Resumo calculo_2

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Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral II– Engenharia Ambiental 
Prof.: Adriana Borssoi 
 1 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus de Londrina 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA AMBIENTAL 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LONDRINA 
2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas Notas de Aulas são organizadas com base 
nas referências mencionadas abaixo, de onde 
também são extraídos exemplos e exercícios 
sugeridos. O material não pretende substituir 
um bom livro de Cálculo, mas serve como um 
apoio aos alunos no acompanhamento das 
aulas. 
 
Os livros textos adotados no curso são: 
 
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. 
Cálculo. vol. 1 e 2. Tradução: Claus I. 
Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 
 
 
 
Como Bibliografia Complementar sugerimos: 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica, vol 1 e 2. Harbra, São Paulo, SP: 
1994 
 
FINNEY, R. L; WEIR, M. D; GIORDANO, F. 
R. Cálculo de George B. Thomas, vol. 2. 10ª 
edição. Trad. Cláudio H. Asano. São Paulo: 
Addison Wesley, 2003. 
 
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: um curso 
moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2002. 
 
STEWART, James. Cálculo v. I e II, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2006. 
 
VILCHES, M.A; CORREA, M.L. Cálculo 
vol. 1 e 2, UFRJ. (Material Eletrônico) 
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1. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
O estudo de integrais definidas pode ser extendido 
além do caso, já visto, de um intervalo limitado 
[ , ]a b . Podemos obter integrais onde o intervalo é 
infinito e também para o caso onde f tem uma 
descontinuidade infinita em [ , ]a b . Nestes casos, a 
integral é denominada integrais impróprias. 
 
 
Intervalos Infinitos 
Considere a função 
2
1
y
x
= . Selecionamos a região 
R sob a curva, acima do eixo x e à direita da reta 
1x = . 
 
Figura 1 
 
Poderíamos pensar que, por R ter extensão infinita, 
sua área deve ser infinita, mas observe que, a área 
de R, destacada na figura, à esquerda da reta x t= , 
é 
2
11
1 1 1
( ) 1
tt
A t dx
x x t
= = − = −∫ . 
 
 Independente de quão grande seja t, ( ) 1A t < , pois, 
1
lim ( ) lim 1 1
t t
A t
t→∞ →∞
 = − = 
 
. 
 
Assim, concluímos que a área da região infinita R é 
igual a 1 e escrevemos: 
2 2
1 1
1 1
lim 1
t
t
dx dx
x x
∞
→∞
= =∫ ∫ 
 
 
Definição de uma Integral Imprópria do Tipo1 
a) Se ( )
t
a
f x dx∫ existe para cada número t a≥ , 
então ( ) lim ( )
t
t
a a
f x dx f x dx
∞
→∞
=∫ ∫ desde que o limite 
exista. 
 
b) Se ( )
b
t
f x dx∫ existe para cada número t b≤ , 
então ( ) lim ( )
b b
t
t
f x dx f x dx
→−∞
−∞
=∫ ∫ desde que o 
limite exista. 
 
As integrais impróprias ( )
a
f x dx
∞
∫ e ( )
b
f x dx
−∞
∫ 
são denominadas convergentes se os limites 
correspondentes existem, e divergentes se os 
limites não existem. 
 
c) Se ( )
a
f x dx
−∞
∫ e ( )
a
f x dx
∞
∫ são convergentes, 
então ( ) ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞
= +∫ ∫ ∫ , neste 
caso, a∈ℝ . 
 
 
Exemplo_1: Determine se a integral 
1
1
dx
x
∞
∫ é 
convergente ou divergente. (Resp. divergente) 
 
 
Exemplo_2: Avalie 
0
x
xe dx
−∞
∫ , cuja 
representação é dada na figura. (Resp. -1) 
 
 
Figura 2 
 
Exemplo_3: Avalie 
2
1
1
dx
x
∞
−∞ +
∫ , cuja 
representação é dada na figura. (Resp. π ) 
 
Figura 3 
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 3 
 
 
Definição de uma Integral Imprópria do Tipo2 
 
a) Se f é contínua em [ , )a b e descontínua em b, 
então ( ) lim ( )
b t
t b
a a
f x dx f x dx
−→
=∫ ∫ se esse limite existir. 
 
b) Se f é contínua em ( , ]a b e descontínua em a, 
então ( ) lim ( )
b b
t a
a t
f x dx f x dx
+→
=∫ ∫ se esse limite existir. 
 
A integral imprópria ( )
b
a
f x dx∫ é chamada 
convergente se o limite correspondente existir e 
divergente se o limite não existir. 
 
c) Se f tiver descontinuidade em c, onde a c b< < , 
e ambos ( )
c
a
f x dx∫ e ( )
b
c
f x dx∫ forem convergentes, 
então ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
 
Exemplo_4: Calcule 
5
2
1
2
dx
x −∫
. (Resp. 2 3 ) 
 
Figura 4 
Exemplo_5: Avalie 
3
0
1
1
dx
x −∫ se for possível. (Resp. 
divergente) 
 
 
Exemplo_6: Avalie 
1
0
ln( )x dx∫ se for possível. (Resp. 
-1) 
 
 
 
Um teste de comparação para as integrais 
Impróprias 
 
Em muitos casos, é impossível encontrar o 
valor exato de uma integral imprópria, mas é 
possível saber se ela converge ou diverge. O 
seguinte teorema garante isso. 
 
Teorema de Comparação: Suponha que f e g 
sejam funções contínuas com 0 ( ) ( )g x f x≤ ≤ 
para x a≥ . 
a) Se ( )
a
f x dx
∞
∫ é convergente, então ( )
a
g x dx
∞
∫ 
é convergente. 
 
b) Se ( )
a
g x dx
∞
∫ é divergente, então ( )
a
f x dx
∞
∫ é 
divergente. 
 
Podemos interpretar os resultados pensando em 
termos das áreas. Se a área sob a curva superior 
( )y f x= for finita, então a área sob a curva 
inferior ( )y g x= também é finita. E se a área 
sob ( )y g x= for infinita, então a área sob 
( )y f x= também é infinita. 
 
A figura ilustra o caso mencionado no item a) e 
ajuda a compreender o exemplo 7. 
 
Figura 5 
Exemplo_7: Mostre que 
2
0
x
e dx
∞
−∫ é 
convergente. 
 
Aplicação: Uma função positiva integrável em 
ℝ é chamada de Densidade de Probabilidade 
se: ( ) 1f x dx
∞
−∞
=∫ . Assim, denotamos e 
definimos a probabilidade de um número x 
estar compreendido entre a e b ( a b< ), 
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( ) ( )
b
a
P a x b f x dx< < = ∫ ou ( ) ( )
a
P a x f x dx
+∞
> = ∫ , 
por exemplo. 
 
