PLANO E RETA II

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Bs03C3e04sx1 
 
CDCI/CMCD 
 
 
Considerações sobre Campo Escalar e Campo Vetorial 
 
 
(I) Relação Biunívoca entre Pontos e Vetores 
Considere um ponto P do espaço real tridimensional dado pela terna 
ordenada 
)c,b,a(
 e o vetor 
r
 com ponto inicial na origem e ponto final no 
mesmo ponto P, isto é: 
 
Assim sendo, o vetor 
r
 passa a ser dado por um segmento de reta orientado 
de ponto inicial na origem 
)0,0,0(O
e ponto final 
)c,b,a(P
. Ou seja, tem-se que: 
 )c,b,a()0,0,0()c,b,a(k.cj.bi.aOPr
 OP. 
 
Nestas condições, tem-se estabelecida uma correspondência biunívoca entre 
o ponto 
)c,b,a(P
 do espaço real tridimensional e o vetor 
OPr
 OP de forma 
que a todo ponto 
)c,b,a(P
 do espaço real tridimensional associa-se um vetor 
OPr
 OP e para cada vetor 
OPr
 OP tem-se, em correspondência, um 
ponto 
)c,b,a(P
 do espaço real tridimensional. 
 
Com base na correspondente correspondência será sempre possível estudar 
conjuntos de pontos do espaço real tridimensional a partir do correspondente 
Campo Vetorial, e vice-versa. 
 
(II) Campo Escalar e Campo Vetorial: 
Se a cada ponto P(x,y,z) de uma Região R (conjunto aberto e conexo) no 
espaço real tridimensional corresponde um número ou escalar f(x,y,z), f diz-se 
Função Escalar de Ponto ou Função Escalar de Posição. Diz-se, neste caso, que 
um Campo Escalar f foi definido em R. 
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Se a cada ponto P(x,y,z) de uma Região R (conjunto aberto e conexo) no 
espaço real tridimensional corresponde um vetor 
)z,y,x(v

, 
v
 diz-se Função 
Vetorial de Ponto ou Função Vetorial de Posição. Diz-se, neste caso, que um 
Campo Vetorial 
v
 foi definido em R. 
 
Se para cada valor de um escalar u faz-se corresponder um vetor 
v
 , diz-se 
que 
v
 é uma função de u; o que se denota por: 
)u(v

. 
 
Mais especificamente, no espaço real tridimensional, tem-se que: 
))u(v),u(v),u(v(k).u(vj).u(vi).u(v)u(v 321321 

, 
onde: 
)u(v1
,
)u(v2
e 
)u(v3
são funções reais da variável real u as quais são 
denominadas componentes da função vetorial u. 
 
Portanto, se a cada ponto P(x,y,z) corresponde um vetor 
v
 , 
v
 é função de 
(x,y,z); o que será denotado por: 
 k).z,y,x(vj).z,y,x(vi).z,y,x(v)z,y,x(v 321

 
))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v( 321
. 
Nestas condições, diz-se que a função vetorial de posição 
)z,y,x(v

 define 
um campo vetorial uma vez que associa um vetor 
)z,y,x(v

 a cada ponto P(x,y,z) 
de um determinado domínio do espaço real tridimensional. 
 
Considere os exercícios apresentados a seguir que estabelecem relações de 
correspondência entre campos vetoriais e campos escalares. 
 
(III) Exercícios: 
(01) Considere uma reta r, um ponto
)z,y,x(P 0000
 pertencente à reta r e um 
vetor 
v
 paralelo à reta r. Determinar a equação vetorial da reta r em questão. 
Solução: 
Determinar a equação da reta r é equivalente a determinar as coordenadas de um 
ponto arbitrário P de coordenadas (x,y,z) em r. 
Assim, considere os vetores 
0s

 e 
s
 como os vetores posição de 
0P
 e de P, 
respectivamente. Isto é, se O(0,0,0) é a origem do sistema de coordenadas 
tridimensionais considerado, então 
0s

 é o vetor OP e 
s
 é o vetor OP. 
Seja 
a
 o vetor P0P e tal que: 
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onde: 
a
 e 
v
 são paralelos. 
Logo, pela regra do trapézio para subtração de vetores, tem-se que: 
0ssa


, ou 
seja: 
ass 0


. 
Contudo, como 
a
 e 
v
 são vetores paralelos, 
a
 é um múltiplo escalar de 
v
 , isto 
é: 
v.ta


. 
Nestas condições, tem-se, finalmente, que a equação vetorial da reta r é dada por: 
v.ts)t(s 0


. 
 
