APOL - Estrutura Algébrica

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Questão 1/5 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio p(x)=x4−3x3+6x2p(x)=x4−3x3+6x2 pelo polinômio q(x)=x2−3x+5:q(x)=x2−3x+5: 
Nota: 20.0
	
	A
	r(x)=3x−5.r(x)=3x−5.
Você acertou!
Basta observar que p(x)=(x2+1)⋅q(x)+(3x−5).p(x)=(x2+1)⋅q(x)+(3x−5).
	
	B
	r(x)=3x+5.r(x)=3x+5.
	
	C
	r(x)=2x−5.r(x)=2x−5.
	
	D
	r(x)=2x+5.r(x)=2x+5.
	
	E
	r(x)=x−5.r(x)=x−5.
Questão 2/5 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 20.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
Você acertou!
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.
Questão 3/5 - Estrutura Algébrica
No conjunto dos números inteiros Z,Z, defina as operações: a∗b=a+b e a△b=0.a∗b=a+b e a△b=0. Com base neste conjunto com estas operações, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel.
II. (   ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel unitário.
III. (   ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) possui divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois (Z,∗,△)(Z,∗,△) satisfaz os seis axiomas de anel. Além disso, se x∈Zx∈Z é a unidade, então a△x=a.a△x=a. Porém, o resultado de aplicarmos a operação △△ é sempre 0. Isso mostra que (Z,∗,△)(Z,∗,△) não é unitário e a afirmativa II é falsa. Por fim, a afirmativa III é verdadeira, pois 1≠0 e 2≠0,1≠0 e 2≠0, mas 1△2=0.1△2=0.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 4/5 - Estrutura Algébrica
Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B;
(ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R.
II. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z.
III. (   ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares  C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
Você acertou!
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa. 
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 5/5 - Estrutura Algébrica
Considere o anel (R×R,+,⋅),(R×R,+,⋅), onde as operações de adição ++ e multiplicação ⋅⋅ são definidas por (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd).(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd). Considere também o homomorfismo f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definido por f(a,b)=[a00b].f(a,b)=[a00b]. Com base nesta função, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. (   ) f(1,1)f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).M2(R).
II. (   ) O núcleo de ff é o conjunto N(f)={(0,0)}.N(f)={(0,0)}.
III. (   ) O conjunto imagem de ff é Im(f)=M2(R).Im(f)=M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois f(1,1)=[1001]=If(1,1)=[1001]=I é matriz identidade que satisfaz A⋅I=AA⋅I=A para toda matriz A∈M2(R).A∈M2(R).Observamos que (a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000],(a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000],
donde a=b=0.a=b=0. Logo, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, pois Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R).Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R).
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.