Também podemos definir o valor esperado do 
número x, como: ( ) ( )E x xf x dx
+∞
−∞
= ∫ . 
 
Exercícios 
E01: Para quais valores de p a integral 
1
1
p
dx
x
∞
∫ 
converge. 
 
E02: Para determinado tipo de bateria elétrica, a 
função densidade de probabilidade de que x horas 
seja o tempo de vida útil de uma bateria escolhida 
ao acaso é dada por 
601 se 0
( ) 60
0 se 0
x
e x
f x
x
− ≥
= 
 <
. 
Ache a probabilidade de que uma bateria escolhida 
ao acaso tenha: 
a) um tempo de vida entre 15 e 25 horas; 
(Resp. 0,120) 
b) um tempo de vida de pelo menos 50 horas. 
(Resp. 0,435) 
 
E03: Verifique que 2
1
1
dx
x
π
∞
−∞
=
+∫ . 
 
E04: Determine quão grande tem de ser o número a 
de modo que 
2
1
0,001
1
a
dx
x
∞
<
+∫ . (Resp. 1000) 
 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., 
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1 Tradução: 
Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
Páginas, de 577 à 579 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. COORDENADAS POLARES 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., 
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 2 Tradução:Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
Páginas, de 727 à 730 
Páginas, de 744 à 746 
 
 
Um método importante de representação de pontos 
num plano consiste no uso de coordenadas 
polares. Para introduzir um sistema de 
coordenadas polares no plano, partimos de um 
ponto fixo O, chamado de origem ou pólo, e uma 
semirreta orientada, chamada eixo polar, com 
extremidade O. Neste sistema a cada ponto P do 
plano podemos associar as coordenadas polares 
( , )r θ onde: r é a distância de O a P; θ é o ângulo 
orientado, no sentido anti-horário, desde o eixo até 
à semirreta OP. 
 
Figura 2.1 
 
Se r for negativo, deve-se representar r unidades 
na semirreta, com extremidade O e sentido oposto 
a OP. 
 
É importante considerar que, quando consideramos 
o sistema de coordenadas cartesianas cada ponto 
tem representação única. Usando o sistema de 
coordenadas polares isto não acontece. Veja: 
( , ) ( , ) ( , 2 )P r r r kθ θ π θ π= = − + = + , para k∈ℤ . 
 
Relação entre Coordenadas Cartesianas e 
Coordenadas Polares 
A relação entre ambos os sistemas de coordenadas 
pode ser obtido por meio da relação de Pitágoras e 
trigonometria elementar, considere a Figura 2.2. 
 
 
Figura 2.2 
 
Sejam ( , )x y as coordenadas cartesianas e 
( , )r θ as coordenadas polares de um mesmo 
ponto P. Pelas relações descritas acima, tem-
se: 
2 2 2
cos( )
sen( )
( ), 0
x r
y r
x y r
y
tg x
x
θ
θ
θ
=
 =
 + =

 = ≠

 
 
 
Exercícios 
E01_Realize as conversões dos pontos: 
a) (2, / 3)P π= de c. polares para c. 
cartesianas; 
b) (1, 1)Q = − de c. cartesianas para c. polares. 
 
E02_Encontre a equação cartesiana para a curva 
descrita pela equação polar 3sen( )r θ= . 
 
E03_Encontre a equação polar para 
2 2 1x y− = . 
 
 
Representação Gráfica em Cooedenadas 
Polares 
Uma mesma curva pode ser representada em 
coordenadas cartesianas ou em coordenadas 
polares, porém, um sistema de representação 
pode ser mais adequado que o outro em 
determinadas situações, como será ilustrado em 
seguida. 
 
Ao conjunto de pontos ( , )r θ do plano que 
verificam a equação ( , ) 0F r θ = chama-se 
curva em coordenadas polares. 
 
Exemplos: A Figura 2.3 mostra os gráficos 
plotado em coordenadas polares. A curva em a) 
tem equação polar ( )1 2cos 3r t= , sendo que a 
correspondente equação cartesiana é dada por 
4 3 2 2 2 42 2 6 0x x x y xy y− + + + = (Verifique!). 
A curva em b) tem equação 2 sen 4
r
θ =  
 
, com 
0 10θ π≤ ≤ . Como seria sua equação em 
coordenadas cartesianas? Seria ela obtida 
facilmente? 
 
 
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 6 
 
a) 
1 2
x
y
 
b) 
x
y
 
Figura 2.3: Gráficos gerados pelo Winplot 9.0 
 
Vejamos algumas equações polares de retas e 
circunferências, escritas de forma geral, com 
a∈ℝ : 
 
• Retas verticais: cos( )r aθ = ou sec( )r a θ= 
• Retas horizontais: sen( )r aθ = ou cosec( )r a θ= 
• Retas que passam pela origem: 0θ θ= 
• Circunferência centrada na origem: r a= 
• Circunferência centrada no eixo Ox e tangente ao 
eixo Oy: 2 cos( )r a θ= 
• Circunferência centrada no eixo Oy e tangente ao 
eixo Ox: 2 sen( )r a θ= 
 
Podemos verificar que a expressão em coordenadas 
polares fica mais simples, por exemplo, a última 
circunferência mencionada acima tem equação 
polar 2 sen( )r a θ= , enquanto em coordemadas 
cartesianas a mesma circunferência teria equação: 
2 2 2( )x y a a+ − = . 
 
 
Exercício 
E04_Esboce o gráfico das equações polares, 
plotando pontos: 
a) ar θ= b) sen( )br θ= 
 
Outras equações serão apresentadas a seguir, a 
título de ilustração: 
 
 Família de Rosáceas 
i) sen( )r a nθ= , 0a > 
2n = 3n = 4n = 5n = 
 
Figura 2.4 
 
 
 
ii) cos( )r a nθ= , 0a > 
2n = 3n = 4n = 5n = 
 
Figura 2.5 
 
Exercício 
E05_Defina Cardióides e Limaçons, depois use 
um recurso computacional, como WinPlot por 
exemplo, e ilustre alguns membros de cada 
família. 
 
Teste de Simetria para gráficos polares 
Teorema 
a) uma curva polar é simétrica em relação ao 
eixo x se substituindo θ por θ− obtivermos 
uma equação equivalente; 
b) uma curva polar é simétrica em relação ao 
eixo y se substituirmos θ por π θ− 
obtivermos uma equação equivalente; 
c) uma curva polar é simétrica em relação a 
origem se substituirmos θ por π θ+ , ou 
sbstituírmos r por –r, obtivermos uma equação 
equivalente. 
 
 
Figura 2.6: Ilustração das simetrias indicadas no 
teorema. 
 
Exercício 
E06_(ANTON, 2007, p.722) Verifique a ocorrêcia 
de simetrias no gráfico de cos( )r a a θ= − , 
depois faça o esboço com 1a = para confirmar 
o resultado. 
 
Retas tangentes a Curvas Polares 
 A inclinação de uma reta tangente a curvas 
polares de equação ( )r f θ= , em que r é uma 
função diferenciável de θ é dada por: 
cos( ) sen( )
sen( ) cos( )
drdy r
dy d d
dx drdx
rd
d
θ θ
θ θ
θ θθ θ
+
= =
− +
 
A expressão acima decorre do fato que 
( )cos( )x f θ θ= e ( )sen( )y f θ θ= . 
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 7 
 
 
Exercício 
E07_(ANTON, 2007, p.734): Encontre a inclinação da 
reta tangente ao círculo 4cos( )r θ= no ponto em 
que 
4
π
θ = . 
 
 
Área em Coordenadas Polares 
Definição: Se α e β forem ângulos que 
satisfaçam a condição 2α β α π< ≤ + e se ( )f θ 
for contínua e não-negativa para α θ β≤ ≤ , então 
a área A da região R envolvida pela curva polar 
( )r f θ= (α θ β≤ ≤ ) e os raios θ α= e θ β= é 
2 21 1[ ( )]
2 2
A f d r d
β β
α α
θ θ θ= =∫ ∫ . 
 
(Veja interpretação geométrica e deduza a 
fórmula). 
 
Os extremos de integração podem ser 
determinados seguindo os procedimentos: 
i) Esboçar a região R do plano, cuja área se deseja 
determinar; 
ii) Desenhar uma linha radial arbitrária do pólo até 
a curva ( )r f θ= da franteira; 
iii) Avaliar sobre qual intervalo θ deve variar para 
que a reta radial varra a região R; 
iv) Os extremos do intervalo fechado obtido no 
item iii) são os extremos de integração. 
 
Exercícios 
E08_(ANTON, 2007, p.742): Determine a área da 
região do primeiro quadrante dentro da cardióide 
1 cos( )r θ= − . (Resp.
3
1
8
π − ) 
 
E09_(ANTON, 2007, p.742): Determine a área interna 
à cardióide do exercício anterior. (Resp.
3
2
π ) 
 
E10_(ANTON, 2007, p.743): Determine a área da 
região que está dentro da cardióide 4 4cos( )r θ= + 
e fora do círculo 6r = . (Resp.18 3 4π− ) 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
 
Figura 2.7: Representação gráfica das curvas 
polares do exercício E10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 8 
 
3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., 
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 2 Tradução: 
Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
Páginas, de 932 à 936 
Páginas, de 944 e 945 
 
 
Vamos ampliar o conceito de função de uma 
variável real, para domínios de dimensão igual ou 
maior que dois. Tais funções ocorrem com 
freqüência em situações práticas, como vemos: 
i) no estudo de um gás ideal, onde o volume 
ocupado por um gás confinado é diretamente 
proporcional à sua temperatura e inversamente 
proporcional à sua pressão; 
 
ii) na avaliação do crescimento populacional de 
certos fungos, pode-se considerar que o número de 
indivíduos depende essencialmente da quantidade 
de nutrientes, da disponibilidade de água, da 
temperatura e da presença de uma certa proteínaPara ampliar o conceito para várias variáveis, 
devemos entender a representação de um ponto no 
espaço n-dimensional. 
• Um ponto em ℝ é representado por um número 
real x; 
• Um ponto em 2ℝ é representado por um par 
ordenado de números reais ( , )x y ; 
• Um ponto em 3ℝ é representado por uma tripla 
ordenada de números reais ( , , )x y z ; 
 
Podemos generalizar o conceito para o espaço n-
dimensional. 
 
Definição: O conjunto de todas as n-uplas de 
números reais é chamado de espaço numérico n-
dimensional, sendo denotado por nℝ . Cada n-
uplas 1 2 3( , , ,..., )nx x x x é chamada de ponto no 
espaço numérico n-dimensional. 
 
Agora, estamos em condições de definir uma 
função de várias variáveis reais. Como segue: 
 
Definição: Uma função de n variáveis é um 
conjunto de pares ordenados ( , )P w , onde dois 
pares distintos não podem ter os primeiros 
elementos iguais. P é um ponto no espaço n-
dimensional e w é um número real. O conjunto de 
todos os valores possíveis de P é denominado 
domínio da função, enquanto que o conjunto de 
todos os valores possíveis de w é chamado de 
imagem da função. 
 
A última definição pode ser escrita também da 
seguinte forma: 
 
Definição: Uma função f definida no subconjunto A 
com valores em ℝ é uma regra que associa a 
cada u A∈ um único número real ( )w f u= . 
Neste caso, 1 2 3( , , ,..., )nu x x x x= é chamada 
variável independente da função cuja notação é: 
: nf A⊂ →ℝ ℝ 
 
Considerando as definições dadas, responda: 
 
Exercícios: 
E01: Seja a função de duas variáveis 
2( , ) 3 1f x y x y= − . Determine: 
a) (1,4)f 
b) (0,9)f 
c) 2( , )f t t 
d) o domínio natural de f. 
 
E02: Esboce o domínio natural da função 
2( , ) ln( )f x y x y= − . 
 
E03: Seja a função de três variáveis 
2 2 2( , , ) 1f x y z x y z= − − − . Determine: 
a) 1 1(0, , )2 2f − 
b) o domínio natural de f. 
 
 
Gráfico de uma Função de duas Variáveis 
 
 
Figura 3.1: Representação da variação da 
probabilidade de reprodução em função da idade e 
da área foliar. 
Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral II– Engenharia Ambiental 
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 9 
 
Fonte: COLIN, R. et. al. Fundamentos em Ecologia. 2a 
edição. Ed. Artmed. Porto Alegre: 2006. 
 
Definição: Se f for uma função de duas variáveis, 
então o gráfico de f será o conjunto de todos os 
pontos ( , , )x y z 3ℝ para os quais ( , )x y e um 
ponto no domínio de f e ( , )z f x y= . 
 
Podemos afirmar que o gráfico de uma função f de duas 
variáveis e uma superfície que representa o conjunto de 
todos os pontos no espaço tridimensional, cujas 
coordenadas cartesianas são dadas pelas triplas 
ordenadas de números reais ( , , )x y z . 
 
Exemplos 
a)
2 21 ( )
2( , )
x y
f x y xye
− +
= b) 2( , ) 2 3f x y x y= + + 
 
c) 2 2( , )f x y x y= + d) ( , )f x y xy= 
 
Figura 3.2: Gráficos gerados pelo WinPlot. 
 
Exercícios 
E04: (ANTON, v.2, 2007, p. 927) Em cada parte, 
descreva o gráfico da funcao num sistema de 
coordenadas xyz. 
a) 
1
( , ) 1
2
f x y x y= − − 
b) 2 2( , ) 1f x y x y= − − 
c) 2 2( , )f x y x y= − + 
 
Curvas de Nível 
Uma forma de representar uma função de duas 
variáveis geometricamente é similar à 
representação de uma paisagem tridimensional por 
um mapa topológico bidimensional. Suponha que 
uma superfície ( , )z f x y= seja interceptada por 
um plano z k= e que a curva de intersecção seja 
projetada no plano xy. A curva projetada tem por 
equação ( , )f x y k= e é chamada de curva de 
nível ou curva de contorno da função f em k. 
Cada ponto da curva de nível corresponde a um 
único ponto na superfície que está k unidades 
acima, se k for positivo, ou k unidades abaixo, 
se k for negativo. A Figura 3.3 ilustra as curvas 
de nível sobre a superfície. O conjunto as 
várias curvas de nível, projetadas no plano xy 
compõe um mapa de contorno ou de nível. 
 
 
Figura 3.3: As condições ambientais influenciam 
as taxas intrínsecas de crescimento. As taxas de 
crescimento geométrico dos besouros Caladra 
orizae e Rhizopertha dominica, que vivem no trigo, 
variam com a temperatura e a umidade. As taxas de 
crescimento estão dadas pelas linhas de contorno 
que descrevem as condições com valores idênticos 
de. λ . Segundo L. C. Birch. Ecology, 34:698-
711 (1953). 
Fonte: RICKLEFS, R. A Economia da Natureza, 5a 
edição. Ed. Guanabara/ Koogan. 
 
Na Figura 3.4 temos a representação de um 
mapa de contorno. 
 
Figura 3.4: Na America do Norte, a diversidade de 
espécies de mamíferos aumenta em direção ao 
Equador e nas regiões de alta heterogeneidade de 
habitat. As linhas de contorno no mapa indicam o 
numero de espécies de mamíferos ocorrendo em 
células de 150 mi (~240km) de lado. De G. G. 
Simpsom, Syst. Zool. 13:57-73 (1964). 
Notas das Aula de Cálculo Diferencial e Integral II– Engenharia Ambiental 
Prof.: Adriana Borssoi 
 10 
 
Fonte: RICKLEFS, R. A Economia da Natureza, 5a edição. 
Ed. Guanabara/ Koogan. 
 
Exemplos 
i) (ANTON, v.2, 2007, p. 928) O gráfico da função 
2 2( , )f x y y x= − no espaço xyz é o parabolóide 
hiperbólico, conhecido por superfície de sela, 
mostrado na Figura 3.5 a. As curvas de nível têm 
equações da forma 2 2y x k− = . Para 0k > , essas 
curvas são hipérboles abrindo ao longo de retas 
paralelas ao eixo y; para 0k < , elas são hipérboles 
abrindo ao longo de retas paralelas ao eixo x; e 
para 0k = , a curva de nível consiste nas retas que 
se intersectam y x= e y x= − , conforme Figura 
3.5 b. 
 
a) 
 
b) 
 
Figura 3.5: Função sela e seu mapa de contorno, 
gerados pelo Winplot. 
 
ii) Se ( , )z T x y= é a temperatura em cada ponto de 
uma região do plano, as curvas de nível 
correspondem a pontos de igual temperatura. Neste 
caso, as curvas são chamadas isotermas. Considere 
2 2
2 2 2
( 1)
( , )
3 4 1
x y
T x y
x xy y
+ +
=
+ + +
cujo mapa de 
contorno está ilustrado na Figura 3.6. 
 
a) 
 
b) 
 
Figura 3.6: Gráficos gerados pelo software Maple 12. 
 
 
Exercícios 
E05: (ANTON, v.2, 2007, p. 929) Esboce o mapa de 
contorno de ( , ) 2f x y x y= − − usando as curvas 
de nível de altura 6, 4, 2,0,2,4,6k = − − − . 
 
E06: (ANTON, v.2, 2007, p. 929) Esboce o mapa de 
contorno de 2 2( , ) 4f x y x y= + usando as 
curvas de nível de altura 0,1,2,3,4,5k = . 
 
E07: Defina o que é uma superfície de nível e 
exemplifique. 
 
 
4. LIMITES E CONTINUIDADE 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., 
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 2 Tradução: 
Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
Páginas, de 944 e 945 
 
Quando estudamos limites de funções de uma 
variável real, temos a opção de estudar os limites à 
direita e à esquerda do ponto em questão. No estudo 
de funções de duas ou mais variáveis está noção 
deve ser ampliada, de modo que não temos mais 
apenas duas direções para observar, mas sim 
infinitas. 
 
Figura 4.1: Diferentes caminhos passando pelo 
ponto ( , )x y . 
 
Vamos considerar, inicialmente, uma função 
( , )f x y quando ( , )x y tende a 0 0( , )x y ao longo 
de uma curva C. Se C for uma curva 
paramétrica lisa no espaço, representada pelas 
equações: ( )x x t= , ( )y y t= e se 0 0( )x x t= e 
0 0( )y y t= , então podemos definir que 
0 0 0( , ) ( , )
ao longo de 
lim ( , ) lim ( ( ), ( ))
x y x y t t
C
f x y f x t y t
→ →
= . Nesta 
formulação, o limite da função de t deve ser 
tratado como um limite lateral se 0 0( , )x y for 
um ponto extremo de C. 
 
Exemplo: Avalie o limite da função 
2 2
( , )
xy
f x y
x y
= −
+
ao longo dos seguintes 
caminhos que passam pelo ponto 
0 0( , ) (0,0)x y = e conclua sobre a existência do 
limite no ponto em questão: 
a) do eixo x b) do eixo y 
Notas das Aulade Cálculo Diferencial e Integral II– Engenharia Ambiental 
Prof.: Adriana Borssoi 
 11 
 
c) da reta y x= d) da reta y x= − 
e) da parábola 2y x= 
 
A Figura 4.1 ilustra o gráfico da função deste 
exemplo. 
 
 
Figura 4.1: Gráficos gerados pelo software Maple 
12. 
 
Vejamos alguns conceitos de topologia, antes de 
definirmos limites para funções de várias variáveis. 
 
 Conjuntos Abertos e Fechados 
Algumas definições: 
 
Disco Aberto: é o conjunto de todos os pontos 
englobados por um círculo C no espaço 
bidimensional, centrado em 0 0( , )x y e de raio 
positivo δ , desconsiderando os pontos que estejam 
sobre a circunferência. 
 
Disco Fechado: é o conjunto de todos os pontos 
englobados por um círculo C no espaço 
bidimensional, centrado em 0 0( , )x y e de raio 
positivo δ , incluindo os pontos sobre a 
circunferência. 
 
a) b) 
Figura 4.2: a) disco aberto; b) disco fechado. 
 
Analogamente, para o espaço tridimensional, 
temos os conceitos de bola aberta e bola fechada. 
 
As noções de aberto e fechado podem ser 
estendidas a conjuntos mais gerais dos espaços bi e 
tridimensionais. 
 
Definição: Se D um conjunto dos pontos do 
espaço bidimensional, então dizemos que um 
ponto 0 0( , )x y e um ponto interior de D se 
existir algum disco aberto centrado em 
0 0( , )x y que contenha unicamente pontos de D; 
dizemos que 0 0( , )x y e um ponto de fronteira 
de D se qualquer disco aberto centrado em 
0 0( , )x y contiver pontos tanto de D quanto não 
de D. 
 
 
Figura 4.3: Ponto interior e ponto de fronteira 
de D. 
 
Vejamos a definição de limites para funções de 
duas variáveis. 
 
Definição: Seja f uma função de duas variáveis 
e suponha que f esteja definida em todos os 
pontos de algum disco aberto centrado em 
0 0( , )x y , exceto, possivelmente, em 0 0( , )x y . 
Escrevemos 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
= , se, dado 
qualquer número 0ε > , pudermos encontrar 
um número 0δ > tal que ( , )f x y satisfaça 
( , )f x y L ε− < sempre que a distância entre 
( , )x y e 0 0( , )x y satisfizer 
2 2
0 00 ( ) ( )x x y y δ< − + − < . 
 
Faça a interpretação geométrica desta definição. 
 
 
Exemplo: Observando o comportamento das 
funções 
2 2
2 2
sin( )
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
 e 
2 2
2 2
( , )
x y
g x y
x y
−
=
+
 em torno do ponto 
0 0( , ) (0,0)x y = , por meio da tabela de valores, 
podemos supor que: 
2 2
2 2( , ) (0,0)
sin( )
lim 1
x y
x y
x y→
+
=
+
 e 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
−
+
 não existe. 
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 12 
 
 Veja Tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1: Valores da função ( , )f x y 
-1,0 -0,5 -0,2 0,0 0,2 0,5 1,0
-1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
-0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0,0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841
0,2 0,896 1,500 2,971 4,967 2,971 1,500 0,896
0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
1,0 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
x
y
 
 
Tabela 4.2: Valores da função ( , )g x y 
-1,0 -0,5 -0,2 0,0 0,2 0,5 1,0
-1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0,0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,769 -0,172 2,000 5,000 2,000 -0,172 -0,769
0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
1,0 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
y
x
 
 
As Tabelas 4.1 e 4.2 mostram valores para ambas 
as funções em alguns pontos em torno da origem, 
sendo que ambas não estão definidas na origem. 
Porém, de fato, não podemos tirar conclusões 
apenas baseadas em evidências numéricas. Com a 
definição acima podemos provar a veracidade das 
afirmações ou então podemos fazer uso de 
propriedades algébricas para garantir os resultados 
mencionados. 
 
A Figura 4.1 representa os gráficos das funções f e 
g, respectivamente, em uma região em torno da 
origem. 
 
Figura 4.1: Gráficos gerados pelo wxMaxima 0.7.5. 
 
Relação entre Limites Gerais e Limites ao longo 
de Curvas Lisas. 
 
Teorema: Seja ( , )f x y uma função de duas 
variáveis. 
a) Se ( , )f x y L→ quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ , então 
( , )f x y L→ quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ ao longo de 
qualquer curva lisa. 
 
b) Se o limite de ( , )f x y deixar de existir 
quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ ao longo de alguma 
curva lisa, ou se ( , )f x y tiver limites diferentes 
quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ ao longo de duas 
curvas lisas diferentes no domínio de f, então o 
limite de ( , )f x y não existe quando 
0 0( , ) ( , )x y x y→ . 
 
Exemplo: Mostre que 
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y→
−
+
 são 
diferentes quando ( , ) (0,0)x y → ao longo do 
eixo y e ao longo da reta y x= . 
 
Exemplo: Determine, se existir, o 
2
2 2( , ) (0,0)
3
lim
x y
x y
x y→ +
 usando mudança de 
coordenadas de cartesianas para polares. 
 
 
Continuidade 
Definição: Dizemos que uma função ( , )f x y é 
contínua em 0 0( , )x y se: 
i) 0 0( , )f x y estiver definido e 
ii) 
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
= 
Além disso, se f for contínua em cada ponto de 
um conjunto aberto D, então dizemos que f é 
contínua em D; e se f for contínua em todo 
ponto do plano xy , então dizemos que f é 
continua em toda parte. 
 
Agora enunciamos algumas propriedades sobre 
continuidade de funções contínuas combinadas. 
 
Teorema: 
a) Se ( )g x for contínua em 0x e ( )h y for 
contínua em 0y , então ( , ) ( ) ( )f x y g x h y= é 
contínua em 0 0( , )x y . 
b) Se ( , )h x y for contínua em 0 0( , )x y e 
( )g u for contínua em 0 0( , )u h x y= , então a 
composição ( , ) ( ( , ))f x y g h x y= é contínua em 
0 0( , )x y . 
c) Se ( , )f x y for contínua em 0 0( , )x y e ( )x t 
( )y t forem contínuas em 0t , com 0 0( )x t x= 
e 0 0( )y t y= então a composição ( ( ), ( ))f x t y t é 
contínua em 0t . 
 
Podemos afirmar que: 
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 13 
 
a) a composição de funções contínuas é contínua; 
b) a soma, diferença ou produto de funções 
contínuas é contínua; 
c) o quociente de funções contínuas é contínua, 
exceto onde o denominador for zero. 
 
Exemplo: Verifique se as funções seguintes são 
continuas: 
a) 2/3( , ) xyf x y xe y= + 
b) 
2 2
( , )
1
uv
k u v
u v
=
+ +
 
c) 2( , ) ln( )z x y x y= − 
 
Limites em Descontinuidades 
A função 
2 2
1
( , )f x y
x y
=
+
 permite concluir, 
facilmente, que 
2 2( , ) (0,0)
1
lim
x y x y→
= ∞
+
. Assim, a 
função não é limitada e apresenta descontinuidade 
em (0,0) . 
 