(02) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto 
)1,3,2(A 
 e é 
paralela ao vetor 
)2,3,1(v 

. 
Solução: 
Considere, inicialmente, dois pontos 
)z,y,x(P 1111
 e 
)z,y,x(P 2222
 de 
uma mesma reta r. Seja r uma reta com a mesma direção de um vetor 
)a,a,a(a 321

 do espaço real tridimensional. 
Logo, 
)zz,yy,xx(a 121212 

. 
Para determinar a equação da reta r que passa pelos pontos 
)z,y,x(P 1111
 e 
)z,y,x(P 2222
 considere um ponto qualquer 
)z,y,x(P
 da reta r; ou seja: 
. 
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Nestas condições, resulta que: 
211 PP.tPP 
 para algum escalar t (
t
). 
Logo, tem-se que: 
)ta,ta,ta()a,a,a(t)zz,yy,xx( 321321111 
. 
Portanto, igualando os coeficientes e resolvendo em relação a x, y e z, 
tem-se que: 








31
21
11
a.tzz
a.tyy
a.txx
, com 
t
. 
As equações anteriores são chamadas de equações paramétricas da reta r. 
Observe, também, que a partir das equações paramétricas da reta r podem 
ser enunciadas as equações simétricas da reta r, ou seja: 









t
a
zz
;t
a
yy
;t
a
xx
2
1
2
1
1
1
; isto é: 
2
1
2
1
1
1
a
zz
a
yy
a
xx 




. 
Mas, a equação vetorial da reta r é dada por: 
kzjyix)z,y,x(r


. 
Logo, tem-se que: 
 k).a.tz(j).a.ty(i).a.tx()z,y,x(r 312111

 
 k.a.tk.zj.a.tj.yi.a.ti.x 312111
 
 k.a.tj.a.ti.a.tk.zj.yi.x 321111
 
 )k.aj.ai.a(t)k.zj.yi.x( 321111
 
 )k.aj.ai.a(t)k.zj.yi.x( 321111
 
 )a,a,a.(t)z,y,x( 321111
 
a.tr1


; ou seja: 
a.tr)t(r 1


, onde: 
11 OPr 
 , 
)a,a,a(a 321

 e 
t
; ist é: 
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3
1111 r)z,y,x(P 
, 
)a,a,a(a 321

, 
)x,x,x(OPr 32111 
 , 
onde: 
a//r1

 e 
t
. 
 
Nestas condições, é imediato, então, afirmar que a reta r que passa pelos 
pontos 
)1,3,2(A 
 e é paralela ao vetor 
)2,3,1(v 

 é dada por: 
 )2,3,1.(t)1,3,2(v.tOA)t(ra.tr)t(r 1
 
 )kt2k()jt3j3()iti2()k2j3i.(tkj3i2
 . 
)t21,t33,t2(k)t21(j)t33(i)t2( 
 . 
Ou seja: 
 
 
 
)t21,t33,t2()t(r 

, com 
t
. 
 
(03) Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto 
)1,3,2(A 
 e é paralela ao vetor 
)2,3,1(v 

. 
Solução: 
Do exercício anterior, se 
)t21,t33,t2()t(r 

, então é imediato que: 








t21z
t33y
t2x
, com 
t
, são as equações paramétricas em questão. 
 
(04) Determinar as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto 
)1,3,2(A 
 e é paralela ao vetor 
)2,3,1(v 

. 
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Solução: 
Do exercício anterior, se 








t21z
t33y
t2x
, com 
t
, então as equações 
simétricas de r serão: 






2
1
2
1
1
1
a
zz
a
yy
a
xx
 
2
1z
3
3y
1
2x 






. Ou seja: 
2
1z
3
y3
2x




. 
 
