4 = —15, a 5 = G.
Ya tenemos la expresión del polinomio:
p(x) = x'?(10 — 15x + 6x2).
Ejercicio 134. Queremos construir un rectángulo con 1 metro de períme
tro de tal forma que su área sea máxima. ¿Cuál es la longitud de sus
lados?
Solución.- Es un problema de extremos. Lo primero es plantear el proble
ma. Escribimos los datos: sabemos que el perímetro del rectángulo es
P = 2a + 26,
si a y 6 son su lados. Además, sabemos que P = 100 cm, por lo que
6 = 50 — a.
Por otra parte, sabemos que el área del rectángulo es S = ab y, sustituyendo
lo anterior, obtenemos que la función a maximizar es:
S(a) = 50a — a2.
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121
Podemos derivar esta expresión para calcular el valor de a que la hace
máxima, obteniendo
S'(a) = - 2 a + 50 = 0 a = 25.
Para ver si se alcanza el máximo derivamos de nuevo, obteniendo que:
S"(a) = - 2 < 0.
por lo que sí que es máximo. Luego, los valores de los lados son a = 25 cm
y b = 25 cm, que es un cuadrado.
Ejercicio 135. Sea / la función dada por
/ (x) = 3x5 — 5x4 — 20x3 + 2x — 1.
¿Cuándo es cóncava y cuándo convexa? O
Solución.- Como / es dos veces derivable y la concavidad y convexidad se
estudia con la derivada segunda, hacemos:
/' (,r ) = 15.r4 - 20.r3 - 60a:2 + 2,
/" (x) = 60x3 - 60;r2 - 120x = 60 (x3 - x 2 - 2x) = 60.r (x - 2) (x + 1).
Queremos conocer el signo de la derivada segunda, que es un polinomio.
Va a cambiar de signo en sus raíces, que son x = — 1, x = 0, x = 2 y, por tan
to, el signo se mantiene dentro de los intervalos (—oo, — 1) , (—1,0), (0,2) y
(2, oo). Obtenemos la siguiente tabla, construida a partir de estos intervalos
y de los polinomios que factorizan la derivada segunda
Recuerde que una función
dos veces derivable es conve
xa si /" (x ) > 0 y cóncava si
/" (O < 0.
X -p 1 X x - 2 /" (x)
( - 0 0 . - 1 ) - - - -
( - 1 - 0 ) + - +
(0,2)+ + - -
(2 . oc) + + + +
Ya podemos afirmar que la función es convexa en [—1,0] y en [2, oc), por
que la derivada segunda es positiva y que es cóncava cuando la derivada
segunda es menor o igual a cero, es decir, en (—oo, — 1] y en [0, 2].
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122 C a p ít u l o 3 / A plicaciones de la derivada
Ejercicio 136. Sea / la función dada por
f (x) = x\x — 4[ r
Es cierto que:
a) Es cóncava en (4, oo).
b) Es convexa en (—4,4).
c) En x = 4 tiene un punto de inflexión.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Es correcta la opción c). Estudiemos cuándo es cóncava y cuándo
es convexa. Para poder estudiarlo con la derivada segunda de / , la función
debe ser derivable. Podemos escribir f como
—x (x — 4 ). x E ( —oc, 4).
0. x = 4.
x (x — 4) . x E (4. oc) .
Por eso, / es derivable si x ^ 4. En ese caso, la derivada cumple
, / , x í - 2 x , x E ( - o o , 4 ) ,
\ 2,t, x E (4, oc) .
/ "(* ) =
Y además, es sencillo comprobar que f (x) no es derivable si x = 4. La
derivada segunda cuando x ^ 4 es
—2. x E (—oc. 4).
2. x E (4, oc) .
Entonces la función es cóncava si x E (—oc,4] y convexa si x E [4.oc).
Como cambia de cóncava a convexa en x = 4, en este punto hay un punto
de inflexión. La gráfica de / se representa a continuación:
,
50
i
40
30
20
10
w
-4 - 3 - 2 --1
-1 0
1 2
r i i 1 i 1 i i w
1 4 5 6 7 8 9 10
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123
Ejercicio 137. De una función /:
la gráfica de su derivada primera
V
K 31 tres veces derivadle conocemos
f que mostramos a continuación:
/
/ W
- i
Se pide elegir la afirmación o afir
a) La función f es cóncava si x
b) La función / es convexa si x
c) La función f tiene un punto c
d) Ninguna de las anteriores.
1 2
maciones correctas.
< 0.
le inflexión en x = 1.
Solución.- Son correctas las opciones a) y c). Los puntos de inflexión de
funciones tres veces derivables se encuentran entre los puntos donde se
anula la derivada segunda, es decir, entre los puntos en los que la derivada
primera alcanza un extremo relativo y en este sentido, son candidatos a
punto de inflexión x = 0, x = 0,5 y x = 1. Además debe cumplirse que la
función cambie de cóncava (donde f " (x) < 0 o /' decreciente) a convexa
( f" W > 0 o derivada creciente) o viceversa. Esto ocurre en los tres puntos,
y la tercera opción es correcta.
Una función es convexa si la derivada segunda es mayor o igual que
0, es decir, si la derivada primera es creciente. Es cóncava si la derivada
primera es decreciente. En este caso, la derivada primera es decreciente si
x < 0. Por eso la función es cóncava, y es correcta la opción a).
Ejercicio 138. Sea / la función dada por:
¿Alcanza extremos relativos? ¿Tiene algún punto de inflexión?
Solución.- En x = 1 la función / no está definida (de hecho, tiene una
Sólo fines educativos - FreeLibros
124 CAPÍTULO 3 / A plicaciones de la derivada
asíntota vertical). Los máximos, mínimos están entre los puntos en los que
se anula f (x ). Como
f ' ( x ) = , 1 Í2?(1 - x )
no hay puntos donde f (x) = 0, por lo que no alcanza ni máximo ni míni
mo relativo. Además,
f " (x ) = -------------5-,
( 1 - x ) 3
que siempre es distinto de 0, y así sabemos que tampoco tiene puntos de
inflexión. Obsérvese que la derivada segunda es positiva si x < 1 y negati
va si x > 1, por lo que cambia de cóncava a convexa, como se pude ver en
la representación gráfica de /:
1i
6 ■
4 ■
2
3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
— 2
- 4
Ejercicio 139» Sea / (x) la función dada por L
/ (x) = ( x - 1 )2 .
¿Cuál de las siguiente opciones es correcta?
a) En x = 1 alcanza un máximo relativo.
b) En x = sl alcanza un mínimo relativo no absoluto,
c) En x = 1 alcanza un mínimo relativo y absoluto.
d) En x = 1 tiene un punto de inflexión.
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125
Solución.- Es correcta la opción c). La función f (x) = (x — l ) 2 es continua
y derivable. Calculamos su derivada:
/ '(x ) = 2 ( x - 1).
Esta derivada es 0 cuando
2 (x — 1) = 0 x = l,
y podemos decir que x = 1 es un punto crítico. Como /' (x) es derivable,
estudiamos si es máximo o mínimo relativo con la derivada segunda:
/" (x ) = 2.
Como
/ " ( 1) = 2 > 0 ,
en este punto se alcanza un mínimo relativo. Además, / siempre toma va
lores mayores que / (1) = 0, porque:
/ (x) = (x — l ) 2 > 0. / (x) = 0 (x — l ) 2 = 0 -<=> x = 1.
Y cuando x tiende a ±oo se cumple:
lím / (x) = lím (x — l ) 2 = oo
x — > o o x — ^ o o
lím / (x) = lím (x — l ) 2 = oo.
x —y— oo x —^—oo
En consecuencia, podemos afirmar que / alcanza en x = 1 un mínimo ab
soluto.
No es un punto de inflexión, porque la derivada segunda es
y es distinta de 0 en x = 1.
/ " ( * ) = 2,
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126 CAPÍTULO 3 / A plicaciones de la derivada
Ejercicio 140. Sea / una función dos veces derivable con continuidad,
donde su derivada se representa en la siguiente figura
A partir de la gráfica de f , ¿cuáles son los intervalos de concavidad y
convexidad de la función / ? ¿Tiene puntos de inflexión?
Solución.- Una función con estas características es cóncava si f " (x) < 0
y convexa si /"(O) > 0. Además, la derivada segunda es positiva si su
derivada primera es una función creciente, y negativa si es una función
decreciente. Por eso, podemos afirmar que es cóncava en (—oo, 1) y convexa
en (1. oo).
No tiene puntos de inflexión, porque cambia de cóncava a convexa en
x = 1, y allí no están definidas ni / ni f .
Ejercicio 141. Sea / la función definida por
x 2
¿Cuál es su representación gráfica?
Solución.- Para representar gráficamente una función hay que estudiar do
minio, continuidad y discontinuidad, derivabilidad, asíntotas, intervalos
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127
de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexi
dad y puntos de inflexión.
Comenzamos con el dominio, continuidad y derivabilidad. La función
/ no está definida en x = —1, y por eso, su dominio en IR. \ {1}. En este
conjunto es continua y derivable, porque es el cociente de dos funciones
continuas y derivables. La derivada primera de /, si x y 1, es:
2x (x — 1) — x x - 2x x (x — 2 )
>2 •
(•r ~ 1) u - i r (-*■ - 1)"
De nuevo es cociente de funciones continuas y derivables en R \ {1} y su
derivada es:
2 (x - l )3 - 2 (x2 - 2x) (x - 1)
f " (■>')
= 2
(•'■ - 1)
(x - l )2 - (x2 - 2x)
o - - i r 5 ( x - i y
Esta función es de nuevo continua y derivable en R \ {1 } porque el nume
rador es una constante y el denominador un polinomio y así sucesivamen
te.
Estudiamos ahora las asíntotas; comenzamos con las horizontales:
,.2
Recuerde que la recta y = b
es una asíntota horizontal de
/ (.<:) si y sólo si existe b €
IR: tal que lím.,. > x ./' (x) =
b y/o lírna.._>_ 00 / (x) = b.
La recta x = a es una
asíntota vertical de f (a;) si y
sólo si lím T_ u + / (.r ) = ± o c
y/o lín i,._„- / (.;■) = ± o c .
La función / (x) tiene una
asíntota oblicua si
I (x) ,lim = m y/ o
lím f (x) = lím
:r > x X — 1
= —OC,
lím / (x ) = lím
x„2
= OC.
:r - x ’ x — >oc X — 1
No tiene asíntotas horizontales. Veamos si tiene asíntotas verticales. Como
la función no está definida en x = 1, vamos a estudiar el límite cuando x
tiende a 1:
x2
lím J (:?;) = lím -------
X —> í X — 1 X 1
= — O O ,
lím
.r
f ( x )
lím /’ (./■)= lím -------
X - m l + I - 1
= OC.
Como estos límites son ±oo, la recta x = 1 es una asíntota vertical.
Para estudiar si f (x) tiene una asíntota oblicua hacemos:
/(•I')límx—> — se x = lím
x~
x - 1 = lím x
,2
= 1.
lím / (s)
x - > - o c x
X2
lím = lím
m -% x* — x
2- = 1 .
x-
X -> X: X i —t X ' X :r—>oo ,r - — ./■
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128 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
Como este límite es 1, tiene asíntota oblicua y = lx + b. Calculamos b:
,,2X
lím ( f ( x ) — lx ) = lím ( ---------
X—»—OO ' ' .r-> —OG V X — 1 — X límx —>■ - oo
X2 — X2 + X
X — 1
= 1
lím (/ (x) — lx) = lím
x \ / x — x + x
x = lim ----------------
.r—»oc \ x — 1 / x —>oc V x — 1 = 1.
Recuerde que una función
derivable / es creciente si
/' (x) > 0 y es decreciente si
/' (x) < 0.
Por eso, la recta y = x + 1 es una asíntota oblicua.
El siguiente paso es determinar los intervalos de crecimiento y decre
cimiento; sabemos que la derivada primera es
f (x) =
x (-r — 2)
(x - 1) 2 1
El denominador es siempre mayor que 0 y el signo del numerador pue
de cambiar en los puntos x = 0 y x = 2. Hacemos la siguiente tabla pa
ra determinar su signo, donde hemos tenido en cuenta que la función no
está definida en x = 1:
x x — 2 f ( x )
(-o o ,0 ) - - +
(0,1) + - -
(1,2) + -
(2. oo) + + +
A partir de ella, concluimos que la función es creciente en (—oo, 0) y (2, oc)
y decreciente en (0 , 1) y (1, 2).
Los extremos relativos se alcanzan en los puntos donde f (x) = 0:
x = 0 o x = 2 .
( x - 1 ) 2
El extremo relativo se clasifica con el valor de la derivada segunda:
2 2 2
/"(0) =
( x - 1 ) 3 ( 0 - 1 ) 3
= —2 < 0, / (2) =
(2 - i r
= 2 > 0.
Recuerde que una función
dos derivable / cuya deriva
da primera en c es 0, alcan
za en este punto un máximo
relativo si f" (x) < 0 y un
mínimo si f" (x) > 0.
Por eso, la función / alcanza un máximo relativo en x = 0 y un mínimo
relativo en x = 2.
Ya sólo nos queda concavidad y convexidad. Como
f " (x) = 2( x - 1) 3 ’
Sólo fines educativos - FreeLibros
129
entonces f " (x) > 0 si x G (1. oc), lo que significa que en este intervalo la
función es convexa y f " (a ) < 0 si x € (—oo, 1), o lo que es lo mismo, que es
cóncava en este intervalo. Nótese que no tiene puntos de inflexión, porque
f " (x) 7 ^ 0 para todo x,
pero este hecho no contradice los intervalos de concavidad y convexidad,
porque en x = 1 la función no está definida y tiene una asíntota vertical.
La representación gráfica de la función es:
i
6 -
A4
2
■3 - 2 - 1 1 2 3 4
- 2
- 4
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130 C a p í t u l o 3 / Aplicaciones de la derivada
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4 I n t e g r a l d e R i e m a n n
En el módulo "Integral de Riemman” se estudia la integral definida, y
cómo el teorema fundamental del cálculo relaciona esta integral con la deri
vación y con la integral indefinida o primitiva. También se recuerdan algu
nas técnicas para el cálculo de primitivas y se consideran algunos métodos
de integración numérica. Por último, se estudian diversas formas de paso
al límite en los que intervienen integrales: integrales impropias e integrales
de sucesiones funcionales.
Recuerde...
■ Para poder realizar la mayoría de los ejercicios de este capítulo es
necesario haber aprendido de memoria la tabla de integrales inme
diatas que aparece en el libro Cálculo para Ingenieros. En los márgenes
recordaremos algunas, pero no todas. También es conveniente que
consulte el tema sobre integración del Curso 0.
■ La integral definida está estrechamente relacionada con el área com
prendida entre la gráfica de una función y el eje X.
■ La integral indefinida coincide con el concepto de primitiva.
■ La fórmula de integración por partes está relacionada con la fórmula
de derivación de un producto, recordando esta última debería poder
deducir la primera.
■ Las fórmulas de integración numérica que estudiamos están relacio
nadas con la interpolación polinómica.
■ Las integrales impropias se definen mediante límites y cuando estos
límites existen se dicen convergentes.
■ Las integrales impropias pueden ser de varios tipos dependiendo de
si el intervalo de integración o la función integrando son no acotados.
■ Para ciertas sucesiones funcionales es indistinto pasar al límite y des
pués integrar, que integrar y después pasar al límite.
131
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132 CAPÍTULO 4 / Integral de R iem ann
Recuerde que la finura de
una partición es la máxima
longitud de los intervalos de
finidos por la partición.
Ejercicios
Ejercicio 142. Calcule la finura |¡P¡| de la partición P = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } del
intervalo [1,6].
Solución.- La partición P divide el intervalo [1,6] en los subintervalos [1,2],
[2,3], [3,5] y [5,6], Como [3,5] tiene longitud 2 y el resto tienen longitud 1
resulta que
\ \ P \I = 2.
Ejercicio 143. Defina una partición de [0,4] con cien elementos distintos
y finura igual a 3.
Solución.- Existen infinitas particiones con las propiedades exigidas. Por
ejemplo, la partición
P = {0,3, x3, . . . , 3:100}
en donde = 3 + o la partición
P = [//.••//: • • ■ , 2 / 9 8 , 4 }
con y , =
Ejercicio 144. ¿Puede ser la finura ||P[| de una partición del intervalo
[—7r, 7r] igual a 7?.
Solución.- Los intervalos definidos por la partición son subintervalos de
[—7T, 7r]. Por lo tanto, el subintervalo de mayor longitud tendrá como mucho
la longitud del intervalo [—tt, 7r] que es 27r k; 6,2832 y es imposible encontrar
una partición del intervalo [—n, 7r] tal que
IIPII = 7.
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 133
Ejercicio 145. Muestre de dos formas distintas que la integral definida
de la función nula es cero en cualquier intervalo:
(i) utilizando la definición de integral;
(ii) utilizando las propiedades de la integral (pista: solamente 0 verifi
ca 0 + 0 = 0).
Solución.- Puesto que integramos la función nula, utilizando la definición Recuerde que la integral de
que aparece al margen obtenemos finida para una función con-
rb
tinua en /: [a, b\ —>■ K se defi
ne como
0 = lím \ 0 • A x t = lím 0 = 0 rt
l|p|l^ ° i=i !lpH^ ° / / = |i¿íl!1i , X /(' ' )A',;'"II PII mi I = 1
y hemos realizado la demostración utilizando la definición de integral. p = {„ = ..........,■„ = b} y
a t [xí- i,x¿].
La pista del enunciado apunta hacia una manera muy práctica de de
mostrar que cierta cantidad es cero: mostrar que verifica alguna propiedad
que solamente tiene el número 0. Debido al comentario que aparece al mar
gen, y a que f a 0 es un número real, es suficiente mostrar que para cualquier
intervalo [a, 6] se tiene Recuerde que el único ele-
rb rb rb mentó de M que verifica
/ 0 = / 0 + / 0.
a + a = a
Ahora bien, por un lado la función nula es igual a la suma de dos fun- es el 0.
ciones nulas y por tanto
/ b rb0 = / (0 + 0). J a
Por otro lado, por ser la integral de la suma igual a la suma de las inte- Recuerde que
grales h
(0 + 0) = / 0 + / 0.
r b rb
f + u = / / + / y .
Por lo tanto,
rb rb
° = y ° +J a Ja
como queríamos demostrar.
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134 C a p í t u l o 4 / Integral de Riemann
Recuerde que para c £
í\
/ = /
Ejercicio 146. Para f , g continuas en ja, h] señale la propiedad que no es
siempre correcta:
4) . rb rb
a) I f + g ~ / + / g.
■ i ch f b
b) / \f + g\ = I 1/1+ / jg
c)
rb rb
Solución.- La opción a) es cierta por tratarse de una propiedad de la inte
gral definida.
La opción c) también es cierta porque aplicando las propiedades que
aparecen al margen se tiene
r b r b r b r b r b r b ra
/ f - g = / / + / ( - g ) = / / - / g = f + / g-
> a J a ia Ja
La opción b) es falsa. Basta con mostrar un contraejemplo. Tomemos
f ( x ) = 1 para todo x y g = —/. En ese caso
f \ f + g\= f b \ f - f \ = o
Ja Ja
y
r b r b r b r b r b
/ 1/1+/ \g\= / 1/1+ / 1/1 = 2 / 1 = 2 ( 6 - a ) .
J a Ja, J a Ja Ja,
Por lo tanto, si a ^ b, las dos integrales anteriores son distintas.
Ejercicio 147. D adas/.#: [o. 6] —> E continuas y c € M señale la propie
dad que no es siempre correcta:
f b f b rb
a) / f i x ) — g{x ) d-x = / f i x ) dx — / g(x ) dx.Ja, Ja Ja
b) I f ( x ) ■ g{x) dx = / f { x ) dx ■ í g{x) dx.J a J a. J a
f b rb
?:} . ' : +; ■Ja J o
d) I f ( x ) d x Ja
: 2+
f ( x ) dx + I . f ( x ) d x .
J : . * í * í£ í : : - 5 ^ /áltUbfJíV’
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E jercicios de C álculo para Ingenieros 135
Solución.- Las propiedades de la integral incluyen las opciones a) y c) que
por lo tanto son correctas.
La opción b) es cierta si alguna de las funciones es constante porque en
ese caso podríamos aplicar c). Pero no en general, como muestra el siguien
te contraejemplo
1 , 1 1 r* 1 x dx.
F i n a l m e n t e , e s el punto medio del intervalo [a, b] por lo que la igual
dad que aparece en d) es un caso particular de la que aparece al margen.
La opción buscada resulta ser b).
Recuerde que para c 6 [a. b]
Solución.- Por la propiedad que aparece al margen un poco más arriba
tenemos que
L I = J J + V
y el enunciado nos indica que
/ • ./ -
Restando miembro a miembro ambas igualdades resulta
7r
í ' 2 1 = 0.
Ejercicio 149. Demuestre que si / : [—1,1] —t 1 es continua y tal que
- 2 < f { x ) < 4 para todo x G [—1,1], entonces —4 < J f ( x ) dx < 8.
Recuerde que si / < g en
[a. b], entonces ^ / < f g.
Solución.- Sabemos que la integral verifica la propiedad de monotonía que
aparece al margen. Como en nuestro caso se verifica para todo x G [—1,1]
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136 C a p í t u l o 4 / Integral de Riemann
que — 2 < f ( x ) < 4 tenemos
r i
I —2 d x < J f ( x ) d x < j 4 dx
Por lo tanto,
_ 4 = —2[4 - ( - ! ) ] < I ' f ( x ) d x < 4 [ ! - ( - ! ) ] = 8.
Ejercicio 150. Demuestre el teorema del valor medio del calculo integral
que garantiza, para cualquier función continua en [a, b], la existencia de
un punto c € [a, b\ tal que
Lf { x ) d x = f ( c ) (b - a).
Solución.- Utilizaremos el teorema de los valores intermedios. Siguiendo
el razonamiento del ejercicio anterior es sencillo llegar a que
rb
mín f (x ) (b — a ) < / j ( x ) d x < máx f (x ) (b — a).
xt[o,,6] J a .re [a,6]
Ahora bien, la función (b — a) f es continua y el teorema de los valores
intermedios garantiza que existirá al menos un elemento c € [a, b\ tal que
Recuerde que F es una pri
mitiva de f si
F'{x) = f(.r)
para todo x del dominio de /.
f ( x ) d x = f ( c ) (b - a).
Ejercicio 151. Sea F : R —>• M una primitiva de una función continua
/: 1 - t l y C e R una constante. Señale la opción correcta:
a) F'(x) = f ( x ) para x G M. b) f ( x ) — F (x ) + C para i 6 l .
c ) f f ( x ) — F(x) para x € R. d) F'(x) = f ( x ) + C para x € R.
Solución.- A la vista del comentario al margen la opción a) es correcta por
coincidir con la definición de primitiva.
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Ejercicios de Cálculo para
Tomando, por ejemplo,
f (x ) = 1. F(x) = x y C = 1
observamos que el resto de opciones son falsas.
Ejercicio 152. Sea F : R -> M una primitiva de una función continua
/ : R —)• R y C G R una constante. Señale la opción correcta:
a) - j - (F (x ) + C) ■= f ( x ) , V r e l . b) + C) = F (x) , \/x G R .
dx dx
dx = f ( x ) + C, Vx G M. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Recordemos que si F es una primitiva de / entonces para cual
quier constante d 6 R se tiene que la función G, definida por G (x) = F ( x ) +
C, también es una primitiva de /.
Efectivamente, sin más que derivar
G'(x) = J L ( f {x ) + C) = F'{x) + 0 = F'(x) = f (x ) .
dx
Por lo tanto, a) es correcta.
La opción b) es falsa. Nada nos garantiza que / sea derivable, luego la
expresión que aparece carece de sentido. Animamos al lector a buscar un
Teorema fundamental del
contraejemplo en el que / sea derivable. cálculo Si f es continua
La afirmación c) indica que las primitivas de F son de la forma / + C en [«. h\, entonces la función
para cualquier constante C . Tomando, por ejemplo F(x) = x y f ( x ) = 1 F : [a,b] -> M dada por
vemos que esto no es así.
[ x
Ejercicio 153. Sea H = F o G con F(x) = / sen(ln(f)) dt y G(x) =
J 0;
Señale la opción correcta:
a) H es creciente en I!
c) H es cóncava en IR. d) H tiene un mínimo en n.
b) H tiene un punto de inflexión en x =
F('r) = Ja eS C0IV
tinua en [a, fc], derivable en
(a.b) y se verifica F'(x) =
/('•)-
Solución.- Aplicando la regla de la cadena y el teorema fundamental del
cálculo se tiene
H'[x) = F'(G(.r))G'{x) = sen(ln [G(x)])G'(x)
= sen(ln[ex])e‘r = e,!'senx.
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138 CAPÍTULO 4 / Integral de Riem ann
Debido a que la función seno cambia de signo, la derivada no tiene
signo constante y H no es creciente ni decreciente en IR.
