Aula4_Balanços_Parente

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Dimensões e Unidades
Dimensões
• A toda grandeza está associada uma ou mais dimensões.
• Dimensão é o conceito básico de medida dessa grandeza.
• Unidade é o meio de expressar as dimensões da grandeza.
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Dimensões e Unidades
Dimensões Básicas
Conceito básico de medida
Comprimento 
(L)
Tempo 
(T)
Massa 
(M)
Temperatura 
(𝛉)
Quantidade 
de Matéria 
(N)
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Dimensões e Unidades
Dimensões
• Regra 1:
➢ Duas grandezas podem ser somadas ou subtraídas desde
que elas tenham a mesma dimensão.
• Regra 2:
➢ Duas grandezas podem ser multiplicadas ou divididas, dando
origem a outras grandezas.
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Dimensões e Unidades
Dimensões Derivadas
Dimensão que é derivada das dimensões básicas. Operações de
multiplicação, divisão, potenciação.
Volume 
(L3)
Área 
(L2)
Velocidade 
(L/T)
Aceleração 
(L.T2)
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Valores específicos, definidos por convenção
(arbitrariamente), que permitem quantificar as dimensões.
Pé (do inglês foot -1 ft)
Unidade de comprimento
12 polegadas
Dimensões e Unidades
Unidades
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Dimensões e Unidades
Unidades
Valores específicos, definidos por convenção (arbitrariamente),
que permitem quantificar as dimensões.
Rei Henrique I
Pé – 30,48 cm
12 polegadas
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Dimensões e Unidades
Unidades
Valores específicos, definidos por convenção (arbitrariamente),
que permitem quantificar as dimensões.
Problema
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• Adota-se um conjunto de unidades escolhidas: Sistemas 
de Unidades.
Sistemas Absolutos
Unidades de força são derivadas das unidades básicas.
Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
Comprimento 
(L)
Tempo 
(T)
Massa 
(M)
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Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
Comprimento 
(L)
Tempo 
(T)
Força 
(F)
Sistemas Gravitacionais ou Técnicos
Nestes sistemas, a dimensão de força e suas unidades são
consideradas básicas.
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Para padronizar – sistemas de unidades 
Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
Sistemas Absolutos
Sistemas Gravitacionais
CGS
Absoluto inglês
SI
Britânico de engenharia
Americano de engenharia
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Para padronizar – sistemas de unidades 
Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
Sistemas Absolutos
Sistemas Gravitacionais
CGS
Absoluto inglês
SI
Britânico de engenharia
Americano de engenharia
Usado por muito tempo
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Para padronizar – sistemas de unidades 
Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
Sistemas Absolutos
Sistemas Gravitacionais
CGS
Absoluto inglês
SI
Britânico de engenharia
Americano de engenharia
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Dimensões
Compri-
mento
Tempo Massa Força Temperatura
Quantidade 
de Matéria
 Sistemas
SI m s kg
N 
(Newton)
K ou C mol
CGS cm s g dina K ou C mol
Amer.
Eng.
ft (pé) s
lbm
(libra 
massa)
lbf
(libra 
força)
R ou F
lb mol
(libra mol)
Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
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Dimensões e Unidades
Sistemas de Unidades
• Os sistemas SI e CGS são decimais  Têm a vantagem de
trabalhar com múltiplos e divisões decimais (exceto para as
unidades de tempo). Fato que não ocorre com os sistemas inglês
e americano.
• Os sistemas gravitacionais – Americano e Britânico de Engenharia
utilizam a força como dimensão básica  Libra-força é uma
unidade básica!
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• 1 N é a força necessária para acelerar 1kg de 1m/s².
F= 𝑪.𝒎 . 𝒂
Dimensões e Unidades
Sistemas Internacional
𝑪 =
𝑭
𝒎 .𝒂
=
𝟏 𝑵.𝒔²
𝟏𝒌𝒈.𝟏
𝒎
𝒔²
= 1
𝑵.𝒔²
𝒌𝒈.𝒎
F= 𝒎 .𝒂 𝑷 = 𝒎 .𝒈
1
𝐶
= 𝑔𝑐
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• O valor numérico da força (lbf) e da massa (lbm) são iguais na
superfície terrestre, ao nível do mar e 45° de latitude.
1 lbm ao nível do mar Peso igual a 1 lbf
• Inconsistência:
P = m . g = 1 (lbm) . 32,174 (ft/s
2) = 32,174 (lbm . ft / s
2)
1 (lbf) ≠ 32,174 (lbm . ft / s
2)
Dimensões e Unidades
Sistemas Americano e Inglês de Engenharia
• 1 lbf é a força necessária para acelerar 1lbm de 1ft/s².
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Dimensões e Unidades
Sistemas Americano e Inglês de Engenharia
• Fator de conversão na 2ª Lei de Newton
P = m . g / gc
1 lbf = 32,174 (lbm.ft/s
2) / gc
gc = 32,174 (lbm.ft/s
2)/(lbf)
f
2m22
c
lb
s
ft
 lb
 174,32 
dina
s
cm
 g
 1 
N
s
m
 kg
 1 g