(05) Seja a função vetorial de posição definida por 
)t21,t1()t(v 

, com 
 ]1,0[t
. Determinar a respectiva função 
)x(fy 
 e o correspondentedomínio. 
Solução: 
Notadamente, 
)t21,t1()t(v 

, com 
 ]1,0[t
, é a equação vetorial de 
uma curva C no plano cartesiano. 
Tomando-se, então, que 
))t(y),t(x()t21,t1()t(v 

, com 
 ]1,0[t
, 
tem-se as equações paramétricas da curva C no plano cartesiano são dadas por: 





t21y)t(y
t1x)t(x
:C
. 
Mas, observe que as equações paramétricas anteriores são de uma reta no plano 
cartesiano; ou seja: escrevendo t em função de x e de y, resulta que: 
x1t1xtt1x 
 e 
2
1y
t1yt2t21y


. 
Logo: 
3x2y1yx22
2
1y
x1t 


 que corresponde à 
equação reduzida de uma reta no espaço real bidimensional. 
Mas, deve-se observar que 
 ]1,0[t
. 
Assim, se 
0t 
, então 
1x 
; e, se 
1t 
, então 
0x 
. 
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Portanto, quando 
 ]1,0[t
 tem-se que 
 ]1,0[x
. 
Nestas condições, resulta afirmar que a função vetorial de posição definida por 
)t21,t1()t(v 

, com 
 ]1,0[t
, define um segmento de reta no plano 
cartesiano definido por: 
 ]1,0[x,3x2y
. 
 
(06) Seja a circunferência de raio r e centro no ponto P(a,b). Determinar uma 
equação vetorial para a correspondente curva. 
Solução: 
Tome-se a equação cartesiana desta curva, ou seja: 
222 r)by()ax( 
. 
Dividindo por 2r a equação anterior, tem-se que: 
1
r
)by(
r
)ax(
2
2
2
2




. 
Seja a relação fundamental 
1)t(sen)t(cos 22 
. 
Da comparação entre os dois últimos resultados, conclui-se que as equações 
paramétricas da circunferência em questão podem ser dadas por: 





)t(sen.rb)t(yy
)tcos(.ra)t(xx , com  2t0 . 
Contudo, a equação vetorial de uma curva no plano cartesiano é dada por: 
j).t(yi).t(xj.yi.x))t(y),t(x()y,x())t(y),t(x(v)y,x(v)t(v


, 
com 
 ]n,m[t
. 
Portanto, a equação vetorial da circunferência em questão pode ser enunciada por: 
j)).t(sen.rb(i)).tcos(.ra()t(v


 ou 
))t(sen.rb),tcos(.ra()t(v 

, 
com 
 2t0
. 
 
(07) Seja a equação vetorial 
))t(sen21),tcos(23()t(v 

, com 
]2,0[t 
. 
Determinar a respectiva equação cartesiana da curva em questão. 
Solução: 
Como a equação vetorial de uma curva no plano cartesiano é dada por: 
j.yi.x)y,x(v


, vem que: 
2/)3x()tcos( 
 e 
2/)1y()t(sen 
. 
Mas, 
1)t(cos)t(sen 22 
. 
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Logo: 
4)1y()3x(1
4
)3x(
4
)1y( 22
22




; sendo esta última a 
equação cartesiana de uma circunferência com centro no ponto P(3,1) e de raio 2. 
 
(08) Seja a hipérbole de equação 
1
b
)yy(
a
)xx(
2
2
0
2
2
0 



. Determinar a 
equação vetorial da correspondente hipérbole. 
Solução: 
Observando-se que 
1)t(gcot)t(seccos 22 
, é imediato que: 
)tsec(cos
a
xx 0 

 e 
)t(gcot
b
yy 0 

. 
Portanto, as equações paramétricas da hipérbole 
1
b
)yy(
a
)xx(
2
2
0
2
2
0 



 
serão: 





)t(gcot.byy
)tsec(cos.axx
0
0
, com 
 2t0
, e a correspondente equação 
vetorial será enunciada por: 
j)).t(gcot.by(i)).tsec(cos.ax()t(v 00


, 
com 
 2t0
. 
 
(09) Determinar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto P(1,3,2) e é 
paralela ao vetor 
)3,2,1(v 

. 
Solução: 
Como 
v.ts)t(s 0


 é a equação vetorial em questão, é imediato que: 
)t32,t23,t1()3,2,1.(t)2,3,1()t(s 

. 
Ou seja, 
k).t32(j).t23(i).t1()t(s


 é a equação vetorial da reta em 
questão. 
 
(10) Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta considerada no 
exercício anterior. 
Solução: 
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Se 
k).t32(j).t23(i).t1()t(s


 é a equação vetorial da reta em 
questão, então é imediato que as equações paramétricas serão: 








t32z
t23y
t1x
, com 
t
. 
Das equações anteriores, resulta que: 
1xt 
, 
2/)3y(t 
 e 
3/)2z(t 
. 
Portanto, as equações simétricas da reta em questão serão dadas por: 
3
2z
2
3y
1x




.