Igualando a cero la derivada de H obtenemos sus puntos críticos: ,r =
kir, k G Z. Volviendo a derivar se tiene
H"(x) = ex(senx + cosx).
Por lo tanto
H"(n) = c"(sen7r + eos ir) = — en < 0
y H no tiene un mínimo en x = ir. Claramente la derivada segunda no tiene
signo constante y la función no es ni cóncava ni convexa.
Volviendo a derivar
H"'(x) = ex(senx + cosx) + ex(cosx — senx) = 2ex c,os x
luego = 0 y < 0. La función pasa de convexa a cóncava en
^ y la solución es b).
Ejercicio 154. Dada la función F (x ) = / t sen / di definida en I
Jo
[0, oo) señale la opción correcta.
a) F alcanza un máximo en x — lir. b) F es creciente en I.
c) F alcanza un mínimo en x = 7?r. d) F es decreciente en /.
Solución.- Utilizando el teorema fundamental del cálculo se tiene
F'(x) = x sen x.
Debido a que la función seno cambia de signo, la derivada no tiene
signo constante y F no es creciente ni decreciente.
Igualando a cero la derivada de F obtenemos sus puntos críticos: x =
kir, k G Z. Volviendo a derivar se tiene
F"(x) — sen x + x eos x,
por lo tanto F"(7n) = - 7 n < 0 y F tiene un máximo en x = 7tt.
La opción a) es la única correcta.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 139
Solución.- El teorema fundamental del cálculo nos informa de cómo deri
var funciones de la forma
La expresión que tratamos de derivar es muy parecida, pero la x aparece
en el límite inferior de integración en lugar de en el superior.
Para toda función / continua en [a, b] se verifica, como ya recordamos
al margen de la página 134, que el intercambiar los límites de integración
cambia de signo el valor de la integral. Por lo tanto,
d d
Y empleando el teorema fundamental del cálculo llegamos a la solución
Ejercicio 156. Se sabe que j ~ — dx = ln \x — 11 + C. ¿Qué opción no i
es falsa?
a) No hay relación entre la integral definida y la indefinida.
b) Utilizando Barró»? resulta
1
J o 3 - 1
3
dx == fk-
c) Utilizando Barrow resulta í —J2 X - 1
dx = ln 2.
Solución.- Este ejercicio debe dejar claras las diferencias entre integración Regla de Barrow. Si / es con
tinua en [a. b\ v F es una p r i
m itiva de / , entonces
indefinida e integración definida
La opción a) es falsa puesto que la Regla de Barrow, que recordamos al
margen, establece la estrecha relación entre integración indefinida e inte- í h
gración definida. L
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140 CAPÍTULO 4 / Integral de Riem ann
Consideremos ahora las otras opciones. Puesto que
J dx = ln \x — 1| + C.x — 1
sabemos que para cualquier constante C € M la función F (x) = ln \x—11+ C
es una primitiva de -pzy por lo que utilizandola Regla de Barrow
Y parece que las opciones b) y c) son correctas. Sin embargo, uno de
los razonamientos anteriores no está bien. Piense, antes de seguir leyendo,
qué podemos haber hecho mal.
Solamente hemos aplicado la Regla de Barrow por lo que nuestro error
tiene que estar en dicha aplicación. Hemos aplicado la Regla de Barrow sin
que se verifiquen las hipótesis que nos permiten utilizarla. Efectivamente,
no hemos tenido en cuenta la hipótesis relativa a la continuidad de / en
el intervalo de integración [a, b}. En el caso de la integral de la opción b)
observamos que la función dada por no está definida en 1 € [0,2], luego
no puede ser continua en [0,2]. ¡No podemos aplicar la Regla de Barrow!
Fijémonos en que la función no es integrable en el intervalo [0, 2] al no ser
acotada y la integral que aparece no tiene sentido.
En el caso de la integral de la opción c) se tiene q u e - es continua
en [2, 3] y la utilización de la Regla de Barrow es correcta. La opción c) es la
única correcta.
Resumiendo, si sabemos que F es una primitiva de una función conti
nua / en un dominio D podemos afirmar
í 2 1/ dx = ln |2 — 1| + C — ln 10 — II — C = 0
Jo x - 1L
Y
2 - 1
:í 1 ,
dx = ln ¡3 — 11 + C — ln |2 — 11 — C = ln 2.
siempre que [a, /;] C D.
Fijémonos en que
ln |.r — II + C'
es una primitiva en R \ {1} de
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 141
Ejercicio 157. Calcule las integrales indefinidas siguientes
/ ' ln x , n í x2 - 1 , /' sen Vx3 9 dx. 2. / — -------------- dx. 3. / ,__ • x dx.x J x3 - 3x + 7 J
Solución.- En el caso de la primera integral observamos que la derivada de
ln x es - , luego estamos ante una integral del tipo
I f ( x ) . f ' ( x )dx = ^ ^ - + C.
Y sin más que sustituir resulta
ln x f 1 (ln.r)2
d x = (ln x) ■ - dx = -----------b C .
x ) x 2
Para la segunda integral tenemos que la función subintegral es racional
por lo que podemos optar por descomponerla en fracciones simples. Pero
antes de emprender ese camino siempre debemos verificar si estamos ante
una integral inmediata.
En este caso, como (x3 — 3a: + 7)' = 3x2 — 3, se tiene
í x2 - 1 , 1 /' 3(.r2 — 1) 1 . o . _____
—dx = - —ñ r —dx = - ln — 3a: + 7| + C.a-'3 - 3x + 7 3 / ,r3 - 3.r + 7 ' 3
En la tercera integral, aunque la función integrando es producto de va
rias funciones, la técnica de integración por partes no es la más adecuada ya
que la integral se puede resolver de forma directa como las dos anteriores.
La derivada de V x3 es
( V/X 3 )/ = - X ’ 2 1 = - 1 2 .2 2
Además,
sen ( x/x3 )
X
Recuerde que para a / — 1
l f U ) " f \ x ) d x = ^ ^ - + C .
J ii + 1
Recuerde que
I ^ y d x = ln |/(.r)]+ C.
Recuerde que
j sen(.r) cl.r = C — cos(.r),
I cos(x) dx = sen(x) + C.
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142 CAPÍTULO 4 / Integral de Riemann
Por lo tanto,
sen(Vx^)
dx = - I s e n ■ ‘- x x dx =
3 J 2 — - eos 'fx* + C. 3
Ejercicio 158. Queremos resolver la integral indefinida I
utilizando integración por partes:
a) Interesa escoger u — x y v' — ex.
b) Interesa escoger u = ex y v' = x.
c) Las dos opciones anteriores son válidas.
d) Ninguna de las anteriores.
-I xex dx
Solución.- Tomemos la elección de partes dada en la opción a). Ya que
u — x.
v' = ex .
resulta
u' = 1.
r = / v'dx ex dx = r r .
Fórmula de integración por y aplicando la fórmula de integración por partes
partes
I ur' dx = uc — I u v dx. I = xex - J ex dx = x e r - ex + C = (x - l)e J' + C.
Luego la opción a) es correcta y la opción d) es falsa.
Veamos ahora que la elección dada en la opción b) aumenta la dificultad
de la integral a resolver. Efectivamente, si
u = e
v' = x.
resulta que
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 143
y aplicando la fórmula de integración por partes
I = uv — í u'v dx = ex- í — ex dx.
f x2La integral / — ex d,x, que debemos resolver ahora, no es más senci
lla que la integral original. Por lo tanto, la opción b) es incorrecta y como
consecuencia la opción c) también.
Ejercicio 159. Utilizando integración por partes, calcule la siguiente in-
f íZ* 6
tegral 1 = dx. (Pista: f x ex dx = (x — l)e'r + C)
j (x +
Solución.- Aprovechando que, gracias al ejercicio anterior y a la pista del
enunciado, conocemos la primitiva de xex, escogemos como partes
. dx
v =
{x + l ) 5
resultando
u' = ex + xex.
(x + 1)_1
V = — 1 X + 1
Por tanto
i = / , xeX v i i x = { i e - ) ^ - - ! - {e' + xed[)é, ;1 (x + 1)2 V ;X + 1 J x + 1
Tpx r e* ( x -)_l) xex
+ / — ---- T2- dx = + ex + C.
x A l J x A l x A l
x ^ - ( - 7x - | -
Ejercicio 160. Descomponga la expresión racional f ( x ) = — ------ —^
(x + 1J'
en fracciones simples.
Solución.- El polinomio que aparece en el denominador de f ( x ) tiene una
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144 CAPÍTULO 4 / Integral de Riemann
Recuerde que dos polino
mios son iguales si y sola
mente si los coeficientes que
acompañan a monomios del
mismo orden coinciden.
raíz real x = — 1 de multiplicidad tres y el polinomio que aparece en el
numerador es de grado menor que 3 y no tiene raíces comunes con las del
denominador. Por tanto, / se descompone en tres fracciones simples de la
siguiente manera
■v2 + 7x + 3 a b c
(x F l ) 3 X F 1 (./■ + l ) 2 + (./' + 1 )3
Para calcular los coeficientes a, b y c multiplicamos ambos miembros
por (x F l ) 3. Resulta
x2 + 7x + 3 = a(x + l ) 2 + b(x F 1) + r
t
x 2 F 7x + 3 — üx~ F (2c¿ F b).r F ((i F b F c).
Identificando coeficientes obtenemos el sistema
a = 1,
2ci F b = /,
(i F b F c = 3.
Resolviéndolo, resulta a = 1, b — 5 y c = —3. La descomposición busca
da es
, , , x2 + ?.;■ + 3 1 5 3
/(•O = d , = G rrr +l ) 3 X + 1 (x + l ) 2 (x + l ) 3
Solución.- Resolveremos el ejercicio de dos formas distintas.
En la primera, descomponemos la función integrando en suma de dos
x + 2 x 2
x 2 — 1 x 2 — 1 x 2 — 1
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 145
y a continuación integramos
í x f 2 1 f 2x f dx r dx
-dx + / —^ -d x = - - d x +
— 1 J x2 — 1 2 J x2 — 1 J x — 1 ,/ x + 1
l , o .........................................
= - ln \x~ — 1| + ln |.r - l j — ln \x + 1| + C
= ln \ J \ x 2 - 1 + ln -p + C
\x + 1]
l i + C = lnV/}EZÜ + C’.
V l,r + ^I
En donde, en la primera igualdad hemos utilizado que la descomposi
ción en fracciones simples de — - es
x/ - 1
2 1 - 1
+x2 — 1 x — 1 ’ X + 1
ya que multiplicando por 1 la igualdad
2 A B
+x 2 — 1 x — 1 x -)- 1
obtenemos que 2 = A(x + 1) + B ( x - 1). Evaluando en x = 1 y x = — 1
resulta que A = 1 y B = - 1 . En la segunda igualdad, hemos utilizado que
dx = ln |/(j’)| + C. (4.1)
/(•O
y en las siguientes igualdades propiedades de los logaritmos.
El otro procedimiento consiste en descomponer directamente el inte
grando en fracciones simples. La descomposición resulta ser
X + 2 _ 2 ~2~
x2 — 1 x - 1 X + 1
ya que multiplicando por x2 — 1 la igualdad
x + 2 A B
+x 2 — 1 x — 1 x + 1
obtenemos que x + 2 = (A + B ) x + A - B e identificando coeficientes
llegamos al sistema
A + B = i. A - B = 2,
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146 CAPÍTULO 4 / Integral de Riem ann
Recuerde que el algoritmo de
la división establece que el
Dividendo es igual al Cociente
por el divisor más el Resto
D = C d + li.
3 1
que tiene por solución A = - y B = —~.
Por lo tanto, utilizando (4.1) resulta
X + 2 dx = - I —¡— dx - - / — dx
x 2 — 1 2 J x — 1 2 J x + 1
3 1
= - ln |.r — 1| ln x+ 1| + C
= ln \J\x — l|:i - ln \/\x + 1 + C = ln ' C + C.
v l ‘r + 1|
Ejercicio 162. Señale la afirmación correcta relativa a la función racional
x.3 3a-2 - 28a- - 33
en * , / ( * ) = l 2 _ x _ 20
a) La función f ( x ) se descompondrá en dos fracciones simples al ser el
polinomio denominador de orden 2.
3 7b) Se verifica /(a) = b
x — 5 x + 4
.2
c) Se verifica
f X
/ f ( x ) dx = -b.:4a + 3 ln \x — 5| — 7 ln \x + 4] + C.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Las opciones a) y b) no son correctas. Al ser el orden del po
linomio del numerador mayor que el del denominador, para realizar la
descomposición, previamente hay que dividir. Efectuando dicha división
resulta
,r3 +3.r2 —28x - 3 3 | ,r2 - ./• - 20
—,r2 — 20:r x + 4
,l.r2 —8.r -3 3
4x~ - l . r -8 0
- l . r +47
y como consecuencia del algoritmo de la división, el dividendo entre el divi
sor es igual al cociente más el resto entre el divisor
x2 + 3.r2 — 28.r — 33 , - l . r + 17
2 Ni = -r + 4 + -2 Ni ■ (4-2)x - x — 20 x — x — 20
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 147
Ahora, expresemos en fracciones simples. Es sencillo compro
bar que 5 y —4 son las raíces de x 2 — x — 20. Por tanto, debemos buscar a y Recuerde que las raíces de
b tales que ax~ + bx + c son
—4.r + 4 7 a b „ ~h± ^ ~ A" r
+ - . (4 .3 )x 2 — x — 20 x — 5 x + 4
Multiplicando por x2 — x — 20 = (x — 5)(x + 4) ambos miembros de la
igualdad anterior resulta
—dx + 47 — (■/(./' + 4) + b(x — 5)
y evaluando esta expresión en x = —4 y ./• = 5 tenemos
—4 • (—4) + 47 = a( —4 + 4) + 6(—4 — 5) => 16 + 4 7 = - % =»
63
v
- 1 . 5 + 47 = ,7(5 + 4) + 6(5 - 5 ) => - 2 0 + 47 = % =>
27
=> « = — = 3.
!)
Sustituyendo estos valores en (4.3) y a su vez esa expresión en (4.2)
estamos en condiciones de integrar. Haciéndolo resulta
f x3 + 3 ,:2 _ 28,: - 33 ;
t í x j d x = / ---------------------------- dx
■ 1 J x 2 - x - 20
A , A 7 ,— I x + 4 + — — dx
J x — 5 x + 4
= / x dx + f 4 dx + 3 / — dx - 7 [ — </./’
./ ./ ./ •<' — 5 ,/ -i1 + 4
r2
= — + 4,r + 3 ln |.r - 5| - 7 ln j.r + 4| + C.
Por lo tanto, la opción c) es correcta.
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148 C a p ít u l o 4 / Integral de R iem ann
Ejercicio 163. Señale la afirmación correcta relativa a la función racional
8x3
Cn f[X) (x2 + l ) 2 '
a) Como el polinomio denominador no admite raíces complejas no es
adecuado utilizar el método de Hermite para resolver la integral I =
f ( x ) dx.J
b) El polinomio denominador tiene raíces complejas múltiples, luego es
conveniente utilizar el método de Elermite para calcular I == j f ( x ) dx.
4x d i 4
c) Se verifica A
1 dx V x2 + 1
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La ecuación
(x2 + l ) 2 = 0
resulta de igualar el polinomio denominador de f ( x ) a 0 y tiene como so
luciones a la pareja de números complejos ± i con multiplicidad dos.
En consecuencia la opción a) no es correcta y la b) sí.
El método de Hermite establece que
8a:3 ax + b d ( ex + d 'ax + b d
(.r2 + l ) 2 x'2 + 1 dx V x2 + 1
luego
8a-3 ax + b —ex — 2 dx + c
{x2 + l)2 x2 + 1 (a-2 + l ) 2
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por (x2 + 1 )2 resulta
8a-3 (ax + b)(x2 + 1) — ex2 - 2 d x + c
= a x 3 + bx2 + ax + b - ex2 - 2dx + c
= a.r3 + (b — c)x2 + (a — 2 d)x + b + c.
Identificando coeficientes obtenemos el sistema
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 149
Resolviéndolo resulta a = 8/6 = 0 ,c = 0 y d = 4. Esto no coincide con
la opción c) porque el valor del coeficiente a es incorrecto. Luego la única
opción correcta es la b).
Ejercicio 164. Calcule la siguiente integral indefinida I =
r 3.r4 + 4x2 + 2x + 1
x (x2 + l ) 2
Solución.- El denominador de la función subintegral solamente tiene una
raíz real x = 0. Pero al tratarse de un polinomio de orden 5, también
tendrá cuatro raíces complejas. Las raíces de x2 + 1 son ±i . Además, co
mo x 2 + 1 aparece al cuadrado, cada una de las raíces complejas anteriores
tiene multiplicidad dos, luego es recomendable utilizar la técnica de Her-
mite.
La expresión general que tendrá la descomposición en fracciones sim
ples utilizando Hermite será
3x4 + 4x2 + 2x + 1 a bx + c d ( dx + e\ ,
= T + ■ , + , > , • (4-4)x (x2 + l ) 2 x x2 + 1 dx \x2 + 1
y para poder continuar debemos calcular los coeficientes a, b, c, d y e
Teniendo en cuenta que
d f d.r + f \ d(x2 + 1) — 2x(dx + e) — dx2 — 2ex + d
dx \ x2 + 1 ) (x2 + l ) 2 (x2 + 1 )2
y multiplicando (4.4) por x(x2 + l ) 2 resulta
3x4 + 4,r2 + 2x + 1 = a(x2 + l ) 2 + (bx + c)(x2 + 1)./’ + (—dx2 - 2ex + d)x.
Operando
3.r1 + 4.r2 + 2x + 1 = (a + b)x4 + (c - d)xA + (2a + b — 2e)x2 + (c + d)x + a,
e identificando los coeficientes de los monomios del mismo grado llegamos
al sistema
a + b = 3.
c - d = 0.
2a + b — 2( = 4,
c + d = 2.
a = 1 .
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150 CAPÍTULO 4 / Integral de Riemann
Resolviéndolo obtenemos que los coeficientes son a = 1, b = 2, c = 1,
d = 1 y e = 0. Sustituyendo
1 = í ( ^ + 2^ 1 + T ( - 2 ^ ) ) dxJ \x .r- + 1 dx \x2 + 1J J
í 1 , f '2x + 1 . '■
- ./ x d l + J ^ T Í ,lr + ^ T i + c
= ln|.r|+ / - - d.r ■ / - J — dx + - ^ — + C J X 2 + 1 J X 2 + 1 X 2 + 1
= ln Ixl + ln(x2 + 1) + arctgx 4— -^--------1- C.
x - + 1
- /
dx
sen x + eos x
Ejercicio 165. Siendo /
ciones correctas:
a) El cambio más adecuado es sen x = t.
b) El cambio más adecuado es tg § = t.
c) 1 = ln | tg(§) - 1 - \/2| + ^ ln | t g ( f )
d) Ninguna de las anteriores
, señale la afirmación o afirma-
í + V S l á c.
Solución.- Utilizando el cambio sen x = t resulta
/ 1 dteos x = v i - í V dx = , .
V T ^ t 2
Por tanto,
T _ /' 1_____________ ih _ f dt
.1 t + v7! — t2 V i — t2 J f\/l — t2 + 1 — t2
que no resulta sencilla de calcular con los métodos que manejamos.
Si aplicamos el cambio tg f = t resulta
21 1 - t - 2
sen.r = t . cosx = -r. dx = xdt.
1 + t2 1 + t2 1 + t2
Por tanto,
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 151
que resulta ser racional en t.
Las raíces del denominador son 1 ± \[2 y la descomposición en fraccio
nes simples de es
i_ j _
“ 2 y/2 V2
t 2 - 2t - 1 t - i - y / 2 t - l + y / 2 '
Integrando
2 d t = I = di
- t 2 + 2 t + l J t - l - y / 2 t - l + y/2
ln |í — 1 — \/2| H— -j=. ln |í — 1 + \/2| + C.
V 2 \J2
Deshaciendo el cambio resulta
1 /rr\ + c.1 = 1,1 ltg ( ! ) ■ 1 ■ ^ 1 + 7 1 111 ltg (I) “ 1 + ^
Luego tenemos dos opciones correctas: b) y c).
I tg(2a: + 1)
Ejercicio 166. Calcule I = / ------------- r dx utilizando un cambio’ J l + 2 t g 2(2^ + l )
de variable.
Solución.- Al no variar el argumento de la tangente en el denominador y el
numerador parece apropiado intentar el cambio tg(2x + 1) = t. Derivando
en ambos miembros con respecto a x
2 { l + l g \ 2 x + l)] = f x ,
por tanto
dx = - • di.
2 1 + t2
Sustituyendo estas expresiones en la integral de partida se tiene
,g(2:c + 1)
1 + 2 t g 2(2x + 1) ' 2 ,/ 1 + 2t2 l + t2
O lo que es lo mismo, hemos transformado la integral del enunciado en
una integral racional.
R ecuerde que si F es una p r i
m itiva de / y g es derivable,
entonces
I f ( u ( J '))g'(-i') = F (g ( x ) )+ C .
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152 C a p í t u l o 4 / Integral de Riemann
La descomposición en fracciones simples de la función subintegral es
de la forma
t at + b ct + d
(1 + 2¿2)(1 + í2) “ 1 + 212 + 1 + t'2 '
Multiplicando por el denominador e identificandolos términos de mis
mo grado resulta a = 2, b = 0 , c = — 1 y d = 0.
Por lo tanto,
1 í 1 1 ñ - 1
2 I 1 + 2t2 ' 1 + t2 2
2t.
1 + 2t2
dt + -t
1 + t2
dt
1
= - [ln(l + 2f2) — ln(l + f2)] + C
= í l n ( 1r n ^ ) + c = i l1111 +
C
1 + t2 + c.
Deshaciendo el cambio se tiene que
/ = i i„
= h „
4
1 +
1 +
tg2(2q- + 1)
1 + tg2(2x + 1)_
sen2 (2 x + l)
cos2 (2 x + l)
1
cos2(2 x + l)
+ C = - ln
4
1
1 +
tg2(2x + 1)
cos2(2 x + l)+ se n 2(2 x + l)
cos2(2 x + l)
+ c
+ C = - ln [l + sen2(2x + 1)] + C.
4
f 1 + y/x — X2
Ejercicio 167. Calcule 1 = rj=-----dx mediante un cambio de
J 1 + y x
variable.
Solución.- Observamos que
" 1 + y/x ~ V x 2 , f 1 + 1 2 - X 3---------- - = -----d x = -------------i---- dx
1 + ^ j 1 + X 5
Por lo tanto, se trata de una integral de tipo racional en x y potencias
racionales de x (la función subintegral es del tipo R(x. x a/ b, x c/ d, Para
su resolución debemos realizar un cambio que la transforme en una integral
racional en la nueva variable.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 153
El mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes es
m.c.m.{2, 3} = 6.
Utilizamos el cambio tb = x, que conlleva dx = 61 dt.
/
' 1 4- f3 — t4 í t5 4- t8 — t9
— j—^2— 6t5 dt = 6 — 1 + f 2— ^ Al
ser el grado del polinomio numerador superior al del denominador debe
mos dividir
I t2 + 1
- e - 17 - t 7 + 16 + i5 - í4 + i2 - 1
+ í8
- 17
+t5
t8 + í7 + í5
J* + í6
í7 - í 6 +t5
t7 + u
- t b
- í 6 - t 4
t4
4-t2
- t 2
“ I
1
Así,
1 = 6 / ¿ 1 + t 2 ^ dt = ® ¡ ~ t 7 + t6 + t5 - t 4 + t2 - l + dt
í t8 t7 t6 t5 í3 \
= 6 ( - 8 + 7 + 6 - 5 + 3 - í + arCtgí) + a
Y deshaciendo el cambio resulta
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154 C a p í t u l o 4 / Integral de Riemann
Ejercicio 168. Transforme la integral / = j y £ _ lL l dx mediante el cam
bio de variable = t2.X — l
X 1
Solución.- El enunciado nos indica que utilicemos el cambio -------- = t2.
x — 1
Primero despejamos x en la expresión del cambio de variable para conocer
su expresión en función de t. Se tiene
T T 1 O 9 , . = t =>• X + 1 = t (x — 1) =>
x — 1
=> (1 - t2)x = - ( 1 + t2) => X = J 2 ~ [ -
Ahora, derivando con respecto a t en ambos miembros de la igualdad
anterior se tiene
dx 2t(t2 - 1) - 2 t ( l + t2)) - 4 1
dt (t2 — l ) 2 (f2 — l ) 2
Por tanto, dx = ^ 2 dt.
Aplicando el cambio de variable resulta
/' — , f - 4 12 ,
1 = / t-m dt = / -r¡ T7T dt.J (t2 - l ) 2 J (t2 - l ) 2 '
que es una integral racional en la variable de integración t que se resolve
rá en el Ejercicio 169.
