Regra da Substituição - Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral I – 2014.2 
 
Diferencial 
 Como já sabemos a derivada de uma função 𝑓 em um número 𝑥 é dada por 𝑓′(𝑥). 
Fazendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) denotamos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥). 
A priori, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 é apenas uma notação, mas daremos um significado geométrico para a mesma. 
Seja ∆𝑥 um incremento em 𝑥. Façamos ∆𝑥 = 𝑑𝑥. Esse acréscimo em 𝑥 causa uma 
variação ∆𝑦 em 𝑦 dada por 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥). 
Olhando para 𝑑𝑦 como o adréscimo na ordenada da reta tangente quando 𝑥 varia 𝑑𝑥 temos que 
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, 
ou seja, 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥. 
Assim definido, 𝑑𝑦 é denominado diferencial de 𝑓 em 𝑥 e representa a quantidade que a reta 
tangente sobe ou desce quando 𝑥 varia por uma quantidade 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra da Substituição para Integrais Indefinidas 
 
 É de nosso conhecimento que para encontrarmos uma integral indefinida precisamos 
determinar uma primitiva do integrando. 
 Seja 𝑓 uma função contínua com primitiva 𝐹 e 𝑔 uma função diferenciável em 𝐼. Pela 
Regra da Cadeia 
𝑑
𝑑𝑥
[𝐹(𝑔(𝑥))] = 𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥). 
Fazendo 𝑢 = 𝑔(𝑥), 
∫ 𝐹′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = ∫ 𝐹′(𝑢)𝑑𝑢. 
Uma vez que 𝑓 = 𝐹′ segue que 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 
e assim temos a 
 
Regra da Substituição: Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo 
𝐼 e 𝑓 for contínua em 𝐼, então 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢. 
 
Exemplo 1: Calculemos ∫ 2𝑥 √𝑥2 + 3 𝑑𝑥. Para isso tomemos 𝑢 = 𝑥2 + 3 . Teremos 𝑑𝑢 =
2𝑥𝑑𝑥. Assim, com 𝑓(𝑔(𝑥)) = √𝑥2 + 3 e 𝑔′(𝑥) = 2𝑥, pela Regra da Substituição 
∫ 2𝑥 √𝑥2 + 3 𝑑𝑥 = ∫ √𝑥2 + 3 ∙ 2𝑥𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 
 =
𝑢
1
2
+1
1
2 + 1
+ 𝑘 =
𝑢3/2
3/2 
+ 𝑘 =
2
3
√𝑢3 + 𝑘. 
Voltando para a variável 𝑥, concluímos que 
∫ 2𝑥 √𝑥2 + 3 𝑑𝑥 =
2
3
√(𝑥2 + 3)3 + 𝑘. 
∎ 
 
Exemplo 2: Analisemos ∫ 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥. Da forma como está escrita ela não envolve uma 
composição de funções. No entanto, se escrevermos 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
=
1
cos 𝑥
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
podemos perceber que 
1
cos 𝑥
 é a composição das funções 
1
𝑥
 e cos 𝑥. Além disso, se 𝑢 = cos 𝑥 
então 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥. 
Pela Regra da Substituição 
∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
cos 𝑥
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
∙ (−𝑑𝑢) = − ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
 = − ln|𝑢| + 𝑘 = ln|𝑢|−1 + 𝑘 = ln
1
|𝑢|
+ 𝑘 = ln |
1
𝑢
| + 𝑘. 
Retornando para a variável 𝑥 encontramos 
∫ 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 = ln |
1
cos 𝑥
| + 𝑘 = ln|sec 𝑥| + 𝑘. 
∎ 
 
Regra da Substituição para Integral Definidas 
 
 Para integrais definidas que envolvem funções compostas podemos usar esse método de 
duas formas. A primeira delas faz uso do Teorema Fundamental do Cálculo. 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥|
𝑎
𝑏
. 
 
Exemplo 3: Calculemos 
∫
𝑥
√1 + 3𝑥2
𝑑𝑥
1
0
. 
Para isso, encontremos 
∫
𝑥
√1 + 3𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
1
√1 + 3𝑥2
∙ 𝑥𝑑𝑥. 
Tomando 𝑢 = 1 + 3𝑥2 teremos 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥 ⇔
1
6
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥. 
∫
𝑥
√1 + 3𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
1
√1 + 3𝑥2
∙ 𝑥𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑢
(
1
6
𝑑𝑢) =
1
6
∫
1
√𝑢
𝑑𝑢 =
1
6
∫ 𝑢−
1
2𝑑𝑢 
 =
1
6
𝑢−
1
2
+1
(−
1
2 + 1
)
+ 𝑘 =
1
6
 
𝑢1/2
1
2
+ 𝑘 =
√𝑢
3
+ 𝑘 =
√1 + 3𝑥2
3
+ 𝑘. 
 Dessa forma, 
∫
𝑥
√1 + 3𝑥2
𝑑𝑥
1
0
= (
√1 + 3𝑥2
3
+ 𝑘)|
0
1
=
√1 + 3 ∙ 12
3
+ 𝑘 − (
√1 + 3 ∙ 02
3
+ 𝑘) 
 =
√1 + 3
3
+ 𝑘 −
√1
3
− 𝑘 =
√4
3
−
1
3
=
2
3
−
1
3
=
1
3
. 
 
∎ 
 
 O segundo método é utilizando a 
 
Regra da Substituição para as Integrais Definidas: Se 𝑔′ for contínua em [𝑎, 𝑏] e 𝑓 for 
contínua na variação de 𝑢 = 𝑔(𝑥), então 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
. 
 
Demonstração: Seja 𝐹 uma primitiva de 𝑓. Sabemos que uma primitiva de 𝐹(𝑔(𝑥)) é dada por 
𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥). Pela segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑔(𝑥))|
𝑎
𝑏
= 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎)) = 𝐹(𝑢)|𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)
= ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
. 
∎ 
 
Exemplo 4: Avaliemos 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2𝑑𝑥
√𝜋
0
. 
Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 temos 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥 ⇔
1
6
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥. Sendo 𝑎 = 0 e 𝑏 = √𝜋 segue que 
𝑢(0) = 𝑔(0) = 3 ∙ 02 = 3 ∙ 0 = 0 
e 
𝑢(√𝜋) = 𝑔(√𝜋) = 3 ∙ (√𝜋)
2
= 3𝜋. 
Pela Regra da Substituição para integrais definidas 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2𝑑𝑥
√𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 (
1
6
𝑑𝑢)
3𝜋
0
=
1
6
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢𝑑𝑢
3𝜋
0
= −
1
6
cos𝑢|0
3𝜋
 
 = −
1
6
cos 3𝜋 +
1
6
cos 0 = −
1
6
(−1) +
1
6
∙ 1 =
1
6
+
1
6
=
2
6
=
1
3
. 
∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto baseado nos livros 
 GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Vol. 1. Ed. LTC.,2001. 
 STEWART, J., Cálculo, V.1. Ed. Thomson Pioneira, 2005.