Lista2 - EDO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Turmas: T01
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 21/01/19
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Verifique que y = c1 + c2x
2 e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es a dois paraˆmetros da equac¸a˜o
xy′′ − y′ = 0 no intervalo (−∞,+∞). Mostre que na˜o existe nenhum membro da famı´lia
que satisfac¸a as condic¸o˜es iniciais y(0) = 0, y′(0) = 1. Explique por que isso na˜o contradiz
o teorema de existeˆncia e unicidade para EDOs.
2. Determine se o conjunto de func¸o˜es dado e´ linearmente independente ou linearmente de-
pendente no intervalo (−∞,+∞).
(a) f1(x) = x
3, f2(x) = x
2|x|
(b) f1(x) = e
x, f2(x) = e
−x, f3(x) = cosh(x)
3. Suponha que y1, y2, ..., yn, yn+1 sejam n+1 soluc¸o˜es na˜o triviais de uma equac¸a˜o diferencial
linear homogeˆnea de ordem n com coeficientes constantes. O conjunto y1, y2, ..., yn, yn+1
e´ linearmente dependente ou independente? Explique.
4. Mostre que se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um intervalo I tais que f(x) 6= 0 e
W (f, g) = 0 para todo x ∈ I, enta˜o f e g sa˜o linearmente dependentes.
5. Sejam y1(x) e y2(x) soluc¸o˜es da equac¸a˜o y
′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0, onde P (x) e Q(x) sa˜o
func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo I.
(a) Mostre que
W (y1, y2)(x) = ce
− ∫ P (x)dx
onde c e´ uma constante.
(b) Mostre que
P (x) =
y2(x)y
′′
1(x)− y1(x)y′′2(x)
W (y1, y2)(x)
e Q(x) =
y′1(x)y
′′
2(x)− y′2(x)y′′1(x)
W (y1, y2)(x)
para todo x ∈ I.
6. Considere a equac¸a˜o xy′′ − (2 + x2)y′ + 3xy = 0.
(a) Verifique que y1(x) = x
3 e y2(x) = x
2|x| sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes
dessa equac¸a˜o para todo x ∈ R.
(b) Verifique que W (x3, x2|x|) = 0 para todo x ∈ R. Explique por que isso na˜o con-
tradiz o fato das soluc¸o˜es serem linearmente independentes.
7. Verifique que y1(x) = x e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o xy
′′ − xy′ + y = 0. Use reduc¸a˜o de
ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o y2(x) na forma de uma se´rie infinita. O que
voceˆ pode dizer sobre o intervalo de definic¸a˜o dessa u´ltima soluc¸a˜o?
8. A func¸a˜o indicada y1(x) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada. Use reduc¸a˜o de
ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o y2(x).
(a) x2y − 3xy′ + 5y = 0, y1(x) = x2 cos(lnx)
(b) (1− x2)y” + 2xy′ = 0, y1(x) = 1
9. (a) As ra´ızes de uma equac¸a˜o auxiliar cu´bica com coeficientes reais sa˜o m1 = 4 e
m2 = m3 = −5. Encontre uma diferencial linear homogeˆnea correspondente.
(b) As ra´ızes de uma equac¸a˜o auxiliar cu´bica com coeficientes reais sa˜o m1 = −0, 5 e
m2 = 3 + i. Encontre uma diferencial linear homogeˆnea correspondente.
10. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais ordina´rias:
(a)
d2y
dx2
− dy
dx
− 6y = 0
(b) y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 3
(c) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(pi/2) = 2epi/2
(d) y′′′ − 2y′′ + y′ = 0
(e)
d4y
dx4
− 5d
2y
dx2
− 36y = 0
(f) y′′ + 9y = 54x2e3x
(g) y′′ + y = x2 + sinx
(h) y′′ − 2y′ + y = ex lnx
(i) x2y′′ + 3xy′ + y = 0, y(1) = 4, y′(1) = −2
(j) 2x2y′′ + 5y = 0
(k) y′′ +
1
x
y′ − 1
x2
y =
1
1 + x
(l) y(4) − 2y(3) + y′′ = ex + 1
(m) x3y′′′ − 6y = 0
(n) x3y′′′ − 3x2y′′ + 6xy′ − 6y = lnx3
SEGUNDA LISTA - GABARITO
8. (a) y2(x) = x
2 sin(lnx)
(b) y2(x) = x− x
3
3
9. (a) y′′′ + 6y′′ − 15y′ − 100y = 0 ou x3y′′′ + 9x2y′′ − 8xy′ − 100y = 0
(b) 2y′′′ − 11y′′ + 14y′ + 10y = 0 ou 2x3y′′′ − 5x2y′′ + 5xy′ + 10y = 0
10. (a) y = c1e
−2x + c2e3x
(b) y = 2ex + xex
(c) y = 3ex sinx+ ex cosx
(d) y = c1 + c2e
x + c3xe
x
(e) y = c1e
−3x + c2e3x + c3 sin 2x+ c4 cos 2x
(f) y = c1 sin 3x+ c2 cos 3x+
(
3x2 − 2x+ 1
3
)
e3x
(g) y = c1 sinx+ c2 cosx+ x
2 − 2− 1
2
x cosx
(h) y = c1e
x + c2xe
x +
(
− x
2
2
lnx+
x2
4
)
ex + (x lnx− x)xex
(i) y =
4 + 2 lnx
x
(j) y = c1x
1/2 sin
(3
2
lnx
)
+ c2x
1/2 cos
(3
2
lnx
)
(k) y = c1x+ c2x
−1 +
1
2
x ln |x+ 1| − x
4
− ln |x+ 1|
2x
+
1
2
(l) y = c1 + c2x+ c3e
x + c4xe
x1
2
x2ex +
1
2
x2
(m) y = c1x
3 + c2 cos(
√
2 lnx) + c3sen(
√
2 lnx)
(n) y = c1x+ c2x
2 + c3x
3 − 1
2
lnx− 11
12