Álgebra_Sup-cap1

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1. Noc¸o˜es Preliminares
Neste capı´tulo apresentaremos noc¸o˜es premilinares, que sera˜o
necessarias para melhor entendimento da teoria apresentada nos pro´ximos
capı´tulos.
1.1 Conjuntos
Designaremos por conjunto qualquer colec¸a˜o de objetos os quais
chamaremos de elementos. O conjunto vazio e´ o conjunto que na˜o
possui elementos e e´ simbolizado por ∅. Usaremos letras maiu´sculas
para simbolizar conjuntos e minu´sculas para simbolizar elementos. A
afirmac¸a˜o de que o elemento x pertence ao conjunto A e´ simbolizado
por x ∈ A, enquanto a sua negac¸a˜o, e´ simbolizada por x /∈ A.
Como principais exemplos, temos os conjuntos nume´ricos, para os
quais usaremos as seguintes nomenclaturas:
N = {0, 1, 2, 3, · · · , n, · · · } (conjunto dos nu´meros naturais).
Z = {· · · ,−m, · · · ,−1, 0, 1, · · · , n, · · · } (conjunto dos nu´meros inteiros).
Q = {m
n
| m,n ∈ Z com n 6= 0} (conjunto dos nu´meros racionais).
R = {nu´meros racionais e nu´meros irracionais} (conjunto dos nu´meros
reais).
C = {x + iy | x, y ∈ R com i = √−1} (conjunto dos nu´meros com-
plexos).
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10
Sabemos que
√
2 ∈ R mas √2 /∈ Q e √−2 = √−1√2 = i√2 ∈ C mas
√−2 /∈ R.
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencerem a um
conjunto B dizemos que A esta´ contido em B ou que B conte´m A,
ou ainda que A e´ subconjunto de B e denotaremos por A ⊂ B. Essa
relac¸a˜o e´ chamada de inclusa˜o. Dizemos que dois conjuntos A e B
sa˜o iguais (A = B) se eles possuem os mesmo elementos.
Os conjuntos nume´ricos citados no exemplo acima satisfazem a
seguinte relac¸a˜o de inclusa˜o
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Definic¸a˜o 1.1.1. O conjunto formado pelos elementos pertencentes a
um conjunto A ou a um conjunto B sera´ denotado por
A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} e chamado de unia˜o de A e B
Definic¸a˜o 1.1.2. O conjunto formado pelos elementos pertencentes
simutalneamente a um conjunto A e a um conjunto B sera´ denotado
por
A ∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B} e chamado de intersec¸a˜o de A e B
Exemplo 1.1.1. Sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {−2, 0,√2,√4}. Temos
que
A ∪B = {−2, 0, 1,
√
2, 2, 3} e A ∩ B = {0, 2}.
Dados dois conjunto quaisquer A e B vale que
A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A,A ∩ B ⊂ A e A ∪ B ⊃ A.
Definic¸a˜o 1.1.3. O conjunto formado pelos elementos pertencentes a
um conjunto A e na˜o pertecentes a um conjunto B sera´ denotado por
A−B = {x | x ∈ A e x /∈ B} e chamado de diferenc¸a entre A e B.
Definic¸a˜o 1.1.4. O conjunto formado por todos os subconjuntos de
um conjunto A sera´ denotado por
℘(A) = {X | X ⊂ A} e chamado de conjunto das partes de A.
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Exemplo 1.1.2. Sendo A = {x ∈ Z| x2 ≤ 4} e B = {−1, 0, i4}. Temos
que
A−B = {−2, 2} e ℘(B) = {∅, {−1}, {0}, {1}, {−1, 0}, {−1, 1}, {0, 1}, {−1, 0, 1}}.
Definic¸a˜o 1.1.5. Sejam os conjuntos Ω e A tal que A ⊂ Ω. O conjunto
formado por todos os elementos pertencentes ao conjunto Ω que na˜o
pertencem ao conjunto A, sera´ denotado por
CΩA = {x | x ∈ Ω e x /∈ A} e chamado de conjunto complemetar de A em Ω.
Exemplo 1.1.3. Sendo A = {m ∈ Z | m2 ≥ 10} e Ω = Z. Temos que
CΩA = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}.
