Matematica - Função do 2º grau

Prévia do material em texto

1 INTRODUÇÃO
--FUNCAO
# #
QUADRATICA
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por
medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de
largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
:" " " " " " " " " " . ""1" " :
: 3 pista :, ', ',,,,,,100
70
campo
I'
,,,,,,,,,,---.+
: 3,,,,,
,,,,,--,
3 :,,,,,,
, ', ', ', ', ', ', ', '
, :
j I3 ~, '
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •••••••••••••••••••••••••••••• 1
A área da região cercada é:
. (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 mZ
Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria:
(100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 = 8424 mZ
Enfim, a cada largura x escolhida para a pista há uma área A (x) da região cercada. O valor de A(x)
é uma função de x. Procuremos a lei que expressa A(x) em função de x:
.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
: x :
: :··················
100
··········
~···············: :
t l~ ~
70 +-------+;'x :····
A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4x2 =
= 4x2 + 340x + 7000
Este é um caso particular de função polinomial do 29 grau, ou função quadrática.
2. DEFINiÇÃO
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 29 grau, qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ::f. O.
Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas:
1. f(x) = 2X2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
2. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1
3. f(x) = x2 - 1, onde a = 1, b = O e c = -1
4. f(x) = _x2 + 2x, onde a = -1, b = 2 e c O
5. f(x) = _4x2, onde a = -4, b = O e c = O
166 Determine m a fim de que a função j, definida por f(x) = (m - l)x2 + 2x - 3, seja do 29 grau.
167 Determine os valores de p para que a função realj, definida por f(x) = (p2 - 5p + 4)x2 - 4x + 5,
seja do 29 grau.
168 Identifique os coeficientes a, b, c das seguintes funções quadráticas:
a) y x2 - 3x + 10
_2X2 - 5x + Ib) Y
x2 - lOx + 3
5
I + ~ - 3x2
2
c) y e) y
d) Y f)y
169 Identifique os coeficientes a, b e c das seguintes funções de 29 grau:
a) f(x) = (2x - 1)2 + (x - 3)2
b) f(x) = (x - 3) (x + 5) + (1 - X)2
c) f(x) = (.J3 x - Ir
172 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções:
a) y = x2 - 2x b) y = _x2 + 3x
173 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções reais:
a) y = x2 - 2x + 4 b) y = _x2 + 2x - I
- 1 74 Os gráficos das funções seguintes são parábolas. Assinale Cquando a parábola tem concavidade voltada
para cima e B quando a parábola tem concavidade voltada para baixo.
a) y 2X2 - IOx + 7 d) y 1 - x + x2
b) y = x2 - 2x - 5 e) y = 4x _ x2
c)y = _2X2 - I f)y = (2x - 1)2 - (3x _ 1)2
175 Determine m para que a parábola representativa da função y = mx? - 2x + 1 tenha concavidade voltadaJ para cima.
176 Determine m para que a parábola representativa da função y = (2 + mjx" + 5x + 3 tenha concavidade
voltada para baixo.-l
....•1
-1
7A parábola representativa da função y = (3 - m)x2 - 5 tem concavidade voltada para cima. De-
termine m.
4 ZEROS E EQUAÇÃO DO 2~'GRAU
Chamam-se zeros ou raizes da função polinomial do 29 grau f(x) = ax" + bx + c, a :f. O, os
números reais x tais que f(x) = O. .
Então as raízes da função f(x) = ax ' + bx + c são as soluções da equação do 29 grau
ax" + bx + c = O, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
x -b ±~b2 - 4ac
2a
Temos:
f(x)
Exemplo 1
O => ax? + bx + c O => x -b ±~b2 - 4ac
2a
Vamos obter os zeros da função f(x)
Temos a = 1, b = -5 e c = 6.
Então:
x2 - 5x + 6:
L ,
I I
~
- b ± ~b2 - 4ac
2a
e as raízes são 2 e 3.
5 ±~25 - 24
2
x =
5 ± 1
2
= 3
ou= 2
-1
Exemplo 2
Vamos calcular as raizes da função f(x)
Temos a = 4, b = - 4 e c = 1.
Então:
-b ±~b2 - 4ac
x = ----~-------
2a
1 1r: e as raízes são - e
~ 2 2
4x2 - 4x + 1:,I
>----j
i---.l
4 ± ~16 - 16
8
4 1
8 2
>---< Exemplo 3
,--'
Vamos calcular os zeros da função f(x)
Temos a = 2, b = 3 e c = 4.
