lista 3 r2_exemplo

Prévia do material em texto

Exemplo de resolução da quinta lista: 
 
A viga da figura a seguir encontra-se apoiada em três pilares conforme indicado. 
Considerando o encurtamento do pilar como o de uma barra submetida à carga axial 
centrada, determinar: 
l l
h
P1 P2 P3
P
l/2
28102 kNcmEIviga ⋅= 
GPaE 200= 
 
 
a) Sendo kNP 200= , ml 3= , mh 8= e as áreas das seções transversais dos três pilares 
iguais e quadradas, o valor desta área A, para que não ocorra flambagem em nenhum dos 
três pilares; 
b) Sendo ml 3= , mh 10= e as áreas se relacionando como 231 2AAAA === e os 
momentos de inércia em relação ao eixo em torno do qual ocorre a flexão sendo 
231 3IIII === , determinar a carga máxima P (em função da área A e do momento de 
inércia I), de modo a garantir a segurança à flambagem nos três pilares. 
c) Sendo kNP 200= , ml 4= , e as áreas se relacionando como 
2
231 602 cmAAAA ==== e os momentos de inércia em relação ao eixo em torno do qual 
ocorre a flexão sendo 4231 3003 cmIIII ==== , determinar o comprimento máximo h 
de modo a garantir a segurança à flambagem nos três pilares. 
Resolução: 
Sendo o problema hiperestático, devemos utilizar um dos métodos já estudados para a sua 
resolução. Será utilizado o método da superposição de efeitos. Um problema hiperestático 
sobre três apoios elásticos apresenta, além dos deslocamentos relativos à deformabilidade 
da viga (linha elástica), também um movimento de corpo rígido (translação e rotação da 
viga como um elemento rígido) que deve ser levado em conta na equação de 
compatibilidade. 
Primeiramente represento os pilares como três molas lineares: 
k1 k2 k3
P h
EAk 11 = 
h
EAk 22 = 
h
EAk 33 = 
 Em seguida retiro o apoio elástico em 2 e utilizo o método da superposição: 
k1 k3
P 
k1 k3
R2 
Compatibilidade:
( )
2
2
2 k
Ryly == 
Agora para cada um dos casos avalio o deslocamento em 2 devido à deformação da viga e 
devido ao seu movimento de corpo rígido. 
- Para a carga P: 
Deformada da viga: 
P
δ2P
 
viga
P
EI
Pl
96
11 3
2
=δ 
Movimento de corpo rígido: 
Δ3
P
Δ1
Δ2P
P
P
 
1
11 4
3
4
3
k
PPR P =Δ⇒= 
3
33 44 k
PPR P =Δ⇒= 
( )PPP 312 21 Δ+Δ=Δ (interpolação linear) 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=Δ
31
2
13
8 kk
PP 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=Δ+δ=
31
3
222
13
896
11
kk
P
EI
Ply
viga
PPP 
- Para a reação R2: 
Deformada da viga: 
viga
R
EI
lR
6
3
22
2
−=δ 
+ + 
R2
δ2R2
 
Movimento de corpo rígido: 
R2
Δ1R2 Δ2
R2
Δ3R2
 
1
2
1
2
1 22
2
k
RRR R −=Δ⇒−= 
3
2
3
2
3 22
2
k
RRR R −=Δ⇒−= 
( )PPP 312 21 Δ+Δ=Δ (interpolação linear) 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=Δ
31
2
2
11
4
2
kk
RR 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=Δ+δ=
31
2
3
2
222
11
46
222
kk
R
EI
lRy
viga
RRR 
A equação de compatibilidade fornece: 
2
2
222
2
k
Ryyy RP =+= 
2
2
31
2
3
2
31
3 11
46
13
896
11
k
R
kk
R
EI
lR
kk
P
EI
Pl
vigaviga
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++
31
3
31
3
2
2
13
12
11
8
11
4
1
6
1
kkEI
lP
kkEI
l
k
R
vigaviga
 
24
3 2
1
RPR −= e 
24
2
3
RPR −= . 
a)
h
EAkkkkAAAA ====⇒=== 321321 
Os pilares P1 e P2 são bi rotulados hll efef ==⇒ 21 
O pilar P3 é engastado e rotulado h,lef 703 =⇒ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅
⋅+⋅⋅
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅+⋅+⋅⋅+⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
AAAAA
R
EA
h
EA
h
EI
lP
EA
h
EA
h
EI
l
EA
hR
vigaviga
448
3
448
3
42
33
2
102
800
102
8003
1024
3003
8
200
102
800
102
800
4
1
1026
300
102
800
3
4
3
84
1
6
 
( )
( )A
A
A
AR
0225,006,0
409375,3
0225,006,0
409375,3
2 +
+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
= , ( )( )A
AR
0225,006,02
409375,31501 +⋅
+−= e ( )( )A
AR
0225,006,02
409375,3503 +⋅
+−= 
Determinação das cargas críticas: 
1212
24 AbI p == 
2
2
242
2
2
02570
80012
102
1
21
A,A
l
EI
PP
ef
p
critcrit =⋅
⋅⋅⋅π=π==
2
2
242
2
2
052450
56012
102
3
3
A,A
l
EI
P
ef
p
crit =⋅
⋅⋅⋅π=π= 
( )
( )
2
23332
1
77,56
01465625,310084,3101565,10257,0
0225,006,02
409375,3150
1
cmA
AAAA
A
APR crit
≥
≥−−⋅+⋅⇒≤+⋅
+−⇒≤ −−
 
( )
( )
2
23342
2
47,72
0409375,310542,1107825,50257,0
0225,006,0
409375,3
2
cmA
AAAA
A
APR crit
≥
≥−−⋅+⋅⇒≤+
+⇒≤ −−
 
( )
( )
2
23332
3
298,2
0284375,010294,61036025,205245,0
0225,006,02
409375,350
3
cmA
AAAA
A
APR crit
≥
≥−+⋅+⋅⇒≤+⋅
+−⇒≤ −−
 
A área do pilar deve então ser maior do que 72,47cm2. 
b) 
IIII
h
EAkkkkAAAA
===
====⇒===
321
321321
3
22
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅
⋅+⋅⋅
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅+⋅+⋅⋅+⋅
⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
AA
P
AAA
R
EA
h
EA
h
EI
lP
EA
h
EA
h
EI
l
EA
hR
vigaviga
448
3
448
3
42
33
2
102
1000
102
10003
10212
30011
8102
1000
102
1000
4
1
1026
300
102
10002
3
12
11
84
1
6
2
 
( )
( ) PA
A
A
P
AR
0225,0125,0
025,0015468755,0
0225,0125,0
025,0015468755,0
2 +
+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
= , ( )( ) PA
APR
0225,0125,02
025,001546875,0
4
3
1 +⋅
+−= e 
( )
( ) PA
APR
0225,0125,02
025,001546875,0
43 +⋅
+−= 
 
Determinação das cargas críticas: 
I,I
l
EIP
ef
crit 197401000
102
2
42
2
2
1
1
=⋅⋅⋅π=π= 
I,I
l
IE
P
ef
crit 0658010003
1023
2
42
2
2
1
2
=⋅
⋅⋅π=
⋅π
= 
I,I
l
EI
P
ef
p
crit 4030700
102
2
42
2
2
3
3
=⋅⋅⋅π=π= 
( )
( )
( )
( ) IA
APIP
A
APR crit 009140625,008125,0
0044415,0024675,01974,0
0225,0125,02
025,001546875,0
4
3
11 +
+≤⇒≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅
+−⇒≤ 
( )
( )
( )
( ) IA
APIP
A
APR crit 025,001546875,0
0014805,0008225,00658,0
0225,0125,0
025,0015468755,0
22 +
+≤⇒≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+⇒≤ 
( )
( )
( )
( ) IA
APIP
A
APR crit 0002109375,001875,0
0090675,0050375,0403,0
0225,0125,02
025,001546875,0
4
1
33 −
+≤⇒≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅
+−⇒≤ 
Para valores de área superiores a 0,17cm2(o que irá certamente ocorrer), a equação que 
dimensiona P é a relativa ao pilar 2. 
 ( )( ) IA
AP
025,001546875,0
0014805,0008225,0
+
+≤ 
c) ) 
IIII
h
EAkkkkAAAA
===
====⇒===
321
321321
3
22
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅+⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
6010260102
3
10212
40011
8
200
60102601024
1
1026
400
60102
2
3
12
11
84
1
6
2
448
3
448
3
42
33
2
hhhhhR
EA
h
EA
h
EI
lP
EA
h
EA
h
EI
l
EA
hR
vigaviga 
( )( )05333,01008333,2 10333,833,7 6
5
2 +⋅⋅
⋅⋅+= −
−
h
hR 
( )( )05333,01008333,2 101667,466,3150 6
5
1 +⋅⋅
⋅⋅+−= −
−
h
hR 
( )( )05333,01008333,2 101667,466,350 6
5
3 +⋅⋅
⋅⋅+−= −
−
h
hR 
22
42
2
2 41,59217626300102
1
1 hhl
EIP
ef
crit =⋅⋅⋅π=π= 
22
42
2
2
8,197392081001023
1
2 hhl
IE
P
ef
crit =⋅⋅⋅π=
⋅π
= 
22
42
2
2 8,120852298
49,0
300102
3
3 hhl
EI
P
ef
p
crit =⋅⋅⋅π=
π= 
( )( )
cmhhhh
hh
hPR crit
86,3800808,105275712335,4133,710333,8
8,19739208
05333,01008333,2
10333,833,7
235
265
2 2
≤⇒≥−−+⋅⋅⇒
⇒≤+⋅⋅
⋅⋅+⇒≤
−
−
−
 
( )( )
cmhhhh
hh
hPR crit
64,8450409,3158273370055,123510708333,2
41,59217626
05333,01008333,2
101667,43150
234
26
5
2 2
≤⇒≥−−+⋅⋅⇒
⇒≤+⋅⋅
⋅⋅+−⇒≤
−
−
−
 
( )( )
cmhhhh
hh
hPR crit
97,166150896,64454557756225,251333,01025,6
8,120852298
05333,01008333,2
101667,4350
235
26
5
3 3
≤⇒≥−−−⋅⋅⇒
⇒≤+⋅⋅
⋅⋅+−⇒≤
−
−
−
 
Tem-se assim que cmh 86,380≤ . 
 
Observações MUITO importantes: 
1) Problemas isostáticos sobre apoios elásticos: 
Supondo a viga apoiada sobre dois pilares: 
k1 k2
P
l/2
2l
 
4
3
1
PR = 
41
PR = 
Neste caso as reações nos pilares não dependem do deslocamento de corpo rígido e nem 
da deformação sofrida pela viga, pois a estrutura é isostática. Assim, comparamos 
diretamente os valores de R1 e R2 com Pcrit1 e Pcrit2, sem a necessidade de levar em 
consideração as constantes das molas ou a rigidez da viga para o cálculo de R1 e R2. 
 
2) Problemas hiperestáticos com apoios elásticos e sem movimento de corpo rígido: 
Se somente o pilar 2 fosse considerado como deformável, teríamos uma estrutura 
hiperestática com um apoio elástico, porém com o movimento de corpo rígido impedido. 
k1≈∞
k2
P
k3≈∞
 
Neste caso não há movimento de corpo rígido, pois a condição de deslocamento vertical 
nulo nos apoios 1 e 2, restringem esse tipo de movimento. Para resolver o problema 
hiperestático basta levar em consideração o deslocamento em 2 devido à deformação da 
viga. 
P
δ2P
2
2
222
2
k
Ry RP =δ+δ=
R2
δ2R2
Uma vez determinado R2, que irá depender da rigidez da viga e da constante 2k , compara-
se com o valor de Pcrit2.