DINÂMICA II
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DINÂMICA II


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Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
 
Dinâmica II 
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Dinâmica II 
 
Bibliografia Recomendada 
 
Bibliografia Básica: 
HIBBELER, R.C. Dinâmica \u2013 Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006. 
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José 
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
 
Bibliografia Complementar: 
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. 
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. 
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p. 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas \u2013 Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p. 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
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Cinemática plana de corpos rígidos 
1. Introdução 
2. Corpos Rígidos 
 2.1 - Movimento de translação 
 2.2 - Movimento de rotação 
 i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular 
 i i - Aceleração Angular 
 i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante 
 iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e Angulares 
3. Atividades Introdutórias 
 Dinâmica II 
 Introdução - Dinâmica 
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1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o 
movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em 
torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro 
da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à 
absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem corrente 
elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à 
pressão e aos processos de difusão. 
Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é 
influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por 
exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 
imagem na tela. 
 Introdução - Dinâmica 
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Introdução 
Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação 
existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor 
as coisas de modo a produzir movimentos úteis. 
 
Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) 
resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais 
como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão 
importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-
lo em termos destes conceitos. 
 Introdução - Dinâmica 
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A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do 
movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é 
a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em que 
estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de partículas, 
ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. 
 
As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um 
sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um 
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou 
o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias 
entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. 
 Introdução - Dinâmica 
2 - Corpos Rígidos 
Pode-se dizer então que um Corpo Rígido pode ser definido como um 
corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, 
mesmo sob aplicação de um esforço externo. 
Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: 
movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias 
paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos 
percorrem trajetórias circulares, como em (B). 
Porém o caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no 
exemplo (C); uma combinação de translação e rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
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O movimento de translação pode ser analisado observando-se 
exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento 
de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo 
passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado 
ao movimento do centro de massa. 
O que provoca o movimento de translação são as forças externas 
agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que 
tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro 
de massa. 
\u201cNos movimentos de translação valem as leis de Newton e a conservação 
da quantidade de movimento\u201d. 
2.1 - Movimento de translação 
 Introdução - Dinâmica 
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Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer 
no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: 
 
Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se: 
 
 
Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os 
pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 
mesma aceleração. 
 Introdução - Dinâmica 
 
 
Para um corpo que se move uma distância \u394s durante um intervalo de 
tempo \u394t sua velocidade média é definida como: 
 
A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta 
razão quando \u394t se aproxima de zero: 
 
Se a velocidade do corpo variar \u394v num intervalo de tempo \u394t, ele tem 
uma aceleração média definida como: 
 
e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando \u394t 
tende a zero: 
t
s
vm
\uf044
\uf044
\uf03d
dt
ds
t
s
v
t
\uf03d
\uf044
\uf044
\uf03d
\uf0ae\uf044 0
lim
t
v
tt
vv
am
\uf044
\uf044
\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
12
12
dt
dv
t
v
a
t
\uf03d
\uf044
\uf044
\uf03d
\uf0ae\uf044 0
lim
 Introdução - Dinâmica 
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O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se 
observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por 
exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente se 
vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos na 
horizontal. 
2.2 - Movimento de rotação 
Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular 
aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 
afeta a rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
O uso de coordenadas x, y e z é uma forma sofisticada de descrever as 
rotações, e sendo elas confinadas em um único plano facilmente descritas 
por um ângulo. 
x\u2c6
y\u2c6
\u2c6\u2c6 \uf0baz n
)(t\uf06ar \uf072 )( tt \uf044\uf02b\uf06a
)(t\uf06a\uf044
\u3c9
r 
 Introdução - Dinâmica 
Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo 
fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o 
eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas 
relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do 
corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos. 
 Introdução - Dinâmica 
2.3 \u2013 Rotação em torno de um eixo fixo 
Seja \u201cr\u201d a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre 
uma circunferência de raio \u201cr\u201d. Quando o raio faz um ângulo \u201c\u3b8\u201d com o 
eixo de referência, a distância \u201cs\u201d percorrida pelo ponto P é: 
 
Derivando ambos os membros desta equação em relação