Ejercicio 169. Después de transformar una integral / mediante el cambio
j!* _ j _ ^ / 4 2^
= t2 se llega a que 1 = y ,— dt. Calcule I.x - l j
Solución.- Se trata de una integral racional en la variable de integración
t. Se puede resolver, por tanto, descomponiendo la función subintegral en
fracciones simples. Note que como
(■t2 - l ) 2 = (f + l ) 2( f - l ) 2 .
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 155
debemos encontrar cuatro constantes a, 6, c, d tales que
-4/-
+ + +
d
( f ‘2 _ 1) 2 t — 1 ' í + 1 ' ( f — l ) 2 ' ( f + 1 ) 2
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por (i2 — l ) 2 resulta
— 4/2 = a(t2 - l )(f + 1) + b{t2 - l )(f - 1) + c(t + l ) 2 + d(t - l ) 2
= a(t3 - t + f - 1) + b(t3 - t - i2 + 1) + c(t + l )2 + d(t - l ) 2.
= (a + b)t3 + (a — b + c + f/)/2 + (—a - b + 2c — 2d)t+
+ (—a + b + c + d).
Identificando coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones
—o + b + c + d = 0.
- a - b + 2c - 2d = 0.
a — b + c + d = —4,
</ + b = 0 .
que tiene por solución a = c = d = —1 , 6 = 1 .
Integrando
-41-
(t2 - l ) 2 dt =
- 1 1
+ t r +
- 1
+
f - 1 í + 1 ( í - 1 ) 2 ( í + 1)
dt
= - ln \t - 1¡ + ln 11 + 11 + —'— + — —^ + C
f - 1 f + 1
= ln í + 1
Deshaciendo el cambio
21
f2 - 1 + C.
x
t2 obtenemos la expresión de la primi
tiva o integral indefinida en la variable x
ln
^ 4 + 1X — 1
.r + 1 _ i
x - 1 1
+
2 ' :. 'i
x+l
x—1
+ C = ln
= ln
= ln
+ C
+ C
+ v/.r2 - 1 + C.
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156 CAPÍTULO 4 / Integral de Riem ann
Ejercicio 170. Señale el valor de
i
7T 7T 7T
a , - y b) ¥ •
2 are sen f
, i dx :
V4 — T
7T
d)
Solución.- Sabemos que la derivada de are sen — es
V ' - i í )3
Por lo tanto, la integral es casi de la forma
[ /(•(•)/'(x)dx,
J a
que sabemos es inmediata y con valor (/O))2 ‘ ( fV ’) f (/(a))2
O tal vez es exactamente de esa forma porque
1 1
V
Por lo tanto,
2 /4—.r-' 2 v^ 4 — .r- \/4 — .r2
r‘2 n Xare sen 77 are sen 0
/ 2 dx = ------------
11 \/4 — 2
4 ( r
La respuesta correcta es b).
x \2 1 ( 2 2 2 1= - are s e n are sen" -
2 V 2 2
7T\2 \ 7T2 7T" 7T2
6 / ) ~ T ~~ 72 = Y '
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 157
Solución.- Si realizamos el cambio de variable
2x - 1 = t
se tiene
2 dx = di.
Además para x = \ resulta que t = 0 y para x = | obtenemos t = |.
Sustituyendo
I = i n dt
i
V'S
/o \/3 - í2 2 y0 4= y7:! - /-
dt =
1 /:= - are sen —
2 v/3
3
2 1 / 3= - are sen — — — are sen 0
o 2 V 2v/3
1 / \/3 \ 1 TT 7T= - are sen 0 = — = —.
2 l 2 2 3 6
i
v/3 : dt,
La única opción correcta es d).
Solución.- Utilizando las igualdades trigonométricas
eos2 x + sen2 x = 1 y eos2 a: — sen2 x = cos(2ir)
o 1 + cos(2x) T se tiene que eos" x = . Luego
2 2 / \ , I 2 1 + cos(4x) 1 1eos (2x)dx — / dr = - x + - sen(4x)
2 TT
9 = 4 'J O J O ¿ o
Esta integral también se puede calcular utilizando el método de inte
gración por partes.
_ í u = cos(2x) í u' = — 2 sen(2x)
lomamos s , ' por tanto < i \ yv = eos(2a:) K \ n = \ sen(2x) y
L2 2 1eos (2x)dx = eos(2.r) • -son(2x) o 4o 2 1—2sen(2x) ■ -sen (2x)4x
= 0 + 1 sen(2x) ■ sen(2x)dx = / sen2(2x)<ix.
4 o 4o
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158 C a p í t u l o 4 / Integral de R iem ann
Teniendo en cuenta que cos2(2x) + sen2(2a:) = 1 resulta
/ cos2(2 :r)dx = 1 — cos2(2 x)dx.
I o Jo
por tanto
2/~ ■ • 712 / eos (2x)dx = / da; => / eos (2x)dx = —.
JO JO JO 4
Nota: Fijémonos en que si volvemos a utilizar integración por partes para
sen(2x) • sen(2x)dx
J o
, , u = sen(2x) í tí/ = 2cos(2x)tomando < , por tanto < ,
' v = sen(2.71) h \ r = cos(2x)
/ sen2(2x)(/.r = sen(2.r
-1
) ' - cos(2x)
7T
Jo ¿ 0 Jo
— cos(2.r)
2cos(2.r) ■ dx
=0 + / cos(2.r) • cos(2j')d:r = / eos2(2.r)dx.
Jo Jo
Como teníamos que
/ eos2 (2 a-)f/.T = / sen2(2:r)d.r
Jo Jo
sustituyendo obtenemos
7T 7T
/ eos2(2.r)dx = / eos2 (2 x)dx
J o J o
y nos quedamos como estábamos. Luego este camino no es adecuado.
Ejercicio 173. Calcule el área comprendida entre la gráfica de e2x; las
rectas x = 1, x = 2; y el eje x.
Solución.- La función e2x es siempre positiva por lo que el área pedida
coincide con la integral
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 159
Ejercicio 174. Sean f ( x ) = x 2, g{x) — x3 y h.(x) = y/x. Señale la respues-
Lta correcta:
a) El área encerrada por las gráficas de / y g es mayor que la encerrada
por las gráficas de / y h.
b) El área encerrada por las gráficas de h y g es mayor que la encerrada
por las gráficas de / y h.
c) El área encerrada por las gráficas de / y g es igual que la encerrada
por las gráficas de ./' y h.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Las gráficas de las tres funciones aparecen a continuación.Con
trazo continuo aparece f ( x ) = x 2, con trazo discontinuo h(x) = s/x y con
trazo azul g(x) = .r3.
Además se verifica para todo x <E [0,1]
g{x) < f ( x ) < h{x).
Luego el área encerrada por / y g es
j f ( x ) ~ 9ÍX) dx = J x 2 - x 3 dx = ^ ^
El área encerrada por f y h es
I K x ) ~ f ( x ) dx = j = ^ =
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160 C a p í t u l o 4 / Integral de R iem ann
El área encerrada por h y g es
/ h(x) — g(x) dx = / \/x — x3 dx
J o Jo
2 1 _ 5
3 ~ 4 ~~ 12'
Sin más que comparar los valores obtenidos concluimos que a) y c) son
falsas, mientras que b) es la respuesta correcta.
Ejercicio 175. ¿Qué área encierran las gráficas de f ( x ) = cos ( jx ) y
g(x) = 8611(713;) entre x = — 1 y x = 1?
\Í2 y/2 \Í2
a) 4——. b )3 — . c) 2——. d)0.
7T 71 71
Solución.- En primer lugar debemos ver si existe algún punto de corte den
tro del intervalo [—1.1] para dividir el área total en subáreas que podemos
calcular integrando.
Resolviendo la ecuación
eos ttx = sen n x
resulta que x = \ + k con k 6 Z. Luego en el intervalo [— 1, 1] tenemos dos
soluciones x = | y x = — |.
Como sabemos, el área total coincide con la suma de las subáreas. Ade
más sabemos que
J f ( x ) —g(x)dx = J c u s ( t t j ’ ) — sen(7r.r) dx
sen (713;) + eos (7rx)
71
Integrando resulta
H -\/2 + l/ cos(7ix) — sen(7ix) dx =
J - 1 7r
C.
s / 2 - 1
7T
L cos(7rx) — sen(7rx) dx
j cos(nx) — sen ( 71;;;) dx
= 2
v^
- 1 - y/2 1 + ^ 2"
7T 7T
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 161
>/2Por lo que el área encerrada resulta ser 4— y la opción válida a).
7T
A continuación podemos apreciar la forma de los tres recintos encerra
dos por las gráficas de / y g. La gráfica de / aparece con trazo negro y la de
g con discontinuo y azul.
Ejercicio 176. ¿La integración numérica solamente es útil si no conoce
mos la expresión explícita de la función a integrar?
Solución.- No. Aunque conozcamos la expresión explícita de la función a
integrar puede no ser posible calcular una primitiva explícita de la misma o
que hacerlo sea muy complicado. En esa situación la integración numérica
es muy útil.
Ejercicio 177. De una función / se conocen los siguientes valores
/(O) = 42, /(3) - 41.
¿Es posible utilizar la fórmula del trapecio para aproximar el valor de
r3
/ f ( x ) dx? Si la respuesta es afirmativa, calcule tal aproximación.
Jo
¿Puede utilizar la fórmula de Simpson para aproximar el valor de tal
integral?
La fórm ula del trapecio esta
blece que la integral
1= í /(,-Kt
J a
se puede aproximar por
Solución.- La respuesta a la primera pregunta es sí, porque la fórmula del
trapecio, que aparece al margen, se basa en el valor de / en los extremos
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162 C a p í t u l o 4 / Integral de R iem ann
La fórmula de Sim pson esta
blece que la integral I se pue
de aproximar por
j /<>)" i/(nr) + /iMf
(i
donde / = b — a.
del intervalo, y los conocemos. Sustituyendo los datos del ejercicio en la
fórmula anterior resulta
I f ( x ) d x « 3 _ o) = 41,5 x 3 = 124,5.
./o 2
Pasemos a la última pregunta del enunciado. Para utilizar la fórmula
de Simpson, que aparece al margen, necesitamos conocer el valor de / en
los extremos del intervalo y en el punto medio. Por lo tanto, no podemos
emplearla porque no tenemos el valor de / (1,5).
Ejercicio 178. Dada la función
, í 3 + i , x < 1,
¡{X) = 1 4x, x > 1,
el valor de la integral J ^ f { x ) d x ¿se obtiene de forma exacta por la
fórmula compuesta del trapecio con un número par de subintervalos,
todos ellos de las misma longitud?
Solución.- La función / está definida a trozos. En el intervalo [—1,11 es un
polinomio de grado 1, 3-1 x, y en el intervalo [1, 3] es otro polinomio de gra
do 1, y = 4.x. En cada uno de estos intervalos la integral exacta coincide con
la aproximada, por ser la función una recta. Por eso, la integral buscada se
puede obtener de forma exacta por la fórmula compuesta del trapecio. Pero
además, tenemos que aplicarla en un número par de intervalos. No funcio
naría con un número impar de intervalos de la misma longitud, porque el
punto x = 1 estaría en el interior de uno de ellos y el resultado no sería el
valor exacto de la integral. Las gráficas siguientes ilustran el razonamiento.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 163
Ejercicio 179. Aproxime utilizando la fórmula del trapecio compuesta el
área de una finca comprendida entre tres caminos (de longitud 130, 500 y
150 metros respectivamente) y un río que pasa por los siguientes puntos
. x 0 100 200 300 400 500(x e u se miden en metros):
v ’ y 130 120 125 140 140 150
Los caminos son rectos, como se muestra en la figura siguiente:
150 ' 1
100
50
100 200 300 400 500
Solución.- Aplicamos la fórmula compuesta del trapecio en 5 subinterva- La fórmula compuesta del
los, si y = f ( x ) es la curva que describe el cauce del río:
500 f {x)dx « (o0° ~ 0)/- (/0 + 2h + 2/2 + 2/3 + 2/4 + h )
o
= ^ ( 1 3 0 + 2 • 120 + 2 ■ 12 5 + 2 • 140 + 2 • 140 + 150)
= 5 0 • 1 3 3 0 = 6 6 5 0 0 n r .
Ejercicio 180. Aproxime el valor de la integral
I = eos xdx
Jo
aplicando la fórmula compuesta del trapecio en 4 intervalos. Compare
el valor obtenido con el real.
trapecio en n subintervalos
iguales establece que la inte
gral
/ = j /(.rVía
se puede aproximar por
( i - 1
¿(/(«) + f(b) + 2 j 2 h )
k = 1
donde h = - 1 y para k =
1 , . . . ,7i - 1, f k = f ( a + kh).
Solución.- Al dividir el intervalo en 4 partes iguales, resultan los subinter
valos [0, |], [|, |], [ f , ]■ . 7r]. Según la fórmula compuesta del trapecio,
que aparece al margen, tenemos
I = j f ■ ' ■ d x = ^ eos x d x % ( f { 0) + /(tr) + 2 / ^0 + ~
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164 CAPÍTULO 4 / Integral de R iem ann
Ahora calculamos
/(O) = eos0 = 1 , / ( f ) = eos f = L f .
/ ( f ) = / ( f ) = eos f = 0, / ( 4 f ) = eos ^ = - f .
/ ( tt) = COS 7T = — 1.
Entonces, con estos valores, tenemos
Y sustituyendo
1 = ! (/<»> + / w + 2¿ / (°+t)) = i ( = r +0) = °-
El valor obtenido coincide con el valor real de la integral. En la figura
que aparece al margen puede observar el motivo. Aunque el área de cada
trapecio no coincide con el área encerrada por la gráfica, la suma de todos
sí lo hace.
Ejercicio 181. De una función / se conocen los siguientes valores
/( 1) = 40, /(O) = 42, / (l) = 4 1 , / (2) = 42. /(3) = 41.
f 31. Aproxime el valor de / f ( x ) dx utilizando la fórmula del
rectángulo derecho y la fórmula del rectángulo derecho compues
ta.
2. Aproxime el valor de j f ( x ) dx utilizando la fórmula del trapecio
y la fórmula del trapecio compuesta.
3. Aproxime el valor de j f ( x ) dx utilizando la fórmula de Simpson
y la fórmula de Simpson compuesta.
Solución.- El ejercicio consiste en sustituir en las fórmulas correspondien
tes los valores del enunciado. Las fórmulas del trapecio y Simpson se han
utilizado en ejercicios anteriores. La del rectángulo derecho aparece al mar
gen
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E jercicios de C álculo para Ingenieros 165
1. Utilizando la fórmula del rectángulo derecho y la del rectángulo de- La fórmula del réctangulo
recho compuesta resulta derecho establece que la inte
gral
,•3 ,(i
f ( x ) d x « (3 - (—1))/(3) = 4 ■ 41 = 164, / = / /(+,/,-
J aJ -1
y se puede aproximar por
/ « / ( & ) ( & - a ) .
/ ./ i ¿ /(xfc) = 1 • (42 + 41 + 42 + 41) = 166.
fe=i
2. De las fórmulas del trapecio y del trapecio compuesta resulta
/(*)<&: « M + J Í Z 11(3 - ( -1 ) ) = " 1 = 162,
y
^ (b— cl \ / tí
f ( x ) d x « ------ (Extremos + 2 Centrales)
(3 — ( —1))/4
([/( —1) + /(3)] + 2 • [/(O) + /(1) + /(2)])2
= J([40 + 41] + 2 • [42 + 41 + 42]) = 165, 5.
3. Utilizando la fórmula de Simpson y de Simpson compuesta resulta
r f f U / ( - l ) + 4/(3 2 ^ ) + /(3)
/ f\x)dx ~ ------------------ ^ ----------------(3 — (—1))
40 + 4 - 41 + 41
= ----------------------4 ¡=s 163, 33336
y
f { x ) d x ~ * (Extremos + 2 Pares + 4 Impares)
i 6
(3 — ( 1))/4 ( [ / ( - l ) + /(3)] + 2/( 1) +4[/(0) + /(2)])6
= -([40 + 41] + 2 ■ 41 + 4 • [42 + 42]) « 83,166. 6
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166 C a p í t u l o 4 / Integral de R iem ann
Ejercicio 182. ¿Una condición necesaria para la convergencia de la inte-
r 3gral impropia / f ( x ) d x de primera especie es que lím f { x ) = 0?
Solución.- Sí, para que pueda converger la integral impropia su integrando
tiene que tender a 0 cuando x tiende a — oc.
O
Recordemos que
Solución.- Sabemos que la integral impropia del enunciado se define como
f f ( .r )d :r= lím í f (x )dx . roe
/ Xt ,1.v = l ím /lo
J 0 c J o
M
y que debemos calcular el límite para saber si es convergente (el límite es un
número) o divergente. Si es convergente el límite es el valor de la integral
impropia.
Integrando y operando resulta
jo
fM
lím / xe~x dx
M~> °c Jf0
"l e - A/2'
lím
2 2
A/—> oc 2
1
2'
M
Por lo tanto, la integral impropia es convergente y su valor es l¿.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 167
r n
Ejercicio 184. Para la sucesión de término general a n = / cos(27rx)dx:
Jo
1. Compruebe que la sucesión converge a cero, es decir, se verifica
rn
lím / cos(27Tx)dx = 0.«-►OO J 0
roo
2. ¿Garantiza el apartado anterior que / cus(2nx)dx es convergen-
J o
Solución.- Resolvamos los apartados propuestos.
Este ejercicio aclara que el
1. Para comprobar la igualdad que nos da el enunciado, no tenemos más límite que define las integra
que calcular el límite que aparece en dicha igualdad:
sen(27rx)
les impropias de primera es
pecie es el de una función,
lím an = lím / cos(27r.r)dx = lím
n->oo n—¥oc J q n—>oc 27T
= lím = lím 0 = 0.
n —> oo 27T n —>oc
2. Pese a tenerse, como hemos visto, que
f n
lím / cos(2TTx)dx = 0n—>o° J q
la integral impropia
F ( M )
rU
/ fi'X
J 0
)dx
con M £ R , y no de una su
cesión,
a ti = / / (x)dx
./o
con n £ N.
Jo
coa(2nx)dx
no es convergente porque ni tan siquiera cumple la condición nece
saria de convergencia que exige que la función integrando tienda a
0 cuando x tiende a infinito. Aunque no viésemos que la condición
necesaria para la convergencia no se cumple, también es sencillo ver
que la integral impropia no es convergente puesto que el valor de
sen(2 ttM )
/ cos(27r.r)f/.r = ----- ^ -
Jo 2tt
oscila, al hacer tender M a infinito, continuamente entre —1 y 1.
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168 C a p ít u l o 4 / Integral de R iem ann
Ejercicio 185. ¿En una integral impropia de segunda especie el intervalo
de integración está acotado?
Solución.- Sí. Las integrales impropias de segunda especie se definen en
intervalos acotados [«, /;] en los que la función a integrar no está acotada,
aunque es continua en (a, b] o [a, b).
Ejercicio 186. Utilizando la definición calcule la integral impropia
fJ o
ln x dx.
Solución.- La función logaritmo neperiano está definida y es continua en
(0,1] pero no es acotada puesto que
lím ln.r = —oc.
.r—> 0
Por lo tanto, estamos ante una integral impropia de segunda especie. La
definición de integral impropia de segunda especie establece que
r*l í‘ 1
ln x dx = lím / ln x dx.
1
Utilizando integración por partes se puedo comprobar, si lo necesita
véalo en el libro Cálculo para ingenieros, que una primitiva de ln x es x ln(x) —
x. Por lo tanto,
1 f 1lnx dx = lím / lna; dx = lím xln(x) — x[ = lím (—1 — cln(c) + c)
(I c->0+ J c c—> U~
ln c i= —1 — lím c inc = —1 — lím — = — 1 — lím -^r
c—^ 0+ c—>0+ - C^0+ —¡Tc cz
= —1 - lím (—c) = - 1 .
c—>0+
en donde para el cálculo del límite
lím
ln c
ex 0 i -
C
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 169
hemos utilizado la Regla de L'Hópital.
Por lo tanto, la integral impropia converge y su valor es —1.
Ejercicio 187. Utilice el criterio de comparación mediante límite (y la pista
al margen) para estudiar si son convergentes o divergentes las integrales
impropias
roo -i roo
i W T T ) i x y l ^ i z -
roe l
Solución.- Comencemos con / — ---------dx.J i ln(x + 1)
El criterio de comparación mediante límite establece que debemos cal
cular el límite
lím R7TTTg(x)
en donde g es una función de la que conocemos el carácter de su inte
gral impropia /' x g(x)dx. Tal y como nos sugiere el enunciado utilizaremos
g(x) = -j; y si el criterio no decide g(x) = X.
Para g(x) = - tenemos
lím = lím 'rx too g(x) x too ln(x + 1)
y aplicando L'Hópital resulta
x i
lím -—- = lím —¡— = ao.
2:-too ln (x + 1) 2 -too —L_
Como el límite resulta ser infinito y la anterior nota al margen nos in
formó de que ~ es divergente, el criterio establece que
r o e ^
dxh ln(x + 1)
es divergente y hemos terminado el estudio de la primera integral impro
pia.
Ahora pasemos a estudiar j
OO
e~'2 dx.
Para cualquier a > O, la inte
gral impropia
es divergente y la integral im
propia
r°° dx
Ja
es convergente.
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170 CAPÍTULO 4 / Integral de Riem ann
Para g(x) = - tenemos
- X 2 — r 2
lim — — = lim —t— = lim —jx—>00 g[x) x—20c ~ x—>00 g-2-'
y aplicando L'Hópital resulta
x 1
lim —j = lurr t = 0-
x —>oc c x x — y o c 2>xex
Como el límite es 0 y f es divergente el criterio no nos da informa
ción.
Probemos con g(x) = -4. En este caso tenemos
,.2 _ ,.2g ^ g x ^2
lím ——- = lím —— = lím —-x—>00 g(x) x-7-oc -L x—>00 gX-
y aplicando L'Hópital resulta
x2 2a- „ 1lim —x = lim r = lim —T = 0.
x —^ 0 0 g-T x —^OC 2 x e J: X-+OC £x~
Como el límite es 0 y 4§ es convergente, el criterio establece que
r o e
( ■' dx
es convergente.
Ejercicio 188. Calcule
/' cosn + sen(nx) ,
huí / dx.
Í 1 - 4 3C / 9 X n
Solución.- Para calcular el límite podríamos intentar calcular para cada u
el valor de la integral
f 3 eos n + sen(nx)
-dx
x “
y después tratar de averiguar si la sucesión que definen esos valores con
verge y a qué límite. Ese camino parece complicado, vale la pena que lo
intente para ver si de verdad lo es.
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 171
En lugar del camino anterior, para el cálculo del límite utilizaremos el
resultado que aparece al margen y que establece que para las sucesiones
uniformemente convergentes de funciones continuas se pueden intercam
biar el orden de integración y paso al límite sin afectar al resultado.
Las funciones f n : [2. 3] —f R , dadas por Recuerde que si /„ > / uni
formemente en [a ,b], entón
eos n + sen ( n i ) ces
X'
son continuas por ser cociente de funciones elementales con denominador
distinto de 0 en todo el dominio.
Para utilizar el resultado que aparece al margen necesitamos estudiar
la convergencia uniforme. Como es habitual, comenzamos con la puntual.
Para cualquier x G [2,3] se tiene
cosn + sen(rax)
lim ---------------------- = ü.
/ lím fn = lím I fu.
Ja n^°° ” ' ' ./,•
donde f n : [a, 6] —» IR sor
funciones continuas.
por tratarse el límite de un producto de dos sucesiones, una acotada {eos n+
sen(nx)}, y otra convergente a cero { l / x 11}. Por lo tanto la sucesión funcio
nal f n converge puntualmente a la función idénticamentenula en [2. 3].
La convergencia uniforme depende del valor de
lím sup
" ' ' .re [2.3]
eos n + sen(nx)
- 0
Como 2" < xn < 3" y - 2 < cosn + se n (nx) < 2 para x G [2, 3], se tiene
eos n + sen(r¿;r) 2< lím = 0
//--:■ gx.. 2"lím sup"~>00.rt |2.:¡]
y podemos garantizar que la convergencia es uniforme.
Por lo tanto,
lím
eos n + sen(nx)
dx =
á eos n + sen(n.r)
lim ---------------------- dx
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172 C a p ít u l o 4 / Integral de R iem ann
Ejercicio 189. Dada la sucesión funcional {/„} donde f n(x) = cos(nx),
r2n
x 6 [0,27r], ¿puede existir lím / f n(x)dx pese a no ser uniformementen—>°o J q
convergente {/„}?
Solución.- La respuesta es afirmativa y la mejor forma de verlo es calculan
do el límite que aparece en el enunciado
27T r 27T / _____ \ 27T
lím I f n(x)dx = lím / eos(nx)dx = lím sen(n'1)
n—>oc J q n—»oc J q n—>oo TI
Por lo tanto, la sucesión de números reales
= lím 0 = 0.n—*oo
r2n
/ fn{x)da
Jo
converge a cero. Pese a que la sucesión funcional no converge ni uniforme
ni puntualmente en el intervalor [0,2n). Para comprobar este hecho basta
tomar xo = tt/2 y obervar que la sucesión
{fn(xo )} = {c o s (n x o ) } = {0, -1.0.1,0.... }
no es convergente.
