apol 2 estrutura algébrica

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica 
Dados os 
polinômios p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2,p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2, a
ssinale a alternativa que apresenta os valores de aa e de bb para que a divisão de 
p(x)p(x) por q(x)q(x) seja exata: 
Nota: 10.0 
 
A a=−2 e b=−3.a=−2 e b=−3. 
 
 
B a=2 e b=3.a=2 e b=3. 
 
 
C a=−4 e b=3.a=−4 e b=3. 
Você acertou! 
O resto da divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) é o polinômio r(x)=(a+4)x+(b−3).r(x)=(a+4)x+(b−3). Esta divisão é exata quando r(x)=0,r(x)=0, donde a=−4 e b=3.a=−4 e b=3. 
 
D a=−4 e b=−3.a=−4 e b=−3. 
 
 
E a=4 e b=3.a=4 e b=3. 
a=4 e b=3. 
 
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica 
Um homomorfismo é uma função especial que preserva as operações dos anéis 
envolvidos. Com base nestas funções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e 
F quando falsa. 
 
I. ( ) A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=x+2f(x)=x+2 é um homomorfismo. 
 
II. ( ) A função f:Z→M2(Z)f:Z→M2(Z) definida por f(a)=[a00a]f(a)=[a00a] é um 
homomorfismo. 
 
III. ( ) A função f:Z→Zf:Z→Z definida por f(x)=xf(x)=x é um homomorfismo. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
 
C V, V, F. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois f(0)=2≠0.f(0)=2≠0. Por outro lado, as afirmativas II e III são verdadeiras, já que f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para 
todos x∈Z.f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x⋅y)=f(x)⋅f(y) para todos x∈Z. 
 
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado a seguir: 
 
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas 
estruturas e considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, 
assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 
A B={x∈Q; x∉Z}B={x∈Q; x∉Z} é subanel de Q.Q. 
 
B ZZ é um ideal de Q.Q. 
 
C B={[abc0]∈M2(R)}B={[abc0]∈M2(R)} é subanel de M2(R).M2(R). 
 
D I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel das funções F(R,R).F(R,R). 
Você acertou! 
Sejam f,g∈I.f,g∈I. Então, f(0)=0 e g(0)=0.f(0)=0 e g(0)=0. Daí (f−g)(0)=f(0)−g(0)=0−0=0,(f−g)(0)=f(0)−g(0)=0−0=0, o que mostra que f−g∈I.f−g∈I. Além disso, 
dadas f∈F(R,R) e g∈I,f∈F(R,R) e g∈I, segue que (f⋅g)(0)=f(0)⋅g(0)=f(0)⋅0=0,(f⋅g)(0)=f(0)⋅g(0)=f(0)⋅0=0, donde f⋅g∈I.f⋅g∈I. 
Portanto, I={f:R→R; f(0)=0}I={f:R→R; f(0)=0} é ideal do anel F(R,R).F(R,R). 
 
E Se II é um ideal do anel (A,+,⋅),(A,+,⋅), então II é subanel de (A,+,⋅).(A,+,⋅). 
 
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado a seguir: 
 
Observe os polinômios 
f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4.f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Considerando p(
x)p(x) e q(x),q(x), e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário. 
 
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1. 
 
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é 
q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8. 
 
 
 
Estão corretas apenas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I. 
 
B I e II. 
 
C I e III. 
 
D II. 
 
E II e III. 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é correta, pois a potência da variável xx no termo dominante é 1. Também observamos 
que f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31,f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31, o qual garante que a afirmativa III seja correta. 
 
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado: 
 
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão 
Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram 
como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. 
 
 
Considerando esta noção e os conteúdos das aulas, é correto afirmar que: 
Nota: 10.0 
 
A ZZ é ideal de Q.Q. 
 
B ZZ é ideal de R.R. 
 
C QQ é ideal de R.R. 
 
 
 
D J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R). 
 
 
 
E 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z. 
Você acertou! 
De fato, dados a,b∈2Za,b∈2Z, temos a=2xa=2x e b=2yb=2y com x,y∈Z.x,y∈Z. Assim, a−b=2(x−y)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z. Além disso, 
se k∈Zk∈Z e a∈2Z,a∈2Z, vale ak=ka=2(xk)∈2Zak=ka=2(xk)∈2Z, onde a=2xa=2x para algum x∈Zx∈Z. Portanto, 2Z2Z é um ideal de Z.Z. 
 
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica 
Considere o enunciado a seguir: 
 
As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. 
Com base nestas funções, analise as afirmativas: 
 
I. A função f:Z→Zf:Z→Z dada por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo. 
 
II. Para o homomorfismo f:Z→Rf:Z→R dado por f(x)=x,f(x)=x, temos 
N(f)={0}N(f)={0} e Im(f)=Z.Im(f)=Z. 
 
III. A função f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definida 
por f(a,b)=(a00b)f(a,b)=(a00b) é um homomorfismo. 
 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Nota: 10.0 
 
A I. 
 
B I e II. 
 
C I e III. 
 
D II. 
 
E II e III. 
Você acertou! 
A função definida na afirmativa II é um homomorfismo. Além disso, x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0.x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0. Assim, N(f)={0}.N(f)={0}. Também verificamos 
que Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z.Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z. Logo, a afirmativa II é verdadeira. A afirmativa III também é verdadeira, 
pois f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d)f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d) para todos (a,b),(c,d)∈R×R.(a,b),(c,d)∈R×R. 
 
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica 
Sobre a noção de homomorfismo de anéis, é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A A função f:R→Rf:R→R definida por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo. 
 
B A função f:Z→Rf:Z→R dada por f(x)=xf(x)=x é um epimorfismo. 
 
C A função f:Z×Z→M2(Z)f:Z×Z→M2(Z) definida por f(a,b)=[a00b]f(a,b)=[a00b] é um monomorfismo. 
Você acertou! 
Claramente, ff é um homomorfismo. Além disso, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)}, o que garante que ff é injetora. Portanto, ff é um monomorfismo. 
 
D A imagem do homomorfismo f:Z→Q, f(x)=xf:Z→Q, f(x)=x é o conjunto Im(f)=Q.Im(f)=Q. 
 
E O núcleo do homomorfismo nulo f:R→R, f(x)=0f:R→R, f(x)=0 é o conjunto N(f)={0}.N(f)={0}. 
 
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado a seguir: 
 
Considere o anel (R×R,+,⋅),(R×R,+,⋅), onde as operações de adição ++ e 
multiplicação ⋅⋅ são definidas por 
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(ac,bd).(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)⋅(c,d)=(a
c,bd). Considere também o homomorfismo f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definido 
por f(a,b)=[a00b].f(a,b)=[a00b]. Com base nesta função e nos conteúdos do livro-
base Estruturas Algébricas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a 
afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. 
 
I. ( ) f(1,1)f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).M2(R). 
 
II. ( ) O núcleo de ff é o conjunto N(f)={(0,0)}.N(f)={(0,0)}. 
 
III. ( ) O conjunto imagem de ff é Im(f)=M2(R).Im(f)=M2(R). 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V-V-V. 
 
B V-F-V. 
 
C V-V-F. 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira, pois f(1,1)=[1001]=If(1,1)=[1001]=I é matriz identidade que satisfaz A⋅I=AA⋅I=A para toda matriz A∈M2(R).A∈M2(R).Observamos 
que (a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000],(a,b)∈N(f)⟺f(a,b)=[0000]⟺[a00b]=[0000], 
donde a=b=0.a=b=0. Logo, N(f)={(0,0)}N(f)={(0,0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, 
pois Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R).Im(f)={[a00b]∈M2(R)}≠M2(R). 
 
D V-F-F. 
 
E F-V-V. 
 
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado a seguir: 
 
No conjunto dos números inteiros Z,Z, defina as operações: 
a∗b=a+b e a△b=0.a∗b=a+b e a△b=0. Considerando este conjunto com estas 
operações e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale V quando a 
afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. 
 
I. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel. 
 
II. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) é um anel unitário. 
 
III. ( ) (Z,∗,△)(Z,∗,△) possui divisores de zero. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 
A V-V-V. 
 
B V-F-V. 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira, pois (Z,∗,△)(Z,∗,△) satisfaz os seis axiomas de anel. Além disso, se x∈Zx∈Z é a unidade, então a△x=a.a△x=a. Porém, o resultado de aplicarmos a 
operação △△ é sempre 0. Isso mostra que (Z,∗,△)(Z,∗,△) não é unitário e a afirmativa II é falsa. Por fim, a afirmativaIII é verdadeira, pois 1≠0 e 2≠0,1≠0 e 2≠0, mas 1△2=0.1△2=0. 
 
C V-V-F. 
 
D V-F-F. 
 
E F-V-V. 
 
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica 
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando 
a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa 
estrutura, analise as afirmativas: 
 
I. ZZ é um subanel de Q.Q. 
 
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R). 
 
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 0.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos 
também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com 
isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas.