Exemplo de Williot

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O pórtico a seguir encontra-se submetido a uma variação uniforme de temperatura 
Ct °−=Δ 20 . Pede-se determinar as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores. 
 
A B C
D E F
G
3 m 3 m 3 m 3 m
4 m
4 m
(1)
(2)
(3) (6)
(4) (7)
(5)
Ct °−=Δ 20 
2510.1 kNmEI = 
 
Barra l ΔlT 
AD (1) 5m -1.10-3m 
BE (2) 4m -8.10-4m 
DG (3) 5m -1.10-3m 
DE (4) 3m -6.10-4m 
CF (5) 5m -1.10-3m 
FG (6) 5m -1.10-3m 
EF (7) 3m -6.10-4m 
 
Sistema Principal e Deslocabilidade: 
A B C
D E F
G
(1)
(2)
(3) (6)
(4) (7)
(5)
Δ1 Δ1
 
Efeitos sobre o S. P.: 
- solicitação externa - Diagrama de Williot: 
Primeiramente marcamos os nós indeslocáveis juntamente com a origem (0,a,b,c). A 
reta verde pontilhada marca o lugar geométrico que deve conter os nós e e g devido à 
simetria do sistema. A partir de a marca-se T1lΔ (ponto 1), notando que a marcação é 
feita no sentido de aproximar o nó D do nó A, pois a variação de temperatura é negativa. 
Do ponto 1 marca-se a perpendicular à barra AD (reta azul). Analogamente, a partir de c 
marca-se T5lΔ (ponto 5) na direção da barra CF. Do ponto 5 marca-se a perpendicular à 
barra CF (reta azul). A partir de b marca-se T2lΔ (ponto 2) na direção da barra BE. Do 
ponto 2 marca-se a perpendicular à barra BE (reta cor de rosa). Da interseção da reta 
verde com a reta rosa, encontramos o nó e. A partir do nó e marca-se T4lΔ (ponto 4) na 
direção da barra DE. Do ponto 4 marca-se a perpendicular à barra DE (reta cor de 
abóbora). Da interseção das retas cor de abóbora (perpendicular a DE) e azul 
(perpendicular a AD) encontra-se o nó d. Analogamente, a partir do nó e marca-se T7lΔ 
(ponto 7) na direção da barra EF. Do ponto 7 marca-se a perpendicular à barra EF (reta 
cor de abóbora). Da interseção das retas cor de abóbora (perpendicular a EF) e azul 
(perpendicular a CF) encontra-se o nó f. A partir do nó d marca-se T3lΔ (ponto 3) na 
direção da barra DG. Do ponto 3 marca-se a perpendicular à barra DG (reta roxa). Da 
interseção da reta roxa (perpendicular a DG) com a reta verde encontra-se o nó g. 
Analogamente poderíamos ter marcado T7lΔ (ponto 7) na direção da barra FG, a partir do 
nó f; e do ponto 7 marcaríamos a perpendicular à barra FG (reta roxa). Da interseção 
entre a reta roxa (perpendicular a FG) e da reta verde (ou da interseção entre as duas 
retas roxas), encontraríamos igualmente o nó g. 
0,a,b,c
e
1,7 2
3,6 reta perpendicular à barra ADreta perpendicular à barra CF
df
g
reta perpendicular à barra DEreta perpendicular à barra EF
reta perpendicular à barra BE
4,5
reta perpendicular à barra DGreta perpendicular à barra FG
 
Deslocamentos ortogonais Recíprocos: 
A partir da análise do diagrama de Williot, nota-se que as barras (1), (4), (5) e (7) 
apresentam deslocamento ortogonal recíproco. Como iremos trabalhar com o equilíbrio 
do nó D, analisaremos os deslocamentos ortogonais recíprocos das barras (1) e (4). 
0,a,b,c
e
3,6
df
g
Δl 4TΔl 7T
Δl 4TΔl 1T Δl 2T
Δl 3TΔl 6T
 
df
Δl 4TΔl 7T
α
α
α
2Δl 4T
ρAD
ρDE
 
 
5
4=αsen e 
3
4=αtag 
msen AD
AD
T
34 105,1
2 −⋅=ρ⇒ρ
Δ⋅=α l 
mtag ED
DE
T
44 100,9
2 −⋅=ρ⇒ρ
Δ⋅=α l
 
 
 
Barra (1): 
0,00
15 m
18 k
Nm
5 m
A
D
 
Barra (4): 
0,0009 m
3 m
60 kNm
60 kNm
 
kNm42186010 −=+−=β 
Deslocabilidade :11 =Δ
 
Barra (1): 
1ra
d
60
00
0 k
Nm
5 m
A
D
Barra (3): 
1ra
d
400
00
5 m
kN
m
800
00
kN
m
D
G
Barra (4): 
1rad
200000
3
3 m
kNm
400000
3
kNm
D E
 
kNm
3
820000
3
400000800006000011 =++=β
 
Equação de Equilíbrio do nó D: 
4
11
10
111110 105366,1410000
630 −⋅==β
β−=Δ⇒=Δ⋅β+β
 
Momentos finais a serem aplicados nas rótulas: 
kNmM D 22,2741
111660000
410000
6318)1( ==⋅+= (sentido anti-horário) 
kNmM D 29,1241
50480000
410000
630)3( ==⋅+= (sentido anti-horário) 
kNmM D 51,3941
1620
3
400000
410000
6360)4( −=−=⋅+−= (sentido horário) 
kNmM E 76,4941
2040
3
200000
410000
6360)4( −=−=⋅+−= (sentido horário) 
kNmM G 15,641
25240000
410000
63)3( ==⋅+= (sentido anti-horário) 
 
A
D
E
G
VA
HA
VE
HE
HG
[kNm]
12,29
6,15
27,22 39,51
49,76
x
y
 
Reações Finais: 
A B C
D E F
G
29,76 kN29,76 kN
29,12 kN 29,12 kN
59,51 kN
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
DM[kNm]
27,22
+
+
+
39,51
6,15
-12,29 --
27,22
+
+
+
39,51
-49,76
6,15
-12,29- -