Saiba Mais: Para
mais detalhes so-
bre a teoria de
conjunto, ver re-
fereˆncia [6] 1.1.1 Exercı´cios
1. Sendo A = {x ∈ N | x2 < 9}, B = {−1, 0, 1} e C = {in | n ∈ N}.
Calcule:
(a) A ∪ B ∪ C
(b) A ∩ B ∩ C
(c) (A ∪ B)− C
(d) (A− B) ∪ C
(e) (A ∩ C)− (A ∪ B)
(f) ℘(A) ∪ ℘(B − C)
(g) ℘(A− B) ∩ ℘(B ∩ C)
(h) C − B
(i) (C −B) ∪ CNA
2. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A,B ⊂ Ω e C , tem
-se:
(a) A ⊂ A
(b) Se A ⊂ B e B ⊂ C enta˜o A ⊂ C
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(c) Se A ⊂ B e B ⊂ A enta˜o A = B
(d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∪ C)
(e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(f) A− (C ∪B) = (A− C) ∩ (A− B)
(g) (C ∪ B)−A = (C −A) ∪ (B − A)
(h) CΩ(A ∪B) = CΩA ∩ CΩB
(i) CΩ(A ∩B) = CΩA ∪ CΩB
(j) A− B = A ∩ CΩB
1.1.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) A ∪ B ∪ C = {−i,−1, 0, 1, 2, i}
(b) A ∩ B ∩ C = {1}
(c) (A ∪ B)− C = {0, 2}
(d) (A− B) ∪ C = {−i,−1, , 1, 2, i}
(e) (A ∩ C)− (A ∩B) = ∅
(f) ℘(A)∪℘(B−C) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}{0, 1, 2}}
(g) ℘(A− B) ∪ ℘(B ∩ C) = {∅, {0}, {2}}
(h) C − B = {−i, i}
(i) (C − B) ∪ CNA = {−i, i, 3, 4, 5, · · · }
2. (a)
(b)
(c)
(d) Seja x ∈ (A ∪ B) ∩ C enta˜o x ∈ A ∪ B e x ∈ C, daı´ x ∈ A
ou x ∈ B, e x ∈ C. Logo, x ∈ A e x ∈ C, ou x ∈ B e x ∈ C,
portanto x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∪ C).
Por outro lado, seja x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∪ C) enta˜o x ∈ A e
x ∈ C, ou x ∈ B e x ∈ C, daı´ x ∈ A ou x ∈ B, e x ∈ C,
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logo x ∈ A ∪ B e x ∈ C, portanto x ∈ (A ∪ B) ∩ C. Assim,
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∪ C).
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Seja x ∈ A − B enta˜o x ∈ A e x /∈ B, como A ⊂ Ω , daı´
x ∈ A, e x ∈ Ω e x /∈ B, portanto x ∈ A ∩ CΩB.
Por outro lado, seja x ∈ A ∩ CΩB enta˜o x ∈ A, e x ∈ Ω e
x /∈ B, daı´ x ∈ A e x /∈ B, portanto x ∈ A − B. Assim,
A− B = A ∩ CΩB.
1.2 Relac¸o˜es Bina´rias
Definic¸a˜o 1.2.1. Dados dois conjuntos A e B, na˜o vazios, chama-
se produto cartesiano de A por B o conjunto formados pelos “pares
ordenados” (a, b) com a ∈ A e b ∈ B e denotado por
A× B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.
Definic¸a˜o 1.2.2. Chama-se relac¸a˜o bina´ria de A por B qualquer sub-
conjunto R de A× B. Noutras palavras
R e´ uma relac¸a˜o de A em B ⇐⇒ R ⊂ A×B.
Para indicar que (a, b) ∈ R usaremos a notac¸a˜o a R b (leˆ-se: a se
relaciona com b segundo R). Do contra´rio, usaremos o notac¸a˜o a��R b
(leˆ-se: a na˜o se relaciona com b segundo R)
Exemplo 1.2.1. Se A = {0, 1} e B = {−1, 0, 1}, enta˜o:
A× B = {(0,−1), (0, 0), (0, 1), (1,−1), (1, 0), (1, 1)}.
Segue abaixo, alguns exemplos de relac¸o˜es bina´ria de A em B:
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R1 = {(0,−1), (0, 1)}
R2 = {(0,−1), (1,−1), (1, 0), (1, 1)}
R3 = {(0, 1), (1, 0)}
R4 = ∅
Definic¸a˜o 1.2.3. Quando A = B diz-se que R e´ uma relac¸a˜o sobre A,
ou ainda, uma relac¸a˜o em A
Exemplo 1.2.2. Se A = {0, 1, 2} enta˜o:
A2 = A×A = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.
Segue abaixo, alguns exemplos de relac¸o˜es bina´ria em A:
R1 = {(0, 1), (0, 2)}
R2 = {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}
R3 = {(0, 1), (1, 0)}
Citaremos a seguir as principais propriedades que uma relac¸a˜o R so-
bre um conjunto A pode satisfazer:
a) (Reflexiva) Dizemos R e´ reflexiva se:
∀ x ∈ A =⇒ x R x.
No exemplo 1.2.2 apenas R2 e´ reflexiva.
b) (Sime´trica) Dizemos R e´ sime´trica se:
∀ x, y ∈ A tal que x R y =⇒ y R x.