2X2 + 3x + 4:
3. GRÁFICO
ax' + bx + c, com a "* o, é uma curvao gráfico de uma função polinomial do 29 grau, y
chamada parábola.
Exemplo 1
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos 'os pontos assim obtidos.
y
x y = x2 + x
-3 6 (2,6)
-2 2
-I O
I -Y4-
2
O O
I 2
h 1%
2 6 x
Vamos construir o gráfico da função y = _x2 + I:
Repetindo o procedimento usado no exemplo I, temos:
y
x y = _x2 + 1
-3 -8
-2 -3
-I O
O I
1 O
2 -3
3 -8
x
,
(2,i-3)
,
,
,,
,
(-3, -8) t:':': ----------(3, -8)
Ob•• rYa,6o--~~~----------~~---------=------~-=------~
LJo construir o gráfico de uma função quadrática y = ax? + bx• se a > O, a parábola tem a concavidade voltada para cima;• se a < O, a parábola tem a concavidade voltada para baixo._. _ ~ _ ~~~~~~~~~~.."..._-.J+ c, notaremos sempre que:
170 Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções reais:
a) y = x2 b) y = 2X2
171 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções:
a) y = _x2 b) y = _2X2
u -b ±~b2 - 4ac -3 ±~x = 2a 4
Portanto, essa função não tem zeros reais.
-3 + C23- '\j-L,j tE IR
4
Então:
()bserYa~ão _
A quantidade de raízes reais .de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando
11 = b2 - 4ac, chamado discriminante, a saber:
• quando 11 é positivo, há duas raízes reais e distintas; j
• quando 11 é zero, há só uma raiz real;
• quando 11 é negativo, não há raiz real.
'----------
Exemplo 4
Vejamos quais são as condições sobre m na função y = 3X2 - 2x + (m - 1) a fim de que:
a) não existam raízes reais; b) haja uma raiz dupla; c) existam duas raízes reais e distintas.
Calculando o discriminante (11), temos:
11 = (_2)2 - 4 . 3 . (m - 1) = 4 - 12m + 12 16 - 12m
Devemos ter:
a) 11 O 16 - 12m < O
4
< ~ ~ m > --
3
b) 11 O 16 12m O
4~ ~ m --
3
c) 11 O 16 12m > O
4
> ~ - ~ m < --
3
Exemplo 5
Sendo XI e X2 as raízes da equação ax ' + bx + c = O, vamos calcular XI + x2 e XI . x2:
XI + x2 =
-b -I;. +b + I;. 2b b
+
2a 2a 2a a
-b-I;. +b + I;. b2 -(~r b2 _ (b2 - 4ac) c
XI x2 =
2a 2a (2a)2 4a2 a
Exemplo 6
Vamos mostrar que, se a função quadrática y
y a (x
ax" + bx + c tem zeros XI e x2, então
XI) (x - x2)
De fato:
a[x2 - XIX - x2x +
a(x - XI) (x - x2)
(
, b
a x- + -;:;-x +
XI x2] = a[x(x
c ) ,-;;- = a]x ' - (x , +
- x.) - xix - XI)]
y = ax ' + bx + c
Esta última forma de indicar a lei de uma função quadrática é chamada forma fatorada.
kll'If,,~~IIII~O 7
Vamos determinar k a fim de que uma das raízes da equação x2 - 5x + (k + 3)
quádruplo da outra:
Utilizando os resultados obtidos no exemplo 5, temos:
O seja igual ao
b
= 5 (I)
c
k + 3 (lI)
a a
Do enunciado vem X, = 4x2 (III)
Substituindo (III) em (I), vem:
4x2 + x2 = 5 ~ x2 = 1 ~ x, = 4
De (lI), Vem:
1·4=k+3~k=
As raízes de uma função quadrática são os valores de x (abscissa) para os quais
y = ax" + bx + c = O, ou seja, são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo
dos x.
