CALCULO II_LISTA

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LISTA 1 - DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGR. II - 2015 PROFa: ANA LUCIA
1. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.
 
2. Verifique se as funções vetoriais são contínuas nos pontos indicados.
3. Determine a derivada de cada função vetorial.
a) f(t) = cos3t i + tgt j + sen2t k
b) g(t) = e-t i + e-2t j + k
c) f(t) = cos2t i + sen2t j + 2t k
d) f(t) = 2sent3t i - 2cos3t j
e) h(t) = sent.cost i + e-2t j
f) f(t) = ln(4 -t2) i + j - 4e3t k
g) f(t) = no ponto t = 1
h) f(t) = (1 + t3) i + te-t j = sen2t k no ponto t = 0
i) f(t) = 2sent i + 3cost j, no ponto t = π/3
j) f(t) = (t + 1) i + (t2 -1) j + 2t k, no ponto t = 1
k) r(t) = 2cost i + 3sent j + 4t k, no ponto t = π/2
l) r(t) = acoswt i + asenwt j , onde w e a são constantes
4. Determinar um vetor tangente à curva definida pela função vetorial no ponto indicado.
a) f(t) = (t, t2, t3) no ponto P(-1, 1, -1)
b) g(t) = (t , et ) no ponto P(1, e)
c) r(t) = sent i + cost j + t k no ponto P(1, 0, π/2)
d) f(t) = 2t i + lnt j + 2 k no ponto P(2,0,2)
5. Dado o vetor posição r(t) = et i + (2/9)e2t j - 2et k determine:
a) o vetor velocidade.
b) o vetor aceleração no ponto t = ln3
6. Dado o vetor posição r(t) = 3cost i + 3sent j + t2 k encontre o módulo da velocidade no ponto t = 0 .
7. Dado o vetor posição r(t) = tcost i + tsent j + k determine o vetor velocidade.
8. Dado o vetor posição r(t) = cost i + sent j + t2 k determine o vetor velocidade no ponto t = π/4.
9. O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. Determine a velocidade, a rapidez e a aceleração no instante t = 1.
Trajetória de duas partículas
Imagine que duas partículas diferentes descrevem trajetórias diferentes dadas por duas funções vetoriais diferentes: r1(t) e r2(t).
Podemos fazer duas perguntas:
a) As trajetórias dessas partículas se cruzam?
b) Essas partículas se chocam?
Respondendo as perguntas:
a) As trajetórias se cruzarão se houver pelo menos um ponto em comum nas duas curvas não necessariamente no mesmo tempo t.
b) As partículas se chocarão se houver um ponto em comum nas duas curvas e necessariamente no mesmo tempo t.
Observe que no primeiro caso, pode ser que uma partícula passe por um ponto em que a outra passe antes ou depois. No segundo caso, as partículas passam pelo mesmo ponto ao mesmo tempo. Por isso, colidem!
Agora veja como podemos fazer as contas!
a) As trajetórias dessas partículas se cruzam?
Nesse caso basta igualar as duas funções, isto é, fazer r1(t) = r2(t).
Em seguida devemos resolver um sistema de equações, que determinará o ponto onde as partículas se encontram. Se não for possível resolver o sistema, então as trajetória das partículas não se cruzam em nenhum ponto.
Se o t1 = t2 , então as partículas também colidem nesse ponto.
b) Essas partículas se chocam?
Nesse caso basta igualar as duas funções, isto é, fazer r1(t) = r2(t).
Em seguida devemos resolver um sistema de equações.
Se o t1 = t2 , então as partículas também colidem nesse ponto.
Vamos verificar o seguinte exemplo.
Duas partículas descrevem as curvas r1(t1) = (t + 1, t) e r2(t2) = (t - 1, 2 - t). Determine se as trajetórias dessas partículas se cruzam em algum ponto. Verifique se as partículas colidem ou não.
Solução:
Passo 1 - Vamos igualar as funções dadas.
r1(t1) = (t + 1, t)
r2(t2) = (t - 1, 2 - t)
r1(t1) = r2(t2) 
 (t1 + 1, t1) = (t2 - 1, 2 - t2)
t1 + 1 = t2 - 1 e t1 = 2 - t2
t1 - t2 = - 2 e t1 - t2 = 2 (resolvendo sistema) 
Encontramos t1 = 0 e t2 = 2 
Passo 2 - Agora para encontrar o ponto basta calcular r1(0) ou r2(2).
Por exemplo, vou escolher r1(0). 
r1(t1) = (t + 1, t) → r1(0) = (0 + 1, 0) = (1,0).
Passo 3 - Vamos verificar se há colisão.
Verificamos que há um único ponto em que as trajetórias se encontram, ponto (1,0). Vimos também que t1 ≠ t2 . Logo as partículas não colidem!
Conclusão: As trajetórias se encontram no ponto (1,0) e não colidem , pois t1 ≠ t2 .
Agora você pode resolver os seguintes exercícios:
10. Duas partículas descrevem as curvas r1(t1) = (t , t2) e r2(t2) = (t + 1, 4t + 4). Determine se as trajetórias dessas partículas se cruzam em algum ponto. Verifique se as partículas colidem ou não.
11. Duas partículas descrevem as curvas r1(t1) = (t , t) e r2(t2) = (t + 1, t). Determine se as trajetórias dessas partículas se cruzam em algum ponto. Verifique se as partículas colidem ou não.
12. Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas BR-101 e BR-102, tendo os seus movimentos descritos por r1(t) = (10t , 50t2) e r2(t) = (7t, 70t - 50). 
a) No ponto P onde as estradas BR-101 e BR-102 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre esse ponto P.
b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P? se não, qual deles chega primeiro?
c) Sabendo que o limite de velocidade nas estradas é de 80km/h, qual dos dois carros será multado no ponto P?
13. Calcule as integrais da funções vetoriais.
14. Determine o vetor posição r(t) de uma partícula que se move em função do tempo t, sabendo-se que o vetor velocidade é dado pela equação vetorial V(t) = (et + 1) i - (tet - et ) j + 3t2 k e que primeiramente (t = 0) a partícula saiu de um ponto P(1,1,0) com velocidade v(0) = 2i + j.
15. Determine o vetor velocidade V(t) de uma partícula que se move em função do tempo t, sabendo-se que o vetor aceleração é dado pela equação vetorial V(t) = (et + t) i - (tet - 2et + 1) j + t3 k e que primeiramente (t = 0) a partícula saiu de um ponto P(1,1,0) com velocidade v(0) = 2i + j.
16. Uma partícula se move de uma posição inicial r(0) = (1,0,0), com velocidade inicial V(0) = i - j + k. Sua aceleração é dada por a(t) = 4t i + 6t j + k. Determine sua velocidade e posição mo instante t.
17. Determine o comprimento de cada curva dada.
a) r(t) = (2sent, 5t, 2cost) t em [-10,10]
b) r(t) = cost i + sent j + t k t em [0,2π]
c) r(t) = 
d) r(t) = (6t3, -2t3, -3t3) 1 ≤ t ≤ 2
e) r(t) = (t, sent, 1 + cost) t em [0,2π]