No exemplo 1.2.2 apenas R3 e´ sime´trica.
c) (Transitiva) Dizemos R e´ transitiva se:
∀ x, y, z ∈ A tal que x R y e y R z =⇒ x R z.
No exemplo 1.2.2 R1,R2 e R3 e´ transitiva.
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d) (Anti-sime´trica) Dizemos R e´ anti-sime´trica se:
∀ x, y ∈ A tal que x R y e y R x =⇒ x = y.
ou, a equivalente:
∀ x, y ∈ A tal que x 6= y =⇒ x��R y ou y ��R x.
No exemplo 1.2.2 apenas R3 na˜o e´ anti-sime´trica.
SAIBA MAIS:
Para mais de-
talhes sobre a
relac¸a˜o bina´ria,
ver refereˆncia [1]
Exemplo 1.2.3. Considere A = N∗ = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } e uma relac¸a˜o
em A definida por
n R m⇐⇒ n|m } (leˆ-se: n divide m)
Vamos analisar quais propriedades a relac¸a˜o acima se verifica:
1. ´E reflexiva pois ∀ n ∈ N∗ =⇒ n R n pois n|n.
2. Na˜o e´ sime´trica, pois 2|4 ⇐⇒ 2 R 4 mas 4 na˜o divide 2. Assim
4 ��R 2.
3. ´E transitiva pois ∀ n,m, p ∈ N∗ tal que n R m ⇐⇒ n|m e
m R p⇐⇒ m|p enta˜o n R p⇐⇒ n|p.
4. ´E anti-sime´trica pois ∀ n,m ∈ N∗ tal que n R m ⇐⇒ n|m e
m R n⇐⇒ m|n enta˜o n = m.
1.2.1 Exercı´cios
1. Considere A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {0, 1, 2}. Determine:
(a) A× B
(b) B × A
(c) R1 = {(a, b) ∈ A× B ; a = b+ 2}
(d) R2 = {(a, b) ∈ A× B ; a ≤ b}
(e) R3 = {(a, b) ∈ B × B ; b = a2}
2. Seja A = {1, 2, 3}. Considere as seguintes relac¸o˜es em A:
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R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}
R2 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 2)(2, 3)}
R3 = {(3, 1), (3, 2), (1, 3)}
R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
R5 = A× A
Quais sa˜o reflexivas?sime´tricas? transitivas? anti-sime´tricas?
3. Considere A = Z∗ = {· · · ,−2,−1, 1, 2, · · · } e uma relac¸a˜o em A
definida por
n R m⇐⇒ n|m } (leˆ-se: n divide m.)
Podemos afirmar que a relac¸a˜o e´: reflexiva? sime´trica? transi-
tiva? anti-sime´trica?
1.2.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (4, 0), (4, 1), (4, 2)}
∪ {(6, 0), (6, 1), (6, 2), (8, 0), (8, 1), (8, 2)}.
(b) {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (0, 6), (0, 8), (1, 0), (1, 2), (1, 4)}
∪ {(1, 6), (1, 8), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}.
(c) R1 = {2, 0), (4, 2)}
(d) R2 = {0, 0), (0, 1), (0, 2)(2, 2)}
(e) R3 = {0, 0), (1, 1)}
2. (a) Reflexivas: R4 e R5
(b) Sime´tricas: R2,R4 e R5
(c) Transitivas: R2,R4 e R5
(d) Anti-sime´tricas:R1 e R3
3. Reflexiva e transitiva.
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1.3 Relac¸o˜es de Equivaleˆncia e Relac¸o˜es de
Ordem
Definic¸a˜o 1.3.1. Uma relac¸a˜o R sobre o conjunto A 6= ∅ chama-
se relac¸a˜o de equivaleˆncia em A se, e somente se, R e´ reflexiva,
sime´trica e transitiva, isto e´, se vale as sentenc¸as:
I) ∀ x ∈ A =⇒ x R x.
II) ∀ x, y ∈ A tal que x R y =⇒ y R x.
III) ∀ x, y, z ∈ A tal que x R y e y R z =⇒ x R z.
Quando R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A, para indicar
que (a, b) ∈ R usaremos a notac¸a˜o a ≡ b (R) (leˆ-se: a e´ equivalente
a b mo´dulo R).
Exemplo 1.3.1. A relac¸a˜o R2 = {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} so-
bre A = {0, 1, 2} e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois verifica-se as
sentenc¸as I), II) e III).
Exemplo 1.3.2. A relac¸a˜o de igualdade em R dada por
x R y ⇐⇒ x = y
e´ um relac¸a˜o de equivaleˆncia pois:
I) ∀ x ∈ R =⇒ x R x⇐⇒ x = x.