Solución.- Utilizando el criterio del cociente no es complicado comprobar
que la serie de potencias
E 7 1nin=0
tiene radio de convergencia oo. Por lo tanto, podemos encontar una primi
tiva en todo M integrando término a término la serie:
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 173
f ( x ) d x = j dx + I - x 1dx + --- + J —^ x"dx + • • •
x~ 22 x 3 2V x n+l
■ A' + - y + 2 ! ¥ + ' " + 7 d ^ n + ' "
1 °° o n + l i 30 o n i
= k + - y — ~ x ^ x = k + - y = k +-/(.,•).9 2 U Cn 4 - 1 1 ! 9 n ! 9 -' v >^ ( « + ! ) ! 2
7 1=0
También podríamos haber hecho el mismo cálculo de forma más com
pacta del modo siguiente
30 -• nn, 'x ' on
■" ’ ' x Z -x"+1f ( x )dx y / i 'r" '/-r ■ Y
71=0 ’
1 °° o ^ + l i °° o n i
k + - Y ~r~ 7U' + 1 = fe + - V = k + - f (x )9 4 U „ 4 - 1 ! 9 „ ! 92 U - (/; + I )!* 2
71 = 1
II
71 = 0
El resultado que hemos obtenido nos paracerá del todo natural si recor
damos que
y por lo tanto
OO rx
n\
71=0
f , rl = y < d f = x
n=o
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174 C A P Í T U L O 4 / Integral de Riemann
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5 F u n c i o n e s d e v a r i a s v a r i a b l e s
En el módulo "Funciones de varias variables" el espacio protagonista de
ja de ser R para pasarle el testigo a RTi. Para poder estudiar las funciones
con dominio en Rri y valores en R se hace necesario conocer algunas de las
operaciones que se pueden definir en R™ y sus propiedades. Aumentar la
dimensión añade dificultades al estudio de límites, pero se buscan formas
de reducir su estudio al caso unidimensional mediante, por ejemplo, cam
bios de coordenadas. Las derivadas parciales y el gradiente que se define a
partir de ellas son muy importantes, aunque no llegan a jugar el papel de
la derivada para una función de una variable (su existencia no garantiza
la posibilidad de contar con una aproximación lineal local de la función,
es decir, la diferenciabilidad, como se ve en el módulo siguiente). Por últi
mo, se estudian las derivadas direccionales que generalizan el concepto de
derivada parcial a cualquier dirección.
Recuerde...
■ El ángulo entre dos vectores se define a través del valor del coseno de
dicho ángulo, que a su vez se define utilizando el producto escalar y
la norma.
■ Intuitivamente, un punto interior a un conjunto está rodeado comple
tamente por elementos del conjunto y sólo por este tipo de elementos.
Un punto frontera a un conjunto está rodeado tanto por elementos del
conjunto como por elementos de fuera de él.
■ Las curvas de nivel se representan en el espacio que contiene al do
minio de la función y se corresponden con proyecciones sobre dicho
espacio de ciertas secciones de la gráfica de la función.
■ El concepto de continuidad es el mismo que para funciones de una
variable.
■ El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
■ A partir del gradiente es posible calcular derivadas direccionales si se
dan ciertas condiciones.
175
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176 C a p ít u l o 5 / Funciones de varias variables
Ejercicios
Ejercicio 191. ¿Se pueden multiplicar escalarmente tres vectores? ¿Y un
vector de R 2 con uno de R 3?
Recuerde que el producto es- Solución.- La respuesta a ambas preguntas es no. El producto escalar es
calar entre ü y v de Kn es una operación entre dos vectores del mismo espacio cuyo resultado es un
escalar, es decir, un número.
U ■ V = ^ UiVi
I- I
con m y Vi las componentes
de ü y r.
Ejercicio 192. ¿El vector (ü ■ v)w, con ü, v, w € R n verifica:
a) Es nulo o paralelo al vector w.
b) Es nulo o paralelo al vector v.
c) Es nulo o paralelo al vector ü.
d) Esa expresión no da lugar a un vector.
Recuerde que
O P = 0
y
A O = 0 .
Solución.- La opción válida es a).
La expresión (ü ■ v)w contiene dos productos: un producto escalar entre
los vectores ü y v que da lugar a un número u ■ v ; y un producto entre ese
número y el vector w.
Por lo tanto, si w es el vector 0 o ü ■ v = 0 obtendríamos el vector nulo.
En otro caso obtendríamos un vector no nulo de la forma Aiv, con A = ü ■ v,
que es paralelo a w.
Ejercicio 193. ¿Son ortogonales los vectores (0,1,2) y (—3, —4,2)?
Solución.- El producto escalar de estos vectores es:
Recuerde que dos vectores
son ortogonales si su produc- , , ^
to escalar es (». (0- 1 ■ 2 ) ' ( “ 3 , - 4 . 2 ) = 0 • ( - 3 ) + 1 • ( - 4 ) + 2 • 2 = 0 - 4 + 4 = 0.
luego los vectores son ortogonales.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 177
Ejercicio 194. Dados u — (—1 .1) y v = (2 ,3):
1. Calcule ü + v, ||ü||, ||w|| y ||ü + v||. ¿Se cumple ||ü|| + ||ü|| = \\ü + ü||?
Compruebe que se cumple la desigualdad triangular.
2. Calcule 3ü y ||3tt||. ¿Se cumple ||3«|| = 3 ||ü||?
3. Represente gráficamente u, v, ü + v y 3ü.
Solución.-
1. Tenemos:
ü + v = ( - 1 , 1 ) + (2. 3) = ( - 1 + 2,1 + 3) = (1,4) .
= \ / M ) 2 + l 2 = 72,
\\v\\ = \J22 + 32 = \/l3,
|ü + t’|| = \/l2 + 42 = \/Í7.
Como:
x/2+ n/13 + vTr
no se cumple |M| + 1|l>|| = 111¿ + 11. Pero esto no contradice la desigual- Recuerde que la desigualdad
dad triangular que aparece al margen y que vamos a comprobar que triangular establece
se cumple | j , ( ( _ | _ < y , ¿ y _ j _ | | ( , | j ^
V l7 « 4,12 < 5,02 ss ^2 + Vl3.
2. Multiplicamos:
3ü = 3 (—1,1) = ( - 3 , 3 ) ,
||3ü|| = \J (—3)2 + 32 = V18 = 3V2.
Y utilizando el valor de \\u\\ calculado en el apartado anterior obte
nemos que se verifica ||3u|| = 3 ||ü||.
3. Su representación gráfica aparece en la figura siguiente.
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178 CAPÍTULO 5 / Fu n cion es de varias variables
Recordemos que un punto
pertenece a la frontera de
un conjunto si cualquier bola
centrada en ese punto inter
seca al conjunto y a su com
plementario.
Ejercicio 195. Dado el conjunto { (x ,y ) E R 2 : x 2 + y2 < 4} se pide:
1. Representarlo gráficamente.
2. Calcular y representar su frontera.
3. Razonar si es un conjunto abierto o cerrado.
Solución.-
1 Sabemos que x2 + y2 es la ecuación de una circunferencia de
radio r y centro (0,0). Nuestro conjunto contiene los puntos de K que
están en la circunferencia de radio 2, pero también los que están en
circunferencias de radios menores que 2. Por tanto, nuestro conjunto
es el círculo de la figura siguiente.
- 2
- 2
2. A la vista de la definición que aparece al margen, gráficamenteob-
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 179
servamos que los únicos puntos que tienen esa propiedad son los del
borde del círculo, es decir, los de la circunferencia {(x. y) : x 2 + y2 =
4}. Por ejemplo, (\/2. \/2) y (2,0) son puntos pertenecientes a la fron
tera.
3. Es un conjunto cerrado, porque contiene a su frontera.
Ejercicio 196. Dados u = ( - 1 . 1 ) y v = (2.3):
1. Expresar f/.en coordenadas polares.
2. Determinar el ángulo que forman ü y v.
Solución.-
1. Para encontrar las coordenadas polares de u hacemos
p = IMI = v (_ 1 )2 + l 2 = ^2,
t g 0 = — = - 1 .
Recuerde que las coordena
das polares y cartesianas se
relacionan mediante
p = \J x- + y2.
t g 0 = y / . r .
Como x < 0 e y > 0, entonces 0 = Las coordenadas polares de u Recuerde que el ángulo que
son (v/2. ). forman dos vectores u .c no
nulos viene dado por
2. El ángulo a que forman u y v se determina a partir del producto es
calar utilizando la fórmula que aparece al margen:
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180 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
ü - v = ( - 1 , 1 ) • (2,3) = - 2 + 3 = 1.
ü ■ v 1eos a = . . . . ,__
I N I IM I s /2 y /v ¿
=> a = árceos ■ , ~ 1.3734 radianes.
Ejercicio 197. Calcule las coordenadas cilindricas del punto (1.1,1) da
do en coordenadas cartesianas.
Solución.- Utilizando las ecuaciones que relacionan las coordenadas cilín-
Recuerde que las coordena- dricas y cartesianas que aparecen al margen resulta que las coordenadas
das cilindricas y cartesianas cilindricas del punto son
se relacionan mediante
= v7-1'2 + y2
gV = v/x.
= V/2, 7r
4 '
Ejercicio 198. 1. Dado (1.2, — 1) en coordenadas cartesianas, deter
mínense sus coordenas cilindricas y esféricas.
2. Dado (1, m, 0) en coordenadas cilindricas, determínense sus coor
denadas cartesianas.
3. Dado (l, f , 0) en coordenadas esféricas, determínense sus coorde
nadas cartesianas.
Solución.-
1. Las coordenadas cilindricas de (1,2, —1) son:
p = \A'2 + V1 = V -^2 + 22 = V7?).
tg0 = - = j = 2. x 1
2 = - 1 .
Como x e y son positivos, entonces 9 e [0.7r/2], Por el valor de la
tangente, el ángulo es 9 = arctan2 « 1,1071 radianes.
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E jercicios de C álculo para In gen ieros 181
Calculamos ahora las coordenadas esféricas:
p = \/.v2 + y2 + :- = \J Y1 + 22 + (1 )¿ = \/6.
0 = arctan2 = 1,1071 radianes,
z — 1
p = are sen — . = are sen —= ss -0,4205 radianes.
V7./''-2 + i/2 + P /6
2. Si (1, 7t, 0) son coordenadas cilindricas, entonces las cartesianas son
x = p eos 0 = 1 eos n = — 1,
y = p sen 0 = 1 sen 7r = 0,
3 = 0 .
Las coordenadas cartesianas son (—1,0,0).
3. Según el cambio de coordenadas esféricas a cartesianas tenemos:
7r
.r = ¡) eos ip eos 0 = 1 eos 0 eos — = 0,
7T
y = p eos p sen 0 = 1 eos 0 sen — = 1.
z = p sen p = 1 sen 0 = 0.
Luego las coordenadas cartesianas son (0.1,0) .
Recuerde que las coordena
das cartesianas y esféricas se
reacionan mediante
p eos V5eos 0,
p eos ¥ sen 0.
psen p'
Ejercicio 199. La ley de los gases ideales describe la relación entre la
presión P, la temperatura T y el volumen V de un gas ideal, como P V =
nRT, donde n es el número de moles de gas y R = 0,082at • 1/K • mol es
la constante universal de los gases ideales. Podemos escribir la presión
del gas (en atmósferas) como función de las variables T (en Kelvin) y V
(en litros), para V > 0, como
P ( T ,V ) =
n R T
V
¿Cuál es el valor de P ( 273,2) si n = 0,1 y qué significa?
Solución.- Es la presión de 0,1 moles del gas ideal ocupando un volumen
de 2 litros a una temperatura de 273 Kelvin (aproximadamente, 0 °C):
x 0.1 • 0,082 • 273
P(273,2) = = 1,1193 atmósferas.
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182 CAPÍTULO 5 / Funciones de varias variables
Ejercicio 200. Con los datos del ejercicio anterior:
1. Reformule la siguiente pregunta y contéstela: "¿para qué valor de
T se cumple P(T, 2) = 1?"
2. ¿Qué significado tiene la función P(T, 2)? Describa cómo se com
porta esta función.
3. ¿Qué significado tiene la función P ( 273, V)? Describa cómo se
comporta esta función.
4. Represente la curva de nivel P{T. V ) = 1. ¿Qué verifican los ele
mentos de esta curva?
Solución.-
1 La pregunta planteada se puede reformular como "¿Cuál es la tem
peratura en Kelvin de un gas ideal si 0,1 moles ocupan un volumen
de 2 litros a la presión de 1 atmósfera?" Para contestar, hacemos:
= <n - a 0 8 2 - r = i r = * = 243,9 K .
v 2 0,1-0,082
2. La función P(T, 2) es la presión que ejercen 0,1 moles de gas ideal
ocupando 2 litros, en función de la temperatura. Viene dada por
P(T. 2) =
0,1- 0,082 -T 0,1-0,082
2 “ “ 2
T = 0,0041 • T.
Y observamos que tiene carácter lineal: es una recta que pasa por el
origen. Debido a esto, para volumen fijo, la presión es proporcional a
la temperatura. Su representación gráfica para T > 0 se representa a
continuación.
'Presión (at.)
2 ■ P(T. 2)
1
Temp. (K)
100 200 :soo 400
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E jercicios de C álculo para Ingenieros 183
3. La función P { 273. V) es la presión en atmósferas que ejercen, a tem
peratura 273 Kelvin, 0,1 moles de gas ideal según el volumen V que
ocupan (en litros):
0.1 • 0.082 ■ 273 2.2386
P { 273, V) =
V V
Esta función es decreciente para V E (0. oo) y tiende a 0 si el volumen
tiende a oc (es decir, el gas ejerce muy poca presión si el volumen es
muy grande) y tiende a oc si el volumen tiende a 0, que significa que
el gas ejerce mucha presión si el volumen tiende a 0.
Presión (at.)
P ( T , 2)
Yol. (1)
4. En este caso, la gráfica es una recta, porque la relación es
0.1 • 0.082 ■ T
~ C '
Se muestra en la siguiente figura que representa los pares de valores
(temperatura, volumen) que dan lugar a una presión de 1 atmósfera
para 0,1 moles de gas ideal.
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184 CAPÍTULO 5 / Funciones de varias variables
Ejercicio 201. Indique la opción correcta sobre la gráfica de /: D C
R2 —> R:
a) Es un conjunto de R. b) Es un conjunto de R2.
c) Es un conjunto de R 3. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La opción correcta es c). La gráfica de la función de dos variables
f es el conjunto
{ (x .y .z ) : (x . i j ) € D ,z = f ( x , y ) } C R 3.
Ejercicio 202. ¿Puede tener la gráfica de una función
f : D C K 2 - > 1
forma de balón?
Solución.- La respuesta es no. El motivo es el mismo que hace que la gráfica
de una función de I en M no pueda ser una circunferencia: la función no
estaría bien definida porque asignaría imágenes distintas al mismo punto.
Ejercicio 203. Calcule el dominio y la imagen de la función dada por
f ( x , y, z ) = cos(xz + ln y).
Solución.- El dominio está formado por los puntos (x.y. z) de R á en los
que la expresión del enunciado tiene sentido. Dado que el coseno está defi
nido para cualquier valor, tan sólo tendremos problemas en los puntos que
hagan imposible evaluar al logaritmo neperiano, es decir, los puntos con
segunda componente nula o negativa. Por lo tanto, el dominio de / es
D = { (x .y .z ) : y > 0}.
La imagen está formada por los puntos de R que son imagen de algún
punto del dominio de la función. Observamos que la función viene definida
por el coseno de una expresión. Por lo tanto, tomará, como mucho, valores
entre —1 y 1. Como además, si nos restringimos a los puntos del dominio
de la forma (x, 1,1), su imágen coincide con el intervalo [—1,1], concluimos
que la imagen de / es el intervalo [—1,1],
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 185
Ejercicio 204. Determine las curvas de nivel de la función / dadapor
v2f ( x , y ) = x 2 - + 8 .
¿Qué tipo de curvas son?
Solución.- A la vista de la nota al m
ecuación
■2 y2x ------
3
para C constante. Entonces, son curv
7/2
X2 - \ = C - 8
ó
Estas curvas son hipérbolas y ap
para los valores C' = 0.25 (gris), C =
tinuo).
2
argén, las curvas de nivel tienen por
+ 8 = C,
is que verifican:
ir
<* ->'2 - \ = c ' .ó
arecen representadas a continuación
1,5 (azul) y C' = —1,5 (trazo discon-
/
- 3 - 2 -1
2
1 2 3
Ejercicio 205. Determine las curvas de nivel de la función / dada por
f ( x , y) = x 2 — y. ¿Qué tipo de curvas son?
Solución.- Las curvas de nivel vienen dadas por
x2 - y = C, C G R.
Recuerde que las curvas de
nivel de una función / de dos
variables vienen dadas por
./’(•'% ?/) = c
con C £ IR.
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186 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
Por lo tanto, las curvas de nivel son la familia de parábolas y = x 2 — C
que dibujamos a continuación.
\
- 3 - 2 - 1 1 2 3
-2
o
Recuerde que al realizar
operaciones agrupadas
con paréntesis anidados
(((■)))/ debe empezar por las
operaciones en los paréntesis
interiores.
Al no coincidir podemos afirmar que el límite no existe.
Ejercicio 206. Estudie si existe el límite siguiente
2 , 3x 2 + y ó
lim
(s,y)-K0,0) x A + y
Solución.- Calculemos los límites reiterados:
lím (lím AUti’) = h'm (C) - Km l - í .
>0 \ y ^ 0 x + y ) i —>0 \ X 2 J n 0
lím (lim P y ) = Í 4 Í = Km !/= 0-y—ro y r—o x -r y2 J y->o \ y ¿ J ?y-+o
Ejercicio 207. Razone si es cierto que una función /: D C R 2 —>• K tiene
límite en (xo,yo) G M2 si los límites reiterados existen y coinciden, es
decir, si:
lím ( lím / (x, y) ) = lím ( lím f ( x , y )
y->yo J x->ao \y-tyo /
Solución.- No es cierto. Esta condición debe cumplirse si existe límite, pero
no asegura su existencia (es decir, es condición necesaria, pero no es sufi
ciente).
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 187
Ejercicio 208. Para las funciones dadas por las siguientes expresiones,
determine su dominio y estudie cuáles son continuas:
f { x , y ) = y sen(x2 + 1), g (x ,y ) = T> >'{*■{/) =3 + x + y^
Solución.- El dominio de / es R 2, porque y, x2 + 1 y el seno están definidas
para cualquier valor.
La función seno es continua. También lo son:
{x, y) -> x2 + i,
(xxy) -> y.
por ser polinomios. La función dada por sen(.x2 + 1) es continua por ser
composición de funciones continuas. Por tanto, / es continua porque es
producto de las funciones continuas sen(x2 + 1) e y.
Pasemos a considerar la función g. Se cumple que 3 + x2y2 > 0 y 3 +
x2 + y4 > 0 para cualquier (x, y) G M2. Por eso, existe siempre el logaritmo
neperiano de 3 + x 2y2 y se puede dividir entre 3 + x 2 + y4. El dominio de g
es R 2.
Como x2y2 y 3 + :r2 + y4 son funciones continuas porque son polinomios
y el logaritmo neperiano es una función continua, entonces g también lo es
(es composición y cociente de funciones continuas). Hemos terminado el
estudio de g.
Para saber dónde está definida h , tenemos que estudiar el signo de x 2y:
si es mayor o igual que 0, está definida y en caso contrario, no lo está. Como
X2 > 0, el dominio de h es:
D = {{xxy) G R 2 : y > 0}.
Por otro lado, la función dada por x2y es continua y también lo es la
función raíz cuadrada. Entonces h es continua en su dominio.
Recuerde que la suma, pro
ducto y división de funcio
nes continuas es continua en
su dominio de definición. Por
otro lado, las funciones de
finidas a partir de funcio
nes elementales mediante las
operaciones anteriores y la
composición son continuas.
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188 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
O
Ejercicio 209. Para la función / dada por
si (x,y) + (0 ,0) ,
1» si (x, y) = (0 ,0) ,
estudie si es continua en R2.
Solución.-En R2\ {(0 ,0)}, f es una función continua al ser suma, producto,
cociente y composición de funciones continuas definidas en un conjunto
donde no se anula el denominador.
Recuerde que / es continua E l problema puede estar en ( 0 ,0 ) . Para estudiar la continuidad en este
en ("• b) si punto, hacemos un cambio a coordenadas polares:
lím /(■!■■ .y) = /(fl. b).
( x . y ) - t ( a . b )
lím f ( x , y ) = lím (x2 + y2) Isen
(x.y)->(0,0) x¿ + y¿
= lím (p2 eos2 6 + p2 sen2 9) sen
p—>o p2 eos2 9 + p2 sen2 6
1
= lím p sen — = 0 ,o r
Recuerde que la relación en- ya cque sen \ está acotado entre — 1 y 1 y p2 tiende a 0 al hacer tender p a 0.
tre coordenadas polares y pQr tanto, podemos afirmar que / es una función continua en M2 .
cartesianas viene dada por
x = p eos 6,
y = p señé?.
Y que se verifica
eos2 tí + sen2 0 = 1
El límite
lím f ( x .u )
(x,y)->( 0,0)
también se puede resolver utilizando que sen yoqryr está acotado y que
lím (x2 + y2) = 0 .
(X,y)-K0,0)
Por lo tanto, estamos ante el límite de un producto de funciones una de
las cuales tiende a 0 y la otra está acotada, y sabemos que los límites de ese
tipo tienden a 0 .
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 189
Ejercicio 210. Estudie la continuidad en el origen de la función / dada
por
f ( x , y ) = { x
0 , x = 0 .
Solución.- Para que / sea continua en (0,0) se debe cumplir que
lím fU'.y) = /(0 . 0 ) = 0 .
( .r .y )-> (0 ,0 )
Calculamos el límite a través del haz de rectas de vértice el origen: y =
mx con m G R (salvo el eje y, de ecuación x = 0)
y 2 ( m x ) 2lím f ( x . y ) = lím — = lím = lím m x = 0 .
x —>0 ' x —>0 x —>0 ./• X — 0
y = m x y = m x
Si tendemos a través del eje y al (0,0), el límite también es 0
lím f ( x , y ) = lím /(0 , y ) = lím 0 = 0 .y—til ' ymO ym0
x = 0
Luego este cálculo no nos permite asegurar que no es continua (ni tam
poco que lo es).
El hecho de que en el numerador tengamos y 2 y en el denominador
x , sugiere intentar otro camino. Calculamos ahora el límite tendiendo al
origen a través de la curva x = y 2
u2
lím f ( x , y ) = lím /(y2, y) = lím = lím 1 = 1 ^ 0y-¥I) y- >0 ym0 y¿ ymi)
x = y 2
y podemos asegurar que / no es continua en (0 , 0 ).
Ejercicio 211. Estudie la continuidad de la función del ejercicio anterior
suponiendo que su dominio es D = {(x . y) g R 2 : |y| < x < 1}.
Solución.- En D \ { (0 ,0 )} la función es continua, porque es cociente de
funciones continuas y no se anula el denominador.
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190 C a p ít u l o 5 / Funciones de varías variables
Figura 5.1
En la región D (representada en la Figura 5.1) se cumple que 0 < I//I < -r
y por tanto:
i j -
0 < f { x , y ) = — < x.x
Aplicando la regla del emparedado, resulta:
0 < lím f (x .y ) < lím x = 0
(*.j,)-río,o)'
11
lím y ) = 0 = /(0 , 0 ).
Recuerde que esto ya ocurría Por eso, / es continua en todo su dominio D y en particular en (0,0).
para funciones f : D c R -> s e debe tener en cuenta, como se ha mostrado en este ejercicio, que una
Por ejemplo, función puede ser discontinua en un punto y una restricción del dominio
0, x < 0, hacer que la función sea continua en este punto.
1, :r > ü,
no es continua en 0, pero
f\[0.->c sí-
Ejercicio 212. El gradiente en (ir, 1,0), V / (ir, 1,0), de una función de tres
variables de existir verifica:
a) Es un número. b) Es un vector.
c) Es la suma de todas las derivadas parciales en el punto (ir, 1,0).
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- El gradiente de una función de n variables en un punto de su
dominio, de existir, es un vector con n componentes. Cada componente i
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 191
del gradiente coincide con el valorde la derivada parcial con respecto a la
variable que ocupa la posición i. Por lo tanto, la opción correcta es b).
La suma de las derivadas parciales en un punto, es un número que re
cibe el nombre de divergencia de la función en ese punto (cuyo estudio se
escapa a los objetivos de este curso) y no debe confundirse con el gradiente.
f yEjercicio 213. Sea la / fundón dada por f ( x . y ) = x / sesds para
(j\ y) € K x (0 . oo).
1. Utilizando el teorema fundamental del cálculo integral calcule el
gradiente de / en un punto arbitrario.
2. Sabiendo que la integral I — J'y sesds se puede calcular por partes
resultando / 1 + (y — l ) e y, vuelva a calcular el gradiente de / sin
utilizar el teorema fundamental del cálculo integral.
Solución.-
1. Sin más que derivar y recordando que una integral definida es un
número tenemos que
Por otro lado, utilizando el teorema fundamental del cálculo integral
tenemos que
Qf t >
Por lo tanto,
— { . r ,y )= xyev
V/(.r. y) = ( f .seSds. xyc").
J o
2 . Sustituyendo el valor facilitado en el enunciado de la integral que
aparece en la expresión que define a f y derivando resulta
V/(.r. y) = (1 + (y - 1 )ey .x y e y).
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192 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
Ejercicio 214. Calcule el gradiente de la función dada por
f ( x . y) — y tg ex + cos2(x + y)
en el punto (0 , 0).
Solución.- El gradiente es el vector formado por las derivadas parciales.
Derivando con respecto a la variable x (recuerde que la variable y se con
sidera una constante y se deriva con respecto a la variable x siguiendo las
reglas habituales) resulta:
- — 2 c o s ( . t + y ) sen (.x + y ) .
Of
— (x.y) = y e - ax eos- ('■'
Derivando con respecto a la variable y resulta
q y
-r-(x . y) = tge'r — 2 cos(x + y) sen(x + y).
Oy
Evaluando ahora en (0 . 0 ), es decir, haciendo x = 0 e y = 0 resulta que
el gradiente pedido es
v / ( o . o ) = ( § ^ ° - ü)- § f ((J- ° ) ) = ( ^ t s 1 )-
Recuerde que, si exis
te |¿(a,fe), el vector
(1 .0 , yL(aJ))) es un vector
director de ln recta tangente
a la curva intersección
del plano y = b con la
gráfica de / en el punto
( a .b . f ( a . b ) ) . Mientras que,
si existe el vector
(0 ,1 , § ¿ (a ,6 )) es un vector
director de la recta tangente
a la curva intersección del
plano x = a con la gráfica de
/ en el punto (a. b, f ( a . b)).
Ejercicio 215. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva inter
sección del plano x = 1 con la gráfica de la función dada por f ( x , y) —
x ‘ + y en el punto (1. 2, 5).
Solución.- En primer lugar fijémonos en que, como /(1,2) = 5, el punto
(1, 2 ,5) efectivamente pertenece a la gráfica de /.
Para calcular la ecuación de la recta necesitamos un punto por el que
pasa y un vector director. El punto nos lo da el enunciado y el vector direc
tor la interpretación geométrica que hemos dado a las derivadas parciales
y que aparece al margen.
Como nos piden la ecuación de la recta tangente a la curva intersección
del plano :/• = 1 con la gráfica de la función en el punto (1 ,2 ,5) debemos
calcular ~ (1 ,2 ) . Derivando
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 193
z
Figura 5.2: Superficie z = x2 + y2 y curva intersección con plano x = 1.
y evaluando en (1,2) resulta
^ ( 1 , 2 ) = 4 . dy
Por lo tanto, un vector director de la recta tangente es (0,1,4) y la ecua
ción de la recta tangente en forma paramétrica es
(%,y,z) = (1,2,5) + A(0,1,4), A e l .
Ejercicio 216. Calcule el gradiente en (2,3) de la función dada por
f ( x , y ) = \n(xy).
Solución.- Derivando resulta
V/(s,y)= ( X - ) =\xy x y j \x y
Y sin más que sustituir obtenemos que el gradiente buscado es
V / ( 2 . 3 , = ( i l ) .
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194 C a p ít u l o 5 / Funciones de varias variables
Ejercicio 217. Calcule los puntos de M3 en los que se anula el gradiente
de / dada por f ( x , y, z) = x 2 + y3 + z2 — 2z.
Solución.- El gradiente será nulo si todas sus componentes son cero.
Derivando resulta que las derivadas parciales de la función / son
d f , , 9 d f— (x .y .z ) = 2x. —
¿te ay
(.r. y. z) = 3y2.
Oz
(x. y. z ) = 2z — 2 .
Por lo tanto, para que se anule la primera componente del gradiente es
necesario que x sea 0, para que se anule la segunda que y sea 0 y para que
se anule la tercera que ~ sea 1. Como se deben dar las tres condiciones a la
vez, resulta que el único punto en el que se verifica V f ( x . y . z ) = Ó es el
(0 . 0 . 1).
• ) p • \ p
Ejercicio 218. Calcular las funciones derivadas parciales — y — , dón
ete ay
de /: es la función definida por
2 si (x, y) ± (0 . 0 ).
i ’2 y2
/ Ote y) = x ¿ + yz
0 si (x. y) = (0 , 0 ).
Solución.- En los puntos (x. y ) ^ (0.0), la función es un cociente de poli
nomios, por lo que se pueden aplicar las reglas de la derivación
df_ _ (x2 + y2) 2xy2 - x2y22x _ 2.ry4
dx 1 (x2 + y2)1 (x2 + y2)2
d f (x2 + y2) 2x2y - x2y22y 2x 'y
—— .r. y) = ---------------------- -^--------- = tt.
dy i | y2) (x2 + y2Y1
Para saber si las derivadas parciales en el origen están definidas y en su
caso conocer su valor, debemos aplicar la definición de derivada parcial
% (o .w = ÍMte/!".»). m... M zl!. o,
OX h-> 0 n h-xO h
07/
dy h-> o h h—>o h
- 0
= o.
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Ejercicios de Cálculo para Ingenieros 195
Por lo tanto,
O f , , I - • ,-2- - , si (x , y ) ± (0 , 0 ),
¿r-(x,y) = < ( x 2 + y 2 y
' 1 si (,-.//) = (0 . 0 ).
2 x 4 y
r + 7
0 si (x . y) = (0 , 0).
d f ( , I - ~ - - si (x. y) ± (0 , 0 ),
- ^ { x . y ) = \ [x2 + y )
Ejercicio 219. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones de
rivadas parciales del ejercicio anterior.
Solución.- Para estudiar la continuidad de en el origen hay que ver si
r d f i \ ín rnlim — - (x.y) = — (0 , 0 ) ,
(x,y)—►(o.o) d x d x
que aplicado a nuestro caso resulta
lím - ^ = 0 .
(.r .j/ )-> (0 .0 ) ( , r - + y 2 )
En primer lugar, estudiemos los límites a través del haz de rectas de
vértice el origen
,, d f 2x (m x ) 1 2///4iim —— (x.inx) = lmi -------------------x = imi x --------- r = ().
x->0 d x ' x—rO / 9 , , 02V x-r-0 1 + r n 2I ,r- + {mx)
Como este límite coincide con el valor de la función derivada parcial en el
punto, no sabemos si existe o no. Entonces, aplicamos el cambio a coorde
nadas polares x = p eos 9 , y = p sen 9
2 x i / 4 2 p ° eos 9 sen4 9 ,
lim -7T = l i m ------------------- = lnn 2 p eos 9 sen 9 = 0,
y)—>(0.o) (ir2 + y 2 ) p— >G p P~x0
por lo que es continua en el origen. Análogamente, se tiene que es
continua en (0 , 0).
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196 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
Ejercicio 220. Las ecuaciones en las que aparecen derivadas parciales se
llaman ecuaciones en derivadas parciales. Seguramente ya las ha visto en
otras asignaturas porque expresan multitud de leyes físicas. Compruebe
que u(t, x) = sen(x — t) verifica la ecuación de ondas
d 2u . , d 2u . «
= { L x ) C R ’
que describe el movimiento de una cuerda vibrando.
Solución.- Para comprobar que u{t, x) = sen(.x — t) verifica la ecuación de
r\ 2 rj2
ondas anterior debemos calcular las derivadas parciales segundas y
y comprobar que son iguales.
Derivando con respecto a t tenemos
Ou 0 2u
— {t,x) = - c o s { x - t ) y = -sen (.r - t).
Por otro lado, derivando con respecto a x resulta
d u , O1u
— (t.x) = cos(x - t) y ^ ( f . x) = — sen(x — i).
Y vemos que ambas derivadas coinciden. Por tanto la función u verifica
la ecuación de ondas, o en otras palabras es solución de la ecuación de
ondas.
Ejercicio 221.Calcule la matriz Hessiana en (0 ,1 ,0) de la función dada
por f ( x , y, z) — cosx + \y2.
Solución.- Derivando obtenemos las derivadas parciales primeras
rivadas parciales continuas ~ [ x . y, z) = - se n ,r . — (./•. y. z) = y. ^ - ( . r . y . z) = 0 .
en u n conjunto abierto D. Si o x Oíj OZ
Recuerde que para / con de-
s
cc
existe en todos los p u n
tos de D x 4f4~ es conti-J o x o y
nua en (a,b) , entonces existe
(a. b) y además
; i - f ; ) - f
Derivando nuevamente y teniendo en cuenta el resultado sobre igual
dad de las derivadas parciales segundas cruzadas que aparece al margen
resulta
d 2f , , d2f , . , d2f , , „
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E jercicios de C álculo para Ingenieros 197
Por lo tanto la matriz Hessiana en el punto indicado es
H f (0,1, 0)
- 1 0 0
0 1 o
o o o
Ejercicio 222. ¿Cuántos elementos tendrá la matriz Hessiana de una fun
ción de cinco variables en un punto en el que admita todas sus derivadas
parciales segundas?
Solución.- Tenemos cinco posibles derivadas parciales primeras, que a su
vez podemos derivar con respecto a cinco variables. Por lo tanto, la matriz
Hessiana será una matriz 5 x 5, y tendrá 25 elementos.
Ejercicio 223. Para la función / dada por f { x , y ) = x2y calcule: su do
minio, el gradiente en el punto (1,0), y la matriz Hessiana en el punto
Solución.- El dominio de / es todo R 2 porque se trata de una función po-
linómica.
Para calcular el gradiente, calcularemos las derivadas parciales prime
ras
La matriz Hessina se construye con las derivadas parciales segundas de
g. Como g es una función de dos variables su matriz Hessiana será 2 x 2.
( 1 , 0 ).
y sin más que sustituir tenemos
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198 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
Calculamos las derivadas parciales segundas teniendo en cuenta que se
puede aplicar la regla para calcular las derivadas parciales cruzadas que ha
aparecido al margen
92f . . 0'2f
d 2 f o 2 f
1 (■'■•//) , . i.'-.//: 2,-.
d y d x ' d x d y
Sin más que sustituir resulta
H f { 1. 0) =
0 2
2 0
Ejercicio 224. Considere la función / de dos variables dada por
f í * J U r n (0 , 1 ,f ( x , y) = { * 2 + y2
0 , (x, y) = (0 , 0 ).
Calcule las derivadas parciales de / en todo punto y las derivadas par
ciales segundas en (0 , 0 ).
Solución.- Salvo en (0,0) las derivadas parciales se pueden calcular apli
cando las reglas de derivación porque / es un cociente de polinomios. De
rivando obtenemos para (x.y) y2 (0 , 0 )
Of . 3 - // -•//* 2 x (xs y — x y3)
0 x [X'y } ~ • y2 (x2 + y2)2 ■
y
Of , ;r3 — 3 x y2 2 y (x3 y - x y ' i)
-U-y) =0 y y x 2 + y2 (x2 + y2)2
En el punto (0.0) debemos emplear la definición para calcular las deri
vadas parciales
2 2 (» .o, = 1¡m / ( '’■ °) - / (° .° ) = 1¡n, = o,
<9.x /¡->ü h h-> o />.
22 (o.o) = un, U M l z l i M = lím ‘tp ? = 0 .
o y h-> o h /i—>o h
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Ejercicios de C álculo para In gen ieros 199
Por lo tanto las derivadas parciales primeras existen en todo punto.
Pasemos a calcular las derivadas parciales segundas en ( 0 ,0 ) . Como las
funciones derivadas parciales primeras están definidas de forma diferente
en (0 , 0) y cerca de (0 , 0 ) debemos emplear la definición
c f - f ^ ( M ) - ^ - ( O . O ) Q — 0
4 4 (0, 0) = l ím ^ ----------- = l ím ^ = 0.
dx- /?-> o h h-t o h
d'2f ¿ h 4 ( U ) “ d ) ) (0 ,0 ) o - o— y (0 , 0 ) = lim — 7 = Inn —7— = 0 ,
dy2 //.-> o h h-+o h
d 2 f ^ “ r i —h - 0
( 0 , 0 ) = lím l l r - l ) r = l ím , = - 1 .
dydx ' h—>o h o h
«2 f | í ( / i . n ) - | í ( o . o )
d f ( 0 . 0 ) = l ím ------------- X 1»--------- = lím C 2 Í = 1.
dxdy ' /»-> o h h-> o h
Fíjese en que las derivadas parciales cruzadas segundas no coinciden
en (0,0). Lo que enlaza con el siguiente ejercicio.
Ejercicio 225. ¿Por qué pueden no coincidir las derivadas parciales se
gundas cruzadas en el ejercicio anterior pese a que existe un resultado
en esa dirección?
Solución.- Las derivadas parciales segundas cruzadas son distintas como
hemos comprobado en la solución del ejercicio anterior.
Esto puede ocurrir porque no es posible aplicar el teorema que garan
tiza la igualdad de las derivadas parciales cruzadas ya que no se cumple
alguna de las hipótesis de dicho teorema.
En este caso, no se cumple la hipótesis de que la derivada segunda
d2f
dydx
debe ser continua en (0.0). Se trata de una comprobación sencilla pero con
expresiones largas que realizaremos con Maxima.
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200 C a p í t u l o 5 / Funciones de varias variables
Recuerde que si / es suficien
temente regular
Ejercicio 226. De una función de tres variables / se sabe que tiene de
rivadas parciales continuas en todo R 3 y que V / (l, n, 7) = ( 7 2 ,3, 75 ).
¿Es cierto que su derivada direccional en la dirección de ( 7 2 ,3, 7 5 ) en
el punto (1 ,7r, 7) es menor que 7r?
Solución.- En las condiciones del ejercicio podemos utilizar la igualdad que
aparece al margen para calcular el valor de la derivada direccional pedida.
Como
IKn/2,3, >75)11 = \J(72)'2 + 32 + ( 7 5 ) 2 = 716 = 4,
sin más que sustituir
¿ W ^ > / ( I.tt. 7) = (7 2 .3 . 7 5 ) - = 4
4 4
Y como 4 > 7r concluimos que la respuesta a la pregunta del enunciado
es no.
Ejercicio 227. Utilizando la definición, calcule la derivada direccional de
/ en (1. —1, 2 ) en la dirección del vector unitario p p donde u = (0 . 1, 1)
V f ( x , y, z) = xy - z.
Solución.- En primer lugar calculamos el vector unitario py , sin más que
sustituir resulta
p p = (0 . 1. 1) = (() J _
11a 11 7 o 2 + i 2 + 12 72 ’ 72
Ahora, aplicando la definición de derivada direccional resulta
/(1 + M),- 1 + ^ , 2 + / ! ^ ) - / ( I . -1 ,2 )
D a / ( ! . —1. 2) = lím
>o h
- l + p - ( 2 + p ) - [ - l - 2 ]
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 201
Ejercicio 228. Para la función f dada por f ( x , y) = x cos(x + y). Indique
el ángulo formado por el vector (1, 1) y la dirección de máximo creci
miento de / en (0 . 0 ).
a) | radianes. b) f radianes. c) § radianes,
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Necesitamos conocer el valor del vector descrito en el enunciado
con "la dirección de máximo crecimiento de / en (0,0)". La nota al margen
nos indica que dicho vector será el gradiente de / en (0 , 0 ) porque / admite
derivadas parciales continuas (de todos los órdenes). Derivando resulta
V /(x,y) = (eos(x + y) — x sen(x + y), x sen(x + y)).
Por lo tanto,
V / (0 .0 ) = (eos 0 — 0 • sen0. 0 ■ sen 0 ) = (1.0).
y el ángulo a pedido es el que forman los vectores (1, 0) y (1, 1).
Sabemos que
(1. 0 ) - ( 1, 1) 1cosa = —— = —r=.
||(1, 0 )||||(1, 1)|| v/2
Por lo tanto, el ángulo resulta ser | radianes y la opción correcta b).
Ejercicio 229. Indique la dirección de máximo crecimiento en el punto
(1, 1) de / dada por
f ( x , y ) = í W + 7 2’ + (°:0)’
{ 0 . (x, y) = (0 , 0 ).
a ) ( # , - f ) . b) • ( # # ) • c ) ( - f , - f ) .
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- La función es continua y admite derivadas parciales continuas
en IR2 \ { (0.0) } por ser cociente de funciones polinómicas y no anularse el
denominador en ese conjunto.
Recuerde que si / tiene de
rivadas parciales continuas,
su dirección de máximo cre
cimiento en un punto coin
cide con la dirección del vec
tor gradiente en ese punto.
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202 C a p ít u l o 5 / Funciones de varias variables
La dirección de máximo crecimiento coincide con la dirección del vector
gradiente en ese punto. Calculando las derivadas parciales resulta
d f 2x{x2 + y2) - 2x.r2 df 2y.v2
Ó7u 'ij) = — ( X T W - — ' — (** + »*)*•
Sustituyendo en el punto resulta que el vector gradiente es
La dirección buscada es
y / ( l ' l ) = /2 ( \ A = ( V 2 _ V 2 \
i iv/(i . i )n V“ U ' v v 2 ’ 2 /
Por lo tanto la opción correcta es a).
Ejercicio 230. Calcule la ecuación de la recta tangente en el punto (1,2,2)
de la curva intersección de la gráfica de f ( x , y ) = x2y con un plano pa
ralelo al eje 2 y al vector (1. 1, 0 ).
Solución.- Tenemos un punto por el que pasará la recta tangente: (1,2,2).
Ese punto pertenece a la gráfica de f por lo que es de la forma (1,2, /'(l, 2)).
Necesitamos calcular un vector director para poder dar la ecuación de la
recta. Como hemos visto, podemos conseguir ese vector utilizando la de
rivada direccional de / en (1, 2) en la dirección del vector unitario en la
dirección de (1, 1).
Como primer paso para calcular la derivada direccional calculamos el
vector unitario en la dirección de (1,1) que resulta ser (4=. - L ). Ahora cal
culamos el gradiente de / en el punto (1. 2 )
V/( L2) = (2.ry, ,r2)|(i;2) = (4,1).
El valor de la derivada direccional de / en (1,2) en la dirección del
vector (“ T • ) es
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Ejercicios de C álculo para Ingenieros 203
Por lo tanto, el vector director que buscamos es ( ^ . -u ) o cual
quiera paralelo a él como por ejemplo el más sencillo de escribir (1,1, 5). La
ecuación paramétrica vectorial de la recta tangente es
O7’, y, z) = ( 1 , 2 . 2 ) + A(l . 1, 5).
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204 Capítulo 5 / Funciones de varias variables
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6 A p l i c a c i o n e s d e l a d i f e r e n c i a l
Las funciones diferenciables de varias variables tienen propiedades si
milares a las que hemos visto para funciones derivables de una variable.
Por eso, vamos a estudiar sus aplicaciones, lo que incluye resultados que
mostrarán su potencial a lo largo de la ingeniería, como el teorema de la
función implícita o el método de los multiplicadores de Lagrange.
Recuerde...
■ Existe una estrecha relación entre diferencial y plano tangente para
funciones de dos variables.
■ Si una función es diferenciable en ( a i , . . . . an), entonces allí es conti
nua, tiene derivadas parciales (condición necesaria, junto con la conti
nuidad, para la diferenciabilidad) y la diferencial coincide con el gra
diente en este punto.
■ Si una función tiene derivadas parciales continuas en (« i . . . . . a ,,), en
tonces es diferenciable en este punto (condición suficiente para la di
ferenciabilidad).
■ La composición de funciones diferenciables también lo es y la regla
de la cadena nos da la expresión de su diferencial.
■ Existe una relación entre el valor medio de una función de varias va
riables a lo largo de un segmento y su gradiente (Teorema del valor
medio).
■ El teorema de la función implícita nos da condiciones suficientes para
poder expresar, en una ecuación implícita, una variable en función de
las otras.
■ El gradiente da condiciones necesarias para que una función / alcan
ce un extremo relativo en un punto (a, b).
■ La matriz Hessiana da condiciones suficientes para que un punto
crítico sea mínimo relativo, máximo relativo o punto de silla.
■ Una función continua definida sobre un subconjunto de M" cerrado y
acotado alcanza en él el máximo y el mínimo absoluto.
205
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206 C a p ít u l o 6 / A p licacion es de la diferencial
Recuerde que la ecuación del
plano tangente a la gráfica
de una función en el pun
to (a,b, f (a.b)), diferencia-
ble en (a. b) es:
: = f (a.b)
+ V/ (a, b) ■ (x — a. y — b) .
Ejercicios
Ejercicio 231. Sea / : R 2 —>■ R la función dada por
f ( x , y ) = c o s y - y ^
El plano tangente a su gráfica en el punto (0,0.1) cumple:
a) Verifica la ecuación 1 — 2 = 0. b) Es paralelo al plano xy.
c) Es paralelo al plano xz. d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Son correctas las opciones a) y b). Primero comprobamos que la
gráfica de / pasa por el punto (0.0.1). En efecto:
/(0 . 0 ) = eos 0 - 0 • O2 = 1 - 0 = 0 .
Para obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de / en un punto
tenemos que determinar su gradiente en ese punto:
d d— f ( x . y ) = -2.ru. — f (0 , 0 ) = 0 .
~ f ( t . y) = - sen y - x2, (0 , 0 ) = 0 .
oy oy
Así la ecuación del plano tangente en (0,0, f (0,0)) de la gráfica de ./' es:
2 = / (0.0) + V/(0 ,0) • (x - 0 , y - ( ) ) = ! + (0 , 0) • (x.y) = 1.
Este plano es paralelo al plano xy.
Ejercicio 232. Sea / : R 2 —t R la función dada por
f (x , y) = x 2 + y3 + ex+y.
Se pide obtener la ecuación del plano tangente a su gráfica en el punto
( l . - M ) .
Solución.- Primero comprobamos que la gráfica de / pasa por el punto
( l . - l . l ) :
/( l . - l ) = i - + ( - l ) :i + C1- 1 = 1 + ( - 1 ) + e u = 1.
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207
Para escribir la ecuación del plano tangente a la gráfica de una función en
un punto nos hacen falta las derivadas parciales de la función / en ese
punto. En nuestro caso, hacemos
r\ r\
— f {x, y) = 2.7’ + ex+y, — / (1, - 1 ) = 2 • 1 + e1_1 = 3,
| -/ (x, y) = 3y2 + ex+y, (1, - 1 ) = 3 • ( - 1 ) 2 + e1" 1 = 4.
El gradiente está formado por las derivadas parciales, y por eso es
V/ ( 1 ,-1 ) = (3,4) .
Resulta la ecuación del plano tangente:
~ = / ( 1- —1) + V/ (1, —1) • (x — 1, y — ( —1))
= 1 + (3, 4) • (x — 1, y + 1)
= 1 + 3x — 3 + 4 y + 4 = 2 + 3.r + 4 y.
Ejercicio 233. Si una función / : R 4 — > R tiene derivadas parciales en
un punto a € R 4, entonces ¿es diferenciable en ese punto?
Solución.- No se puede asegurar. Para la diferenciabilidad es condición
necesaria pero no suficiente la existencia de derivadas parciales. Si las deri
vadas parciales existen y son continuas, entonces es diferenciable (condi
ción suficiente).
Ejercicio 234. Sea / la función dada por / (x, y) = xev + y eos2 xy. ¿Cuál
es su diferencial en el punto (a,b)7
Solución.- La función / tiene derivadas parciales:
0 d , 2
dx dx * ycos xy)
= ey — 2y2 eos xy sen xy = ey — y2 sen 2xy,
o d— f — — (yxev + y eos2 xy) = x e ’J + eos2 xy — 2xy eos xy sen xy
= xey + eos2 xy — xy sen 2xy.
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208 C a p ít u l o 6 / A p licacion es de la diferencial
Recuerde: si / tiene deri
vadas parciales continuas en
(a. b), entonces tiene es dife-
renciable en él. La diferencial
en este punto es la aplicación
lineal dada por el gradiente
mediante:
Df{n. b)(.r. y ) =
V / ( a . 6 ) • ( x . y ) .
Además, son continuas. Entonces (véase la nota al margen) la diferencial es
la aplicación lineal D f ( a , b), que a cada (x. y) le asigna
D f( a ,b ) (x ,y ) = V f ( a Jb)-( .r .y) .
