CÁLCULO DIFERENCIAL

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
AVALIAÇÃO 4 
GABARITO 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSOR BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 27/06/2015 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 
C A D B E 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA ÚLTIMA FOLHA E LEVE – 
APENAS A ÚLTIMA FOLHA – PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
NOME DA DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL 
Professor(a) BRÁULIO ANCHIETA 
 
1- Utilizando as técnicas de determinação de limites de funções, calcule: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑
 𝒙− 𝟑
𝒙−𝟑
. 
a) Zero 
b) 
 𝟑−𝟏
𝟑
 
c) 
𝟏
𝟐 𝟑
 
d) +∞ 
e) 3
1− 2
 3
 
 
2- Empregando o conceito de limites laterais de funções, calcule: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏+ 𝒇 𝒙 e 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏− 𝒇 𝒙 , 
sendo 𝒇 𝒙 = 𝒙
𝟐 𝒔𝒆 𝒙 < 1
𝟐𝒙 𝒔𝒆 𝒙 > 1
 
a) lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = 2 e lim𝑥→1− 𝑓 𝑥 = 1 
b) lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = 0 e lim𝑥→1− 𝑓 𝑥 = −2 
c) lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = +∞ e lim𝑥→1− 𝑓 𝑥 = −∞ 
d) lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 =
1
2
 e lim𝑥→1− 𝑓 𝑥 = 2 
e) lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = −1 e lim𝑥→1− 𝑓 𝑥 = 3 
 
3- Qual o valor correspondente ao seguinte limite: 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝟕−𝟐𝒙+𝟒𝒙𝟐−𝒙𝟒
𝟏+𝟐𝒙−𝟑𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟒
. 
a) 7 
b) +∞ 
c) 
𝟏
𝟐
 
d) −
𝟏
𝟓
 
e) −∞ 
 
4- Calcule a derivada da função 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙
𝟑𝒙+𝒙𝟐
 no ponto x = 1: 
a) 
1
2
 
b) −
1
8
 
c) 
𝟑
𝟐
 
d) 5 
e) −
7
3
 
 
5- Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐 no ponto (𝟏, 𝒇 𝟏 ): 
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 
b) 𝑦 = −3𝑥 + 2 
c) 𝑦 = 5𝑥 − 7 
d) 𝑦 = 𝑥 + 8 
e) 𝑦 = 6𝑥 − 5 
Cálculo Diferencial 
Gabarito comentado 
1) Como 
 𝑥− 3
𝑥−3
=
( 𝑥− 3)( 𝑥+ 3)
(𝑥−3)( 𝑥+ 3)
=
𝑥−3
(𝑥−3)( 𝑥+ 3)
=
1
 𝑥+ 3
 para 𝑥 ≠ 3 
Então lim𝑥→3
 𝑥− 3
𝑥−3
= lim𝑥→3
1
 𝑥+ 3
=
1
2 3
 
 
2) lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+ 2𝑥 = 2 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
𝑥2 = 2 
 
3) lim𝑥→+∞
7−2𝑥+4𝑥2−𝑥4
1∓2𝑥−3𝑥3+5𝑥4
= lim𝑥→+∞
𝑥4(
7
𝑥4
−
2
𝑥3
+
4
𝑥2
−1)
𝑥4(
1
𝑥4
+
2
𝑥3
−
3
𝑥
+5)
 
lim𝑥→+∞
7
𝑥4
−
2
𝑥3
+
4
𝑥2
−1
1
𝑥4
+
2
𝑥3
−
3
𝑥
+5
=
0−0+0−1
0+0−0+5
= −
1
5
 
 
4) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
3𝑥+𝑥2
 
Derivando: 𝑓′ 𝑥 =
2 3𝑥+𝑥2 −2𝑥(3+2𝑥)
(3𝑥+𝑥2)2
 
Substituindo nesta derivada o valor 𝑥 = 1, encontramos: 
𝑓 ′(1) = −
1
8
 
 
5) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2 
A equação geral da reta tangente a função 𝑓(𝑥) é dada por: 
𝑦 − 𝑓 𝑝 = 𝑓 ′ 𝑝 . (𝑥 − 𝑝) 
Derivando a função 𝑓(𝑥), temos: 
𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 
Substituindo o ponto (1, 𝑓 1 ) na equação da reta tangente, encontramos: 
𝑦 − 1 = 6. (𝑥 − 1) 
Assim, encontramos a equação: 
𝑦 = 6𝑥 − 5