II) ∀ x, y ∈ R tal que x R y =⇒ x = y ⇐⇒ y = x⇐⇒ y R x.
III) ∀ x, y, z ∈ R tal que x R y ⇐⇒ x = y e y R z ⇐⇒ y = z.
Asim x = z, e, portanto x R z.
Exemplo 1.3.3. Considere A = N∗ = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } e relac¸a˜o em
A definida por
n R m⇐⇒ n|m } (leˆ-se: n divide m)
na˜o e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia, pois a mesma na˜o sime´trica.
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Exemplo 1.3.4. Seja m um nu´mero inteiro positivo. A relac¸a˜o de con-
grueˆncia mo´dulo m sobre Z dada por:
x R y ⇐⇒ x ≡ y(mod m)⇐⇒ x− y e´ mu´ltiplo inteiro de m
e´ um relac¸a˜o de equivaleˆncia pois:
I) ∀ x ∈ Z =⇒ x ≡ x(mod m)⇐⇒ x− x = 0 que mu´ltiplo de m
II) ∀ x, y ∈ Z tal que x ≡ y(mod m) =⇒ x − y e´ mu´ltiplo inteiro de
m, assim −(x − y) = y − x e´ mu´ltiplo inteiro de m. Portanto
y ≡ x(mod m).
III) ∀ x, y, z ∈ Z tal que x ≡ y(mod m) =⇒ x − y e´ mu´ltiplo inteiro
de m e y ≡ z(mod m) =⇒ y − z e´ mu´ltiplo inteiro de m. Assim
x− z = (x− y) + (y − z) o qual e´ mu´ltiplo inteiro de m. Portanto
x ≡ z(mod m).
Definic¸a˜o 1.3.2. Seja R relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre o conjunto A.
Dado a ∈ A, chama-se classe de equivaleˆncia determinada por a,
mo´dulo R, o subconjunto a de A constituı´do pelos elementos x ∈ A
tais que x R a, o qual denotaremos por:
a = {x ∈ A| x R a }
Definic¸a˜o 1.3.3. O conjunto das classes de equivaleˆncia mo´dulo R
sera´ denotado por A/R e chamado conjunto quociente de A por R.
Exemplo 1.3.5. Na relac¸a˜o R2 = {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} so-
bre A = {0, 1, 2}, temos:
0 = {0}
1 = {1, 2}
2 = {2, 1}
A/R = {{0}, {1, 2}}.
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Exemplo 1.3.6. Na relac¸a˜o de igualdade em R dada por
x R y ⇐⇒ x = y.
Temos:
x = {x}
R/R = R
.
Exemplo 1.3.7. Considere relac¸a˜o de congrueˆncia mo´dulo m sobre Z
dada por:
x R y ⇐⇒ x ≡ y(mod m)⇐⇒ x− y e´ mu´ltiplo inteiro de m.
Provaremos no pro´ximo capı´tulo que o conjunto quociente Z/R que
sera´ denotado por Zm tem exatamente m elementos, ou seja:
Zm = {0, 1, 2, · · · , m− 1}.
No caso em que m = 2 temos que
Z2 = {0, 1}.
Observac¸a˜o 1.3.1. Quando R for uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em
geral usaremos a notac¸ao˜ ∼ em vez de R.
Proposic¸a˜o 1.3.4. Seja ∼ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A e
sejam x, y ∈ A. Enta˜o
1.) x = y ⇐⇒ x ∼ y.
2.) x 6= y ⇒ x ∩ y = ∅.
3.) ⋃
x∈A
x = A
Prova. 1.)(=⇒): Sejam x, y ∈ A tal que x = y. Vamos provar que
x ∼ y. De fato, pela definic¸a˜o, temos que
x = {a ∈ A | a ∼ x} = y = {b ∈ A | b ∼ y}.
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Como x ∈ x = y =⇒ x ∼ y.
(⇐=): Sejam x, y ∈ A tal que x ∼ y. Vamos provar que x = y e para
isto vamos provar que x ⊂ y e y ⊂ x. De fato:
Seja a ∈ x =⇒ a ∼ x, como x ∼ y, enta˜o por transitividade, temos
que a ∼ y ⇒ a ∈ y e de modo ana´logo chegamos a inclusa˜o y ⊂ x,
e daı´ segue que x = y.
2.) Suponha por absurdo que x ∩ y 6= ∅. Seja a ∈ x ∩ y, assim a ∼ x
e a ∼ y, por sime´tria x ∼ a e agora usando a transitividade temos
que x ∼ y. Portanto por 1.), nos garante que x = y, que e´ uma
contradic¸a˜o, e daı´ segue que x ∩ y = ∅.
