Aula3 - Unidade II - com respostas

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Lógica Matemática
Unidade II – O formalismo da lógica
Aula 3
Profa Daisy Albuquerque
2Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 2
Lógica Matemática
Sumário
 Sentenças lógicas
 Operadores lógicos
 Tabela-verdade
3Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 3
Motivação
 Mas antes vamos exercitar a mente...
 Um homem precisa atravessar um rio com um barco 
que possui capacidade de transportar apenas ele 
mesmo e mais uma de suas três cargas, que são: um 
lobo, um bode e uma caixa de alfafa. Indique as 
ações necessárias para que o homem consiga 
atravessar o rio sem perder suas cargas.
 O lobo não pode ficar sozinho com o bode, senão ele o 
come;
 O bode não pode ficar sozinho com a alfafa, senão a 
come.
4Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 4
Motivação
Resposta:
Informações: um barco, um homem, um lobo, um bode e uma 
caixa de alfafa.
Ação: atravessar o rio sem perder as cargas.
Resultado: todas as cargas na outra margem do rio. 
Algoritmo: 
          início 
                 atravessar homem e bode 
                 voltar homem 
                 atravessar homem e lobo 
                 voltar homem e bode 
                 atravessar homem e alfafa 
                 voltar homem 
                 atravessar homem e bode 
          fim 
5Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 5
Conceitos básicos
 Argumento
 É uma seqüência de proposições (afirmações) na 
qual uma delas é a conclusão e as demais são 
premissas.
 O objeto de estudo da lógica é determinar se a 
conclusão de um argumento é ou não uma 
conseqüência lógica das premissas.
6Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 6
Conceitos básicos
 Proposição
➢ É o conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimem um pensamento de sentido 
completo, de modo que se possa atribuir, 
dentro de certo contexto, somente um de 
dois valores lógicos possíveis: verdadeiro 
ou falso.
 Exemplos:
 O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo.
 O Brasil é um país da América do Sul.
 A Bahia é um estado do sul do Brasil.
7Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 7
Conceitos básicos
 Exemplos:
 “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um 
proposição verdadeira.
 “O Brasil é um País da América do Sul” é uma 
proposição verdadeira.
 “A Bahia é um estado do sul do Brasil”, é uma 
proposição falsa.
8Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 8
Conceitos básicos
 O que não é uma Proposição?
 Sentenças exclamativas: “Caramba!”, “Feliz 
aniversário!”, “Feliz Ano Novo!”.
 Sentenças interrogativas: “Como é seu nome?”, “O jogo 
saiu de quanto?”
 Sentenças imperativas: “Estude mais”, “Leia aquele 
livro”.
9Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 9
Princípios das Proposições
 1 – Princípio da identidade
 Uma proposição verdadeira é verdadeira
 Uma proposição falsa é falsa. 
 2- Princípio da não-contradição:
 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente.
 3 – Princípio do Terceiro Excluído:
 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa : 
não há outra possibilidade.
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Proposição
 Proposições SIMPLES 
➢ Aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras 
proposições
➢ São geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r. 
➢ Exemplos: 
➢ p = Todo homem é mortal. 
➢ q = O novo papa é alemão.
11Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 11
Proposição
 Proposições COMPOSTAS
➢ Duas ou mais proposições conectadas entre si, formando 
uma só sentença. 
➢ Habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R.
➢ Exemplo:
➢ João é médico e Pedro é dentista.

12Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 12
Proposição
 Os conectivos são representados da seguinte 
forma:
 ~ corresponde ao “não”
 Λ corresponde ao “e”
 V corresponde ao “ou”
 → corresponde ao “então”
 ↔ corresponde ao “se e somente se”
13Lógica Matemática- Unidade I – Profª Daisy Albuquerque 13
Proposição
 A partir de uma proposição podemos 
construir uma outra com a sua negação;
 Ex: Maria é médica. / Maria não é médica.
