SÉRIES E SEQUÊNCIAS III

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
(01) Determinar o termo geral da seguinte sucessão; qual seja: 
...),23,20,17,14,11,8,5,2(
. 
Solução: 
Uma seqüência de números reais é denominada de Progressão Aritmética 
(PA) quando cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual à soma 
do termo anterior com uma constante 
r
 dada, chamada razão da PA. 
 Se a seqüência 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
 é uma PA de razão 
r
, então 
tem-se que: 
raa 1nn  
, 
2n 
 e 
Nn
. 
Se 
m
 e 
n
 são as ordens dos termos de uma PA, para 
mn 
, então tem-
se que: 
r).mn(aa mn 
. 
Se 
1a
, 
2a
 e 
3a
 são três termos consecutivos de uma PA, então tem-se 
que: 
2
aa
a 312


. 
Observe que 
3...1720141711148115825 
. 
Logo, a sucessão 
...),23,20,17,14,11,8,5,2(
 forma uma PA de pri-
meiro termo 
2a1 
 e de razão 
3r 
. 
Portanto, para 
1n 
 parcelas, de uma PA de primeiro termo 
1a
 e de razão 
r
, isto é, para a sucessão 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
, tem-se que: 
















 raa
...
raa
raa
raa
aa
1nn
34
23
12
11
 
 n54321 a...aaaaa
 
 ...)ra()ra()ra()ra(a 43211
 


  
vezes)1n(
1n r...rrrraa
 
r).1n(aa 1n 
. 
Ou seja: o termo geral da PA 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
 é dado por: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
)1n.(raar).1n(aa 1n1n 
. 
Nestas condições, é imediato, então, que o termo geral da sucessão em re-
ferência de primeiro termo 
2a1 
 e de razão 
3r 
 é dado por: 
1n.3)1n.(32a3).1n(2a nn 
. 
Logo, tem-se que: 
)1n.3...,,23,20,17,14,11,8,5,2( 
. 
Resposta: 
1n.3an 
; 
 
(02) Dada a Progressão Aritmética a seguir, determinar a correspondente razão. 
Seja, então, a Progressão Aritmética: 
...),23,20,17,14,11,8(
. 
Solução: 
Das considerações anteriores, se 
1a
, 
2a
 e 
3a
 são três termos consecutivos 
de uma PA, então tem-se que: 
2
aa
a 312


. 
Observe, então que: 
2
148
11


, 
2
1711
14


, 
2
2014
17


, 
2
2317
20


, 
...
. 
Portanto: 
3r...2023172014171114811 
. 
Resposta: 
3r 
; 
 
(03) Determinar a soma dos vinte primeiros termos da sucessão definida por: 
...),6,5,4,3,2,1(
. 
Solução: 
Observe primeiramente que a sucessão 
...),6,5,4,3,2,1(
 está em PA. 
Recorde-se, então, que a soma 
nS
 dos 
n
 termos de uma PA 
)a,a,a...,,a,a,a( n1n2n321 
 pode ser dada por: 
n1n2n321n aaa...aaaS  
, ou 
1232n1nnn aaa...aaaS  
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
Somando-se os resultados anteriores, resulta que: 
)aa()aa(...)aa()aa()aa(S2 1n21n2n31n2n1n  
. 
Cada um dos parênteses corresponde à soma dos extremos da PA 
)aa( n1 
 e representa a soma de quaisquer dois termos equidistantes dos 
extremos. 
Logo, tem-se que: 
2
n).aa(
S)aa(...)aa()aa(S2
n1
n
vezesn
n1n1n1n


  
. 
Conseqüentemente, para a sucessão 
...),6,5,4,3,2,1(
, tem-se que: 
1a1 
 ; 
20n 
; e, 
112aar 12 
. Deve-se determinar 
20a
. 
Mas, sabe-se 
r).1n(aa 1n 
. 
Logo, tem-se que: 
201).120(1a20 
. 
Conseqüentemente, resulta que: 
210
2
20.21
2
20).201(
S20 


. 
Resposta: 210. 
 
(04) Determinar a soma dos 
n
 primeiros termos da série numérica definida por: 
...10987654321 
. 
Solução: 
Observe que: 
1
2
1).11(
S1 


; 
321
2
2).21(
S2 


; 
6321
2
3).31(
S3 


; 
104321
2
4).41(
S4 


; 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
1554321
2
5).51(
S5 


; 
...
; 
...n...87654321
2
)1n.(n
2
n).n1(
Sn 




; 
Observação: 
De acordo com o exercício anterior, a soma dos n primeiros termos da su-
cessão 
...),6,5,4,3,2,1(
 é dada por: 
2
n).aa(
S n1n


, com 
r).1n(aa 1n 
. 
Logo: 







2
n).r).1n(a.2(
2
n)).r).1n(a(a(
2
n).aa(
S 111n1n
 
2
n).r).1n(a.2(
S 1n


. 
Ou seja: 





2
n).1).1n(1.2(
2
n).r).1n(a.2(
S 1n
2
)1n.(n
S
2
)1n.(n
2
n).1n(
2
n).1n2(
n








 
 Resposta: 
2
)1n.(n
Sn


. 
 