3.) Vamos provar que ⋃
x∈A
x ⊂ A e A ⊂ ⋃
x∈A
x. De fato:
Como x ⊂ A para todo x ∈ A segue que ⋃
x∈A
x ⊂ A. Agora, para
qualquer x ∈ A temos que x ∈ x e portanto segue que A ⊂ ⋃
x∈A
x e
com isto, segue o afirmado.
Definic¸a˜o 1.3.5. Uma relac¸a˜o R sobre o conjunto A 6= ∅ chama-se
relac¸a˜o de ordem parcial em A se, e somente se, R e´ reflexiva, anti-
sime´trica e transitiva, isto e´, se vale as sentenc¸as:
i) ∀ x ∈ A =⇒ x R x.
ii) ∀ x, y ∈ A tal que x R y e y R x =⇒ x = y
iii) ∀ x, y, z ∈ A tal que x R y e y R z =⇒ x R z.
Quando R e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial sobre A, para indicar-
mos que (a, b) ∈ R usaremos a notac¸a˜o a � b (R)(leˆ-se: a precede b
na relac¸a˜o R).
Para indicarmos que (a, b) ∈ R com a 6= b usaremos a notac¸a˜o
a ≺ b (R)(leˆ-se: a precede estritamente b na relac¸a˜o R).
Qaundo na˜o houver du´vida quanto a relac¸a˜o de ordem parcial so-
bre A, para indicarmos que (a, b) ∈ R usaremos a notac¸a˜o a � b (leˆ-
se: a precede b), ou no caso em que a 6= b indicaremos simplesmente
a ≺ b (leˆ-se: a precede estritamente b).
21
Definic¸a˜o 1.3.6. Uma relac¸a˜o de ordem parcial R sobre o conjunto
A 6= ∅ diz-se relac¸a˜o de ordem total em A se, e somente se para todo
a, b ∈ A, a e b se dizem compara´veis, isto e´,
a � b ou b � a.
Exemplo 1.3.8. A relac¸a˜o R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} sobre A = {0, 1, 2}
e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial, pois verifica-se as sentenc¸as i), ii) e
iii).
Exemplo 1.3.9. A relac¸a˜o em R dada por
x R y ⇐⇒ x ≤ y
e´ um relac¸a˜o de ordem total pois:
i) ∀ x ∈ R =⇒ x R x pois x ≤ x.
ii) ∀ x, y ∈ R tal que x R y ⇐⇒ x ≤ y e y R x⇐⇒ y ≤ x enta˜o x = y
III) ∀ x, y, z ∈ R tal que x R y ⇐⇒ x ≤ y e y R z ⇐⇒ y ≤ z.
Asim x ≤ z, e, portanto x R z.
Ale´m disso, dados quaisquer x, y ∈ R tem-se que x ≤ y ou y ≤ x.
Observac¸a˜o 1.3.2. Prova-se com essa relac¸a˜o que os conjunto nume´ricos
N,Z,Q,R sa˜o totalmente ordenados, ou seja, a relac¸a˜o e´ de ordem to-
tal, mas o mesmo na˜o ocorre para o conjunto nume´rico C.
Exemplo 1.3.10. Considere A = N∗ = {1, 2, 3, · · · , n, · · · } e uma relac¸a˜o
em A definida por
n R m⇐⇒ n|m } (leˆ-se: n divide m).
Enta˜o R e´ relac¸a˜o de ordem parcial, pois vale i), ii) e iii). A relac¸a˜o
na˜o e´ total pois, 2 na˜o divide o 3 e nem 3 divide o 2.
1.3.1 Exercı´cios
1. Quais relac¸o˜es abaixo sa˜o de equivaleˆncia ou ordem parcial so-
bre A = {0, 2, 4, 6, 8}?
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(a) R1 = {(a, b) ∈ A× A ; a = b+ 2}
(b) R2 = {(0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 6), (6, 6), (6, 8)(8, 8)}
(c) R3 = {(a, b) ∈ A× A ; b = a2}
(d) R4 = A× A
2. Seja A o conjunto de triaˆngulos do espac¸o euclidiano. Seja R a
relac¸a˜o em A tal que:
xRy ⇐⇒ x e´ semelhante a y.
Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivalencia.
3. Seja F a famı´lia de todos subconjuntos do conjunto A. Seja R a
relac¸a˜o inclusa˜o em F definida por:
x R y ⇐⇒ x ⊂ y.
Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial.
4. Seja A = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 8} e relac¸a˜o de equivaleˆncia R em A
definida por
x R y ⇐⇒ ∃ k ∈ Z; x− y = 4k.
Determine A/R.
5. Seja R relac¸a˜o sobre Q definida por
x R y ⇐⇒ x− y ∈ Z.
Mostrar que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e determinar a
clase1.