Voltando aos exemplos 1, 2 e 3, temos:
1. O gráfico de f(x) = x2 - 5x + 6 corta o eixo dos x nos pontos (3, O) e (2, O).
2. O gráfico de f(x) = 4x2 - 4x + 1 toca o eixo dos x no ponto (+, O).
3. O gráfico de f(x) = 2X2 + 3x + 4 não intercepta o eixo dos x.
Vejamos, por curiosidade, como são os três respectivos gráficos:
y y y
o xx x
a) x2 + (1 - F)x - F = O b) 4x2 + 3 O c) x2 - 4{3 X + 12 O
- 180 Determine os zeros reais de cada função abaixo:
a) f(x) = x4 - 5x2 + 4 b) f(x) = _x4 + 5x2 + 36
178 Determine as raízes (zeros) reais de cada uma das seguintes funções:a) f(x) x2 - 3x + 2 d) f(x) -3x2 + 6
b) f(x) 3x2 7x + 2 e) f(x) = X - 2X2
3
2x +
179 Resolva as seguintes equações do 29 grau:
c) f(x)
c) f(x)
181 Determine o número de raízes reais distintas da equação 3x4 - 12x2 = O.
182 Determine os valores de m para que a função quadrática f(x)
tenha um zero real duplo.
j , 83 Determine o, ,,10'" de m para que a equação mx' + (2m - l )x + (m - 2) = Onão tenha raizes reais.
-1'84 Determine os valores de m para que o conjunto solução da equação x2 + 2mx + (m? - 3m + 5) = O,1 em IR, seja o conjunto vazio.
x2 + (3m + 2)x + (m" + m + 2)
185 Determine os valores de m para que a função do 29 grau f(x) = _3x2 + 2x + (1 + 2m) tenha dois r~
zeros reais e distintos.
186 Para que valores de p a equação px! + (p + l)x + (p + 1) = O tem um zero real duplo?
1 = O tem uma raiz real187 Mostre que para qualquer valor real não nulo de m a equação mx? + 2x +
dupla.
m
1-.... 188 Mostre que para qualquer valor real não nulo de m a função quadrática f(x)
não apresenta raízes reais.
mx"
f-
- 2mx + 3m i-
189 Na equação do 29 grau 2X2 - 5x - 1 = O, de raízes XI e x2' calcule:
r
190 Em relação à questão anterior, calcule:
191 As raízes da equação 2X2 - 2mx + 3 O são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de m.
3x - m = O é igual a J.-. Calcule o valor de m.
2
192 A diferença entre raízes da equação 2X2 +
193 Determine o parâmetro m na equação x2 + mx + (rn' - m - 12) = O, de modo que ela tenha uma
raiz nula e a outra positiva.
194 As raízes da equação x2 - 2px + 8 = O são positivas e uma é o dobro da outra. Qual é o valor de p?
195 Mostre que uma equação do 29 grau de raízes XI e X2 é a equação x2 - Sx + P = O, em que
S = XI + x2 e P = XI . x2.
Rt.
196 Obtenha uma equação do 29 grau de raízes:
1 3b) - e --
2 2
197 Obtenha uma equação do 29 grau de raízes:
a) 2 e-3 c) 0,4 e 5
a) +.[3 e1-.[3 b) ..J5 e 2..J5
5• COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA
Quando a > O, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando
a < O, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer casei,
as coordenadas de V são (- 2~ , - !J.
y a>O I
y a<O
\ ) t:. V-4a x
x
V
[] Exemplo 1
Vamos calcular m em y = x2 - 8x + (2m + 1) a fim de que o valor mínimo assumido por y seja -12:
Como a = 1 > 0, essa parábola tem ponto de mínimo. O valor mínimo é a ordenada Yv do vértice.
Devemos ter:li
,_o _~
fJf..----,
t:.
Yv = -12 =} --- = -12 =}
4a
64 - 4(2m + 1)
4
12 =} m 3
2
Exemplo 2
y.---,
U
••
h
L----1a) a altura máxima atingida pela bala;b) o alcance do disparo.
[~ a) Como, : -3 < eo a parábola tem um ponto 'o máximo V cujas 000<''"'''' são IX" y,). Tomo,
x - 10
v - 2a -6
Uma bala é atirada de um canhão de brin-
quedo (como mostra a figura) e descreve uma
parábola de equação y = _3x2 + 60x (onde
x e y são medidos em metros).
Vamos determinar:
v
x
Yv = -~ = - 3600 = 300
4a -12
Assim, a altura máxima atingida é 300 m.
b) A bala toca o solo quando y = O, isto é: _3x2 + 60x = O ~ x = O ou x = 20.
