1. Torção e Cargas Combinadas ENC072

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TORÇÃO E CARGAS COMBINADAS
Prof. Msc. Igor Roberto Cabral Oliveira
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Manaus, 201515/03/2015 16:33:27 1
UNIVERSIDADE NILTON LINS
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
TÓPICO 1
TORÇÕES
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
TÓPICO 1: TORÇÃO E CARGAS COMBINADAS
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - OBJETIVOS
Determinar as tensões no interior de elementos lineares sujeitos a 
esforços torcionais;
Determinar o ângulo de torção quando o material comporta-se de 
maneira linear-elástica;
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
1º Definição:
O torque é o momento (binário) que tende a torcer o membro em
torno de seu eixo longitudinal.
2º Definição:
Este momento aplicado produz tensões de cisalhamento sobre as
faces perpendiculares ao eixo.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
3º Definição:
As tensões e as deformações por cisalhamento produzidas pelo
momento torçor variam linearmente ao longo de qualquer reta radial (eixo),
sendo nulas no centro até atingir um valor máximo na superfície externa do
elemento estrutural. Elas atuam na seção transversal sempre na direção
perpendicular ao raio ou a seção transversal do elemento.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
Vídeos:
Vídeo 1 – Ensaio de torção em um elemento metálico de seção circular.
Vídeo 2 – Ensaio de torção em uma peça de madeira de seção circular.
Vídeo 3 – Ensaio de torção em um elemento metálico de seção quadrada.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
1º Observação:
A seção transversal circular sólida ou vazada permanecer lisa e sem
distorções (aço).
2º Observação:
A seção transversal não circular os eixos são distorcidas quando
submetidos à torção.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
3º Observação:
Se considerar uma carga de torção aplicada em um elemento cilíndrico, 
ao observar qualquer seção longitudinal verificará que ao deforma-se forma 
um losango.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
4º Observação: 
Uma vez que as extremidades do elemento permanece plana, a tensão 
de cisalhamento é igual ao ângulo de torção 
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
5º Observação: 
O tipo de material definirá, também, o tipo de falha:
No caso de materiais dúcteis, quando submetido à torção, a quebra 
ocorre em um plano de corte máxima, isto é, num plano perpendicular 
ao eixo da peça.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
5º Observação: 
No caso de materiais frágeis, quando submetido à torção, ocorre
quebras ao longo dos planos perpendiculares à direção em que a tensão é um
máximo, ou seja, tendendo a ser ao longo das superfícies a 45 ° em relação ao
eixo da peça.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - CONCEITOS 
6º Observação: 
Ao analisar um ponto do elemento com faces paralelas e
perpendiculares em relação ao eixo da peça, este está sujeito a tensões de
cisalhamento. Quando verificado outro o ponto não paralelo este está sujeito
a tensões normais e cisalhantes.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULASTORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Daqui resulta:
Tensão de cisalhamento é proporcional ao torque e ao raio: 
Multiplicando a equação anterior pelo módulo de cisalhamento, a partir da Lei 
de Hooke: 
L
L ρφγρφγ == or 
maxγ
ργ G
c
G = γτ G= maxτ
ρ
τ
c
=
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Encontro que a tensão de cisalhamento varia de forma linear em relação ao
raio da secção.
E como a soma das tensões distribuídos na seção é igual ao momento binário,
maxτ
ρ
τ
c
=
J
c
dA
c
dAT max2max τρτρτ ∫ =∫ ==
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Resultará na fórmula de cisalhamento devido a torção elástica:
4
2
1 cJ pi= ( )414221 ccJ −= pi
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Para determinar o ângulo de torção, basta lembrar, que a tensão de
cisalhamento é proporcional ao torque e ao raio.
E aplicando a lei de Hooke e a fórmula da tensão de cisalhamento, tem-se:
L
cφγ =maxγτ G= JG
Tc
G
==
max
max
τγ
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Igualando as expressões, encontra-se o ângulo de torção.
Se o carregamento ou a secção transversal do eixo apresentar torções
alternadas ao longo do comprimento , o ângulo de rotação é encontrado como
sendo a soma do segmento das rotações.
JG
TL
=φ
∑=
i ii
ii
GJ
LTφ
L
cφγ =max JG
Tc
G
==
max
max
τγ
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• TORÇÃO - FÓRMULAS
Resumindo:
Tensão de cisalhamento ->
Momento de Inércia ->
Ângulo de torção ->
Somatória dos ângulos sujeitos a diferentes torsões ->
JG
TL
=φ
∑=
i ii
ii
GJ
LTφ
4
2
1 cJ pi= ( )414221 ccJ −= pi
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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CARGAS COMBINADAS
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TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• CARGAS COMBINADAS - OBJETIVOS
Determinar as tensões normais e cisalhantes resultantes de
carregamentos simultaneamente aplicados, utilizando o método da
superposição.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
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• CARGAS COMBINADAS - CONCEITOS
Frequentemente a seção transversal de um elemento está
sujeita a vários tipos de carregamento simultaneamente. Em
Resistência dos Materiais I, foi desenvolvido métodos para determinar
as distribuições de tensão em elementos sujeitos a uma força axial
interna, uma força cortante, e um momento fletor.
E na introdução de Resistência dos Materiais II, foi aprendido
como determinar as tensões devido a torção.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• CARGAS COMBINADAS - CONCEITOS
- Exemplo de estrutura submetida a carregamento combinado:
Viga perfil I sustentada por um cabo com carregamento axial e fletor
combinados.
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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TÓPICO 1: TORÇÃO E CARGAS COMBINADAS
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• CARGAS COMBINADAS - FÓRMULAS
Tensão Normal Axial
Tensão Normal devido ao Momento Fletor
Tensão Cisalhante
Tensão Cisalhante devido ao Momento Torçor
TORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
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• CARGAS COMBINADAS - FÓRMULASTORÇÃO
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
CARGAS COMBINADAS
- OBJETIVOS
- CONCEITOS
- FÓRMULAS
- EXERCÍCIOS
Tensão Normal Axial Tensão Normal devido ao 
Momento Fletor
Tensão Cisalhante Tensão Cisalhante devido ao 
Momento Torçor
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