6. Seja R relac¸a˜o sobre C definida por
(x+ iy) R (a+ ib)⇐⇒ x2 + y2 = a2 + b2.
Mostrar que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e determinar a
clase 1 + i.
23
7. Seja R relac¸a˜o sobre C definida por
(x+ iy) R (a+ ib)⇐⇒ x < a ou (x = a e y ≤ b).
Mostrar que R e´ uma relac¸a˜o de ordem total.
Nota: esta relac¸a˜o e´ chamada de ordem lexicogra´fica.
1.3.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) R1 na˜o e´ reflexiva, portanto na˜o pode ser uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia ou de ordem parcial.
(b) R2 na˜o e´ transitiva, portanto na˜o pode ser uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia ou de ordem parcial.
(c) R3 na˜o e´ reflexiva, portanto na˜o pode ser uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia ou de ordem parcial.
(d) R4 e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia mas na˜o de ordem par-
cial.
2.
3.
4. Temos que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Assim,
0 = {0, 4, 8} = 4 = 8, 1 = {1, 5} = 5, 2 = {2, 6} = 6, 3 = {3, 7} = 7.
Portanto:
A/R = {{0, 4, 8}, {1, 5}, {2, 6}, {3, 7}}.
5. Vamos mostrar que as propriedades: reflexiva, sime´trica e tran-
sitiva. De fato;
I) ∀ x ∈ Q =⇒ x R x pois x− x = 0 ∈ Z
II) ∀ x, y ∈ Q tal que x R y ⇐⇒ x − y ∈ Z, assim −(x − y) =
y − x ∈ Z. Portanto y R x.
24
III) ∀ x, y, z ∈ Q tal que xR y ⇐⇒ x−y ∈ Z e y R z ⇐⇒ y−z ∈ Z.
Assim x− z = (x− y) + (y − z) ∈ Z. Portanto x R z.
Logo R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre Q.
Por definic¸a˜o, temos que
1 = {x ∈ Q | 1Rx⇔ 1− x ∈ Z ⇔ x ∈ Z} = Z.
6.
7.
1.4 Func¸o˜es
Nesta sec¸a˜o trabalheremos com um tipo especial de relac¸a˜o entre
conjuntos na˜o vazios.
Definic¸a˜o 1.4.1. Uma relac¸a˜o f de A em B diz-se func¸a˜o de A em B
se para cada x ∈ A existe u´nico y ∈ B tal que x se relaciona com y e
denotaremos simbolicamente por:
f : A −→ B
x 7−→ y = f(x)
O conjunto A chama-se domı´nio de f , B chama-se contra-domı´nio
de f e f(A) = {y ∈ B | ∃ x ∈ A tal que y = f(x)} chama-se imagem e
denotaremos a imagem de f por Im(f).
Saiba Mais: Para
mais detalhes so-
bre a teoria de
func¸o˜es, ver re-
fereˆncia [5]
Exemplo 1.4.1.
Sejam A = {1, 4, 9} e B = {0, 1, 2, 3}. Considere as seguintes relac¸o˜es
de A em B
1. R1 = {(a, b) ∈ A×B | a = b+ 3} = {(4, 1)}.
2. R2 = {(a, b) ∈ A×B | a− b e´ mu´ltiplo de 2} donde
R2 = {(1, 1), (1, 3), (4, 0), (4, 2), (9, 1), (9, 3)}.
3. R3 = {(a, b) ∈ A×B ; a = b2} = {(1, 1), (4, 2)(9, 3)}.
25
A relac¸a˜o R1 na˜o e´ func¸a˜o, pois o elemento 1 ∈ A na˜o possui um
elemento corresponde em B. A relac¸a˜o R2 na˜o e´ func¸a˜o, pois o ele-
mento 4 ∈ A possuei dois elementos correspondentes em B, a saber
0 e 2. Agora,a relac¸a˜o R3 e´ func¸a˜o pois cada elemento de A possui
um u´nico elemento correspondente em B.
Citaremos a seguir exemplos de algumas func¸o˜es definidas nos
conjuntos nume´ricos:
Exemplo 1.4.2.
I.
f : N −→ Q
n 7−→ 1
n + 1
II.
f : R −→ R
x 7−→ y = ax+ b com a, b ∈ R e a 6= 0
III.
f : R −→ R
x 7−→ y = x2
IV.
f : R −→ R
x 7−→ y = ex
V.
f : R −→ C
x 7−→ z = eix = cosx+ i sen x
Seja X ⊂ A e a func¸a˜o f : A −→ B, denotaremos por:
a) f(X) = {f(x) |x ∈ X } ⊂ B o qual chamaremos de imagem de
X por f .
b) f |X : X −→ B a func¸a˜o cujo domı´nio e´ X contra-domı´nio e´ B e
cuja lei de formac¸a˜o e´ a mesma de f , isto e´, f |X(x) = f(x) ∀ x ∈
X e chamaremos f |X de restric¸a˜o de f em X.