 Com duas proposições ou mais, podemos 
formar:
 Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)
 Disjunções: a V b (lê-se: a ou b)
 Disjunções exclusiva: a V b (lê-se: ou a ou b)
 Condicionais: a → b (lê-se: se a então b)
 Bicondicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)
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Exercício
 Seja p a proposição “está chovendo” e seja q a 
proposição “está ventando”. Escreva uma 
sentença verbal simples, em português, que 
descreva cada uma das seguintes proposições 
lógicas:
➢ ~~p
➢ p Λ q
➢ q V ~p
➢ ~p → ~q
➢ p ↔ q
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Tabela-Verdade
 É um instrumento usado para determinar 
os valores lógicos das proposições 
compostas, a partir de atribuições de todos 
os possíveis valores lógicos das 
proposições simples componentes.
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Tabela-Verdade
 A primeira das tabelas abaixo 
apresenta duas proposições 
simples: p e q e a segunda, três 
proposições simples: p, q e r. 
 As células de ambas as tabelas são 
preenchidas com valores lógicos V 
e F, de modo a esgotar todas as 
possíveis combinações. 
 O número de linhas da tabela pode 
ser previsto efetuando o cálculo: 2 
elevado ao número de proposições 
simples. Nos exemplos abaixo tem-
se 2² = 4 linhas e 2³ = 8 linhas.
17Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 17
Operadores Lógicos
 Depende de duas coisas:
 Valor lógico das proposições componentes;
 Tipo de conectivo que as une.
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Conectivo “e”: 
Conjunção
 Proposições compostas em que está presente o 
conectivo “e”;
 Simbolicamente representado por “∧”.
 A sentença:
“Marcos é médico e Maria é estudante”
... pode ser representada apenas por: p ∧ q. Onde: 
p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da 
seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as 
proposições componentes forem também verdadeiras.
19Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 19
Conjunção
 Pensando pelo caminho inverso, teremos que 
basta que uma das proposições componentes 
seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. 
Obviamente que o resultado falso também 
ocorrerá quando ambas as proposições 
componentes forem falsas.
20Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 20
Para assimilar
 Uma maneira de assimilar bem essa informação 
seria pensarmos nas sentenças simples como 
promessas de um pai a um filho: 
 “eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”. 
 Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai 
entender que a promessa é para os dois 
presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, 
ou dê apenas um deles, a promessa não terá 
sido cumprida. Terá sido falsa! 
 No entanto, a promessa será verdadeira se as 
duas partes forem também verdadeiras!
21Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 21
Representação 
Matemática
 Se as proposições p e q forem representadas 
como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
conjunção “p e q” corresponderá à interseção 
do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
22Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 22
Conectivo “ou”: 
Disjunção
 Proposições compostas em que está presente o 
conectivo “ou”;
 Simbolicamente representado por “V”.
 A sentença:
“Marcos é médico ou Maria é estudante”... pode ser representada apenas por: p V q. Onde: 
p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.
 Como se revela o valor lógico de uma proposição 
disjuntiva? 
23Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 23
Disjunção
 Uma disjunção será falsa quando as duas 
partes que a compõem forem ambas falsas! E 
nos demais casos, a disjunção será verdadeira!
24Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 24
Para assimilar
 Lembremos da promessa de um pai a um filho: 
 “eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”. 
 Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a 
promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou 
bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a 
promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! 
 E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? 
Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A 
promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, 
todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se 
o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a 
bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
25Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 25
Representação 
Matemática
 Se as proposições p e q forem representadas 
como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
disjunção “p ou q” corresponderá à união do 
conjunto p com o conjunto q. Teremos:
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Disjunção Exclusiva
 Vejamos:
Te darei uma bola OU uma bicicleta.
OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta.
 Qual a diferença? 
 A segunda estrutura apresenta duas situações 
mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma 
delas pode ser verdadeira, e a restante será 
necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao 
mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão 
ser, ao mesmo tempo, falsas.
27Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 27
Conectivo “Ou …ou ...”: 
Disjunção Exclusiva
 Proposições compostas em que está presente 
o conectivo “Ou ... ou ...”;
 Simbolicamente representado por “V”.
 Como se revela o valor lógico de uma 
disjunção exclusiva?
 Uma disjunção exclusiva só será verdadeira se 
obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando 
mais fácil: só será verdadeira se houver uma das 
sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos 
demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
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Disjunção Exclusiva
 Vejamos a tabela-verdade de uma disjunção 
exclusiva
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Para assimilar
 Lembremos da promessa de um pai a um 
filho: 
 “ OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”. 
