ATPS_-_Matematica_Aplicada_-_Etapas_3_e_4_-_Grupo

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Introdução
Esta atividade é importante para que você entenda e analise a utilização das derivadas em diversas situações do cotidiano empresarial.
Etapa 3
Aplicações das derivadas no estudo das funções. Quais
2.1 Passo 2 (Equipe)
Solucionar a seguinte questão: A empresa “MAFRA S/A” tem função de demanda dada por q=100 - 4p e função C(q) = q³ - 30,25q² + 100q + 20. Determine o nível do produto no quais os lucros são maximizados. Apresentar no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidades de slides livre para a construção e detalhamento.
2.2 Passo 3 (Equipe)
Encontrar a solução para situação: “Sabe-se que a equação de demanda de um produto é p = -q³ + 12q². Determine a quantidade q e o correspondente preço p que maximiza o faturamento. Deverá ser gerado um relatório com no máximo 04 laudas.
Passo 4 (Equipe)
Demonstrar a solução para seguinte situação: Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00.
Apresentar no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidades de slides livre para a construção e detalhamento.
I) Quando o preço de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma mercadoria é vendida. Assim, como "x" é a quantidade procurada, então substituiremos "x" por zero; e como "y" é o preço da mercadoria, então substituirá "y" por 100. Assim, vamos ficar com: 
100 = a*0 + b 
100 = 0 + b 
100 = b, ou, invertendo: 
b = 100 <--- Este é o valor de "b", da função y = ax + b. 
II) Quando a mercadoria é fornecida gratuitamente (ou seja, a preço zero), 50 produtos são procurados. 
Assim, como "x' é a quantidade procurada, então substituiremos "x" por 50; e como "y" é o preço da mercadoria, substituirá "y" por zero. Assim, ficaremos com: 
0 = a*50 + b 
0 = 50a + b --- vamos inverter, ficando: 
50a + b = 0 ---- como já temos que b = 100, então fazendo essa substituição, temos: 
50a + 100 = 0 
50a = - 100 
a = - 100/50 
a = - 2 <--- Este é o valor de "a". 
III) Assim, a função y = ax + b ficará sendo, após substituirmos "a" por (-2) e "b" por 100: 
y = - 2x + 100 <--- Esta é a função demanda. 
IV) Agora vamos encontrar qual é a quantidade procurada quando o preço for de R$ 30,00. Para isso, substituiremos "y" por 30 e teremos a quantidade "x" demandada. Assim, temos: 
30 = - 2x + 100 ----- passando "100" para o 1º membro, temos: 
30 - 100 = - 2x 
- 70 = - 2x ----- multiplicando ambos os membros por (-1), ficamos com: 
70 = 2x ---- invertendo, temos: 
2x = 70 
x = 70/2 
x = 35 <--- Esta é a resposta. Esta é a quantidade demandada quando o preço for de R$ 30,00. 
Etapa 4
 Aplicação das derivadas nas áreas econômicas e administrativa.
Passo 1
Determinar os intervalos em que a função f(x) = x³- 27x + 60 é crescente e os intervalos em que é decrescente, em seguida façam um esboço de seu gráfico e determine as coordenadas dos pontos extremos locais.
Passo 2
Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se comercializar a quantidade x, em unidades, é dada pela função: R = -2x² + 1000x. Agora resolva as seguintes questões:
Calcule a derivada R’ (100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa numericamente? O que ela representa graficamente?
Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?
Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?
Tem-se que para um determinado produto, a receita R(x), em reais, ao se comercializar uma quantidade "x", em unidades, é dada pela função abaixo: 
R(x) = - 2x² + 1.000x 
Com base nisso, pede-se:
a) Calcule a derivada da função acima. Assim, temos: 
R'(x) = - 4x + 1.000 ---- agora, para encontrar R'(100), vamos substituir o "x" por "100". Assim 
R'(100) = - 4*100 + 1.000 
R'(100) = - 400 + 1.000 
R'(100) = 600,00 <--- Esta é a resposta. Este é o valor de R'(100). 
Agora vamos ver a outra pergunta: O que ela representa numericamente? Representa a receita marginal com a venda da 101ª unidade. 
A propósito, observe que o valor de R$ 600,00 (que é a receita marginal para 100 unidades vendidas) é mais ou menos igual ao valor da receita de 101 unidades vendidas menos a receita de 100 unidades, ou seja, deveremos ter que: 
R'(100) = R(101) - R(100) 
Vamos ver quanto é R(101) e R(100), na função dada, que é: 
R(x) = -2x² + 1.000x ---- vamos resolver para 101 unidades e 100 unidades. Assim, temos: 
R(101) - R(100) = -2*101² + 1.000*101 - [-2*100² + 1.000*100] 
R(101) - R(100) = -2*10.201 + 101.000 - [-2*10.000 + 100.000] 
R(101) - R(100) = - 20.402 + 101.000 - [-20.000 + 100.000] 
R(101) - R(100) = 80.598 - [80.000] 
R(101) - R(100) = 80.598 - 80.000 
R(101) - R(100) = 598 <--- Veja: como dissemos antes, o valor de R(101) - R(100) é mais ou menos igual ao valor de R'(100), que encontramos antes. 
Graficamente, representa um valor igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função dada, no ponto de abscissa igual a 100.
b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima. 
Veja que a função é esta: R(x) = - 2x² + 1.000x 
E a quantidade de unidades "x" que devem ser comercializadas para que dê a receita máxima será dada pelo "x" do vértice (xv) da parábola da função acima. Veja que "xv" da função do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, é dado por: 
xv = -b/2a. 
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a quantidade máxima que dará a receita máxima será dada por: 
xv = -1.000/2*(-2) 
xv = - 1.000/-4 ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos; 
xv = 1.000/4 
xv = 250 unidades <--- Esta é a quantidade vendida que dá a receita máxima. 
c) Qual é a receita máxima correspondente ao item anterior? 
Veja: para encontrar a receita máxima, basta que você vá à função dada [R(x) = - 2x² + 1.000x] e substitua "x" por 250. Assim: 
R(250) = -2*250² + 1.000*250 
R(250 = - 2*62.500 + 250.000 
R(250) = 125.000 + 250.000 
R(250) = 125.000,00 <--- Esta é a receita máxima. 
Passo 3 (Equipe)
Determinar a taxa de variação da temperatura T, em relação ao tempo, no instante t = 10 minutos para a seguinte hipótese: A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão: T = 0,02t³ + 02, t² + 110. A temperatura está expressa em graus Celsius e o tempo em minuto.
T = 0,02t³ + 0,2t² + 110 
T = ? 
t = 10 
T = 0,02 x (10)³ + 0,2 x (10)² + 110 
T = 0,02 x 1000 + 0,2 x 100 + 110 
T = 20 + 20 + 110 = 150 ºC 
Logo a taxa de variação (instantânea) da temperatura T no instante t de 10 minutos é de 150ºC
Passo 4 (Equipe)
 Demonstrar a solução para o problema e em seguida escolher a alternativa correta. “O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m-1), onde em Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é”:
a) -2 	b) -1 		c) 0 		d) 1 		e) 2