Como el gradiente es:
V/ (a. b) = (^ eb — b2 sen 2ab. a eb + eos" ab — a b sen 2afrj .
entonces la diferencial es:
D f ( a . b)(x. y) = V f ( a . b ) ■ (x.y)
= (y(,b ~ b2 sen 2 ab. a e h + eos2 ab - ab sen 2 abj ■ (x. y)
— (eb — b2 sen 2 ab)x + (ax b + eos2 ab — abxan2ab)y.
Ejercicio 235. Sea / : M2 —» R la función dada por
1
xt ( x I V - + y2) sen — ( x , y ) ^ ( 0 , 0) ,
./ (•'•• y) = { x + y2
0 . (,r, y) = (0 . 0 ) .
¿Tiene derivadas parciales continuas en (0,0)? ¿Es diferenciadle en este
punto?
Solución.- Vamos a calcular las derivadas parciales de / en (0,0) con la
definición de derivada parcial:
2 -/ (0 , 0 ) = lím / ( 0 t ' - 'U|- /|(U,) = lím 0 2 + I)2 ) - F C - 0
dx /».—>() h h—>o h
= lím /? sen —^------- = 0 .
h-> o /í- + O2
2 ./ ( 0 . 0 ) = l ím /|IUI + ' , ) - /(IUI) = lím ( " 2 + ' ,2>
o y h - , o h h-t o h
= lím h sen -77 —7- = 0 .
h - x O2 + h 1
porque ambos límites sonlímite de una función acotada (el seno) por h, que
tiende a 0. Si / es diferenciable en (0,0), entonces la diferencial está dada
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209
por el gradiente y tenemos que ver si vale 0 el siguiente límite:
J = lím f ( h , k ) - f ( 0 . 0 ) - V f ( 0 . 0 ) - ( h . k )
{h.,k)->( 0 ,0) v7/;2 + k-
(h'? + k 2) sen , — (0 • h + 0 • k)
= lím ------------------------ ~-------- ---------------------
(h,k)-x( 0.0) \/h2 + fc2
1
= lím \///- + A'2 sen —: —r = 0.
(/i,fc)->(o,o) h2 + k 2
De nuevo, tenemos el límite del producto de una función acotada por "al
go" que tiende a 0, y por esto el límite es 0. Así, podemos concluir que la
función es diferenciable en (0,0). Pero las derivadas parciales no son con
tinuas en (0, 0). Comprobemos que la derivada parcial respecto de x no es
continua en (0.0). Si (x, y) ^ (0,0), entonces
d , . 1 2x 1
— j ( x , y) = 2x sen----------- = -----x------ ^eos
d x ' ' x2 + y2 r 2 + y2 x2 + y2
. 1 1 1= 2x sen —----- ^ --------r-------- eosx2 + y2 x2 + y2 x2 + y2
Ahora calculamos su límite cuando (x.y) tiende a (0,0), para demostrar
que no existe y que por eso, la derivada parcial no es continua en (0 , 0).
Vamos a hacer un cambio a coordenadas polares x = peos 6, y = p sen 0 y
tenemos en cuenta que se cumple x2 + y2 = p2:
lím f (x. y) = lím 2x (sen —q ~—ñ eos —--—q
(a:,y)—s(0,0) ÜX (ar,y)—>(0,0) \ XX + y 2 XX + y X2 + y 2
= lím 2p eos 0 (sen —r ^eos —p->o y p2 p- p2
( , 12 eos 0 1= iim 2p eos tí sen —r-----eos —p-xo \ p2 p p2
1 , 2 1 = lím 2p eos 9 sen — lím - eos 6 eos —./)->o p- p—>o p p2
El primer límite es 0, por ser el límite del producto de una función acotada
por otra convergente a 0. Pero el segundo no existe, porque si p tiende a 0,
| tiende a oo y está multiplicado por una función acotada que no converge
a 0. Por eso, la derivada parcial respecto a x no es continua.
De forma similar se demuestra que tampoco es continua.
Recuerde que a existencia
de derivadas parciales conti
nuas en un punto es condi
ción suficiente de diferencia-
bilidad, pero no es condición
necesaria.
Recuerde que hay unas con
diciones que están resumidas
en el libro Cálculo para Inge
nieros, Sección 5.2, para que
el cambio a coordenadas po
lares sea válido para el cálcu
lo de límites.
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210 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Recuerde que si una función
es suma, resta, producto, co
ciente o composición de fun
ciones continuas en un pun
to de su dominio, entonces es
continua en este punto.
Esta función es un ejemplo de función diferenciable en un punto y con
derivadas parciales no continuas allí; muestra que esta condición es sufi
ciente, pero no necesaria.
Ejercicio 236. Estudie la diferenciabilidad en (0,0) de la función
f ( x , y) = x\y\.
Solución.- La función / es continua por ser un producto de funciones con
tinuas. Además las derivadas parciales en (0,0) existen ya que
% {0 , 0 , = m» /( *■») - / ( 0 -0 ) _ lím * J 0M > = „
dx / / —t i j h /(-> o h
^ (0 ,0 ) = ln» m i Ú - í M = lím L L L lü = o,
ay ' h—>o h h->a h
Se cumplen las condiciones necesarias para la diferenciabilidad (continui
dad de la función y existencia de derivadas parciales), pero como no son
condiciones suficientes, no podemos afirmar que la función sea diferencia-
ble en (0 , 0 ).
Ahora podemos intentar verificar la condición suficiente o recurrir di
rectamente a la definición de diferencial. Si recurrimos a la definición tene
mos que comprobar si es cero el siguiente límite
lfm /(/uA-)-/(0 , 0) - V / ( 0 , 0 ) - ( M - ) _ ^ h\k\
(h.Ao-fo.O) \\(h.k)\\ ( h . k ) - (o.oi v/(/^ + /,■-) ’
Haciendo un cambio a polares resulta
h\k\ p‘2 cos9\sen9\
lim —;---------- = lim ----------------- = lint p eos 9 sentí = 0.
—>(0.0) yj ( h~ + //-) 0 p 0
y ya podemos afirmar que la función es diferenciable en (0 . 0 ).
Si por el contrario hubiéramos recurrido a la condición suficiente, ha
bríamos estudiado la continuidad de las derivadas parciales en (0,0). Para
ello, tenemos en cuenta que el valor absoluto d e g(y) = \y\ vale —y cuando
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y < O y vale y si y > O, y derivamos:
Claramente ambas funciones son continuas en (0,0) y también obtenemos
la diferenciabilidad de / por este camino.
Ejercicio 237. Sea / la función dada por
í 4X3 x . y) (0.0) ,
1 (a*, y) = { X2 + y2 '
{ o, x. y) = (0. 0).
Se pide estudiar su continuidad, si tiene derivadas parciales y si es dife-
renciable.
Solución.- Si observamos la expresión de /, nos damos cuenta de que en
M2 \ { (0,0) } es el cociente de funciones continuas, no se anula el denomi
nador, tiene derivadas parciales continuas y, consecuentemente, es diferen-
ciable.
Nos queda por estudiar estos aspectos en el punto (0.0). Comenzamos
con la continuidad; veamos si existe límite en (0,0). Para ello, hacemos el
cambio a coordenadas polares x — p eos 0, y = p sen 9
4p3 eos'5 9
lím / (x, y) = líin f (p eos 9 , p sen 9) = lím
(x,i/)->(o.o) p - * o o p2 eos2 9 + p2 sen2 9
= lím = , ,
p — 1
ya que en el denominador eos2 9 + sen2 0 = 1. Como este límite es 0 al estar
acotado el valor de co.s"50 y es igual a / (0,0), / es continua en (0,0).
Pasamos a la determinación de las derivadas parciales. Si (x , y) ^ (0,0),
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212 CAPÍTULO 6 / A p licacion es de la diferencial
las derivadas parciales son:
d f I2x2 (x2 + y2) - 2x4x3 4x4 + 12x 2 y2
d i [XlV) = (x2 + y2)2 = {x2 + y2f
d f - 8 x 3y
v r (x,y) =
9 y (x 2 + y2)3
En (0,0) debemos utilizar la definición de derivada parcial
4 / i 3
d / m m u / ( M ) ~ / ( 0 , 0 ) , , v 4/' 3 ,— (0,0) = l i m ----------- ------------- = l n n ------------------ = lim —r = 4,
dx h—to h /i—>o h h-A) hA
94- (0,0) = lím - /(0,0) = lim Z H l l l ! = 0.
dy o h h-yo h
Por eso, en (0,0) hay derivada parcial en x y en y.
Si (x, y) 7 ^ (0,0), la función es diferenciable y su diferencial es
/ 4x4 + 12x2y2 —8xsy \
D f (x, y) (v\, V2 ) = ( --------------- 5—,--- -------------o • (xi ,x2 •
’ \ (x2 + y2) (x2 + y2) )
En (0,0) tenemos que estudiar la diferenciabilidad utilizando la definición,
es decir, viendo si el siguiente límite es 0:
l = lfm f ( h - k) — /(0- 0) — V/(0- 0) • (h-k)
(h.k)^( 0.0) yjh2 + k 2
El gradiente en el origen es V / ( 0,0) = (4,0) y este vector nos puede a dar
la diferencial. Como V/(ü, 0) ■ (h, k ) = Ah, sin más que sustituir resulta:
| ^ - 0 - 4 h 4/d-41,3-4/^
l = lím = lím h2+k'2
0.0) V h2 + k 2 (/i.fc)—>(0.0) sjh2 + k 2
—4/íA:2 t , ,9
w +p ~ 4hk= lim = = I1111
(h.k)-y(0.0) s/h2 + k 2 (h.k)-A(O.O) (/j2 + ¿,2)1
Realizando un cambio a polares, resulta:
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213
que es distinto de 0 si eos 9 sen2 0 ^ 0. Por eso, podemos afirmar que la
función no es diferenciable en (0 , 0).
Ejercicio 238. Dada la función / : M2 definida por:
y sen 7 + x, x ^ 0 ,
0 . x = 0 .
se pide estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y dife-
renciabilidad en (0 . 0 ) .
Solución.- Como la función seno está acotada en M, tenemos
+ |.r| = 0 .
1 1
lím IJ S ( 'U ------1- X
./■
< lím \y\ ■ sen -
—(0.0 ) U’-y)—»(().()) X
porque el segundo sumando tiende a 0 y el primer sumando es el producto
de una función acotada (el seno) por una función convergente a 0. Esto
significa que / es continua en (0 , 0) .
Para calcular las derivadas parciales, en (0,0), aplicamos la definición:
— (0 . 0 ) = lím
d x h-> o
/ (h. 0 ) — / (0 . 0 )
= lím
h-> o
0 sen £ + h — 0
= 1,
í C o , „ ) = im, P M I p Ü M = lím 0 z » = 0 .
dy h h^o h
En este caso, vamos a estudiar si es diferenciable utilizando la definición
de diferencial.Calculamos
l = lím
(h,k)->( 0,0)
— lím
k sen 77 + h — h
= lím
k sen ^
ih.k)->(0,0) sjh2 + k2
que no existe. Para demostrarlo tomamos por ejemplo los puntos que cum
plen h = k, para los que el límite anterior es
lím
k sen r
= lím
sen j.
k ;'0 ky/2 k -M y C
y no existe. Por eso, / no es diferenciable en (0,0).
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214 C a p í t u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Ejercicio 239. Sea / : S a 1 la función dada por
X2 + Ij2 , { x M € 5 - { ( 0 , 0)},f ( x , y ) = { ln (1 — x 2 - y2)
- 1, (x, y) = (0 , ü ) .
donde S — { (x ,y ) £ M2 : x2 + y2 < 1}. Estudie si es continua y si es
diferenciable en (0 , 0).
Solución.- Comenzamos con la continuidad, estudiando el siguiente límite:
x 1 + y2 r p 2
l = lím f ( . r . y ) = lím -— j —- = lím
(■'■•</)—>-(0.0) ’ ( . r .y ) — (() . ( ) ) l l l ( l - X 2 - í/2 ) o h l ( l - p 2 )
= lím ~.f = lím — ( l — p2) = — 1.
í - / j -
Hemos hecho un cambio a coordenadas polares y hemos aplicando la regla
de L'Hópital al presentarse una indeterminación del tipo jj. Como el límite
coincide con el valor de la función en (0 . 0), f es continua en (0 . 0 ).
A continuación, determinamos las derivadas parciales en (0,0):
0.f ,n m ,, f ( h , 0) - /(0 , 0 ) ln(\- h1) + 1 ,, h2 + ln (l - h2)
— ( 0 ,0 ) = lnn = l n n = lim p —
a x h-> o h h-> o h h—>o h m ( l — h z)
- 2“ ~2 h (l — h 2) — h
= l í m — .... = lím 2 V '
h ^ o \ n { l - h 2) + = ^ (i _ /,->)
2/r3
= lím
/í -ni
= lím
/mo —2/r2 + (1 — h 2) ln (1 - h?)
-6/ r
¿“ 6 -4/? - 2/í ln (1 - h2) + (1 - /(-’ ) ^
= r _________ ~ 6h2_________ __ 6h - 0 - n
, - h (4 + 2 ln (1 - h 2) + 2) /™o 6 + 2 ln (1 - Ir2) 6
Se ha utilizado la regla de L'Hópital cuando ha sido necesario. La derivada
parcial respecto de y se calcula igual (omitimos los cálculos):
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215
Luego las derivadas parciales existen y valen 0. Una vez que tenemos las
derivadas parciales, también conocemos el "candidato" a diferencial, que
está dado por el gradiente de / en (0,0), es decir, V/ (0,0) = (0,0). Por eso,
tenemos que comprobar si se cumple:
= / ( U / / ) - / (Ü.0 ) - ( ( M I ) . (/,.U)
( M - ) - d o . o ) v / T P T F
Se tiene
, = , im /<* ■«■>- /«>■«» = hm U U U y 1.
(0.0) V /?,2 + L2 (/í,fc)->(0,0) s/h2 + k2
= lím M f e U = „m Í>2 + I u ( l - P2) = Q
/'-o />—>() pin (1 — p2)
Este resultado es inmediato procediendo de forma similar a la utilizada
para el cálculo de las derivadas parciales. Por eso, sabemos que la función
es diferenciable en (0 , 0 ).
Ejercicio 240. Sea / la función dada por:
Xy (x, y) (0 , 0 )/ ( x,y ) = <( V-x2 + y 2
0 , (x, y) = (0 . 0 ) .
Se pide calcular las derivadas parciales en (0 , 0) y estudiar la diferencia-
bilidad de / en este mismo punto.
Solución.- Utilizamos la definición para determinar las derivadas parciales
en (0 , 0 ):
fc.O _ 0
JL f („ ,0 ) = lím = 1(m _Í0 ? T ¡ E = lím o - 0 .
dx h.-> o h /)-)• o h /; —> o
- o
~ f(0 . II) = lím 1 (IU|) 1 (IUI) = lí.n ------= ](m 0 = 0
ay' /;-> o h h-*o h h->o
Si / es diferenciable en (0,0), entonces la diferencial está determinada por
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216 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
el gradiente (0,0). Debe cumplirse que el siguiente límite sea 0:
; = lfm / ( / l ^ ) - / ( ü . ü ) - V / ( ü . 0) - (/lA- )
(/i.,A')->( 0,0) V7/!-’ + A--
Comprobamos que lo es:
z = lfm f ( h . k ) - f ( 0 J ) ) - ( 0 A ) ) - ( h . k )
(h.k)^(0,0) y//?2 + Á'2
- - 0 - ( 0 . 11) - Ih.k , ,
= ,im = lfm " ■ *
(/ i.fc )—>(0,U ) \/ / j2 + fc2 (/ í.A )—> (0 .0 ) y 7/)2 + / / V /?2 + C 2
pcos #psen fl
= lim — _■= — =
/' y/1>2 ros2 9 + p2 sen2 9 \Jp2 eos2 0 + />- sen2 9
p2 eos 6 sen 9 p2 eos 9 sen 9 ^
= lim — — = lim ------------------ = lim J p eos 9 sen 0 = ü.
/'^° \[P\J I'1 /' ” ° v7/2/2 /'^°
Hemos utilizado, como es habitual en los límites donde aparece x2 + y2, el
cambio a coordenadas polares. Se demuestra así que este límite es 0 y, por
tanto, la función / es diferenciable en (0 . 0) .
Ejercicio 241. Sea / : R 2 -A M definida como f (x, y) = x 2 — xy + y2 y
g : R 2 —> M definida por
f f {x, y ) + x y( ^ J — /--o — ó ■ (*> y) + ( o . o ) >g ( x , y ) = < \/ x 2 + ylo, (x,y) — (0,0).
¿Es g diferenciable en
Solución.- La función g (x , y) se puede escribir, para (x. y) ^ (0.0), como
y'2.
f (.r, y) + xy x + y / 2
9 y) = — r----- = = , y— „ = V2'- + y
\ J x 2 + y 2 \ J x 2 + y 2
Distinguimos dos casos: (x,y) ^ (0.0) y (x.y) = (0.0). Comenzamos con
los puntos (x, y) ^ (0,0). En estos puntos, existen las derivadas parciales:
dg , , x dg y
— (a;, y) = —= = = = , =
dx y7.?’2 + y2 dg \J x 2 + y2
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Son funciones continuas y por eso g es diferenciable en M2 \ {(0, 0)}. Para
estudiar la diferencial en (0 , 0), comenzamos con las derivadas parciales de
g (x, y) en este punto aplicando la definición
(0 , 0 ) = lím
g(h . 0) -g(O.O) _ V h 2 - 0
h /?—o h
que no existe. Por eso, no existen las derivadas parciales en (0,0) (para la
derivada respecto a y se procede de forma similar). Como la existencia de
derivadas parciales es condición necesaria para la diferenciabilidad, pode
mos concluir que la función no es diferenciable.
Ejercicio 242. Sean las funciones
A partir de ellas se define F (t) = / (x (t) . y (i)). Se pide calcular la deri
vada de F (t) respecto a i mediante dos procedimientos: primero susti
tución de las expresiones de x (/) e y (/) y derivación posterior y después
aplicando la regla de la cadena.
Solución.- Comenzamos sustituyendo las expresiones de x (i) e y (t) en
f (x. y) para obtener F (t):
f ( x , y ) = x (1 - y2) - y , x (t) = e2t. y(t) =
1
t
Ahora derivamos directamente:
+ e21 0 -
Seguimos ahora el segundo procedimiento y aplicamos la regla de la
cadena, que representamos en este diagrama:
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218 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
Recuerde la regla de la
cadena para funciones de
dos variables: si g y h son
funciones diferenciables en
á e R r! y / es una función ele
dos variables diferenciable
en (g (a ) ,h (a )), entonces
f (g . h ) es diferenciable en a y
su diferencial Y ( f ( g , h))(a)
Yf (g ( a ) , h ( a ) ) Vs(«)Yh(fi)
t
Primero calculamos las derivadas parciales de / respecto a x e y y las deri
vadas de x (t) e y (t):
x' (f ) = 2e2/.
ir-
9 f , . 1.
Entonces, aplicando la regla de la cadena:
^' ( f ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) x ' ( t ) + ~ (x ( t )xy ( t ) )y ' ( t )
dx ay
= (1 - y 2 (/)).)•' ( f ) + ( — 2a: ( t ) y (/) - 1) y ' (f)
1
t2
= u - > y + - 2- 2- i i
i
= d - ^ l +
1 1 2t + t2
Al hacer ambos procedimientos, la sensación que nos queda es que sus
tituyendo y derivando es más fácil equivocarse, porque hay que tener más
conceptos presentes y hacer más cálculos. Sin embargo, con la regla de la
cadena, se ha fragmentado el proceso y parece más sencillo mantener el
control sobre él.
Ejercicio 243. Sean / y h las funciones / (x, y) = x2 -l-cos y y h (x) = e~x .
Se pide calcular la derivada respecto de x de la composición / (x, h (x))
aplicando la regla de la cadena.
Solución.- En un primer vistazo, podemos echar en falta una función en
la primera componente de /. Pero si llamamos g(x) = x , tenemos esta
función. En ese caso, buscamos
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219
Podemos aplicar la regla de la cadena para obtener V/ (y , h), pero para eso
nos hacen falta:
V/ (x, y) = (2x, - sen y) , y' (x) = 1, ti (.r) = -e~ 'T.
Ahora ya podemos determinar la derivada pedida:
J í-(x , h (.x )) = V/ (.g (x) , h (x)) ■ (y' {x) , h' (x))
= (2x, — sen e-3’) • ( l , —e~T)
= 2x + e - j: sen e~x.
Ejercicio 244. Si tenemos la función z = f í v - 2v, 2v — u), demuestre que
dz dz
2 du + d v = ° -
Solución.- Parece apropiado aplicar la regla de la cadena, por las condicio
nes del enunciado. Consideramos x = u — 2v,y = u + 2v y aplicamos la
regla de la cadena, resumida en el siguiente diagrama:
s
U V U V
Por un lado, tenemos:
¿A i Ir Hy i)y
du ~ ’ dv ~ ’ du : dv
Entonces el diagrama anterior significa:
d z = d / ¿ C + d¿c)y_ = d ¿ 1 + df_ = d ¿ _ df_
d u d x d u d y d u d x d y d x d y ’
cti = ¡ t i <>x d ¿ d y = df_ d ¿ = 2 í d f _ _ d ¿ \
d v d x d v d y d v d x ' d y \ d y d x )
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220 C a p í t u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Entonces:
2^ + = 2 ( ° ¿ - V ) + 2 ( ° L _ ¡K ) = o.
d u Ü v \ d x d y J \ d y d x /
Ejercicio 245. Sean f , g , h las funciones dadas por / (x,y) = x — y2,
g (u,v) = u + uv y h (u, v) = tg u. ¿Cuál es la diferencial de /(<?, h) en
(u,v) = (0 . 0 ) ?
Solución.- Como se pregunta por la diferencial de una composición de fun
ciones, parece adecuado aplicar la regla de la cadena:
V 5 (0,0)
V/í (0.0)
V / (,;,/») (0.0) = V / (5(0,0)./) (0.0))
Para ello, tenemos que calcular:
g (0 . 0 ) = 0 + 0 • 0 = 0 . h{ 0 . 0 ) = tg 0 = 0 ,
Vfj (u. /■) = ( ! + v. u ) . Vg (0 .0) = (1,0).
V/í (íx,v) = ( — ,0 J V/í (0.0) = (1.0)
\ eos u )
V/ y) = (1, —2y) , V/ (g (0,0) , /í (0, 0)) = V/ (0, 0) = (1,0)
Entonces:
V f ( g . h ) ( 0 , 0 ) = (1, 0) ( | M = ( 1. 0 ) .
Ejercicio 246. Calcule el gradiente en (u, v) = (1.0) de
f (g(u. v),h(u. r ) . k (a , r))
para f ( x , y , z) = 3x + y + z 1, g(u,v) = uv,h(u,v) = sen u + 3 y k(u,v) = r".
Solución.- Podemos sustituir los valores de las funciones y luego derivar.
Sin embargo, vamos a utilizar la regla de la cadena directamente, que nos
dice que el gradiente pedido será
V<?(1,0 )
V (/(//, /í, /c))(l, 0 ) = V/(g(l , 0 ), h ( l , 0 ). A’(l, ())) ( v/í(l, 0 )
Vfc(l ,0)
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221
Nos hacen falta los gradientes de /, g, h y k en un punto genérico, que son
V/(:x, y , z) = (3.1, 2 .:), Wg{u, v ) = (v, u),
S7h(u,v) = (cosw.,0), Vk(u, v) = (e“ ,0).
Además, necesitamos los valores de g, h. k y sus gradientes en el punto Recuerde la regla de la
(q o y cadena: Si ............. son
funciones diferenciables en
0 ( 1 . 0 ) = 1 - 0 = 0 . h ( l , 0) = sen 1 + 3 , k (1, 0 ) = e1 = e, “ 6 K" y / es una función
, ' ' ' , , ' de m variables diferencia-
V <7 (1,0) = (0,1) , V/?,( 1,0) = (eos 1,0) , Vfc (1,0) = (e, 0), ble en {gi(u..........gm{ü))i
entonces f ( g ¡ gm) es
y V/ (g (1, 0) . h (1, 0) , k (1, 0)) = (3,1. 2e). Ya podemos sustituir y resulta: diferenciable en a y se
verifica que su diferencial
Vg(l , 0) \ V (/ (y ,.. ....</,„))(/() es el
V ( / ( s , M ) ) ( l , 0 ) = V/(0 ,3 + seul ,e) [ V h ( L 0 ) producto de los vectores:
VA:(1,0) / V / (g ,(a ) ......... g . Jü) ) ,
í 0
1 \
/ V .y i(ü ) \
eos 1 0 = (2e2 + eos 1, 3).
V e 0 / V Vflm (a) )
Ejercicio 247. El teorema del valor medio para funciones de una varia
ble se utilizó para demostrar que una función con derivada cero en un
intervalo era constante en ese intervalo. Muestre que una función conti
nua / : R 2 —t M con gradiente nulo en un conjunto convexo es constante
en ese conjunto.
