exercícios de resmat II

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𝑰𝒙 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
𝟓 . 𝟐, 𝟓³
𝟏𝟐
= 𝟔, 𝟓𝟏𝒎⁴ 
Ơ𝒇𝒍 =
𝝅2. 𝑬 . 𝑰
𝒍2𝒇. 𝑨
=
𝝅2. 𝟐, 𝟏𝟎 . 𝟏𝟎6. 𝟔, 𝟓𝟏
𝟏𝟓𝟎2 . 𝟏𝟐, 𝟓
= 𝟒𝟖𝟎𝑷𝒂 
Momento de inercia 
- Peça biarticulada 
- Seção retangular de 30x50cm 
- comprimento de 4,3m 
- Instalações 
- 0 < 𝝀 < 40  mínima tendência a flambar 
- 40 < 𝝀 < 80 Tendência a flambar 
- 𝝀 > 80 Flambagem 
𝝀 = 𝒍𝒇√
𝑨 
𝑰
 
𝒃 . 𝒉 
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
 
𝒃 . 𝒉 = 𝟓𝟎 . 𝟑𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒎² 
𝑨 = 𝟎, 𝟏𝟓𝒎² 
𝝀 = 𝟒, 𝟑√
𝟎, 𝟏𝟓 
𝟏, 𝟏𝟑 . 𝟏𝟎⁻³
∴ 𝟒𝟗, 𝟓 
49,5 > 40  Tendência a flambar 
 
1 – Uma barra de aço de seção retangular de 2,5mx5m, articulada nas 2 extremidades é 
comprimida axialmente. Dados: ƠP = 2,10 KPa E = 2,10 Mpa 
Determine 
a) O comprimento mínimo para aplicar a formula de Euler 
 
 
b) A tensão de flambagem no caso do comprimento da barra ser 150m 
 
 
2 – Identifique a situação de um pilar de concreto armado (peça comprimida) com os dados a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Para o caso de flambagem ou tendência a flambar, proponha uma solução para minimizar esse 
efeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑰𝒚 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
𝟐, 𝟓 . 𝟓³
𝟏𝟐
= 𝟐𝟔, 𝟎𝟒𝒎⁴ 
Ơ𝒄𝒓 =
𝝅2. 𝑬 . 𝑰
𝒍2 . 𝑨
= 𝒍 = √
(𝟐, 𝟏 . 𝟏𝟎6 . 𝟔, 𝟓𝟏) 
(𝟐, 𝟏𝟎 . 𝟏𝟎3. 𝟏𝟐, 𝟓)
 . 𝝅 = 𝟕𝟏, 𝟔𝟗𝒎 
𝑰𝒙 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
(𝟓𝟎. 𝟏𝟎-2). (𝟑𝟎 . 𝟏𝟎-2)³
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟏𝟑 . 𝟏𝟎⁻³𝒎⁴ 
𝑰𝒚 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
(𝟑𝟎 . 𝟏𝟎-2). (𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-2)³
𝟏𝟐
= 𝟑, 𝟏𝟑 . 𝟏𝟎⁻³𝒎⁴ 
𝒍 
𝟓𝟎𝒎𝒎 
𝝀 = 𝒍𝒇√
𝑨 
𝑰
 
𝒍𝒇 = 𝟎, 𝟓𝒍 
𝑨 = П𝝅2 = 𝝅 . (𝟐𝟓 . 𝟏𝟎-3)2 = 𝑨 = 𝟏, 𝟗𝟔 . 𝟏𝟎
-3𝒎² 
Momento de inercia 
𝟏𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟓𝒍√
𝟏, 𝟗𝟔 . 𝟏𝟎⁻³ 
𝟑, 𝟎𝟕 . 𝟏𝟎⁻⁷
 
𝟕
,𝟐
𝒎
 
𝑷𝒂𝒓 
𝑷𝒂𝒓 
𝟕𝟓𝒎𝒎 
𝑷𝒂𝒓 =
𝝅2. 𝑬 . 𝑰
𝒍²𝒇
 
𝑰 =
𝝅. (𝑫4. 𝒅4) 
𝟔𝟒
 
𝑷𝒂𝒓 =
𝝅2. 𝑬 
𝒍²𝒇
 .
𝝅. (𝑫4. 𝒅4) 
𝟔𝟒
 
𝑷𝒂𝒓 =
𝝅2. 𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎⁹ 
𝟕, 𝟐²
 .
𝝅. ((𝟕𝟓 . 𝟏𝟎-3)4 − (𝟕𝟎 . 𝟏𝟎-3)4) 
𝟔𝟒
= 𝟏𝟒, 𝟑𝑲𝑵 
Ơ𝒄𝒓 =
𝑷𝒂𝒓
𝑨
 𝑨 =
𝝅. (𝑫². 𝒅²) 
𝟒
 