Mas x = O não convém, pois representa o ponto inicial do disparo; então, o alcance do disparo é
1.-----1 20m.
a) y = x2 - 4 b) y = 2X2 - 5x + 2 c) y = _x2 + X 2
9
198 Determine o vértice de cada uma das parábolas representativas das seguintes funções:
199 Determine o valor máximo (ou mínimo) e o ponto de máximo (ou mínimo) de cada uma das funções
abaixo, definidas em IR:
a) y 2X2 + 5x c) y = 4x2 - 8x + 4
b) y -3x2 + 12x x
2 4
d) y = -- +-x
2 3
1
2
3x2 - 2x + m para que o valor mínimo seja ~
3
201 Determine m na função real f(x) = _3x2 + 2(m - l)x + (m + 1) para que o valor máximo seja 2.
200 Determine o valor de m na função real f(x)
202 Determine o valor de m na função real f(x) = mx" + (m - l )x + (m + 2) para que o valor máximo
seja 2.
203 A parábola de equação y = _2X2 + bx + c passa pelo ponto (I, O) e seu vértice é o ponto de coordenadas
(3, v). Determine v.
204 Dentre todos os números reais x e y tais que x + y 10, determine aqueles cujo produto é máximo.
]
I
I
205 Dentre todos os números reais x e y de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
206 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 em, determine o de área máxima.
207 Dentre todos os números reais a e b tais que a - b = 10, determine aqueles cujo produto seja o menor
possível.
208 É dada uma folha de cartolina como na fi-
gura ao lado. Cortando a folha na linha
pontilhada, obteremos um retângulo. De-
termine esse retângulo, sabendo que sua
área é máxima.
6 IMAGEM
o conjunto-imagem Im da função Y
pode assumir. Há duas possibilidades:
•. 19 quando a > O,
Im = {Y E IR I Y ;:;, s,
ax' + bx + c, a 7: O, é o conjunto dos valores que y
- :a}
•. 2~ quando a < O,
Im = {Y E IR Y ~ Yv -~}4a
y
I a <o I
V
x
y
o x
7 CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA
É possível construir o gráfico de uma função do 29 grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas
seguindo apenas o roteiro de observações seguinte:
•. 1~ O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
•. 2g Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
•. 3~ O vértice V (-~, -~) indica o ponto de mínimo (se a > O), ou de máximo (se a < O);
2a 4a
•. 4~ A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
•. 5~ Para x = O, temos y = a . 02 + b . O + c = c; então (O, c) é o ponto em que a parábola
corta o eixo dos y.
Exemplo
Façamos o esboço do gráfico da função y
Características:
2X2 - 5x + 2:
• concavidade voltada para cima, pois a
• zeros: 2X2 - 5x + 2 = O => x =
= 2 > O
1- ou x
2
2
• vértice: V = (- ;a ' - !J = ( !'-:J
• interseção com o eixo y: (O, c) = (O, 2)
Note que 1m = {Y E IR I Y ~ -fl
Jt mplo 2
Vamos construir o gráfico da função Y
Características:
• concavidade voltada para cima, pois a = 1 > O
• zeros: x2 - 2x + 1 = O =} x = I (raiz dupla)
x2 - 2x + I:
• vértice: V = (- ;a ' - !J = (1, O)
• interseção com o eixo y: (O, c) = (O, 1)
Note que 1m = {Y E IR I y ~ O}.
e 103
_x2 - X - 3:Vamos construir o gráfico da função y
Caracte rísticas:
• concavidade voltada para baixo, pois a = -1 < O
• zeros: _x2 - x - 3 = O =} ;iI x real, pois Ô. < O
• vértice: V = (-~ -~J = (_.2.. __11 J
2a' 4a 2 ' 4
• interseção com o eixo y: (O, c) = (O, -3)
Como temos apenas dois pontos, podemos opcionalmente
calcular mais alguns, como por exemplo
x = I ~ Y = -5; x = -1 ~ Y = -3; etc.
Note que Im = {Y E IR I y ~ -Jf-}.
jYeixo de simetria
(0,2) :I
-~
8
Y . eixo de simetria
i/
x
,(1, O) x
21 O Determine m na função f(x)
Im = {y E IR I y ~ 2}.