 Neste caso, a criança já sabe, que se for 
verdade que “te darei uma bola”, então 
teremos que não será dada a bicicleta. E vice-
versa, ou seja, se for verdade que “te darei 
uma bicicleta”, então teremos que não será 
dada a bola.
30
 Proposições compostas em que está presente o 
conectivo “Se ... então ....”;
 Simbolicamente representado por “ → ”.
 A sentença:
“Se nasci em Fortaleza então sou cearense”
... pode ser representada apenas por: p q. 
Onde: p = Nasci em Fortaleza e q = Sou cearense.
 Como se revela o valor lógico de uma proposição 
condicional? 
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 30
Conectivo “Se…então ...”: 
Condicional
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 Só será falsa esta estrutura quando houver a 
condição suficiente, mas o resultado necessário 
não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte 
for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais 
casos, a condicional será verdadeira.
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 31
Condicional
32
 Se as proposições p e q forem representadas como 
conjuntos, por meio de um diagrama, a condicional “se p 
então q” corresponderá à inclusão do conjunto p no 
conjunto q (p está contido em q). 
 
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 32
Representação 
Matemática
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 Proposições compostas em que está presente o 
conectivo “... se e somente se ....”;
 Simbolicamente representado por “↔”.
 Consiste em uma CONJUNÇÃO entre duas 
CONDICIONAIS:
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”
=
“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri E Mariana 
sorri somente se Eduardo fica alegre”
=
“Se Eduardo fica alegre então Mariana sorri e se Mariana 
sorri então Eduardo fica alegre”
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 33
Conectivo “... se e somente se ...”:
Bicondicional
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 Haverá duas situações em que a bicondicional será 
verdadeira: quando antecedente e consequente 
forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos 
falsos. Nos demais casos, a bicondicional será 
falsa.
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 34
Bicondicional
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 Se as proposições p e q forem representadas como 
conjuntos, por meio de um diagrama, a 
bicondicional “p se e somente se q” corresponderá 
à igualdade dos conjuntos p e q. 
Lógica Matemática- Unidade II– Profª Daisy Albuquerque 35
Representação 
Matemática
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 Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abaixo, em 
1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua 
chance de se comparar à genialidade do mestre. 
 Numa rua há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma 
pessoa de uma nacionalidade. Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e 
seu animal de estimação. A questão é: quem é que tem um peixe? 
 Siga as dicas abaixo: 
 Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o 
dinamarquês bebe chá; 
 A casa verde fica a esquerda da casa branca; quem come goiaba cria 
pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja; 
 O dono da casa verde bebe chá; o dono da casa do centro bebe leite; e o 
norueguês vive na primeira casa; 
 O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que cria 
cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe 
cerveja; 
 O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem 
traz abacate da feira é vizinho do que bebe água. 
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 36
Charada de Einstein
37
 charada de Einstein resposta:
 o norueguês mora na casa amarela, bebe água, gosta de laranja e 
tem um gato.
 o dinamarquês mora na casa azul, bebe chá, gosta de abacate e 
cria cavalos.
 o inglês mora na casa vermelha, bebe leite, come goiaba e cria 
pássaros.
 o alemão mora na casa verde, bebe café, come maçã e tem um 
peixe.
 o suíço mora na casa branca, bebe cerveja, adora abacaxi e tem 
um cachorro.
 resultado quem tem um peixe é o alemão. 
Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 37
Resposta
	Slide 1
	Lógica Matemática
	Motivação
	Slide 4
	Slide 5
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	Exemplos
	Proposição
	Princípios das Proposições
	Proposição
	Slide 11
	Slide 12
	Proposição
	Exercício
	Tabela-Verdade
	Tabela-Verdade
	Operadores Lógicos
	Conectivo “e”: Conjunção
	Conjunção
	Para assimilar
	Representação Matemática
	Conectivo “ou”: Disjunção
	Disjunção
	Para assimilar
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	Disjunção Exclusiva
	Conectivo “Ou ... ou ...”: Disjunção Exclusiva
	Disjunção Exclusiva
	Para assimilar
	Conectivo “Se ... então ...”: Condicional
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	Bicondicional
	Representação Matemática
	Charada de Einstein
	Resposta