Solución.- Vamos a suponer que la función / no es constante y que existen
dos puntos, que llamamos a y b, en el conjunto convexo (que llamamos
D) con imágenes distintas. Como están en un conjunto convexo, se verifica
que el segmento que los une pertenece al conjunto. Aplicamos el teorema
del valor medio a esos dos puntos y resulta que
f (b ) ~ /(«) = V/(c) • (b - a),
para c en el segmento que los une. Pero como el gradiente se anula en todo
D, entonces:
f ( b ) ~ f ( á ) = ( 0 , 0 ) • (6 - a ) = 0 .
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222 C a p ít u l o 6 / A p licacion es de la diferencial
Recuerde que el teorema de
la fundón implícita nos di
ce que si la función / de
dos variables sobre R cum
ple f ( a .h ) = 0, tiene deriva
das parciales continuas cer
ca de (n.b) y §4 (a.b) / 0,
entonces podemos despejar y
en función de x para escribir
y = g (x ) y que esto es válido
cambiando las dos variables.
Por lo tanto, f (b ) = f ( a ) en contra de lo que habíamos supuesto y no es
posible que existan dos puntos con imágenes distintas y la función es cons
tante en ese conjunto.
Ejercicio 248. El teorema de la función implícita garantiza que la ecua
ción x2 - xy2 + y2 — 1 define a y como función implícita de x cerca de:
a) (0 , 1). b) (2 , 1).
c) (—1,0). d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Es correcta la opción a). La función
/(■»•• y) = x 2 - xy2 + y2 - 1
es continua y tiene derivadas parciales continuas, porque es suma y pro
ducto de funciones continuas con derivadas parciales continuas y no hay
puntos que queden fuera de su dominio. Pero para poder aplicar el teorema
de la función implícita, además se debe cumplir:
f ( a . b) = 0 ,
— (a. b) = —2a ■ b + 2b = 2b (1 — a) d 0 .
dy '
La segunda condición se cumple si y sólo si a / 1 y b d 0.
En (—1,0) no se cumple la segunda condición (b = 0) y por eso no es
válida la tercera opción.
En (0,1) se cumplen las dos:
/ (0 , 1) = O2 - 0 • l 2 + l 2 - 1 = 0 , ^ (0 , 1) / 0 .
dy
Sin embargo,
/’ (2 , 1) = 22 - 2 • l 2 + l 2 - 1 / 0 , % ( - 1, 0 ) = 0 .
dy
Como el único punto de los tres dados donde se cumplen las dos condicio
nes es (0 , 1), la opción válida es a).
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223
Ejercicio 249. Tenemos la ecuación
x4 + x2?/3 — y2 — 1.
Se pide:
1. Demostrar que define a x como función implícita de y cerca de
( M ) .
2. Calcular g'(1) y g" (1), sabiendo que x = g (y).
Solución.- El punto (1. I ) es solución de la ecuación del enunciado. Por eso,
si definimos
/ (■'•• y) = 1 + V - y2 - i ,
se cumple:
■ / ( E l ) = 0 .
■ La función / es polinómica y, por lo tanto, continua y con derivadas
parciales continuas en M2.
■ Su gradiente verifica
V/ (x, y) = (4.r3 + ‘2xy3, 3x2y2 — 2y) ,
V/ (1,1) = (6,1).
Como (1,1) = 6 / 0, se cumplen las condiciones del teorema de la fun
ción implícita. Entonces, según este teorema, existen un intervalo abierto U
al que pertenece yt) = 1, un intervalo abierto V en el que está xq = 1 y una
única función g : U — » V para los que
f {g {y)-y) = 0
si y 6 U. Esto es, se puede despejar x en función de y o la variable x se
puede escribir en función de y cerca de (1, 1).
Hemos aplicado el teorema de la función implícita para asegurar que
podemos expresar la variable x a partir de la variable y, o que podemos
transformar la ecuación implícita x4 + x2y3 — y2 — 1 = 0 en una ecuación
Recuerde que el teorema de
la función implícita también
nos permite derivar implíci
tamente sin conocer la expre
sión de y en función de x, sa
biendo que:
'llL = _ J¿
0.v iLL 'ay
Si se dan las condiciones
adecuadas, podemos derivar
implícitamente una función
sucesivas veces.
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224 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
explícita de la forma x = g(y). Sin embargo, el teorema no nos dice cómo
transformar una ecuación implícita en una explícita.
Nótese que también podíamos haber despejado y en función de x, o
haber escrito la variable y en función de x, porque también se cumplen las
condiciones para hacerlo.
Otro resultado importante del teorema de la función implícita nos da la
expresión de la derivada de la funciónx = y (y). Como
g4 (y) + g2 (y) y3 - y2 - 1 = o,
derivando se tiene que
4y3 (y) g' (y) + 2g (y) g' (y) y3 + 3g2 (y) y2 - 2y = 0 ,
y volviendo a derivar:
12<r (y) (.g' {y))2 + 4g3 {y) g" (y ) + 2 (,g' (y))2 y3
+ 2 g {y) g" ( IJ) y3 + 12y (y) g (y) y2 + 6y2 {y) y - 2 = 0 .
Particularizando la primera igualdad en y = 1.x = g (y) = 1, se obtiene el
valor de y' (1):
0 = 4g ( l )3 g' (1) + 2g (1) g' (1) l 3 + 3g ( l )2 l 2 - 2 • 1
= 4y; (1) + 2g (1) + 3 — 2 = 6g' (1) + 1.
Operando con esta igualdad llegamos a
Por otro lado, particularizando la segunda ecuación en y = 1, x = g (y) = 1,
y utilizando que g' (1) = - obtenemos el valor de g" ( 1):
0 = 12y ( l )2 g' ( l )2 + 4y ( l )3 g" (1)
+ 2y' ( l )2 l 3 + 2y (1) g" (1 ) l 3 + 12y (1) g' (1) l 2 + 6y ( l )2 1 - 2
= 12 + 4 y " ( l ) + 2 ^ - ^ + 2 / ( 1 ) + 1 2 ^ —^ + 6 - 2
= í + 4 9" ( l ) + i + 2 9" ( l ) + 2 = 69” (l) +
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La única incógnita de esta ecuación es g" (1), así que la podemos despejar
y obtener su valor:
«/'(1) = - — .
■y v ; 108
Ejercicio 250. Sea la ecuación
o
3xy — x + eos xy = 1.
Se pide justificar si el teorema de la función implícita garantiza que es
ta ecuación define a y como función implícita de x cerca de (1,1). ¿Lo
garantiza para x como función implícita de y?
Solución.- Vamos a definir la función / a la que se pueda aplicar el teorema
de la función implícita. Como se debe cumplir que f (x, y) = 0, pasamos el
1 al primer miembro y tomamos:
/ (x, y) = 3xy — x 3 + eos xy — 1.
Esta función es continua (es la suma de un polinomio y una función trigo
nométrica), tiene derivadas parciales y son continuas (por la misma razón).
Además, en (1, 1) se cumple:
/ (1,1) = 3 ■ 1 • 1 - l 3 + COS7T • 1 - 1 = 3 - 1 - 1 - 1 = 0.
Comprobamos que no se anula la derivada parcial respecto a y en (1, 1):
—— (x.y) = 3x — 7rsin7ry, ~ (1,1) = 3 • 1 — 7rsin7r = 3 A 0.
dy ‘ ' dy
Por tanto, el teorema de la función implícita nos asegura que cerca de (1,1)
se puede escribir y en función de x.
Estudiamos si el teorema de la función implícita también establece que
se puede despejar x en función de y. Como
^ (x, y) = 3y - 3x2, ^ (1,1) = 3 ■ 1 - 3 • l 2 = 3 - 3 = 0,
no está garantizado, pero esto no significa que no sea posible.
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226 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
Ejercicio 251. Sean /: M2 —> R una función con derivadas parciales con
tinuas y g : IR —>■ IR, derivable. Además
f (y (y ) , y ) = g (y) ey
para y cerca de 1. Sabiendo que g { 1) = 0 y que 1), 1)) = 1, ¿Cuánto
vale </(!)?
Solución.- Este ejercicio se resuelve con derivación implícita:
-t - (y(y)> y) = «/(y)*^ + <7(y)ew.
«y
De esta ecuación, particularizando en y = 1, conocemos casi todos los va
lores, porque sabemos que g (1 ) = Ü y que ^ (<y( 1), 1) = 1:
1 = f - ( y ( l ) . l ) = y /( l )e1 + y ( l ) e 1 = g\l)e + 0 • e = e • g'(l).
¿y
Despejando en esta ecuación g'( 1), obtenemos su valor g'( 1) = (■ 1.
Ejercicio 252. Sea / la función dada por
f { x . y ) = yex - x 2.
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel que pasa
por (0 , 1) en ese mismo punto?
Solución.- Como f (0,1) = 1 • e° — O2 = 1, la curva de nivel que pasa por
(0,1) es / (x, y) = 1. Entonces, la función
F (x, y) = ye* - X2 — 1
cumple las condiciones del teorema de la función implícita: es continua con
derivadas parciales continuas cerca de (0 ,1), F (0,1) = 1 • e° - O2 — 1 = ü y
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227
Para calcular la pendiente, nos falta derivar la función F respecto a x y
particularizar en (0 . 1 ):
— (x, y) = ;/< - 2x. — (0 , 1) = 1 • e° - 2 - 0 = 1
Por eso, la pendiente que buscamos es
dy f W P i ,
dx||(0.1) 1
Para resolver este problema también podíamos haber buscado un vector
perpendicular a V/(0,1) y obtenido la tangente del ángulo que forma con
el eje x.
Ejercicio 253. Se considera la función / : R 3 —> M definida por
f ( x , y , z ) = 1 - e ^ 7+y2-xz-\)_
1. Encuentre el valor de a tal que cerca del punto (1.0, a) la ecuación
f ( x , y , z) = 0 defina implícitamente una función z = g(x, y).
2. Calcule ^ í l . ü ) y ^i . l .O) .
Solución.- Una de las condiciones del teorema de la función implícita es
que / tenga derivadas parciales continuas cerca de (1,0, a). Esta condición
se cumple, porque / es composición de funciones elementales.
Además, debe ser /(1,0, a) = 0, que es lo mismo que
1 - c - fl = 0 = > a = 0 .
Tenemos el punto (1,0,0). Nos queda por comprobar que ^-(1,0,0) ^ 0.
Como
? f ( x . y . z ) = x ¿ x7+y2- xs-V = > ^ ( 1. 0 . 0 ) = 1,
üz oz
la función / verifica las hipótesis del teorema de la función implícita.
Al verificar las hipótesis de la función implícita cerca de (1.0,0) la ecua
ción /(./'. y. z) = 0 define a z como función implícita de las otras dos varia
bles. Si z = (jíx. y), entonces
= i - = o.
Recuerde que si la función
/ cumple las condiciones
del teorema de la función
implícita, entonces las curvas
de nivel f (x.y ) = k defi
nen a y en función de x (o
al revés) y la pendiente de la
recta tangente a la curva de
nivel es
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228 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Derivamos esta ecuación respecto a x y a y, resultando
- (Vr° - g{x. y) - x ~ {x. y )J e t i7+v2-^ t i ,y )-D = 0.
- ^ 2 y - , r | | (x,y)^ e t i 7+ y 2- x 9 ( x , y ) - i ) = Q
Particularizando para x = 1, y = 0 y g(l , 0) = 0, obtenemos los valores de
las derivadas parciales de g respecto a x y a y:
g ( l , 0 > = 7. ! < 1. 0 ) = 0 .
Ejercicio 254. Indique cómo se comportará la función f ( x , y) = —x — y
si nos movemos en la dirección de vectores del primer cuadrante.
Solución.- El gradiente tiene ambas componentes negativas puesto que
V/(x,y) = (—1, —1), por lo tanto los valores de la función decrecerán si
guiendo la dirección de vectores del primer cuadrante.
Ejercicio 255. Señale la afirmación correcta para la función f ( x , y ) =
x2 — y3 si nos movemos en la dirección de vectores del primer cuadrante:
a) Los valores de / decrecen.
b) Los valores de / crecen.
c) Los valores de / en el interior del segundo cuadrante decrecen.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Es correcta la opción c). El gradiente de la función en un punto
arbitrario es
V/(x,y) = (2.x, —3 y2).
Por lo tanto, en los puntos del segundo y tercer cuadrante en los que la
primera componente x es negativa, el gradiente tiene las dos componen
tes negativas y los valores de la función decrecen si nos movemos en la
dirección de vectores del primer cuadrante.
Así sabemos que c) es correcta y b) falsa.
Para ver que la opción a) también es falsa comparemos, por ejemplo,
/ (1/2 , 1/2) con /(2 , 1).
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229
Ejercicio 256. ¿Alcanza la función / (x, y)
valores mínimo y máximo absolutos en R 2?
y2x2 + (y2 + 4) sen2 x los
Solución.- Vemos que f (x, y) > 0 porque es la suma de números positivos.
Pero además sólo se anula cuando sus sumandos son 0, es decir, cuando
y = 0 y x = kit, para k entero. Entonces, la función va a alcanzar el mínimo
absoluto en los puntos donde esto ocurra: en (kn, 0) para k 6 Z.
Además, como sen2 x está entre 0 y 1 y y2x 2 y (y2 + 4) no están acota
dos, la función / no va a alcanzar un valor máximo.
Ejercicio 257. Localice los puntos en los que la función dada por:
/ (x, y) = x 3 + y3 + xy
puede alcanzar los extremos relativos.
Solución.- Como / es una función continua y con derivadas parciales con
tinuas, los extremos relativos se pueden alcanzar en los puntos críticos, que
son los puntos (x, y) dondeel gradiente es 0 o donde se anulan las deriva
das parciales:
^ (x, y) = 3x2 + y = 0 ^ r y = _ 3x2
—— (x,y) = 3y2 + x = 0 l 3y + x = 0
oy
Sustituyendo la primera igualdad en la segunda, se deduce:
3 (—3x2) 2 + x = 0 = + 27x4 + x = 0 =► x (27x3 + l) = 0
= * x = 0 o 27x3 + 1 = 0 .
Además, la última igualdad implica:
o 1 1
27x + 1 = 0 <+> x = — — <+> x = — .
27 3
Tenemos los posibles valores de x, pero también conocemos la relación en-
tre x e y, porque se debe anular la primera derivada y debe ser 3x2 + y = 0.
Recuerde la condición nece
saria de extremo relativo: una
función f - . D C R 2 -> R,
diferenciable en un abierto,
si alcanza un extremo relati
vo en (a, b) 6 D, entonces
V / (a, b) = 0, o equivalente
mente, sus derivadas parcia
les son 0.
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230 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
Recuerde que los puntos
críticos son los puntos donde
se anulan las derivadas par
ciales o, de forma equivalen
te, el gradiente.
Entonces, para los valores de x que hemos obtenido, resulta:
x = 0 = > y = — 3x2 = 0,
1 2 _ 1
x - - g = » y - —3x -
Resumiendo, los puntos críticos son:
(°,°), - i
Ejercicio 258. Determine los puntos críticos de la función dada por:
f ( x , y ) = x y (x2 + y2) .
Solución.- Es una función continua y sus derivadas parciales son continuas
(por ser suma y producto de funciones elementales) y los puntos críticos
son los puntos donde se anulan las derivadas parciales:
{x. y) = 3x2y + y3 = y (3x2 + y2) = 0 .
d f
— (x, y) = xA + 3xy2 = x (x2 + 3y2) = 0 .
Resolvemos el sistema. Observamos que si x = 0, por la primera ecuación
también debe serlo y. El recíproco es también cierto: si y = 0, entonces x = 0
por la segunda ecuación. Si ambos son distintos de 0, debe ser:
3x2 + y2 = 0. x 2 + 3y2 = 0.
Pero restando de la primera ecuación la segunda multiplicada por 3, es fácil
darse cuenta que entonces debe ser (¡de todas formas!) y = 0. Por eso, sólo
es solución x = y = 0 y el único punto crítico es (0 , 0).
Ejercicio 259. Sea / la función dada por
/ {x, y) = xA + y2 - xy.
Se pide estudiar si la función alcanza sus extremos relativos en los pun
tos (0 . 0), (1, — 1) y (|, jTj) y, en caso de que así sea, razonar si son máxi
mos o mínimos. ¿Es alguno de estos puntos un extremo absoluto de / en
R 2? ¿Se alcanzan en R2?
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231
Solución.- Es una función continua, con derivadas parciales continuas y
por tanto, diferenciable. Por eso, los extremos relativos de / están entre los
puntos (./•. y) que anulan las derivadas parciales:
d¿
dx
d f
(x, y) = 3x2 - y = 0,
— (x, y) = 2y - x = 0 .
dy
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son
1 1
x = y = 0 o x = y = — .
6 12
Por eso, los posibles extremos son (0,0) y (¡p py), pero no (1, - 1 ) , ya que
en dicho punto no se anulan las derivadas parciales. Para ver si se alcanzan
extremos relativos, estudiamos las derivadas segundas:
Recuerde que la matriz Hes-
siana
UJ(a-b) =
d 2 d2f
d x ¡ {X'y ) = 6 X ' dydx
0 2f d 2f
X’ V) = dxdy ('7'’ V) = _1 , ^ (a?’ V) = 2'dy2
La matriz Hessiana en (0,0) es:
H f ( .0 , 0 )
0 - 1
-1 2
y su determinante vale d = —1 < 0. Entonces, en (0, 0) no se alcanza extre
mo.
Ln (|, p j ) la matriz Hessiana es:
nos da condiciones suficien
tes para que / alcance un ex
tremo relativo en (0, 0). Si su
determinante es d, entonces:
■ Si d > 0 y r > 0: / al
canza un mínimo rela
tivo en (a, b).
■ Si d > 0 y r < 0: / al
canza un máximo re
lativo en (a, b).
■ Si d < 0: J' tiene
un punto de silla en
(a, b).
■ Si </ = 0: caso dudoso.
1
- 1
Su determinante vale d = 1 > 0 y el primer elemento de la primera fila es
r = 1 > 0. Por eso, en (g, -p) se alcanza un mínimo relativo. Además no es
un mínimo absoluto, porque, por ejemplo, el valor de / en (0 . 0 ) es menor:
+ 2
Se puede demostrar fácilmente que / no tiene máximos ni mínimos ab
solutos, ya que para y = 0 es / (x, 0 ) = x'\ que tiende a oc si x —» oc o a
—oo si x — oc.
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232 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Ejercicio 260. Determine los máximos relativos, mínimos relativos y
puntos críticos de la función dada por:
f ( x , y ) = y + x 2y2 - x2 + y2.
Solución.- Vamos a buscar primero los puntos críticos, porque los extre
mos relativos se encuentran entre ellos. Como son los puntos en los que se
anulan las derivadas parciales, hacemos:
(x. y) = 2:i y2 - 2x = 2x (y2 - l) = 0 .
0 f
— (:r. y) = 1 + 2x 2y + 2y = 1 + 2y (x2 + l) = 0 .
De la primera ecuación deducimos que x = 0 o y2 = 1.
Si x = 0, entonces debe ser y = — \ (segunda ecuación).
Pero si x / 0 entonces debe ser y = ± 1. Si y es mayor que cero, la
segunda ecuación no tiene solución en R, por lo que el valor y = 1 no nos
lleva a ninguna solución del sistema. Por otro lado, si y = —1, la segunda
ecuación es:
i — 2 (.t2 + 1) = 0 = » (x2 + l) = l = > ,. = ± y I - l = + ^ / - I .
que no tiene solución en R.
Por eso, el único punto crítico (y posible extremo) es (0, —5 ).
Vamos a estudiar si es extremo relativo con la matriz Hessiana. Calcu
lamos las derivadas segundas de la función y las evaluamos en este punto:
j j ~ 2 ( j ’ j v) = 2 y 2 — 2 . = 2 ( -T ^ )2 - 2 = - | ,
= 2 ( x 2 + 1) . | ^ ( 0 , - i ) = 2 (O2 + 1) = 2 ,
é k iX-V) = 4XV' ( 0 . - Í ) = 4 . 0 . a- ( - i ) = 0 .
La matriz Hessiana en (0. — ^ ) es
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Su determinante es d = — 3 < O y podemos afirmar que (0, — |) es un punto
de silla y que / no alcanza extremos relativos.
Ejercicio 261. La función de dos variables dada por f ( x , y ) = x2 sen2 y
verifica:
a) Alcanza en (0.0) un mínimo relativo.
b) Alcanza en (0.0) un máximo relativo.
c) Tiene en (0,0) un punto de silla.
d) Ninguna de los anteriores.
Solución.- Es correcta la opción a). Al preguntarse por extremos relativos
de una función en un punto, intentamos localizarlos y clasificarlos estu
diando primero su gradiente y su matriz Hessiana. Es sencillo ver que en
(0 . 0) se anulan las dos derivadas parciales de /:
(x.y) = 2xsen2 y, -| -/ (0 , 0 ) = 0 ,
d d
(x -y) = 2x¿ sen y eos y = x2 sen 2y, — f (0.0) = 0. dy dy
También es fácil comprobar que la matriz Hessiana es
„ . , 2 sen y 4x sen?/eos yH f ( x , y) = ' n' 4x sen y eos y 2x eos 2y
que particularizado en (0 , 0 ) es
H f ( 0 , 0 ) = 0 0 o o
Pero con esta matriz Hessiana no podemos concluir nada. Sin embargo,
observando la función, nos damos cuenta de que f (0,0) = 0 y que además
/ (x , y) > 0, al ser el producto de dos factores elevados al cuadrado. Por
eso, en (0 , 0 ) la función alcanza un valor mínimo relativo.
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234 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Ejercicio 262. Se van a introducir dos tipos de componentes electrónicos
en el mercado, que llamamos A y B. Se ha hecho una estimación de la
acogida que tendrán y se ha estimado que si x es el precio del compo
nente A e y es el precio de B, entonces durante el primer mes se venderán
12 —4 x + 3 y miles de unidades del primer producto y 1 5 + x —lOy miles de
unidades del segundo. Si el precio de fabricación del componente A es 1
euro y el de B es 0.90 euros, ¿qué precio deberían tener para maximizar
las ganancias?
Solución.- Si se quieren maximizar las ganancias, entonces debe ser máxi
mo el beneficio que se obtiene en la venta de cada componente. Este bene
ficio es la resta del precio de venta menos el coste de producción, es decir
x — 1 euros para el componente A e y — 0.9 euros para el B. Por eso, las
ganancias totales que se obtienen son el beneficio por componentemulti
plicado por las miles de unidades vendidas de este componente:
f {x, y) = { x - l ) (12 - 4x + 3y) + (y - 0,9) (15 + x - 10y)
= 15.1:r - 4.r2 + 4xy - 25.5 + 21 y - 10y2.
Los extremos se calculan igualando a 0 las derivadas parciales:
^L (x, y) = A (15.lx - 4x2 + 4xij - 25.5 + 21y - 10y2)
ox vdx
15,1 — 8x + 4 y — 0,
c) f c)
{x,y) = — (I5.hr - 4x2 + 4xy - 25.5 + 21y - 10y2)
oij ai/
= 4x + 21 - 20y = 0.
La segunda ecuación implica
21
x = 5 y - — ,
que sustituido en la primera da el precio al que hay que vender el compo
nente B
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235
Sustituyendo este valor en la relación x = 5y — obtenemos también el
precio al que se debe vende el componente A:
x = 5 • 1,5861 - — = 2,6805.
4
Nos queda por ver si este valor hace máximos los beneficios. Obtenemos la
matriz Hessiana con las derivadas parciales de orden 2:
O2 f ¡i2 f d2 f
*• w ( l 'y) = ~ 20' o r í h ¡ {x'y) = 4 '
En (2,6805.1,5861), el determinante de la matriz Hessiana es
-8 4
4 -2 0
= - 1 6 0 - 16 = 144.
Como es positivo y su elemento « n < 0, en este punto los beneficios son
máximos. Esto quiere decir que hay que vender el componente A a 2,6805
euros y el componente B a 1,5861 euros.
Ejercicio 263. Se quiere instalar un cable que conecte un punto de coor
denadas P = (.x , y) con los puntos A — (0 ,0), B == (4, 0) y C — (1,3). Se
busca que la suma del cuadrado de la distancia entre los puntos y (x, y)
sea mínima. ¿Cuáles son las coordenadas de P?
Solución.- Se ha representado la situación en la siguiente gráfica:
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236 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
La distancia entre el punto P y los puntos A, B y C es, respectivamente:
La función que describe la suma de los cuadrados de las distancias entre P
y los tres puntos dados es:
f (x. y ) = d2 (P, A) + d2 ( P B ) + d 2 (P, C)
= x 2 + y2 + (:r - 4 )2 + y2 + (x - l )2 + (y - 3)2
= 3a"2 + 3 y2 — lOx + 26 — 6 y.