3x2 - 4x + m definida em IR para que a imagem seja
/(2,1)
1 Y
2
xo
eixo de
simetria
------ \ (1, -5)
209 Determine a imagem de cada uma das funções definidas em IR:
a) y x2 - 3x c) Y -4x2 + 8x + 12
b) y
1 ,
-x- + x +
2
d) Y
21 1Determine m na função f(x)
3
1+ mx - definida em ~ para que a imagem seja
2
I
r
Im = (y E ~ I y ~ 7).
212 Construa o gráfico cartesiano de cada uma das funções definidas em ~ e forneça também o conjunto-imagem:
1 1
a) y = x2 - 2x - 3 b) y = _Xl + -X + -2 2
21 3 Faça o gráfico de cada uma das funções reais:
a) y = _3x2 + 6x - 3 b) y = 4x2 - lOx + 4
214 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções reais e determine sua imagem:
? 9b) y = X" - 3x + -
4
a) y = 3x2 - 4x + 2
21 5 Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções reais:
a) y = 2x - Xl b) y = _x2 + 3x - 3
216 Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções reais f e g, definidas por
f(x) = x2 e g(x) = -x + 2.
Determine também o(s) ponto(s) de interseção dos gráficos de f e g.
217 Seja f : ~ --+ ~ uma função do 29 grau
cujo gráfico é dado ao lado. Qual é a
expressãode f?
(Sugestão: use a forma fatorada.)
y
x
-2
21 8 Qual é a função real cujo gráfico está
representado ao lado?
x
x
21 9 O gráfico do trinômio do 29 grau
-I ax? - lOx + c é o da figura ao lado.
~ Determine a e c. Quais são as raízesl dessa função?
y
x
220 Qual é a função real cujo gráfico está
representado ao lado?
y
221 O gráfico ao lado representa a função
real y = x2 + px + q. Determine
p e q.
~~+-
x
8. SINAL
Consideremos uma função quadrática y = f(x) = ax '. + bx + c e determinemos os valores
de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo.
Conforme o sinal do discriminante d = b2 - 4ac, podem ocorrer os seguintes casos:
~ L1 > O
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x I *' x2). A parábola intercepta
o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
y
x
x
quando a > O I
y > O <=> (x < X I ou X > x2)
y < O <=> XI < X < x2
quando a < O
y > O <=> X I < X < x2
y < O <=> (x < XI ou X > x2)
~ L1 O
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais iguais (x I
o eixo Ox e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
x2). A parábola tangencia
y
x
quando a > O I
y > O, \::Ix *' XI
J x tal que y < O
quando a < O
y< O, \::Ix *' XI
J x tal que y > O
~ Li < O
Nesse caso a função quadrática não admite zeros reais. A parábola não intercepta o eixo Ox e
o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
y
x
x
quando a > O I
y > O, 'IIx
J x tal que y < O
I quando a < O I
y < O, 'IIx
J x tal que y > O
Exemplo 1
Vamos estudar o sinal de y = x2 - Sx + 6:
Temos:
aI> O -+ parábola com concavidade voltada para cima
,1 b2 - 4ac = 2S - 24 = 1 > O -+ dois zeros reais distintos
x
-b ±jil
2a
S ± 1
2
=} x, = 2 = 3
2~3 X
Resposta: y > O
y < O
<=> (x < 2 ou X > 3)
<=> 2 < x < 3
Exemplo 2
Vamos estudar o sina!' de y = -6x2 + X + 1:
Temos:
a = -6 < O -+ parábola com concavidade voltada para baixo
,1 b2 - 4ac 1 + 24 = 2S > O -+ dois zeros reais distintos
x
-b ±jil
2a
-1 ± S
-12
1
=} x = -- e x,_
. I 3
1
2
y<O<=>
1 1-- < x < -
3 2
(x I< -- ou
3 x> +)
-~-
x
Resposta: y > O <=>
Exemplo 3
Vamos estudar o sinal de y = 4x2 - 12x + 9:
Temos:
a = 4 > O -+ parábola com concavidade voltada para cima