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Exemplo
1) Qual é a energia potencial, em ft.lbf, em relação à superfície
da terra de um tambor de 100 lb colocado 10 ft acima da
superfície terrestre?
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• Toda equação que representa um sistema físico só é válida se for
dimensionalmente consistente, isto é, se todos os seus termos
(parcelas) que são somados subtraídos ou igualados, tiverem as
mesmas dimensões e estiverem representados na mesma
unidade.
Dimensionalmente
Consistente
Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
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• Toda equação que representa um sistema físico só é válida se for
dimensionalmente consistente, isto é, se todos os seus termos
(parcelas) que são somados subtraídos ou igualados, tiverem as
mesmas dimensões e estiverem representados na mesma
unidade.
Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
Não é 
Dimensionalmente
Consistente
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Regras de operações com grandezas dimensionais:
• Adição e Subtração
- quantidades expressas na mesma unidade fornecem
resultados na mesma unidade.
1 banana 3 bananas 4 bananas
Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
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Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
Regras de operações com grandezas dimensionais:
• Multiplicação e Divisão
- O resultado tem como unidade a
multiplicação/divisão/potenciação das unidades das grandezas
envolvidas na operação;
- A divisão envolvendo mesmas unidade fornece uma
grandeza sem dimensão (grandeza adimensional).
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Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
Regras de operações com grandezas dimensionais:
• Expoentes e Argumentos de funções
- Os argumentos e expoentes de funções exponenciais,
logarítmicas devem sempre ser adimensionais, ou seja, devem
possuir representaçãodimensional unitária e não ter unidade.
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Exemplo
2)
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Números Adimensionais
Dimensões e Unidades
Números que não possuem grandezas físicas.
Definem-se como produtos e/ou quocientes de grandezas que
as unidades se cancelam.
Dependendo do seu valor, estes números têm um significado
físico que caracteriza determinadas propriedades para alguns
sistemas.
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Números Adimensionais
Dimensões e Unidades
Número de Reynolds
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Dimensões e Unidades
Consistência Dimensional
≠
Homogeineidade de Unidades
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Transformação de uma unidade em outra diferente, porém de
mesma dimensão.
Fatores utilizados para realizar conversão de unidades.
Conversão de Unidades
Dimensões e Unidades
Fatores de Conversão
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 
h
kg
7200 
s
kg
 10
1 h  3600 s 
s
h
h
kg
s
kg
3600
1
* 7200 10  2 10
s
kg
s
kg
 8
s
kg

Conversão de Unidades
Dimensões e Unidades
Fatores de Conversão
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Exemplo
3) Seja um experimento de queda livre no qual se quer saber a
velocidade de um corpo após uma queda de 1,5 min. No
instante inicial este corpo está a uma velocidade V0. A equação
a ser utilizada é:
V (m/s) = V0 (m/s) + g (m/s
2) . t(s)
Transforme a equação anterior, utilizando um fator de
conversão para que o tempo possa ser inserido em minutos.
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• O Sistema internacional de unidades possui 7 unidades básicas.
Dimensões e Unidades
Sistema Internacional (SI)
• O SI possui duas unidades complementares:
(i) o radiano (rad) para medida de ângulos planos;
(ii) o estereoradiano (sr) para medida de ângulos sólidos.
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• O Sistema internacional de unidades possui 7 unidades básicas.
Dimensão Nome da Unidade Símbolo
Comprimento metro m
massa quilograma * kg
tempo segundo s
corrente elétrica ampère A
temperatura kelvin K
quantidade de matéria mol mol
intensidade luminosa candela cd
Dimensões e Unidades
Sistema Internacional (SI)
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Dimensões e Unidades
Nome Símbolo Fator de Multiplicação
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 10
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro  10-6
nano n 10-9
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Dimensões e Unidades
Operações com Grandezas
• Multiplicação e Divisão:
➢ O número de algarismos significativos do resultado deve ser
igual ao da grandeza de menor número de algarismos
significativos.
• Adição e Subtração:
➢ A posição do algarismo significativo mais à esquerda é a
posição do último algarismo significativo permissível para o
resultado.
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Dimensões e Unidades
Operações com Grandezas
• Quando o primeiro algarismo à direita do último significativo for
maior do que 5 ou 5 seguido de pelo menos um algarismo diferente
de 0  arredonda para cima.
• Quando o primeiro algarismo à direita do último significativo for
menor do que  arredonda para baixo.
• Quando o primeiro algarismo à direita do último significativo for 5
seguido de zeros  tem que ser par (se precisar soma 1).
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Dimensões e Unidades
Operações com Grandezas
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Exercício
1) Considere a equação a seguir como válida.
D (ft) = 3 t (s) + 4
(a) Quais são as unidades das constantes 3 e 4?
(b) Obtenha uma equação equivalente na qual a distância
percorrida seja calculada em metros e o tempo
introduzido em minutos.
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Exercício
2) A equação de Van de Waals descreve o comportamento
dos gases reais.
(a) Quais as dimensões das constantes a e b?
(b) Quais as unidades das constantes se o sistema usado
for o SI?
𝑝 +
𝑎
𝑉𝑚
2 𝑉𝑚 − 𝑏 =RT
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Exercício
3) A velocidade específica de uma determinada reação (k)
varia com a temperatura (T) segundo a equação:
Quais as unidades de 1,2x105 e 1,987?
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4) A variação com a temperatura do calor específico, na base
molar (em cal/(gmol.C), do H2SO4 pode ser representada pela
equação:
C Tp  
33 25 3 727 10 2, , *
Em que T[=] °C. Modifique a equação de modo que a expressão
resultante forneça o Cp nas unidades de :
Btu
gmol Ro
T [=] °R
Exercício
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Exercício 
5) Com relação a equação do coeficiente de película (h),
suponhamos que a equação é conhecida para o sistema inglês
e se deseja convertê-la para o SI.
ℎ = α
𝐶𝑝𝐺
0,8
𝐷0,2
Em que:
ℎ[= ]btu/(h.ft².ºF)
𝑐𝑝[= ]btu/(lb.ºF)
G = lb/(s.ft²)
𝐷 = 𝑖𝑛
α = 16,6 (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎)