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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 RESUMO 1 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Observe a função y = f(x), contínua e derivável, 
cujo gráfico está representado abaixo. A função 
no ponto A passa de crescente para 
decrescente e no ponto B de decrescente para 
crescente. 
O ponto A é chamado de ponto de máximo 
relativo ou máximo local de f(x). 
O ponto B é chamado de ponto de mínimo 
relativo ou mínimo local de f(x). 
 
Os pontos A e B são os extremos da função y = 
f(x). 
Nos extremos, a derivada primeira é nula: 
 
 
Para saber se o ponto é máximo ou mínino, 
calcule-se a 2ª derivada: 
 
Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0 
Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0 
 
Na figura acima, o ponto C indica um ponto de 
inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a 
concavidade. 
Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x) 0 
Dizemos que uma função admite pontos críticos 
se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão. 
 
Exemplos 
 
1) estudar a função .33)( xxxf  
Solução: 
 
Pontos extremos: 
)2,1(
)(06)1´´(1
)2,1(
)(06)1´´(1
6)´´(
10323323)´(






MIN
mínimoFX
MAX
máximafx
xxf
xxxxf
 
Ponto de inflexão: 
)0,0(
006)´´(
INF
xxxf 
 
 
 
 
2) De todos os retângulos de perímetros igual a 
2p, ache o que tem área máxima. 
 
Solução: 
2 
 
 
S = x h 
2x + 2h = 2p h = p – x 
 
Substituindo-se em S = x h: 
 
S = x(p – x) = px - 2x 
S`= p – 2x = 0 x =
2
p
 e S`` = -2 
A altura h = p - 
2
p
= 
2
p
 
A área S = 
4
2p
 
 
Exercícios de Aula 
 
1-) De uma folha retangular de metal de 30 cm 
de base e 15 cm de altura deve-se fazer uma 
calha dobrando, no lado de 30 cm, as bordas 
perpendicularmente à folha. Quantos 
centímetros devem ser dobrados de cada lado 
de modo que a calha tenha capacidade 
máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) Deve-se construir uma caixa de base 
retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm 
de largura e 52 cm de comprimento, retirando-
se um quadrado de cada canto da cartolina e 
dobrando-se perpendicularmente os lados 
resultantes. Determine o tamanho do lado do 
quadrado que permite construir uma caixa de 
volume máximo. (Despreze a espessura da 
cartolina.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3-) A empresa Vista-se Bem Ltda fabrica 
vestidos de noiva. Suponha que a quantidade 
pedida por semana dos vestidos de noiva está 
relacionada ao preço unitário pela equação de 
demanda 𝑝 = √800 − 𝑥, onde p é medido em 
dólares e x é o número de vestidos de noiva 
feitos. Para maximizar as receitas, quantos 
vestidos de noiva deverão ser fabricados e 
vendidos a cada semana? 
Sugestão : R(x) = p. x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, 
deve ter a capacidade de 375𝜋 𝑐𝑚3. O custo do 
material usado para a base do recipiente é de 
15 centavos por 𝑐𝑚2 e o custo do material 
usado para a parte curva é de 5 centavos por 
𝑐𝑚2. Se não há perda de material, determine as 
dimensões que minimizam o custo do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
5-) Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra 
rodovia Leste-Oeste em um ponto P. Um 
automóvel passa por P ás 10h, dirigindo-se para 
o leste a 20km/h. No mesmo instante, outro 
automóvel está a 2 Km ao norte de P e se dirige 
para o sul a 50 km/h. Determine o instante em 
que os automóveis estão mais próximos um do 
outro, e aproxime a distância mínima entre eles 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6-) Uma pessoa se acha em um bote a 2 km de 
distância do ponto mais próximo em uma praia 
retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia 
abaixo. Se a pessoa pode remar à razão de 
3km/h e andar à razão de 5 km/h, determine o 
tempo mínimo que levará para atingir a casa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7-) Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à 
parede de um edifício, e está a 0,30 m desta. 
Determine o comprimento da menor escada que 
vá do chão à parede do edifício, tocando o 
muro. (sugestão: use triângulos semelhantes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8-) Um cartaz de 6m de altura está colocado no 
alto de um edifício, com sua parte inferior a 20 
m acima do olho do observador, conforme a 
figura a seguir. A que distância diretamente 
abaixo do cartaz deve colocar-se um 
observador de modo a maximizar o ângulo θ 
formado pelas linhas de visão do topo e da base 
do cartaz? (Este ângulo deve resultar na melhor 
visão do cartaz.) Sugestão: 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
1+𝑡𝑎𝑛𝛼.𝑡𝑎𝑛𝛽
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de Casa 
 
1. Calcule o extremo de cada função, indicando 
se o ponto é máximo ou mínimo, se existirem: 
a) 122  xxy 
b) xxy 62  
c) 742  xxy 
d) 82  xy 
e) xxy 102  
f) xxy 22  
 
g)g(x) = x3 − 3x2 + 4 
 
h)h(x) =
1
2
x4 − x2 
 
i)f(x) =
1
3
x3 − x2 − 3x + 4 
 
2. Quais são os pontos de inflexão, máximo e 
mínimo de ?263)( xxxf  
 
3. Encontre os pontos de máximo, mínimo e 
inflexão da função 
.93)( 23 xxxxf  
 
4. Para que valor de a, a função 12  axxy , 
terá ponto de mínimo em x = 1? 
 
5. Para que valor de a, a função 
xaxxxf 18232)(  admite extremo em x = - 
1? 
 
6. Quais são os extremos de ?133)(  xxxf 
 
7. Dada a função 315293)(  xxxxf , 
quais são as coordenadas dos pontos de 
máximo, de mínimo e inflexão? 
 
8. Ache as coordenadas dos pontos de máximo, 
mínimo e inflexão da função 
103263  xxxy . 
 
9. Qual é a área máxima do retângulo de 
perímetro igual a 20m? 
 
10. A partir de uma chapa quadrada com 12 dm 
de lado, quer-se construir uma caixa sem 
tampa, cortando-se um quadrado em cada 
canto da chapa e depois dobrando-se 
convenientemente. Qual deve ser o tamanho 
dos quadrados a serem cortados para que a 
caixa encerre o maior volume possível? 
 
11) Determine o número real positivo cuja 
diferença entre ele e seu quadrado seja 
máxima? 
 
12) A Cia. Preço Bom Ltda produz sorvetes e 
vende-os a um preço unitário de R$ 13,00. 
Estima-se que o custo total c para produzir e 
vender q unidades é dado por 
.243 23  qqqc Supondo que toda a 
produção seja absorvida pelo mercado 
consumidor, que quantidade deverá ser 
produzida para se ter lucro máximo? 
 
13) Dois números estritamente positivos tem 
soma 60. Quais são esses números se o 
produto de um deles pelo quadrado do outro é o 
máximo possível? 
 
7 
 
14)Determinar dois números positivos cujo 
produto seja 16 e a soma seja a menor 
possível. 
 
15)Quer-se construir um cercado retangular 
aproveitando-se uma parede já existente. Se 
existe material suficiente para se construir 100 
m de cerca, quais as dimensões do cercado 
para se ter a maior área cercada possível? 
 
16) Prove que os seguintes conjuntos admitem 
máximo ou mínimo: 
 
a)






 2
2
1
/
12 x
x
xA 
b) 








 22/
1 2
x
x
x
A 
c) 









 11/
1 2
2
x
x
xx
A 
 
17) Seja  ]1;1[:f dada por 
2
2
1
)(
x
xx
xf


 . 
a-)Prove que )1(f é o valor máximo de f . 
b-)Prove que existe 1x ]-1;0[ tal que )( 1xf é 
o valor mínimo de f . 
 
18) A projeção para a população mundial é de 
 
P(t) = 0,00074t3 − 0,0704t2 + 0,89t + 6,04 
 
(0 ≤ t ≤ 10) 
 
No ano t, onde t é medido em décadas e t = 0 
corresponde a 2000 e P(t) é medidoem bilhões. 
a-)Mostre que a população mundial terá um 
máximo por volta de 2071. 
b-)Qual será a população máxima? 
Fonte:International Institute for Aplplied Systems 
Analysis. 
 
19) A quantidade demandada mensal de 
relógios de pulso Sicard está relacionada com o 
preço unitátio pela equação 
 
p =
50
0,01x2+1
 (0 ≤ x ≤ 20) 
 
Onde p é medido em dólares e x em milhares. 
Quantos relógios precisam ser vendidos para 
maximizar a receita? 
Sugestão: R(x) = p.x 
 
20) A Betty Moore Company exige que os 
recipientes de seus embutidos tenham 
capacidade de 54𝑝𝑜𝑙3, tenham a forma de 
cilindros retos circulares e sejam feitos de 
alumínio. Determine o raio e altura do recipiente 
que requer a menor quantidade de metal. 
 
21) Um silo de grãos tem a forma de um cilindro 
circular reto coberto por um hemisfério (veja a 
figura a seguir). Se o silo deve ter a capacidade 
de 504𝜋 𝑝é𝑠3, encontre o raio e altura do silo 
que requer a mínima quantidade de material 
para a sua construção. 
 
 
 
22) No diagrama a seguir, S representa a 
posição de uma central elétrica localizada em 
8 
 
uma costa reta, e E mostra a localização de 
uma estação experimental de biologia marinha 
em uma ilha. Um cabo deve ser usado para 
conectar a estação experimental à central 
elétrica. Se o custo de instalação do cabo em 
terra for $ 1,50/pé e o custo de instalação do 
cabo sob a água é de $ 2,50/pé, localize o 
ponto P que resultará no custo mínimo. 
 
 
 
23-) A figura a seguir mostra um hipódromo que 
termina em um formato semicircular. O 
comprimento da pista é de 1760 pés. Encontre l 
e r de forma que a área cercada pela região 
retangular da pista é a máxima possível. Qual é 
a área cercada nesse caso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1).a) Min(1, 0) 
 b) Min (3,-9) 
 c) Max (2, 11) 
 d) Min (0,-8) 
 e) Max (5, 25) 
 f) Max (1, 1) 
 g)Max(0,4) e Min(2,0) 
 h)Max(0,0) Min(-1,-1/2) Min(1,-1/2) 
 i)Min(3,-5).......Max(-1,17/3) 
 
2) (2,-16) 
 
3) Não existem 
 
4) – 2 
 
5) – 6 
 
6) Max (- 1,3);Min(1,-1) 
 
7) Max (1, 10);Min(5,-22) 
 
8)(2,0) 
 
9)25
2m 
 
10)2 dm 
 
20) raio = 2 pol e altura = 4 pol 
 
22) 2250 pés 
 
23)440 pés 140 pés...184874 pés quadrados