Ơ𝒄𝒓 =
𝑷𝒂𝒓
𝝅. (𝑫². 𝒅²) 
𝟒
 
Ơ𝒄𝒓 =
𝟏𝟒, 𝟑 . 𝟏𝟎³
𝝅. ((𝟕𝟓 . 𝟏𝟎 ⁻³)² − (𝟕𝟎 . 𝟏𝟎-3)²) 
𝟒
 
Ơ𝒄𝒓 = 𝟐𝟓, 𝟏𝑴𝑷𝒂 
Ơ𝒄𝒓 < Ơ𝒑 → 𝑬𝒔𝒕á 𝒏𝒐 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 
Domínio de Euler 
 
3 – Determine o comprimento mínimo para a aplicação da equação de Euler sabendo que para 
isso. λ≥ 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Um tubo de aço com 7,2m de comprimento e seção transversal vazado, deve ser usado 
como uma coluna presa por pinos nas extremidades. Determine a carga axial crítica sem sobre 
flambagem e verifique o domínio de Euler sabendo que Ơ = 250MPa e Eaço = 200GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑰𝒙 = 𝑰𝒚 =
𝝅 . 𝒅⁴
𝟔𝟒
=
𝝅 . (𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-2)⁴
𝟔𝟒
= 𝟑, 𝟎𝟕 . 𝟏𝟎⁻⁷𝒎⁴ 
𝒍 =
𝟏𝟎𝟓
𝟎, 𝟓√
𝟏, 𝟗𝟔 . 𝟏𝟎⁻³
𝟑, 𝟎𝟕 . 𝟏𝟎⁻⁷
∴ 𝒍 = 𝟐, 𝟔𝟑𝒎 
Ơ𝒎𝒙 =
𝑷
𝑨
+
𝑴𝒎𝒙𝒂
𝑰
 
á𝒓𝒆𝒂: 𝑨 = П𝝅2 = 𝝅(𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3)² 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟏𝟎⁻²𝒎² 
Momento 
𝑴𝒎𝒙 = 𝑷 . 𝒄 = 𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎3. 𝟓 . 𝟏𝟎⁻³ 𝑴𝒎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝑵. 𝒎 
𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 
𝑰 =
𝝅. 𝒅4 
𝟔𝟒
= 𝑰 =
𝝅 . (𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3)⁴ 
𝟔𝟒
= 𝟕, 𝟖𝟓 . 𝟏𝟎⁻⁵𝒎⁴ 
substituído 
Ơ𝒎𝒙 =
𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎³
𝟑, 𝟏𝟒 . 𝟏𝟎 ⁻²
+
𝟏𝟎𝟎𝟎 . 𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎⁻³
𝟕, 𝟖𝟓 . 𝟏𝟎⁻⁵
= 𝟕, 𝟔𝟒𝑴𝑷𝒂 Ơ𝒎𝒙 =
𝑷
𝑨
+
𝑴𝒎𝒙𝒂
𝑰
 
𝒍 
 
 
5 – Uma barra circular maciça de alumínio está engastada na sua base e livre na extremidade 
superior se a carga axial excêntrico de 200KN está aplicada com uma excentricidade de 5mm, 
determine a tensão máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝑳𝒖 𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝒒 =
𝑸𝑴𝒔
𝑰
 𝒒 =
𝒏𝑭
𝑺
 
𝑺 = 𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 = 𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-³ 
𝑸 = 𝟑𝑲𝑵 = 𝟑 . 𝟏𝟎³ 
𝑭 =? 
 
Momento Estático 
𝒒 =
𝑸𝑴𝒔
𝑰
 
𝑴𝒔 = 𝑨 . 𝒅 = 𝒃 . 𝒉 . 𝒅 
𝑴𝒔 = 𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-3. 𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-3. 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎-3 = 𝟏, 𝟖𝟖 . 𝟏𝟎⁻⁴𝒎³ 
Momento de Inércia 
𝑰 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
(𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎 ⁻³) . (𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3)³
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎⁻⁵𝒎⁴ 
Substituindo
: 
𝒒 =
𝑸𝑴𝒔
𝑰
 𝒒 =
𝟑 . 𝟏𝟎3 . 𝟏, 𝟖𝟖 . 𝟏𝟎⁻⁴
𝟏, 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎⁻⁵
= 𝟒, 𝟓𝟏 . 𝟏𝟎⁴𝑵/𝒎 
𝒒 =
𝒏𝑭
𝑺
∴ 𝑭 =
𝒒𝑺
𝒏
=
𝟒, 𝟓𝟏 . 𝟏𝟎4 . 𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎⁻³
𝟐
= 𝟑, 𝟑𝟖𝑲𝑵 
 
CISALHAMENTO 
 
A viga é construída com 2 tábuas presas, uma força de cisalhamento interno de 3KN for 
aplicada às tábuas. Determine a força de cisalhamento à qual cada prego resistirá. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑺 = 𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 = 𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-³ 
𝑭 = 𝟐, 𝟓𝑲𝑵 
𝑸 =? 
 