(05) Determinar a fórmula do termo geral da sucessão 






...,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
. 
Solução: 
Observe, inicialmente, que a seqüência em referencia não é uma PA e sim 
uma PG. 
Uma seqüência de números reais é denominada de Progressão Geométrica 
(PG) quando cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao pro-
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
duto entre o termo anterior e uma constante 
q
 dada, chamada razão da 
PG. 
 Se a seqüência 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
 é uma PG de razão 
q
, então 
tem-se que: 
q.aa 1nn 
, 
2n 
 e 
Nn
. 
Se 
1a
, 
2a
 e 
3a
 são três termos consecutivos de uma PG, então o termo do 
meio é média geométrica entre os outros dois, ou seja: 
31
2
2 a.aa 
. 
Observe, então, que 






...,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
 é uma PG de razão 
2
1
q 
 e 
primeiro termo 
1a1 
. 
Portanto, para 
1n 
 fatores de uma PG de primeiro termo 
1a
 e de razão 
q
, isto é, para a sucessão 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
 de razão 
0q 
 e 
0a1 
, tem-se que: 
 
















 q.aa
...
q.aa
q.aa
q.aa
aa
1nn
34
23
12
11
 
 n1n54321 a.a.....a.a.a.a.a
 
  q.a....).q.a).(q.a).(q.a).(q.a.(a 1n43211
 


  
fatores)1n(
1n q.....q.q.q.q.q.q.aa
 
1n
1n q.aa

. 
Ou seja: o termo geral da PG 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
 de razão 
q
 é da-
do por: 
1n
1n q.aa

. 
Nestas condições, é imediato, então, que o termo geral da sucessão em re-
ferência de primeiro termo 
1a1 
 e de razão 
2/1q 
 é dado por: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
1n
1n
1n
1n
2
1
2
1
.1q.aa


 






. 
Portanto, tem-se que: 






1n
2
1
,...,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
. 
Resposta: 
1nn
2
1
a


. 
 
(06) Determinar o produto dos 
n
 primeiros termos da sucessão definida por: 






...,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
. 
Solução: 
A sucessão em referência é uma PG infinita de primeiro termo 
1a1 
 e 
razão 
2/1q 
. 
Dada, então, uma PG 
)a...,,a,a,a,a,a( n54321
, com 
0q 
, tem-se que: 

















1n
1n
3
1
2
134
2
1123
12
11
q.aa
...
q.aq.q.aq.aa
q.aq.q.aq.aa
q.aa
aa
 
 nn54321 Pa.....a.a.a.a.a
 
 1n1
4
1
3
1
2
111 q.a....).q.a).(q.a).(q.a).(q.a.(a  )q.....q.q.q.q).(a.....a.a.a.a.a( 1n432
fatoresn
111111   
 
  2/)1n(nn1
1n...654321n
1n q.)a(q.)a(P
 
2/)1n(nn
1n q.)a(P

. 
Logo, imediatamente, tem-se que o produto dos n termos da sucessão em 
questão é dado por: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs1C3e01-X 
 
CDCI/CMCD 
2
)1n(n
2/)1n(n2/)1n(nn
n
2
1
)2/1()2/1.()1(P

 
. 
Resposta: 
2
)1n(nn
2
1
P


. 
 
(07) Determinar a soma dos 
n
 primeiros termos da sucessão definida por: 






...,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
. 
Solução: 
Primeiramente, recorde-se considerações sobre a soma de termos de uma 
PG, conforme seja limitada ou infinita. 
Dada uma PG infinita de primeiro termo 
1a
 e de razão 
0q 
 e 
1q 
 tem-
se que a soma 
nS
 de seus 
n
 termos é dada por:
)1q(
)1q.(a
S
n
1
n



. 
Se, contudo, 
1q 
, então 
1n a.nS 
. 
Dada uma PG de razão 
q
 tem-se que a soma 
S
 de seus termos é dada por: 
(i) 
0S 
, quando 
0a1 
, pois a PG é da forma 
,...)0,0,0,0,0,0(
. 
(ii) Se 
1q 
 ou 
1q 
, isto é, 
1|q| 
 e 
0a1 
, 
S
 ou 
S
. 
Logo, é impossível determinar a soma dos termos da PG. 
(iii) Se 
1q1 
, isto é, 
1|q| 
 e 
0a1 
, a soma 
S
 converge para um 
valor finito. Logo: 












 )q1(
a
)1q(
.a
)1q(
)10.(a
)1q(
)1q.(a
limSlimS 111
n
1
n
n
n
 
)q1(
a
S 1


. 
Assim sendo, é imediato que a soma dos 
n
 primeiros termos da PG em 
questão é dada por: 
2
)2/1(
1
)2/11(
1
S 


. 
Resposta: 
2S 
.