Geometria Analitica - Completo

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1ª avaliação: Vetores
• Tratamento geométrico e algébrico no R² e no R³;
• Produto Escalar;
• Produto Vetorial;
• Produto Misto;
• Aplicações com vetores.
2ª avaliação: Retas e Planos
• Equação da reta;
• Ângulo entre retas;
• Interpretação e criação de retas graficamente;
• Posições relativas da reta no R³;
• Equações do plano;
• Ângulo entre dois planos;
• Interpretação e criação de planos graficamente.
Referência bibliográfica
• WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria
Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books
do Brasil Editora, 2014.
• BOULOS, Paulo e CAMARGO, Ivan de.
Geometria analítica um tratamento vetorial.
São Paulo: Pearson Makron Books, 2013.
Noção Intuitiva
Grandezas escalares: ficam completamente definidas
por apenas um número real (acompanhado de uma
unidade adequada). Exemplos: comprimento,
temperatura, área, volume, etc.
Grandezas vetoriais: não ficam completamente definidas
por seu módulo, ou seja, pelo seu número e sua unidade
correspondente. Assim, precisamos conhecer seu módulo
(ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu
sentido. Exemplos: força, velocidade, aceleração, etc.
Observe a imagem a seguir:
Segmento orientado
Módulo = comprimento do segmento;
Sentido = indicado por uma seta na extremidade do segmento
• Segmento orientado: é determinado por um 
par ordenado de pontos (A,B) no espaço.
A (origem)
B (extremidade)
Segmento nulo: é
aquele cuja
extremidade coincide
com a origem.
• Observe as imagens a seguir
Casos particulares de vetores:
• Vetores paralelos: se seus representantes
tiverem a mesma direção;
• Vetores iguais: mesmo módulo, direção e
sentido.
• Vetor nulo: qualquer ponto do espaço, e por
não possuir direção e sentido definidos és
paralelo a qualquer vetor.
• O oposto de é - . Possui mesmo módulo e
mesma direção.
• Vetor Unitário: um vetor é dito unitário se
• Versor: o versor de um vetor não nulo é o vetor
unitário de mesma direção e mesmo sentido.
• Vetores ortogonais: Dois vetores são ortogonais
se algum representante de um vetor formar
ângulo reto com algum representante do outro
vetor.
• Vetores coplanares: se existir algum plano no
qual esses vetores estão representados.
Operações com vetores 
Soma de vetores
Operações com vetores
Multiplicação por um escalar
Tratamento algébrico de vetores 
no plano
Tratamento algébrico de vetores 
no plano
Base ortonormal : os vetores são 
ortogonais e unitários.
Tratamento algébrico de vetores 
no plano
Vetor no plano é um par 
ordenado (x,y) de 
números reais
Tratamento algébrico de vetores 
no plano
Operações com vetores
Operações com vetores
Exemplos:
Vetor definido por dois pontos
Vetor definido por dois pontos 
Os segmentos orientados representam o mesmo vetor (3,1)
Exemplo
• Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), 
determinar o ponto D de modo que CD=1/2AB
Ponto Médio
Paralelismo de dois vetores
Mais noções sobre vetores
• Módulo de um vetor:
• Distância entre dois pontos: 
• Versor: 
Vetores no espaço
Análise geométrica do vetor no espaço
Exemplo:
Noções sobre vetores no espaço
Noções sobre vetores no espaço
Exercício:
• Encontrar o vértice oposto a B no
paralelogramo ABCD, sendo A(3,-2,4),
B(5,1,-3) e C(0,1,2).
• Seja o triângulo de vértices A(4,-1,-2),
B(2,5,-6) e C(1,-1,-2). Calcular o comprimento
da mediana do triangulo relativa ao lado AB.
Exercício proposto:
• Calcular os valores de a para que o vetor 
u=(a,-2) tenha módulo 4.
• Determinar no eixo Ox, um ponto P que seja 
equidistante dos pontos A(-1.-2) e B(5,-4).
• Representar em um gráfico o vetor AB e o 
correspondente vetor posição, nos casos:
A(-1,3) e B(3,5)
A(4,0) e B(0,-2)
Exemplo:
Exemplo:
2
Definição geométrica de produto 
escalar
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC temos,
Por outro lado, 
Assim, 
2
2
Exercício
Observações:
• Dados dois vetores:
Exercícios
Ângulos diretores e cossenos 
diretores de um vetor
Ângulos diretores e cossenos 
diretores de um vetor
Exercício
Projeção de um vetor sobre outro 
Produto vetorial
Notação:
Exemplo:
Propriedades 
Quando se inverte a linha o sinal do determinante muda – de (a);
Características do vetor uxv
• Passaremos a definir o vetor uxv no caso deles 
serem não nulos e não paralelos;
O vetor é simultaneamente ortogonal a u 
e v.
Exemplo:
Interpretação geométrica do 
módulo do produto vetorial
A área do paralelogramo determinado pelos 
vetores u e v é numericamente igual ao 
comprimento do vetor 
Mais propriedades
Exemplo:
Exercícios:
Produto Misto
Exercícios
Interpretação geométrica do 
módulo do produto misto
Volume do paralelepípedo
Volume do Tetraedro
Equação vetorial da reta
Equação vetorial da reta
Equação vetorial da reta
Equação paramétrica da reta
Exemplo:
Exercício
Ângulo de duas retas
Retas ortogonais a duas retas
Interseção de Duas Retas
Plano
Exercícios
Exercícios
Exercício
Exercícios
Exercício