Figura 4.2: Gráfico gerado pelo WinPlot. 
 
A avaliação da função 
2 2 2 2( , ) ( ) ln( )g x y x y x y= + + já não é tão óbvia, 
tendo em vista que ( , ) (0,0)x y → conduz a uma 
indeterminação. Neste caso, podemos lançar mão 
da mudança para coordenadas polares e aplicação 
da regra de L’Hôpital. Verifique que está função só 
não é contínua na origem. 
 
Figura 4.3: Gráficos gerados pelo wxMaxima 0.7.5. 
Os resultados obtidos para funções de duas 
variáveis podem ser estendidos para funções de 
várias variáveis, com as devidas adaptações. 
 
Assim, temos a seguinte definição: 
 
Seja : nf A⊂ →ℝ ℝ uma função e 
0x A A∈ ∪∂ (A unido com a fronteira de A). 
Intuitivamente 0x A A∈ ∪∂ significa que se 
0x A∉ deve estar arbitrariamente “próximo” 
de A. 
 
Definição: O limite de f quando x aproxima-se 
de 0x é L quando para todo 0ε > , existe 0δ > 
tal que 0( ,)x B x Aδ∈ ∩ implica ( )f x L ε− < . 
 
 Notação: 
0
lim ( )
x x
f x L
→
= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 14 
 
Derivadas Parciais 
 
Exercícios Recomendados: ANTON, H., BIVENS, I. e 
DAVIS, S. Cálculo. vol. 2 Tradução: Claus I. Doering. 
8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
Páginas, de 954 à 959 
 
Definição: Se ( , )z f x y= e 0 0( , )x y é um ponto do 
domínio de f, então a derivada parcial de f em 
relação a x em 0 0( , )x y é a derivada em 0x da 
função que resulta quando 0y y= for mantido 
fixado e a x variar. Essa derivada parcial é 
denotada por 0 0( , )xf x y e é dada por 
0
0 0 0( , ) [ , ]x
x x
d
f x y f x y
dx =
= e 
 
0
0 0 0 0
0
0
( , ) ( , )
[ , ] lim
x
x x
f x x y f x yd
f x y
dx x∆ →=
+ ∆ −
=
∆
 
 
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a 
y em 0 0( , )x y é a derivada em 0y da função que 
resulta quando 0x x= for mantido fixado e a y 
variar. Essa derivada parcial é denotada por 
0 0( , )yf x y e é dada por 
0
0 0 0( , ) [ , ]y
y y
d
f x y f x y
dy
=
= e 
 
0
0 0 0 0
0
0
( , ) ( , )
[ , ] lim
y
y y
f x y x f x yd
f x y
dy y∆ →
=
+ ∆ −
=
∆
 
 
A definição anterior é relativa às derivadas parciais 
em um ponto, porém, podemos definir derivadas 
parciais como funções: 
 
A derivada parcial de f em relação a x: 
0
( , ) ( , )
( , ) limx
h
f x h y f x y
f x y
h→
+ −
= 
 
A derivada parcial de f em relação a y: 
0
( , ) ( , )
( , ) limy
h
f x y h f x y
f x y
h→
+ −
= 
 
Exemplo: Encontre ( , )xf x y e ( , )yf x y para 
3 2( , ) 2 2 4f x y x y y x= + + depois indique ambas as 
derivadas para o ponto (1,3) . 
 
 
Notação de Derivadas Parciais 
Se 1 2( , ,... )nz f x x x= com n∈ℕ então as 
derivadas parciais podem ser denotadas por: 
• 
1x
f , 
2x
f , ... ,
nx
f 
• 
1
f
x
∂
∂
, 
2
f
x
∂
∂
,...,
n
f
x
∂
∂
 onde o símbolo ∂ é lido 
como del. 
 
Observe que as derivadas parciais de uma 
função são tantas quantas forem o número de 
variáveis da função. 
 
Exemplos: Calcule as derivadas parciais em 
cada caso, usando as regras de derivação. 
a) 3 2 4( , , ) 2f x y z x y z xy z= + + 
b) 2( , , ) cos( )sen( )f ρ θ ϕ ρ ϕ θ= 
 
Interpretação Geométrica 
Para funções de duas variáveis 
f
x
∂
∂
 pode ser 
vista geometricamente como a inclinação da 
reta tangente à curva 1C no ponto 0 0( , )x y e 
f
y
∂
∂
 como a inclinação da reta tangente à 
curva 2C no ponto 0 0( , )x y . Além disso, 
0 0( , )
f
x y
x
∂
∂
é entendida como a inclinação da 
superfície na direção de x e 0 0( , )
f
x y
y
∂
∂
 é a 
inclinação da superfície na direção de y 
 
Exemplo: Seja 2 2( , )z f x y x y= = + . 
Determine a equação da reta tangente à curva 
gerada pela interseção do gráfico de f como o 
plano de equação 2y = , no ponto (2,2,8) . 
 
 
 
 
Exemplo: A lei de um gás ideal confinado é 
8PV T= , onde P é a pressãoem N/cm2, V é o 
volume em cm3 e T é a temperature em graus. 
Se o volume do gás é de 150cm3 e a 
temperatura é de 1000, pede-se: 
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 15 
 
 
a) Determine a taxa de variação da pressão em 
relação à temperatura para o volume fixo de 
150cm3. 
 
b) Determine a taxa de variação do volume em 
relação à pressão para a temperatura fixa de 1000. 
 
Exemplo: Seja 
2 2
,( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
f x y x y
x y

− ≠
= +
 =
 
a) Mostre que 
f
x
∂
∂
e 
f
y
∂
∂
 existem em todos os 
pontos ( , )x y ; 
b) Explique por que f não é contínua em (0,0) . 
 
 
Derivação Implícita 
Derivadas de equações são obtidas implicitamente. 
 
Exemplo: Seja ( , )z f x y= e 2 2 3x y z xz= − . As 
derivadas parciais de z são as seguintes: 
2
2
2 3
2 3 3
3
z z z x z
x y z x
x x x y x
∂ ∂ ∂ +
= − − ⇔ =
∂ ∂ ∂ −
 
 
2
2
2
0 2 3
3
z z z yz
yz y x
y y y y x
∂ ∂ ∂
= + − ⇔ = −
∂ ∂ ∂ −
 
 
 
Exemplo: Determine a inclinação da esfera 
2 2 2 1x y z+ + = na direção y nos pontos 
2 1 2
, ,
3 3 3
 
 
 
 
e 
2 1 2
, ,
3 3 3
 
− 
 
. Veja esboço do gráfico, onde a 
interseção dos dois planos e a esfera indicam os 
dois pontos acima: 
 
 
 
Derivadas Parciais de ordem Superior 
Se : nf A⊂ →ℝ ℝ é uma função tal que suas 
derivada parciais existem em todos os pontos 
x A∈ , definimos as derivadas parciais de 
segunda ordem de f da seguinte forma: 
0
( ) ( )
( ) lim
j
i i
h
j i
f f
x he x
x xf
x
x x h→
∂ ∂
+ −
  ∂ ∂∂ ∂
= 
∂ ∂ 
 se os 
limites existirem. 
 
A notação é 
2
( ) ( )
j i j i
f f
x x
x x x x
 ∂ ∂ ∂
= 
∂ ∂ ∂ ∂ 
 e 
definimos que existem 2n funções derivadas 
parciais de segunda ordem. 
 
Para uma de duas variáveis ( , )z f x y= , temos: 
 
2
2
2
2
2
2
( , )
xx
x
yx
yy
y
xy
f
f
f x
f
x f
f
x y
f x y
f
f
yf
f
y f
f
y x
 ∂
= 
∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ = ∂ ∂
⇒ 
∂ = ∂∂  = ⇒ 
∂ ∂ = ∂ ∂
 
 
Observe a ordem em que se deve derivar a 
função pelo exemplo: 
2 f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
=  ∂ ∂ ∂ ∂ 
. 
 
Analogamente podemos obter as derivadas de 
ordem superior a 2. 
 
 
Teorema: Seja f uma função de duas variáveis. 
Se 
2 f
x y
∂
∂ ∂
 e 
2 f
y x
∂
∂ ∂
 forem contínuas em algum 
disco aberto, então 
2 2f f
y x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
neste disco. 
 
Exemplo: Calcule as derivadas de segunda 
ordem da função ( , , )f x y z xyz= . 
 
Exemplo: Determine xyyf para 
2( , ) xf x y y e y= + . 
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 16 
 
Equações Diferenciais Parciais 
 
a) A Equação de Laplace 
2 2
2 2
0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
 tem 
como soluções as denominadas funções 
harmônicas e tem aplicações no estudo de 
condução de calor, escoamento de fluidos e 
potencial elétrico por exemplo. 
 
Exemplo: Mostre que a função ( , ) sen( )xu x y e y= 
é solução da equação de Laplace. 
 
b) Equação da Onda 
2 2
2
2 2
u u
a
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
 pode 
descrever o movimento de uma onda que pode ser 
do mar, de som, luminosa ou de uma corda 
vibrante de um violino. A constante a depende da 
densidade da corda e da tensão aplicada nela e 
( , )u x t pode representar o deslocamento da corda 
vibrante de um violino no instante t e a distância x 
de um dos terminais da corda. 
 
 
Exemplo: Verifique que ( , ) sen( )u x t x at= − 
satisfaz a equação da onda. 
 
 
Diferenciabilidade 
 
Definição: Dizemos que uma função ( , )f x y é 
diferenciável em 0 0( , )x y se ambas as derivadas 
0 0( , )xf x y e 0 0( , )yf x y existem e 
0 0 0 0
2 2( , ) (0,0)
( , ) ( , )
lim 0
( ) ( )
x y
x y
f f x y x f x y y
x y∆ ∆ →
∆ − ∆ − ∆
=
∆ + ∆
. 
 
Exercício: Fazer a interpretação geométrica da 
definição. 
 
 
Observação: Se o limite da definição acima existir, 
fica assegurado que: 
• A superfície ( , )z f x y= tenha um plano 
tangente não-vertical no ponto 
0 0 0 0( , , ( , ))x y f x y ; 
• Os valores de f podem ser bem aproximados 
pelos valores de uma função linear nas 
proximidades de 0 0( , )x y ; 
• f é contínuaem 0 0( , )x y . 
 
Exemplo: Use a definição para provar que 
2 2( , )f x y x y= + é diferenciável em (0,0) . 
 
Exercício: Enuncie a definição de 
diferenciabilidade para funções de mais de 
duas variáveis. 
 
 
Diferenciabilidade e Continuidade 
 
Teorema: Se uma função é diferenciável num 
ponto, então ela é contínua neste ponto. 
 
Verificar a continuidade por definição nem 
sempre é simples, então, o próximo teorema 
contribui com a busca. 
 
Teorema: Se todas as derivadas parciais de 
primeira ordem de f existem e são contínuas 
num ponto, então f é diferenciável neste ponto. 
 
Observe que o teorema estabelece apenas uma 
condição suficiente, portanto, nem todas as 
funções diferenciáveis num ponto devem ter 
derivadas parciais contínuas numa vizinhança 
deste ponto. 
 
Exemplo: É possível determinar se a função é 
contínua em todos os pontos se 
( , , )f x y z x yz= + ? 
 
Exemplo: Estude a continuidade de 
2 2( , )f x y x y= + . 
 
Exemplo: A energia cinética de um corpo de 
massa m e velocidade v é 2
1
2
K mv= . Mostre 
que 
2
2
K K
K
m v
∂ ∂
=
∂ ∂
. 
 
Definição: Uma função é denotada de classe 
1C em A quando existem as derivadas parciais 
em cada ponto de A e estas são contínuas. Logo, 
f de classe 1C implica em f diferencíavel. 
 
Proposição: Se f e g são funções de classe 1C 
no ponto 0 0 0( , ,...)x x y= , então: 
i) f g+ é de classe 1C em 0x . 
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 17 
 
ii) .f g é de classe 1C em 0x . 
iii) 
f
g
 é de classe 1C em 0x , se 0( ) 0g x ≠ . 
 
Exemplo: Avalie se 2 2
2 2
( , )
1
y
f x y x y
x y
= +
+ +
 é 
de classe 1C . 
 
Observação: f é 1C implica f é diferenciável 
implica f é contínua. 
 
 
Diferenciais 
 
Para uma função ( , )f x y , a aproximação 
0 0 0 0( , ) ( , )
f f
f x y x x y y
x y
∂ ∂
∆ ≈ ∆ + ∆
∂ ∂
 tem a seguinte 
formulação na linguagem de diferenciais. Assim, 
se ( , )z f x y= é diferenciável num ponto 0 0( , )x y , 
denotamos 0 0 0 0( , ) ( , )
f f
dz x y dx x y dy
x y
∂ ∂
= +
∂ ∂
, 
onde dz é uma nova função com variáveis 
independentes dx e dy . Essa função é a 
diferencial total de z ou de f em 0 0( , )x y . 
 