𝒒 =
𝑸𝑴𝒔
𝑰
 𝒒 =
𝒏𝑭
𝑺
 
𝑸𝑴𝒔
𝑰
=
𝒏𝑭
𝑺
 
𝑸 =
𝒏𝑭𝑰
𝑺𝑴𝒔
=
𝟐 . 𝟐, 𝟓 . 𝟏𝟎3 . 𝟏, 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎⁻⁵
𝟏𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-3 . 𝟏, 𝟖𝟖 . 𝟏𝟎⁻⁴
= 𝟐, 𝟏𝑲𝑵 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝟏𝟓𝟎𝒎𝒎 
𝕵𝒑 =
𝑸𝑴𝒔
𝒃 . 𝑰
 
Momento Estático 
𝑴𝒔 = 𝑨 . 𝒅 = 𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3. 𝟓𝟎 . 𝟏𝟎-3. (𝟏𝟐, 𝟓 + 𝟐𝟓)3. 𝟏𝟎 = 
𝑴𝒔 = 𝟏, 𝟖𝟖 . 𝟏𝟎⁻⁴𝒎³ 
Momento de Inércia 
𝑰 =
𝒃 . 𝒉³
𝟏𝟐
=
(𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎 ⁻³) . (𝟏𝟐𝟓 . 𝟏𝟎-3)³
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟔𝟑 . 𝟏𝟎⁻⁵𝒎⁴ 
Tensão no ponto P 
𝕵𝒑 =
𝟑 . 𝟏𝟎3 . 𝟏, 𝟖𝟖 . 𝟏𝟎⁻⁴
𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3 . 𝟏, 𝟔𝟑 . 𝟏𝟎⁻⁵
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟔𝑴𝑷𝒂 
𝕵𝒎𝒙 = 𝟏, 𝟓
𝑸
𝑨
=
𝟑 . 𝟏𝟎³
𝟏𝟎𝟎 . 𝟏𝟎⁻³
 
𝟏, 𝟓
𝟏𝟐𝟓 . 𝟏𝟎⁻³
 
𝕵𝒎𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟔𝑴𝑷𝒂 
𝑷 
𝑷 
𝟏
𝟐
𝟓
𝒎
𝒎
 
𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 𝟓
𝟎
𝒎
𝒎
 
𝟏
𝟐
𝟓
𝒎
𝒎
 
𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 
𝟐𝟓𝒎𝒎 
𝟏𝟐, 𝟓𝒎𝒎 
𝑳𝑵 
𝟔
𝟐
,𝟓
𝒎
𝒎
 
𝟔
𝟐
,𝟓
𝒎
𝒎
 
 
 
A viga é construída com 2 tábuas presas uma à outra na parte superior e na parte inferior por 2 
fileiras de pregos espaçados de 150mm. 
Se cada prego puder suporta uma força de cisalhamento de 2,5KN, determine a força de 
cisalhamento máximo que pode ser aplicada na viga. 
 DADOS: Ms = 1,88 . 10⁻⁴m³ e I =1,25 . 10⁻⁵m⁴ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento 
interna resultante de 3KN. Determine a tensão de cisalhamento no pontal P e a tensão de 
cisalhamento máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝕵𝒎𝒙 =
𝑸
𝒅 . 𝒉
 
𝕵𝒎𝒙 =
𝟒𝟒 . 𝟏𝟎³
𝟔 . 𝟏𝟎-3 . 𝟔𝟐 . 𝟏𝟎⁻³
= 𝟏, 𝟏𝟖𝑴𝑷𝒂 
𝟒𝟐𝒄𝒎 
𝟓𝟎𝒄𝒎 
𝟔𝒄𝒎 
𝟔𝒄𝒎 
𝟔𝒄𝒎 
𝟑𝟎𝒎𝒎 
𝑸 
𝕵𝒎𝒙 =
𝟒
𝟑
 . 
𝑸
𝑨
 
𝕵𝒎𝒙 =
𝟒
𝟑
 . 
𝟐𝟓 . 𝟏𝟎³
𝟑𝝅 . (𝟑𝟎 . 𝟏𝟎-3)²
= 𝟏𝟏, 𝟖𝑴𝑷𝒂 
 
3 – Para a seção transversal “I” da viga, vista na figura, calcule a tensão máxima de 
cisalhamento para um esforço cortante de 44KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – O raio da haste de aço é 30mm se ela for submetida a um cisalhamento de 25KN. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟏, 𝟑𝟓 . 𝟏𝟎⁷𝑵 𝟏, 𝟑𝟓 . 𝟏𝟎⁷𝑵 
𝟏, 𝟑𝟓 . 𝟏𝟎⁷𝑵 
𝟏, 𝟑𝟓 . 𝟏𝟎⁷𝑵 
𝟏, 𝟖𝒎 
𝕵𝒎𝒙 = 𝟏, 𝟓 . 
𝑸
𝑨
 
𝕵𝒎𝒙 = 𝟏, 𝟓 . 
𝟏, 𝟑𝟓 . 𝟏𝟎⁷𝟐𝟎𝟎 . 𝟏𝟎-3 . 𝟐𝟓𝟎 . 𝟏𝟎⁻³
= 𝟒𝟎𝟓𝑴𝑷𝒂 
𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎 
𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎 
 
5 – Determine a tensão de cisalhamento máximo em uma viga biapoiada que suporta carga 
uniforme de 1500KN/m. Se o comprimento da viga for 1,8m e a ST for retangular com largura 
200mm e altura 250mm