Buscamos el mínimo de / y lo vamos a hacer localizando primero los pun
tos críticos y luego estudiando la matriz Hessiana para ver si nos permite
decidir si son extremos. Comenzamos con los puntos donde se anulan las
derivadas parciales:
La caracterización del punto crítico se hace con la matriz Hessiana, que es:
para cualquier (x,y). Su determinante es 36 y como la derivada segun
da respecto a x dos veces es positiva, la función / alcanza un mínimo en
d (P, A) = \J(x - O)2 + (y - O)2 = \¿x 2 +
— (x,y) = 6x - 10 = 0 ,
% {x,y) = 6y - 6 = 0.
De estas ecuaciones, resulta:
1 J . Estas son las coordenadas del punto que nos pedía el enunciado.
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237
Ejercicio 264. La función / (x.y) = x 2y está definida sobre el conjunto
S = { (x ,y ) € M2 : x2 + y2 < 1}. ¿Alcanza el máximo absoluto en este
conjunto? Justifique la respuesta.
Solución.- Sí, porque S es un conjunto cerrado y acotado y por el teorema
de los valores extremos, alcanza el máximo y el mínimo absolutos en este
conjunto.
Ejercicio 265. Se considera la función
f (x, y) = x 2 - y2
definida sobre el plano x + y = 0. Entonces:
a) En (1, - 1 ) se alcanza un mínimo condicionado.
b) En (1, —1) se alcanza un máximo condicionado.
c) En (1, - 1 ) hay un punto de silla.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución.- Son correctas las opciones a) y b). Es un problema que se resuel
ve con el método de los multiplicadores de Lagrange. Se define la función
F (x . y. A) = x- - y~ + A (x + y ) .
Por el enunciado, buscamos si en (1, —1) hay un punto crítico y de qué tipo
es. Primero comprobamos que es un punto crítico, es decir, si el gradiente
de F es 0 en ( 1 , - 1 , Aq) para Aq :
dx
d F
(x, y, A) = 2x + A = 0,
— {xxy, A) = - 2 y + A = 0,
d F
— [x.y. A) = x + y = 0.
De la última ecuación, resulta x = —y, que sustituido en las dos primeras
ecuaciones da:
-A
x = - y = ~ r -
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238 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Recuerde que el método de
los multiplicadores de La-
grange nos ayuda a localizar
los posibles extremos relati
vos de una función de dos
variables / sobre la curva
g (x . y ) = 0 (con gradiente no
nulo): son los puntos críticos
de la función
F (x.y. A) = f (x.y)
+ Ay (x. y) .
Entonces el punto ( 1 , - 1 ) es un punto crítico. El valor de / en los puntos
dados por la condición x + y = 0 (o x = —y) es
/ (X, -./•) = X2 — (—;/•)2 = x 2 — x 2 = 0 .
Por eso, en esta recta la función es idénticamente nula y en (1, — 1) se alcan
zan el máximo y el mínimo condicionados (la función es constante sobre la
recta).
Por la expresión de la restricción, podíamos haber resuelto el problema
despejando una de las variables para luego sustituir su valor en la función.
Así el problema se reduciría a un problema de una variable.
Ejercicio 266. Se pide calcular las dimensiones de una lata cilindrica de
volumen 300 mi para que la superficie sea mínima.
Solución.- El problema es, tal como se ha planteado en el Ejemplo 6.23 del
libro Cálenlo para ingenieros, calcular el mínimo de la función
/ (r, h) = 2x r 2 + 27Trh.
sujeto a la restricción g (r, /?,) = nr2h — 300 = 0, donde r es el radio de la base
y h es la altura de la lata. Como el radio y la altura deben ser mayores que 0
para que la lata cilindrica exista, vamos a suponer que r. h > 0. Aplicamos
el método de los multiplicadores de Lagrange y construimos la función:
F (r. h. A) = f (r. h) + Ag (r, h ) = 2nr2 + 2nrh + A (ixr2h — 300) .
Es una función continua y sus derivadas parciales también lo son. Por eso,
los puntos críticos son aquellos donde se anulan las derivadas parciales:
OF
—— (/'. h. A) = 47rr + 27tIi + 2A7rr/i = 0.
<Jr
<) F
—— (r. h, A) = 2-nr + Atrr2 = 0,
()n
—— (r. h. A) = ttv2Ii — 300 = 0.
o A
Como tiene que ser r > 0, entonces por la tercera ecuación se cumple:
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239
Además, por la segunda ecuación
nr (2 + Ar) = 0 4=> 2 + Xr = 0 = > A = —
r
Sustituyendo en la primera ecuación, tenemos:
4 i r r + 2 ^ - / — 4 - ^ = 0 4 7 rr '! — 600 = 0 ir r 3 = 150r ¿ r -
3/150 300
<í=> r = \ ---- ~ 3.6278 =4> h = — ~ 7,2557.
V 7T 7tH
Como el volumen está dado en mililitros, que son cm3, entonces las unida
des de la base y de la altura son centímetros.
Con el método de los multiplicadores de Lagrange no se puede deter
minar si estamos ante un área máxima, mínima o estamos ante un punto
de silla. Pero en este caso es sencillo averiguarlo, porque observamos que
de la restricción se deduce
300 , , , , , , 9 300 600h = — ^ / (r, h (r)) = 2irr + I txv— ~ = 27rr H .
tti- 7rr ¿ r
Obsérvese que esta función no alcanza el máximo, porque si hacemos que
r tienda a oo, entonces también tiende a oc.
Otra forma de resolver este ejercicio es reducirlo al estudio de extremos
de una función de una variable. Como se puede despejar h en función de
r, la función / se transforma en una función de una variable y los extremos
se determinan con la derivada primera y con la derivada segunda.
Ejercicio 267. Sabiendo que la función / (x, y) = x — y alcanza en el
conjunto S = { (x ,y) G IR2 : x 2 + y2 = 1} extremos absolutos, determine
en qué puntos los alcanza.
Solución.- Aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange a
F (x. y. A) = x - y + A (x2 + y2 — l) .
Obtenemos los puntos críticos de la función auxiliar anterior:
ü F
—— (x. y. A) = 1 + 2A.r = 0 .
2.V.- - 1.Or
— (X. y. A) = - 1 + 2Ay = 0, ^ 2Ay = 1.
11 x 2 + y2 - l = 0 .
d F
— (./•. y. A) = X2 + y2 - 1 = 0.
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240 C a p ít u l o 6 / Aplicaciones de la diferencial
Recuerde que el Teorema de
los valores extremos afirma
que si una función continua
/ está definida en un sub-
conjunto S C Kn cerrado y
acotado, entonces alcanza el
máximo y el mínimo absolu
tos en S. Además, los extre
mos absolutos se alcanzan en
la frontera de S o en un pun
to crítico de / que sea del in
terior de S.
Es sencillo obtener las soluciones de este sistema: se pueden despejar x
e y en las dos primeras ecuaciones y sustituir en la tercera, para calcular
primero el valor A y luego los de x e y. También se puede hacer con Maxima.
Su obtención se deja como ejercicio al lector y nos limitamos a escribir las
soluciones:
Por el enunciado, sabemos que en estos puntos alcanza el máximo y el míni
mo (la razón está en el teorema de los valores extremos). Además
y por eso, en se alcanza el máximo absoluto y en ) el
mínimo absoluto.
Ejercicio 268. Describa qué procedimiento seguimos para determinar
los extremos absolutos de / (x, y) = y2 sen2 (x + y) — x 2 en x2 + y2 < 1.
Solución.- El procedimiento nos lo da el teorema de los valores extremos:
por él, sabemos que está en la frontera del conjunto o es un punto crítico
del interior. Por eso, tenemos que localizar los puntos críticos que cumplen
x2 + y2 < 1 (es decir, que son del interior) y luego, aplicando el método de
los multiplicadores de Lagrange, los posibles extremos en x 2 + y2 = 1.
A continuación, se calcula el valor de / en los puntos críticos y en los
extremos condicionados. Donde se obtiene el valor mayor es donde se al
canza el máximo absoluto del conjunto y donde se obtiene el valor menor,
se alcanza el mínimo.
Nótese que no hace falta aplicar la condición suficiente de extremo (que
implica a la matriz Hessiana), porque no hace falta clasificar los extremos
relativos, sino localizar los extremos absolutos.
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Ejercicio 269. La temperatura de una placa circular de ecuación x 2+ y 2 <
4 para (x, y) £ M2 está dada por la función
T(x,y) = e x2 + ey\
¿Cuáles son la temperatura máxima y mínima que se alcanzan?
Solución.- Buscamos extremos de la temperatura T en el conjunto S =
{(.r. y) £ R 2 : x2 + y2 < 4}. Como la temperatura es una función continua
y la placa S es un conjunto cerrado y acotado, está asegurada la existen
cia de extremos absolutos. Basta determinar los candidatos a extremos y
averiguar en cuál (o cuáles) de ellos se alcanzan.
Primero encontramos los puntos críticos en el interior del conjunto. Los
extremos relativos en el interior de S se encuentran igualando a 0 las deri
vadas parciales de T :
dT = 2xe =0 4=> x = 0,dx
F = 2 yey2 = 0 ^ y = 0 .
dy
El punto (0,0) es el único candidato a extremo relativo de T en R 2 y, además,
está en S.
Utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange para determi
nar los extremos de T en C = { (x ,y) £ IR2 / x 2 + y2 = 4}. Definimos la
función auxiliar
F(x, y, A) = eJ)2 + c!r + A (x2 + y2 — 4)
y encontramos sus puntos críticos:
g F
-ry-(x. y. A) = 2xex“ + 2Ax = 2x e^x2 + Aj = 0 4=4 x = 0 o A = — ex?,
d F 2 / 2 \ 2
—— (x, y, A) = 2yev + 2Ay = 2y ( ey + A ) = 0 y — 0 o A = —ey ,
dy ' \ J
d F
— (x.y, A) = x2 + y2 - 4 = 0.
Observamos que x o y debe ser distinto de cero para que se cumpla la últi
ma ecuación. Por eso, tenemos las siguientes opciones:
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242 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
■ Si x = 0, y = ±\/4 — x2 = ± 2, los puntos críticos son (0,2) y (0. —2 ).
■ Si y = 0, entonces x = ±\/4 — y2 = ± 2 los puntos críticos son (2 . 0) y
( — 2 . 0 ).
■ Si A = - r ' ~ = —( !r, como por la última ecuación y = ±\/4 — x-,
entonces:
4 A = e c „2.r- = e 2.c = 4
= ± V 2 = ± s/2.
Así obtenemos los puntos críticos (\/2. \/2), (—\/2, \¡2), (y/2. — a/2) y
(-x/2 , -n/2 ).
Resumiendo, tenemos los puntos críticos del interior de S y los del conjunto
C . Por el teorema de los valores extremos, sabemos que en uno (o en varios)
de ellos se alcanzan los extremos absolutos. Para distinguirlos, calculamos
el valor de T en los candidatos:
r (0 , 0 ) = 2 ,
r ( 0 . 2 ) = T (0. —2) = T (2,0) = T ( - 2.0) = 1 + e4.
T ( A v / 2 ) = T( -v/2 . \/2) = T ( V 2 , - V 2 ) = T { - V 2 , - ^ 2 ) = 2c2.
Como
2 < 2f 2 < 1 + e 4,
la temperatura mínima es 2 y se alcanza en (0 , 0 ) y la máxima es 1 + e4 y se
alcanza en (0 , 2 ), (0 . —2 ), (2 , 0 ) y ( - 2 . 0 ).
Podíamos haber encontrado el mínimo sin hacer cálculos. Como r c“ y
2
e !r son mayores o iguales que 1, el mínimo se alcanzará cuando cada uno
de ellos sea 1, que es en (0 . 0 ).
Como la frontera de la restricción es x 2 + y2 = 4, podíamos haber es
crito x 2 en función de y2 y haber utilizado esta relación para expresar / en
función de y2. Este problema resultante es más sencillo de resolver que el
primero.
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Ejercicio 270. Sea / la función definida por
f { x , y ) = x2 + y.
¿Alcanza un máximo o un mínimo relativo o tiene un punto de silla entre
los puntos (x, y) tales que 2x — y = 0?
Solución.- Se buscan los extremos relativos de / entre los puntos que cum
plen la restricción g (x, y) = 2x - y = 0. Por eso, aplicamos el método de
los multiplicadores de Lagrange, y construimos la función auxiliar
F (;r. y, A) = / (x, y) + Ag (x, y) = x2 + y + A (2x - y) ,
Ahora tenemos que resolver el sistema que resulta de VA (x, y , A) = 0:
De la segunda ecuación resulta que A = 1, que sustituido en las otras dos
ecuaciones implica:
Esto sólo ocurre si x = — 1, y = —2. Por tanto, el único extremo posible se
alcanza en el punto (—1, — 2 ).
Para determinar si en este punto se alcanza un máximo o un mínimo
relativo nos fijamos en la restricción. En ella podemos expresar y en función
de x, y en este caso, la función / queda reducida a F f x ) = x2 + 2x. En este
caso, tenemos:
x ( z 'y -X)
2x + 2 A = 0
1 - A = 0
2x — y = 0 .
2x + 2 = 0, 2x — y = 0.
F'(x) = 2.x+ 2, F ' { - 1) = 0.
F"(x) = 2, F " ( —l ) = 2.
Por eso, podemos afirmar que en ( - 1 , - 2 ) la función f alcanza un mínimo
relativo.
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244 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
Ejercicio 271. Se quiere instalar una tubería entre dos puntos, A y B si
tuados en los puntos de coordenadas (0,0) y (300,100), de las dos riberas
de un río cuyo curso ocupa la región entre el eje a; y la recta y = 100. El
coste de la instalación de la tubería bajo el río es el triple que el coste de
la instalación en tierra. ¿Cuál debe ser el trazado para que el coste de la
instalación sea mínimo?
Solución.- Se cruza el río en el punto P de coordenadas (x, y). La situación
se representa en la siguiente figura:
Como se deduce fácilmente observando esta figura, la distancia que se re
corre en tierra es 300—x y en el río es y x 2 + y2. Como el coste de instalación
en el río es triple que el coste en tierra, si el coste por metro en tierra es k,
en el río es 3k y entonces el coste total sería:
k (300 - x) + 3k\/x2 + y2.
Queremos minimizar este valor, que es lo mismo que encontrar el mínimo
de la función:
/ (x. y) = 300 — x + 3 \Jx2 + y2.
por eso, buscamos sus puntos críticos. Observamos que hay una condición,
y es que y = 100. Esto simplifica mucho el problema, que queda reducido
a encontrar el mínimo en un problema de una variable:
h l.r) = f {x, 100) = 300 - x + 3 \A’2 + 1002.
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245
derivamos al función y queda:
, , , , 3.c
/i (%) — — l~b
2
\/.r2 + 1002 '
que se anula si
3X ,-------------
-1 + = 0 v ,r2 + 1002 = 3.r <=> x 2 + 1002 = 9.r
v/.r2 + 1002
8x2 = 1002 <=> x = ±25 v^.
Por el planteamiento del problema,la solución sólo puede ser x = 25\/2.
Lo vamos a comprobar con la derivada segunda:
3v/F T W - 3 ( V + iü0- ) - ; ¡ . t -
■r2 + 10° 2 “ s j i x + m f l f
3 • 1 0 0 2
\J (x- + 1002):
> 0 .
lo que quiere decir que es un mínimo relativo.
Como x e [0.300], vamos a calcular también el valor de h si x = 0,
x = 300, para comprobar que son menores que /i(25\/2). Tenemos:
h(0) = 300 - 0 + 3 \/02 + 1002 = 300 + 300 = 600,
h (300) = 300 - 300 + 3\/3002 + 1002 = 300\/l0 ~ 948,68,
h{25V2) = 300 - 2ov/2 + 3y/'{25V2)2 + 1002 = 300 + 200\/2 « 582,84.
Este resultado corrobora lo que nos había dicho la derivada segunda.
Ejercicio 272. Hallar los extremos, caracterizándolos, de la función
f { x , y , z ) = x + y + z
sujetos a la condición x 2 + 2y2 + 3z2 = 1.
Solución.- Si llamamos
g (x , y. z) = x 2 + 2y2 + 3z2 - 1,
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246 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
Recuerde que el método de
los multiplicadores de La-
grange nos dice cómo loca
lizar los extremos relativos
de una función de varias va
riables / sobre los puntos a
que cumplen g (á) = 0 (con
gradiente no nulo): los extre
mos se alcanzan en los pun
tos críticos de la función
F (a. X) = f (a) + \g ( a ) .
los puntos (x , y, z ) que cumplen g (x , y, z) = 0 son los de un elipsoide. Co
mo / y y son funciones continuas y con derivadas parciales continuas, apli
camos el método de los multiplicadores de Lagrange y definimos:
F(.i\ y. z. A) = x -(- y z -(- A (x~ -{- 2y2 3z2 — l) .
Sus puntos críticos son los puntos donde se anulan sus derivadas par
ciales
d F , d F
— (x, y,z , A) = 1 + 2Ax = 0. —— (x. ij. z, A) = 1 + 4Ay = 0.
ax dy
d F d F
—— (x. y,z , A) = 1 + 6Xz = 0, — - (x, y , z. A) = x 2 + 2y2 + 3z2 - 1 = 0.
dz d A
Como podemos suponer que A yf 0 (si lo fuera, ninguna de las tres primeras
derivadas parciales se anula), la única solución es
1_ _ _ 1
~ 2A’ V ~ _ 4A ' “ _ 6A
Imponiendo la condición de que el punto esté en la superficie definida por
d F
g, es decir, que se verifique — (x, y. z, A) = 0 resultaO A
1 1 1 - 1 - + 1
4A2 + 8 A2 + 12A2 “ ^ “ ^ 2 V ~G'
Los posibles extremos son:
Como la restricción determina un elipsoide (conjunto cerrado y acotado),
por el teorema de los valores extremos sabemos que / alcanza en él los
extremos absolutos. Por eso, basta con comparar su valor en estos puntos:
Así sabemos que en P\ se alcanza el máximo y en P2 el mínimo.
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Ejercicio 273. ¿Cuál es la distancia mínima del punto (0,0,0) a la super
ficie dada por 2 = xy + 4?
Solución.- La distancia entre (0. 0.0) y un punto de coordenadas (./•. y , 2) es
d (x. y. z ) = \/x2 + y- +
Calcular su mínimo es lo mismo (pero más complicado) que calcular el
mínimo de su cuadrado, es decir, el mínimo de
,/' (x,y, z) = x 2 + y2 + z2.
Además, el punto está en la superficie de ecuación 2 = xy + 4, es decir, los
puntos deben cumplir
xy + 4 — : = 0.
Construimos la función auxiliar:
F (x, y, z, A) = x 2 + y2 + z2 + A (xy + 4 — z) .
Entre sus puntos críticos están los extremos condicionados. Por eso, busca
mos los puntos en los que se anulan las derivadas parciales:
OF
(x. y. z. A) = 2x + Xy = 0,
d F
— (x,y, z. A) = 2y + Xx = 0,
oy
d F
— i x .y. z . A i = 2z - A = 0 .
d F
— (x.y, z. A) = xy + 4 - z = 0.
No es complicado resolver este sistema de ecuaciones: se pueden consi
derar los casos x = 0 y x ^ 0. El primero es sencillo y sale la solución
{x = 0. y = 0, 2 = 4, A = 8 }. En el segundo, podemos trabajar con las dos
primeras ecuaciones y llegar a una relación entre x e y, que junto con la ter
cera ecuación, luego se utiliza para expresar la última igualdad en función
de una de ellas y resolverla. No obstante, nosotros lo vamos a hacer con
Maxima, con las instrucciones:
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248 CAPÍTULO 6 / A plicaciones de la diferencial
e l : 2 * x + t * y = 0 ;
e 2 : 2 * y + t * x = 0 ;
e 3 : 2 * z - t = 0 ;
e 4 : x * y + 4 - z = 0 ;
a l g s y s ( [ e l , e 2 , e 3 , e 4 ] , [ x , y , z , t ] ) ;
Note que en estas sentencias hemos llamado t a A para facilitar al escri
tura con Maxima. La ecuación tiene soluciones reales e imaginarias; consi
deramos sólo las reales, que son:
j.r = VS. y = — \/3..: = 1, A = 2 j , j.r = — Vs, y = \f?>, z = 1, A = 2 j ,
{x = 0, y = 0, z = 4, A = 8 } .
Como sabemos que va a haber una distancia mínima (la hay entre una su
perficie y un punto) y que está entre estos puntos, para distinguir cuál es,
calculamos el valor de / en estos puntos:
/ ÍVs , — x/3, l ) = v^ 2 + ( - x ^ y + l 2 = 3 + 3 + 1 = 7,
/ (-\/3, \/3, l ) = ( - v 7^ )" + \/32 + l 2 = 3 + 3 + 1 = 7,
/(0,0,4) = O2 + O2 + 42 = 16.
Por eso, el mínimo se alcanza en los puntos (\/3, —\/3, l) y (\/3, —a/3, l ) .
La situación del problema se representa en la siguiente figura:
z
z = xy + 4
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Ejercicio 274. Sea / : tal que f (x, y) = x 2 + y2. Encontrarxy + y
los valores máximos y mínimos en el conjunto
A = U x ,y) / 1*1 < ! . 1^ 1 < 1} •
Solución.- El conjunto A es cerrado y acotado y la función es continua en él.
Por el teorema de los valores extremos, sabemos que / va a alcanzar en este
conjunto sus extremos absolutos (máximo y mínimo). La cuestión es ahora
cómo los encontramos. Sabemos que pueden estar entre los puntos críticos
del interior de A o en la frontera de A; los estudiaremos por separado.
Interior: Hay que estudiar los extremos relativos en el interior, es decir,
los puntos donde su gradiente es 0 :
d f o n d f— ( x . y ) = 2x-// = 0 . — í.r. y) = - x + 2y = 0
El único punto solución de las ecuaciones anteriores es Po = (0,0). Como
el determinante de la matriz Hessiana de f es:
det 2
- 1
= 4 - 1 = 3 > 0,
n-jy jjp i (0,0) = 2, el punto Po es un mínimo relativo. Más adelante veremos
si también es mínimo absoluto.
Frontera: La frontera consta de los puntos P\ = (1,1), P2 = (—1,1),
P3 = (—1, —1), P4 = (1, —1) y de los conjuntos
B = {x = 1, — 1 < y < 1}, C = {.r = — 1, — 1 < y < 1}
D = {y = 1 , - 1 < x < 1}, E = {y = — 1, — 1 < x < 1}
D
y
1
- 1 ; 1l 1 1 1 W'
C B
E - 1
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250 C a p ít u l o 6 / A plicaciones de la diferencial
Ahora hay que estudiar los extremos relativos en estos conjuntos. En D
tenemos que
/(!■//) = i - y + y2 = v{y)
con - 1 < y < 1. Como
/(//) = 2 y - 1.
el único punto crítico de (y) en el segmento (—1, 1) se alcanza en y =
que corresponde a P- = ( l, ) ) .
Análogamente (se dejan los cálculos para el lector), en C , D y E, los
puntos críticos son P() = (—1, — ^), P7 = (^, l) y A = ( — p — l) .
Los máximos y mínimos absolutos se alcanzan o en el mínimo relativo
o en los puntos P \, P>, P¿, P¡, P6, P7 y P8. Para determinar los extremos
absolutos, basta calcular el valor de f en estos puntos
/ ( P „ ) = 0 , /(Pi ) = l, / (P 2) = 3.
/ ( P !) = l. / (P4) = 3. / ( P5) = |
/ / - f (P 7 ) = l - ¡ ( P s ) = l -
A partir de estos resultados, observamos que el mínimo se alcanza en (0 . 0 )
y el máximo en (—1,1) y (1. - 4 ) .
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- Calcule a derivada de f (x)= 9x4+2 de acordo com suas regras e propriedades de derivação. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) f’ (
- Calcule a derivada de f (x)= 9x4+2 de acordo com suas regras e propriedades de derivação. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) f’ (
- Calcule a derivada de f (x)= 9x4+2 de acordo com suas regras e propriedades de derivação. Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) f’ (
- Considere a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2.Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 0. B) (1/2)x-1/2. C) 2. D) 1/2.
- Considere a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2.Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 0. B) (1/2)x-1/2. C) 2. D) 1/2.
- Considere a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2.Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 0. B) (1/2)x-1/2. C) 2. D) 1/2.
- Considere a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2.Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 0. B) (1/2)x-1/2. C) 2. D) 1/2.
- Considere que f(x) = x2 e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ): A) 2. B) 0. C) 3. D) 4. Para finalizar a avaliação é nece
- Considere que f(x) = x2 e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ): A) 2. B) 0. C) 3. D) 4. Para finalizar a avaliação é nece
- Verifique a continuidade da função f(x) com x=3: f(x) = teste Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 1. B) 4. C) 3. D) 5.
- Verifique a continuidade da função f(x) com x=3: f(x) = teste Acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A) 1. B) 4. C) 3. D) 5.
- eja fx) uma função definida por w-[S sex <2 TP+1 sezr>2 limite lim, ,2f(x) é igual a: A o B 2 c 3 D 2 ES
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