,1 b2 - 4ac 144 - 144 = O -+ dois zeros reais iguais
x
-b ±jil
2a
12 ± O
8
3
2
---{ 3Resposta: y > O, '\Ix * 2
'J x tal que y < O 32
x
Exemplo 4
_x2 + 6x - 9:Vamos estudar o sinal de y
Temos:
a = -1 < O --+ parábola com concavidade voltada para baixo
Ll = b2 - 4ac 36 - 36 = O --+ dois zeros reais iguais
-b ±j:l
2a
-6 ± O
-2
3x
Resposta: y < O, Vx *- 3
"J x tal que y > O
Exemplo 5
3x2 - 2x + 5:Vamos estudar o sinal de y
Temos:
a 3 > O --+ parábola com concavidade voltada para cima
Ll = b2 - 4ac = 4 - 60 = -56 < O --+ não há zeros reais
Resposta: y > O, Vx
"J x tal que y < O
I Exemplo 6
_2X2 + 7x - 11:Vamos estudar o sinal de y
Temos:
a = -2 < O --+ parábola com concavidade voltada para baixo
Ll = 49 - 88 = -39 < O --+ não há zeros reais
Resposta: y < O, Vx
"J x tal que y > O
)
x
)
x
222 Estude os sinais das seguintes funções quadráticas:
a) y = 2X2 - 5x + 2 b) Y = -x ' + 2x + 3
223 Faça o estudo de sinal das seguintes funções de 29 grau:
9
a) y = 3x2 - 5x b) Y = x2 - 3x + 4
224 Estude os sinais das seguintes funções quadráticas:
a) y = x2 - 4x + 4 b)y = 3~ - 4x + 2
225 Estude o sinal das seguintes funções de 29 grau:
a) y = (2x + 1)2 + (x + 1) (x - 2) - 1 b) Y
c) y
c) y 5
c) y 1 1-x +-2 2
(-x + 2) (x - 1) - (x - 3)2
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações.
9. INEQUAÇÕES
Exemplo 1
Vejamos como resolver a inequação 6x2 - Sx + I ~ O:
Chamemos' de y a função quadrática que está no 1~membro: y
Vamos agora estudar o sinal de y:
6x2 - Sx + l.
l-
I
/~
x
A inequação pergunta: "para que valores de x temos y ~ 07".
Resposta: + ~x ~ ~ (ou S = {x E ~ I+~x ~ --}} J.
xempl 2
Vejamos como resolver a inequação 2X2 - x ~ x2 + 2x:
Vamos passar todos os termos da inequação para um dos membros, por exemplo para o I ~ membro:
2X2 - x - x2 - 2x ~ O
x2 - 3x ~ O
• Estudo do sinal de y
,
3xx'
a = I > O, f:::,. 9 > O, raízes: O e 3
Sinal
y > O Ç} (x < O ou x > 3)
y < O Ç} O < x < 3
/ffi
1111I11I1I111I11I1I1I6"·~'-----e---,.e3111111111111111111~
A inequação pergunta: "para que valores de x temos y ~ 07".
Resposta: x ~ O ou x ~ 3.
•. •.••plo 3
Vamos resolver a inequação 2X2 +
Temos:
2X2 + 3x +
4x2 + 4x +
3x + I < -x (1 + 2x):
+ x(I + 2x) < O
< O
a = 4 > O, f:::,. = O,
4x2 + 4x + 1
. I
raIZ: --
2
, ""4 • Estudo do sinal de y
Sinal
)
y > O, 'v'x 7c- I
2
J x tal que y < O
x
A inequação pergunta: "para que valores de x temos y < O?".
Resposta: J X.
t--
Exemplo 4
Vejamos como resolver a inequação 1 < x2 ,,:; 4:
De fato são duas inequações simultâneas:
1 < x2 (I) e
Vamos resolver (I): 1
x2 ,,:; 4 (11)
- x ' < °
• Estudo do sinal de YW a = -1 < 0, Â = 4 > 0, raízes: -I e 1
L Sinal
y > ° ~ -1 < x < 1
y < ° ~ (x < -1 ou x > I)
J
I
ri
~r-----1
>--..1
~
Solução de (I): x < - 1 ou x > 1 I
Vamos resolver (lI): x2 - 4 ,,:; °
• Estudo do sinal de y x2 - 4
a = 1 > 0, Â 16 > .0, raízes: -2 e 2
Sinal
y > ° ~ (x < -2 ou x > 2)
y < ° ~ -2 < x < 2
® '''-'''''''';:;'''''''''~-2 ~ 2 x
Solução de (lI): -2 ,,:; x ,,:; 2
Procuremos agora a interseção das duas soluções:
-2 -1 1 2
SI ··········.. ·······~··.. ·..··········9----;()o····I , ,...............•.I I: x, ,
" ,
811 --- ••••••• ················r············..····j···········.......•..•----, ,,
I I I I
---_ ••••••••••••••••••0 0•••••••••••••••••••..._----
Solução final: -2 ,,:; x < -1 ou 1 < x ,,:; 2.
Exemplo 5
Vamos resolver a inequação (2x2 - 5x) (2 + x - x')
Façamos Y I = 2X2 - 5x e estudemos o sinal de YI:
5
a = 2 > 0, Â = 25, raízes: ° e 2
< o:
Sinal ®\/®y, > ° ~ (x < ° ou x > ~)
o~~
•
5
X
y, < ° ~ ° < x < -2
Façamos Y2 = 2 + x - x2 e estudemos o sinal de Y2:
a = -I < O, ~ = 9, raízes: -1 e 2
Sinal -1LGsi \8 )oxY2 > O {:} -1 < x < 2
Y2 < O {:} (x < -1 ou x > 2)
• Estudo do sinal do produto Y'Y2
Y2
5
-1 O 2 2"
)o
+ + + x
+ +
,
v, . Y2 ,+: ,+,
111111111111111Ó-------Ó.IIIIIIIIIIII6-----------01111111111111111
A inequação pergunta: "para que valores de x temos Y I
5
2'
. Y2 < O?".
Resposta: x < -1 ou O < x < 2 ou x >
Exemplo 6
x2 - 2x - 8
Vamos resolver a inequação ----,,.----- :;. O:
x2 - 6x + 9
• Estudo do sinal de y, = x2 - 2x - 8
a = 1 > O, ~ = 36, raízes: -2 e 4
~\ /~SinalYl > ° {:} (x < -2 ou x > 4)
Yl < ° {:} -2 < x < 4 x
• Estudo do sinal de Y2 x2 - 6x + 9
a = 1 > O, ~ = 0, raiz: 3
Sinal
Y2 > 0, \/x i= 3
3 x
y,
• Estudo do sinal do quociente
-2
+ + x
+Y2 + + +
Li. +: : I,' +
Y2 '
111"111111111111" •• ----0_--- •.111111111".111111
Yl
A inequação pergunta: "para que valores de x temos :;. O?".Y2
Resposta: x .:; -2 ou x :;. 4.
Exemplo 7
Vejamos qual é a condição sobre m E IR a fim de que
tenhamos mx? + 2x + 3 > O para todo x real:
Façamos f(x) = rnx" + 2x + 3. Se, para todo x real
devemos ter f(x) > O, então o esboço do gráfico de f é:
Para que isso ocorra, devemos ter a > O e 11 < O.
Então:
x
1
a = m > O (I) e 11 = 4 - 12m < O => m > :3 (II)
Como (I) e (II) devem ser simultaneamente satisfeitas, façamos (I) n (lI).
o(I) 0I1 •• I1'I •• 1I11I1111•• 1•• 1I111111111111111111111111 •• 11I •• 11I11•• 11I11I1I~
3(lI) ---<{)IlIllIllIlIllIllIllIlIltlllllllllllllllllllllllU".I1.
1
3(1) n (lI) ---<()IIIIIIIII •••••• I •• IU •• " •• IIII ••••••••••• IIIIIIIIIIIII
Resposta: m >
1
3
Vamos determinar o domínio da funçãoreal f(x) =~. f~2--=--4.
2x - 1
x2 - 4
seja positivo ou nulo.Para que f esteja definida, é necessário que o radicando
• Estudo do sinal de YJ = 2x - 1
1
a = 2 > O, raiz: x = 2:
YI < O se x <
1
2
I
2
Sinal
YI > O se x >
• Estudo do sinal de Yz = x2 - 4
a = 1 > O, raízes: 2 e -2
Sinal
Y2 > O se (x < -2 ou x > 2)
Y2 < O se -2 < x < 2
YI 1
Estudo do sinal de -2 2"
Y2
Y1
Y2 +
,
Y1 +
,
Y2
,, ,
~
6.'''"11111111111111111 •
Queremos 3 O.Y2
2
+ + x
+
,
, +
.e-------<Ó.IIIIIIIIIIIIIIIIII
YI
(Notemos que -
Y2
as raízes de Yz.)
Resposta: D {x E IR I - 2 < x :;:; ~ ou x > 2}
O ocorre para YI O e Y2 ot O. Isso nos obriga a incluir a raiz de YI e a excluir
-, 232 Resolva a desigualdade -J2 x > x2.j ~33 s- A [x E ~ I 3, - 2x' ;> O{ e B = [x E R I x - x - 2 "Di, determine A U B.