Definic¸a˜o 1.4.2. Considere a func¸a˜o f : A −→ B.
26
1. Diz-se que f e´ injetiva se para todo x1, x2 ∈ A com x1 6= x2 temos
que f(x1) 6= f(x2) ( ou equivalentemente, se f(x1) = f(x2) temos
que x1 = x2).
2. Diz-se que f e´ sobrejetiva se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal
que y = f(x), noutras palavras Im(f) = B.
3. Diz-se que f e´ bijetiva se, e somente se, f for simultaneamente
injetiva e sobrejetiva.
No exemplo (1.4.2) os itens I., II. e IV. sa˜o de func¸o˜es injetivas e
apenas II. e´ de func¸a˜o sobrejetiva, o que nos garante que a func¸a˜o
do item II. e´ bijetiva.
Definic¸a˜o 1.4.3. Considere a func¸a˜o f : A −→ B e b ∈ Y ⊂ B.
Denotaremos por:
1. f−1(b) = {a ∈ A |f(a) = b } a qual chamaremos de imagem
inversa de b ∈ B por f .
2. f−1(Y ) = {a ∈ A |f(a) ∈ Y } a qual chamaremos de imagem
inversa de Y ⊂ B por f .
Observac¸a˜o 1.4.1. Se b ∈ Im(f) enta˜o f−1(b) ⊂ A e agora se b /∈
Im(f) enta˜o f−1(b) = ∅.
Exemplo 1.4.3. Seja a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = x2, temos
que
f−1(1) = {−1, 1}, f−1(2) = {−
√
2,
√
2}, f−1(−1) = ∅ e f−1([0, 1]) = [−1, 1].
Exemplo 1.4.4. Seja a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = sen x,
temos que
f−1(0) = {x = kpi, com k ∈ Z} e f−1([−1, 1]) = R.
Definic¸a˜o 1.4.4. Considere a func¸a˜o f : A −→ B e g : B −→ C. Deno-
taremos por (g ◦ f)(a) = g(f(a)) para todo a ∈ A, a qual chamaremos
de func¸a˜o composta de g e f .
27
Exemplo 1.4.5. Seja a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = x + pi e
g : R −→ R dada por f(x) = sen x enta˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x+ pi) = sen (x+ pi) = − sen x.
Definic¸a˜o 1.4.5. A func¸a˜o IA : A −→ A dada pela lei IA(x) = x para
qualquer que seja x ∈ A e´ chamada de func¸a˜o identidade de A e A.
Proposic¸a˜o 1.4.6. Seja a func¸a˜o f : A −→ B bijetiva. Enta˜o f admite
uma u´nica func¸a˜o g : B −→ A denominada de func¸a˜o inversa de f tal
que
g ◦ f = IA e f ◦ g = IB e denotada por f−1 = g
.
Prova. Se f : A −→ B bijetiva, enta˜o uma func¸a˜o g : B −→ A tal
que para cada y ∈ B temos g(y) = x onde x e´ u´nico tal que f(x) = y.
Assim para todo x ∈ temos (g ◦f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x e para todo
y ∈ B temos (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y. Portanto
g ◦ f = IA e f ◦ g = IB.
Se tivessemos outra func¸a˜o h : B −→ A inversa de f , enta˜o da relac¸a˜o
f(g(y)) = y e f(h(y)) = y =⇒ g(y) = h(y) ∀y ∈ B pois f e´ injetiva.
Portanto h = g, como querı´amos demonstrar.
Observac¸a˜o 1.4.2. Na˜o confundir a func¸a˜o inversa f−1 com a imagem
inversa de f .
Como vimos no exemplo (1.4.2) a func¸a˜o f : R −→ R definida por
f(x) = ax+ b com a, b ∈ R e a 6= 0 e´ bijetiva, e portanto admite func¸a˜o
inversa f : R −→ R definida por f−1(x) = 1
a
x− b
a
.
Ainda, no exemplo (1.4.2) a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = ex
e´ injetiva e sua imagem e´ dada por
Im(f) = {y ∈ R | y > 0 } = R∗+,
assim se redifinirmos a func¸a˜o f : R −→ R∗+ dada por f(x) = ex temos
que a mesma e´ bijetiva e sua func¸a˜o inversa f−1 : R∗+ −→ R e´ dada
por f−1(x) = lnx.
28
1.4.1 Exercı´cios
1. Sejam A = {0, 1, 4, 9} e B = {0, 1, 2, 3}. Considere as seguintes
relac¸o˜es de A em B:
(a) R1 = {(4, 1), (0, 1)(1, 1), (9, 3)}
(b) R2 = {(a, b) ∈ A× B | a− b e´ mu´ltiplo de 2}
(c) R3 = {(0, 0), (1, 1), (4, 0)(9, 3)}
Quais das relac¸o˜es acima sa˜o func¸o˜es? Caso positivo, classifique-
as em injetiva ou sobrejetiva.
2. Seja a func¸a˜o f : R −→ R definida por
f(x) =


x− 1 se x > 0
x2 se x ≤ 0
Determinar f(1)+f(−1), f([−1, 1]) f−1(−1)∪f−1(1) e f−1([−1, 1]).
3. Seja a func¸a˜o f : R −→ R definida por f(x) = x2 − x
Calcule:
f−1(−1) ∪ f−1(1), f−1((−∞, 0]), f−1([0, 1]) e f−1([1,+∞))
4. Sejam a func¸a˜o f : A −→ B, os conjuntos X, Y ⊂ A e Z ⊂ B.
Provar que:
(a) se X ⊂ Y enta˜o f(X) ⊂ f(Y )
(b) f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y )
(c) f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y )
(d) X ⊃ f−1(f(X)) e f(f−1(Z) ⊂ Z
(e) Se f e´ bijetiva f(CAX) = CBf(X).
5. Classificar (se possı´vel) em injetiva ou sobrejetiva as seguintes
func¸o˜es de R em R
(a) f(x) = x+√2
(b) f(x) = x5
29
(c) f(x) = x2 + x
(d) f(x) = x+ |x|
2
(e) f(x) = pix.
6. Das func¸o˜es anteriores que forem injetivas, exiba sua imagem e
calcule sua inversa sobre sua imagem.
7. Seja a func¸a˜o f : A −→ B e conjuntos X, Y ⊂ B. Provar que:
f−1(X − Y ) = f−1(X)− f−1(Y ).
8. Seja f : A −→ B. Defina a relac¸a˜o R sobre A dada por: Dados
x, y ∈ A
xRy ⇐⇒ f(x) = f(y).
Prove que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
9. Seja F = {f | f : R −→ R}. Defina a relac¸a˜o R sobre F dada
por: Dados f, g ∈ F
fRg ⇐⇒ f(x) ≤ g(x) ∀ x∈ R.
Prove que R e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial.
1.4.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) R1 e´ func¸a˜o, mas na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
(b) R2 na˜o e´ func¸a˜o.
(c) R3 e´ func¸a˜o, mas na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
2. f(1)+f(−1) = 1, f([−1, 1]) = (−1, 1], f−1(−1)∪f−1(1) = {−1, 2}
e f−1([−1, 1]) = [−1, 2].
3. f−1(−1) ∪ f−1(1) = {1±
√
5
2
}, f−1((−∞, 0]) = [0, 1],
f−1([0, 1]) = [
1−√5
2
, 0] ∪ [1, 1 +
√
5
2
]
e f−1([1,+∞)) = (−∞, 1−
√
5
2
] ∪ [1 +
√
5
2
,+∞]
30
4. (a) seja z ∈ f(X) enta˜o existe x ∈ X tal que z = f(x). Como
X ⊂ Y , assim x ∈ Y , daı´ z = f(x) ∈ f(Y ).
(b)
(c)
(d)
(e)
5. (a) f e´ injetiva e sobrejetiva
(b) f e´ injetiva e sobrejetiva
(c) f na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva
(d) f na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva
(e) f e´ injetiva.
6. (a) Im(f) = R e f−1(x) = x−√2, (b) Im(f) = R e f−1(x) = 5√x,
(e) Im(f) = R∗+ e f−1(x) = logpi x.
7.
8. Devemos mostrar que R e´ reflexiva, sime´trica e transitiva. Com
efeito:
(a) Temos xRx, pois f(x) = f(x), logo R e´ reflexiva.
(b) Se xRy ⇐⇒ f(x) = f(y)⇐⇒ f(y) = f(x)⇐⇒ yRx, logo R
e´ sime´trica
(c) Se xRy ⇐⇒ f(x) = f(y) e yRz ⇐⇒ f(y) = f(z), daı´ f(x) =
f(z)⇐⇒ xRz, logo R e´ transitiva.
Portanto, R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
9.
	Noções Preliminares
	Conjuntos 
	Exercícios 
	Algumas respostas, sugestões e soluções 
	Relações Binárias
	Exercícios 
	Algumas respostas, sugestões e soluções 
	Relações de Equivalência e Relações de Ordem
	Exercícios 
	Algumas respostas, sugestões e soluções 
	Funções
	Exercícios 
	Algumas respostas, sugestões e soluções