Podemos estimar a variação em f∆ de f pelo valor 
da diferencial df , em que dx x≈ ∆ é a variação em 
x e dy y≈ ∆ é a variação em y. 
 
Aproximação Linear Local 
Se uma função for diferenciável num ponto, então 
ela pode ser bem aproximada por uma função 
linear na vizinhança desse ponto. 
 
Assim, 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f f
f x x y y f x y x y x x y y
x y
∂ ∂
+ ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆
∂ ∂
 
Tomando 0x x x= + ∆ e 0y y y= + ∆ , temos 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )
f f
f x y f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
≈ + − + −
∂ ∂
Quando f é diferenciável em 0 0( , )x y , 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yL x y f x y f x y x x f x y y y≈ + − + −
é a aproximação linear de f em 0 0( , )x y . 
 
Exemplo (ANTON, 2007, p.965): Seja ( , )L x y a 
aproximação linear local de 2 2( , )f x y x y= + no 
ponto (3,4) . Compare o erro da aproximação 
de 2 2(3,04;3,98) (3,04) (3,98)f = + por 
(3,04;3,98)L com a distância entre os pontos 
(3,4) e (3,04;3,98) . 
 
 
Exemplo: O comprimento, a largura e a altura 
de uma caixa retangular são medidos com um 
erro de no máximo 5 %. Use um diferencial 
total para estimar o erro percentual máximo 
que resulta se essas quantidades forem usadas 
para calcular a diagonal da caixa. 
 
 
Regra da Cadeia 
Vamos, inicialmente, considerar funções de 
duas variáveis que satisfaçam a seguinte 
condição: ( , )z f x y= e por sua vez ( )x x t= e 
( )y y t= , ou seja, x e y são funções só da 
variável t. 
 
Neste caso, a função composta 
( ( ), ( ))z f x t y t= expressa z como função 
unicamente da variável t. Vamos identificar a 
derivada de z, nestas condições: 
 
Teorema (Regra da Cadeia para funções de 
duas variáveis): Se ( )x x t= e ( )y y t= , forem 
diferenciáveis em t e se ( , )z f x y= for 
diferenciável no ponto ( , ) ( ( ), ( ))x y x t y t= , 
então ( ( ), ( ))z f x t y t= é diferenciável em t e 
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂
, onde as derivadas 
comuns são calculadas em t e as derivadas 
parciais são calculadas em ( , )x y . 
 
Assim, podemos representar o esquema: 
 
 
 
Exemplo: Suponha que 2z x y= , 2x t= e 
3y t= . Obtenha 
dz
dt
. 
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 18 
 
Exemplo: Suponha que z xy y= + , cos( )x θ= e 
sen( )y θ= . Use a regra da cadeia para obter 
dz
dt
, 
quando 
2
π
θ = . 
O teorema anterior, válido para duas variáveis, 
pode ser estendido para funções de várias variáveis. 
Vejamos como fica para o caso de três variáveis: 
 
Teorema (Regra da Cadeia para funções de três 
variáveis): Se cada uma das funções ( )x x t= , 
( )y y t= e ( )z z t= , forem diferenciáveis em t e se 
( , , )w f x y z= for diferenciável no ponto 
( , , ) ( ( ), ( ), ( ))x y z x t y t z t= então 
( ( ), ( ), ( ))w f x t y t z t= é diferenciável em t e 
dw w dx w dy w dz
dt x dt y dt z dt
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
, onde as derivadas 
comuns são calculadas em t e as derivadas parciais 
são calculadas em ( , , )x y z . 
 
Taxas Relacionadas 
Os teoremas anteriores podem ser úteis para 
resolver problemas com taxas relacionadas. 
 
Exemplo: A que taxa está variando o volume de 
uma caixa retangular se seu comprimento é de 8cm 
e está aumentando a 3cm/s, sua altura é de 6cm e 
está aumentando a 2cm/s e sua altura é de 4cm e 
está aumentando a 1cm/s? 
 
Exemplo: De um funil cônico escoa água à razão 
de 18cm3/s. Se a geratriz faz com o eixo do cone 
um ângulo de 
3
π
α = , determine a velocidade com 
que baixa o nível da água no funil, no momento em 
que o raio da base do volume líquido é igual a 6cm. 
 
Vamos considerar agora, o caso em que ( , )x x u v= , 
( , )y y u v= e ( , )z f x y= , ou seja, z é uma função 
composta, nas variáveis u e v, de modo que 
( ( , ), ( , ))z f x u v y u v= . Quanto as derivadas 
parciais, temos: 
 
Teorema (Regra da Cadeia de funções de duas 
variáveis independentes): Se ( , )x x u v= , 
( , )y y u v= tiverem derivadas parciais de primeira 
ordem no ponto ( , )u v e se ( , )z f x y= for 
diferenciável no ponto ( ( , ), ( , ))x u v y u v , então 
( ( , ), ( , ))z f x u v y u v= tem derivadas parciais de 
primeira ordem no ponto ( , )u v dadas por: 
dz z x z y
du x u y u
dz z x z y
dv x v y v
∂ ∂ ∂ ∂
= + ∂ ∂ ∂ ∂

 ∂ ∂ ∂ ∂
 = +
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Esquematicamente, fica: 
 
 
Exemplo: Dado que xyz e= , 2x u v= + , 
u
y
v
= encontre 
z
u
∂
∂
 e 
z
v
∂
∂
usando a regra da 
cadeia apropriada. 
 
O seguinte teorema traz uma generalização da 
regra da cadeia para n variáveis. 
 
Teorema: Suponha que u seja uma função 
diferenciável de n variáveis 1 2, ,..., nx x x e cada 
uma dessas variáveis por sua vez seja uma 
função de m variáveis 1 2, ,..., my y y . Suponha 
ainda que cada uma das derivadas parciais 
i
j
x
y
∂
∂
 exista ( 1,2,..., ; 1,2,...,i n j m= = ). 
Então, u é uma função de 1 2, ,..., my y y e: 
 
1 2
1 1 1 2 1 1
1 2
2 1 2 2 2 2
1 2
1 2
...
...
...
n
n
n
n
n
m m m n m
xx xu u u u
y x y x y x y
xx xu u u u
y x y x y x y
xx xu u u u
y x y x y x y
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⋮
 
 
Exemplo: Suponha que xyzw e= , 3x u v= + , 
3y u v= − e 2z u v= obterw
u
∂
∂
 e 
w
v
∂
∂
.