: 234SeA {x E ~IX2 - 3x + 2 ~ O} e B = {xE~I-X2 + 3; >O},determineA n B.
"j" 235 Resolva, em ~, as inequações:
a) (1 - 4x2) (2x2 + 3x) > O
b) (x2 - 5x + 6) (9 - x2) ~ O
226 Resolva, em R as inequações:
a) x2 - 3x + 2 > O
227 Resolva, em ~, as inequações:
J
a) _3x2 - 8x + 3 ~ O
228 Resolva, em ~, as inequações:
a) x2 - 6x + 9 ;;: O
l 229 Resolva, em R as inequações:
~ a) 2X2 - 4x + 5 > O
1
I
1
230 Resolva, em R as inequações:
a) 9 - 6x + x2 > O
231 Resolva, em ~,as inequações:
a) x2 ;;: 8x b) 4 < x2
236 Resolva, em ~, as inequações:
a) (x? - 21 x + 20) (3 - x) > O
b) (x - 2) (x2 - 1) > O
b) _x2 + X + 6 > O c) x2 - 4 > O
b) _2X2 + 3x > O c) x2 + 10x > O
b) _4x2 + l2x - 9 ;;: O c) x2 + 3x + 7 < O
b) 4x2 - 4x + 1 ~ O c) _4x2 + 20x - 25 < O
b) _x2 - 100 < O
c) 1 > - x2
c) (x2 + X - 6) (_x2 - 2x + 3) ;;: O
c) (2x2 + 1) (x - 3) ~ O
237 Quantos números inteiros satisfazem a inequação (x2 - 2x + 8) . (x2 - 5x + 6) . (x' - 16) ~ O?
238 Sejam f e g funções definidas em ~ por f(x) = 2X2 - 9x - 5 e g(x) = x2 - 2x + 2. Determine
o conjunto de valores de x para os quais f(x) . g(x) ~ O.
239 Resolva, em ~, a inequação 4x3 - l2x2 - X + 3 ~ O.
240 Resolva, em R as inequações:
) 4X2 + X - 5 Oa? >
2x- - 3x - 2
241 Resolva, em ~, as inequações:
x + 1a) ---,,---- ;;: O
x ' - 3x + 2
x2 + 2xb) ;;: O
x2 + 5x + 6
2 - 3x
c) < O
2X2 + 3x - 2
b) __ x x_ ;;: O
x+l x-I
1
c) x + - ~ -2
x
x ' + 3x - 16242 Resolva, em ~, a inequação ;;: 1.
_x2 + 7x -10
x - 3243 Resolva, em ~, a inequação ~ x-I.
x - 2
x244 Resolva, em ~, a inequação --:,---::----- ;;: O.
x ' _ x ' + X -
9.
f
247 Determine m E IR para que _x2 + 2mx + (_m2 - 2m + 5) < O para todo x real. E
248 Qual é o conjunto de valores de p para os quais a desigualdade x2 + 2x + p > 10 é verdadeira para
qualquer x pertencente a IR?
245 Determine m E IR para que x2 + (2m - l)x + (m? - 2) > O para todo x real.
246 Determine m E IR para que x2 + (2m + 3)x + (rn? + 3) :;;. O para todo x real.
j
253 Encontre os valores de x para os quais está definida a função f(x)
254 Qual é o domínio da função f definida por f(x) ?
~6X2 - 5x - 1
1
255 Forneça o domínio da função definida por f(x) ~3x + 5 + ~rx-=-2-_-8-x-+-7-.
~
-x + 5
256 Qual é o domínio da função definida por f(x) - ?
- x ' + X - 6
~2 - 18x2 .
249 Determine m E IR para que (m + 2)x2 - 2mx + (m - 3) < O para todo x E IR.
250 Para que a função real f(x) = ~X2 - 6x + k , em que x e k são reais, seja definida para qualquer valor
de x, qual deve ser o valor de k?
251 Determine os valores reais de p a fim de que a função f(x)
em IR.
I + ~_X2 + 2x + p não esteja definida
252 Qual é o domínio da função real definida por f(x) = ~3X2 - 8x - 3 ?
257 Dê o domínio da função f definida por f(x)
~
?
-x2+1
2x + 5 - 3·
X" - 2x - 15
258 Determine o domínio da função f definida por f(x)