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Análise Real
Francinildo Nobre Ferreira
Adélia Conceição Diniz
Carlos Alberto Raposo da Cunha
Guilherme Chaud Tizziotti
MATEMÁTICA
Especialização
Prof. Dr. Francinildo Nobre Ferreira 
Profª. Dra. Adélia Conceição Diniz
Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha
Prof. Dr. Guilherme Chaud Tizziotti
Análise Real
MEC / SEED / UAB
2012
F383a Ferreira, Francinildo Nobre 
 Análise Real / Francinildo Nobre Ferreira; Adélia  Conceição  Diniz; 
Carlos Alberto Raposo da Cunha; Guilherme Chaud Tizziotti . — São João del-Rei, 
MG : UFSJ, 2012.
 218p.
 Curso de Especialização em Matemática.
 1. Análise Matematica I. Diniz, Adélia Conceição II. Cunha, Carlos Alberto Raposo 
da III.  Tizziotti, Guilherme Chaud IV. Título.
CDU: 517 
Reitor 
 Helvécio Luiz Reis 
Coordenador UAB/NEAD/UFSJ 
 Heitor Antônio Gonçalves
Comissão Editorial:
 Fábio Alexandre de Matos
 Flávia Cristina Figueiredo Coura
 Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
 José do Carmo Toledo
 José Luiz de Oliveira
 Leonardo Cristian Rocha (Presidente)
 Maria Amélia Cesari Quaglia
 Maria do Carmo Santos Neta
 Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo
 Maria Rita Rocha do Carmo
 Marise Maria Santana da Rocha
 Rosângela Branca do Carmo
 Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal
 Terezinha Lombello Ferreira
Edição
 Núcleo de Educação a Distância
 Comissão Editorial - NEAD-UFSJ
Capa/Diagramação 
 Eduardo Henrique de Oliveira Gaio
SUMÁRIO
PARA COMEÇO DE CONVERSA... . . . . . . . . 05
 
UNIDADE 1 - Resultados preliminares relacionados ao conjunto dos números reais . 09
 
UNIDADE 2 - Sequência de números reais . . . . . . 23
 
UNIDADE 3 - Séries numéricas ou séries infinitas . . . . . 57
 
UNIDADE 4 - Noções de topologia na reta . . . . . . . 79
 
UNIDADE 5 - Limite e continuidade de funções reais de variável real . . . 93 
 
UNIDADE 6 - Derivada de funções reais de variável real . . . . . 129
 
UNIDADE 7 - Integral de funções reais de variável real . . . . . 159
 
UNIDADE 8 - Sequências e séries de funções reais de variável real . . . 191
 
PARA FINAL DE CONVERSA... . . . . . . . . . 217
 
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . 218
PARA COMEÇO DE CONVERSA... 
 
 
Prezado(a) aluno(a): 
 
 
É com alegria que estamos iniciando o estudo da disciplina Análise Real. É bom estar 
com  você  nesta  oportunidade.  Vamos  aproveitar,  da  melhor  forma  possível,  este 
momento, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos. 
 
 
Desde que começou a falar, você aprendeu a contar brinquedos, degraus de escadas, 
passarinhos  etc.  Já  um  pouco  mais  crescido,  aprendeu  que  os  números  que  você 
usava para contar: 1, 2, 3, 4 etc eram conhecidos como números naturais e que esse 
conjunto geralmente é denotado por N. Ou seja, 
{ }L,4,3,2,1=N . 
 
Embora o número zero, em vários  textos, esteja  incluído no conjunto dos números 
naturais, neste  texto,  admitiremos,  sem maiores  justificativas,  esse  conjunto  sem  o 
número zero. 
 
Tempos  depois,  você  também  aprendeu  que,  na  necessidade  da  representação  de 
temperaturas abaixo de zero, saldo negativo em bancos, ou outros motivos, surgiu o 
conjunto dos números inteiros, que, geralmente, é denotado por Z: 
 
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PARA COMEÇO DE CONVERSA... 
 
 
Prezado(a) aluno(a): 
 
 
É com alegria que estamos iniciando o estudo da disciplina Análise Real. É bom estar 
com  você  nesta  oportunidade.  Vamos  aproveitar,  da  melhor  forma  possível,  este 
momento, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos. 
 
