05_Resist mat II_Eng Mecânica_Aimorés_Métodos de Energia_Parte 1_Energia de deformação para tensões normais

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Curso de Eng. Mecânica
R e s i s t ê n c i a d o s M a t e r i a i s I I
P r o f . : D a n i e l G o m e s
d a n i e l . j a n u a r i o @ p r o f . u n a . b r
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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
UNIDADE 05:
MÉTODOS DE ENERGIA -
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA TENSÕES 
NORMAIS
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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
Métodos de Energia
Introdução
Quando um elemento estrutural ou mecânico é submetido a cargas axiais,
forças cortantes, momentos de flexão e momentos de torção (atuando
separadamente ou em qualquer combinação) surgem internamente esforços e
tensões, que provocam deformações internas.
O efeito acumulado das deformações internas resulta em deslocamentos
(lineares e/ou angulares) na superfície de um componente estrutural.
As deformações e os deslocamentos podem ser determinados utilizando-se
as relações básicas entre tensões e deformações ou utilizando-se os
princípios conservação de energia.
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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA
Métodos de Energia
Objetivos
Os métodos de energia, baseados no princípio de conservação de energia,
utilizam a relação entre trabalho de uma carga e a energia associada a
deformação. Esses métodos são úteis na análise:
- Deflexão e inclinação no ponto de aplicação de uma única carga;
- Tensões e deflexões de elementos sob cargas de impacto.
Os métodos de energia mais gerais, como o Princípio do Trabalho Virtual e o
Teorema de Castigliano, para estruturas sujeitas a várias cargas, são úteis na
análise:
- Deflexão e inclinação em quaisquer pontos de elementos estruturais;
- Esforços e deslocamentos de estruturas estaticamente indeterminadas 4
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Trabalho Externo e Energia de Deformação
Trabalho de uma Força (Ue)
5
dxPdU e .
Trabalho elementar dUe feito pela força P, que
cresce lentamente, à medida que a barra se
alonga de um pequeno deslocamento dx:
Trabalho total Ue :
 10 .
x
e dxPU
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Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de deformação (Ui)
Trabalho externo realizado por uma carga aplicada lentamente é convertido
inteiramente em trabalho interno denominado energia de deformação, que
se armazena no corpo:
6
 10 .
x
ie dxPUU
  210 2
1.1 kxdxxkU xi  
11.2
1 xPU i 
No regime de deformação linear e elástica:
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Trabalho Externo e Energia de Deformação
Densidade de Energia de deformação (ui)
7

1
0
x
i
L
dx
A
P
V
U
O diagrama força-deformação depende do
comprimento L e da área da seção transversal da
barra BC ilustrada anteriormente;
Portanto, a energia de deformação depende
também das dimensões do elemento estrutural;
Para eliminar o efeito do tamanho é considerada a
energia por unidade de volume:
deformaçãodeenergiadedensidadedu xxi  
1
0


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Trabalho Externo e Energia de Deformação
Densidade de Energia de deformação (ui)
8
Fazendo-se x = E:
E
u EE 2
2
uE = Módulo de resiliência
E = Tensão de escoamento
No regime linear e elástico:
2
2
0
x
xxi
Edu
x 

 
xx E  .
E
u xxxi 22
1 2 
O módulo de resiliência representa:
- A densidade de energia que o material pode
absorver sem escoar;
- A capacidade de uma estrutura de resistir a
impacto sem se deformar permanentemente.
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Trabalho Externo e Energia de Deformação
Densidade de Energia de deformação (ui)
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A densidade de energia de deformação
correspondente à deformação normal específica
de ruptura R é conhecido como tenacidade do
material:
- Representa a densidade de energia necessária
para provocar a ruptura do material;
- Representa a capacidade de uma estrutura de
resistir a impacto sem se romper.
- Esta relacionada com a ductilidade e com o
limite de resistência do material;
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Energia de Deformação Elástica
Para Tensões Normais
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Em um elemento estrutural com distribuição de tensão não uniforme,
a energia de deformação específica é definida;



dVuU
dV
dU
V
Uu iVi 0lim
E
Edu xxxxxxi
x
22
1
2
22
0


 
 dVEU
x
i 2
2
Dentro do regime linear e elástico (x = E x );
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Energia de Deformação Elástica
Para Cargas Axiais
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Fazendo x = P/A e dV = A.dx ;
Adx
EA
PdV
E
U
L
x
i  
0
2
22
22

dx
EA
PU
L
i 
0
2
2
Caso mais comum – barra prismática e carga
axial constante;
EA
LPU i 2
2