 
Desde que começou a falar, você aprendeu a contar brinquedos, degraus de escadas, 
passarinhos  etc.  Já  um  pouco  mais  crescido,  aprendeu  que  os  números  que  você 
usava para contar: 1, 2, 3, 4 etc eram conhecidos como números naturais e que esse 
conjunto geralmente é denotado por N. Ou seja, 
{ }L,4,3,2,1=N . 
 
Embora o número zero, em vários  textos, esteja  incluído no conjunto dos números 
naturais, neste  texto,  admitiremos,  sem maiores  justificativas,  esse  conjunto  sem  o 
número zero. 
 
Tempos  depois,  você  também  aprendeu  que,  na  necessidade  da  representação  de 
temperaturas abaixo de zero, saldo negativo em bancos, ou outros motivos, surgiu o 
conjunto dos números inteiros, que, geralmente, é denotado por Z: 
 
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{ }LK ,4,3,2,1,0,1,2,3,4, −−−−=Z . 
 
 
Posteriormente, conheceu o conjunto dos números racionais, denotado, geralmente, 
por Q e representado por: 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≠∈= 0,,; qZqp
q
pQ . 
 
Você conheceu, também, o conjunto dos números irracionais, chegando, desse modo, 
ao conjunto dos números reais, que é a união do conjunto dos números racionais com 
o conjunto dos números irracionais e que, neste texto, será denotado por   .R
 
 
No  ensino  fundamental,  você  conheceu  a  raiz  quadrada  de  alguns  números,  por 
exemplo: ,5,3,2 ...  etc.  Em  outras  palavras,  admitia‐se  a  existência  das  raízes 
quadradas de números  reais não negativos, sem maiores  justificativas. Mas você  já 
pensou  na  justificativa  da  existência  dessas  raízes?  Você  conhece  algum  processo 
para calcular valores aproximados para essas raízes? 
 
 
Nesta  disciplina,  além  de  refletirmos  sobre  essas  perguntas,  retomaremos,  para 
tratarmos de modo mais preciso, vários conceitos estudados no cálculo diferencial e 
integral, que, certamente, você já cursou.  
 
Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito Unidades. 
As Unidades 1 e 4 têm apenas uma aula; as Unidades 3 e 8, duas aulas; as Unidades 
2, 6 e 7, três aulas; e a Unidade 5, quatro aulas. Embora o número de aulas em cada 
Unidade  não  seja  o  mesmo,  você  terá  uma  semana  (7  dias)  para  concluir  cada 
Unidade, já incluído, nesse tempo, a entrega das tarefas.  
 
O tempo que você terá para cursar esta disciplina será 60 dias, e você deverá estudar 
os seguintes tópicos: 
 
• Resultados preliminares relacionados ao conjunto dos números reais. 
 
• Sequência de números reais. 
 
• Séries numéricas ou séries infinitas. 
 
• Noções de topologia na reta. 
 
• Limite e continuidade de funções reais de variável real. 
 
• Derivadas de funções reais de variável real. 
 
• Integrais de funções reais de variável real. 
 
• Sequências e séries de funções reais de variável real. 
 
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{ }LK ,4,3,2,1,0,1,2,3,4, −−−−=Z . 
 
 
Posteriormente, conheceu o conjunto dos números racionais, denotado, geralmente, 
por Q e representado por: 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ≠∈= 0,,; qZqp
q
pQ . 
 
Você conheceu, também, o conjunto dos números irracionais, chegando, desse modo, 
ao conjunto dos números reais, que é a união do conjunto dos números racionais com 
o conjunto dos números irracionais e que, neste texto, será denotado por   .R
 
 
No  ensino  fundamental,  você  conheceu  a  raiz  quadrada  de  alguns  números,  por 
exemplo: ,5,3,2 ...  etc.  Em  outras  palavras,  admitia‐se  a  existência  das  raízes 
quadradas de números  reais não negativos, sem maiores  justificativas. Mas você  já 
pensou  na  justificativa  da  existência  dessas  raízes?  Você  conhece  algum  processo 
para calcular valores aproximados para essas raízes? 
 
 
Nesta  disciplina,  além  de  refletirmos  sobre  essas  perguntas,  retomaremos,  para 
tratarmos de modo mais preciso, vários conceitos estudados no cálculo diferencial e 
integral, que, certamente, você já cursou.  
 
Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em oito Unidades. 
As Unidades 1 e 4 têm apenas uma aula; as Unidades 3 e 8, duas aulas; as Unidades 
2, 6 e 7, três aulas; e a Unidade 5,

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