É a soma da energia de
deformação de cada
elemento ao longo da
estrutura.
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Exemplo 01
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Uma barra consiste em duas partes BC e CD do mesmo material e do mesmo
comprimento, mas com seções transversais diferentes. Determine a energia de
deformação da barra em termos da relação n entre os dois diâmetros.
Aplicando a equação de energia de
deformação elástica para carga axial:
   
 EAn
LP
AE
LPU i 2
2
12
2
12
22

AE
LP
n
nU i 22
1 2
2
2
OBS: O aumento no diâmetro da parte BC resulta em uma diminuíção da capacidade de
absorção de energia da barra toda !
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Exercício proposto 01
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Usando E = 200 GPa, determine:
a) A energia de deformação da barra de aço ABC quando P = 25kN;
b) A densidade de energia de deformação correspondentes nas partes AB e
BC da barra.
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Exemplo 02
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Uma força P é suportada em B por
duas barras do mesmo material e
mesma área A de seção transversal.
Determine a energia de deformação do
sistema.
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Exemplo 02- Solução
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Determinação das forças normais nas barras, utilizando o método dos nós:
0
5
4
5
3;0  BDBCY FFPF
0
5
3
5
4;0  BDBCX FFF
06,08,0  BDBC FF
PFF BDBC  8,06,0
PFBC 6,0 PFBD 8,0
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Exemplo 02- Solução
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Energia de deformação do sistema:
Caso mais comum – barra prismática e carga
axial constante:
EA
LPU i 2
2

EA
LF
EA
LFU BDBDBCBCi 22
22

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Exercício proposto 02
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Na treliça mostrada, todas as barras são feitas de alumínio e tem a área de
seção transversal indicada na figura. Usando E = 72 GPa, determine:
a) A energia de deformação
da treliça;
b) A densidade de energia de
deformação nas barras BC
e CD.
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Energia de Deformação Elástica
Para Momento Fletor
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Considere um elemento prismático reto sob flexão simétrica M, a energia de
deformação elástica será:
  dVEI
yMdV
E
U xi 2
222
22

Fazendo dV = dA.dx;
I
yM
x  dxEI
MU
L
i 
0
2
2
dxdAy
EI
MdxdA
EI
yMU
L
A
L
A
i    


0
2
2
2
0
2
22
22
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Exemplo 3
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Determinar a energia de deformação elástica devida à flexão da viga em
balanço, supondo que ela seja submetida à carga uniforme distribuída w.
Considerar EI constante.
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Exemplo 3 - Solução
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Determinação do momento
interno na viga:
Aplicando a equação de energia de
deformação elástica para momento fletor:
2
0
2
 :0
2xwM
xxwMM






   dx
EI
xwdx
EI
MU
LL
i 

0
22
0
2
2
2
2
dxx
EI
wU
L
i 
0
4
2
8
EI
LwU i 40
52

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Exercício proposto 03
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Determine a energia de deformação devido à flexão para a barra de aço e o
carregamento mostrado. Use E = 200 GPa.
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Exercício proposto 04
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Determinea energia de deformação devido à flexão para a barra de aço e o
carregamento mostrado. Use E = 200 GPa.
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Exercício proposto 03
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Referências Bibliográficas
BEER, Ferdinand Pierre et al. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. São
Paulo: Makron Books, 2007. (disponível no acervo)
BUDYNAS, Richard G.; NISBETT, J. Keith. Elementos de máquinas
de Shigley: projeto de engenharia mecânica. 8. ed. Porto Alegre:
AMGH, 2011.
HIBBELER, R.C.. Resistência dos Materiais. 5ª Ed São Paulo:
Prentice Hall do Brasil, 2004. (disponível no acervo)
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