Convecção Fem3

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1Samuel Luporini/DEQ/UFBA
CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO
Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando 
ou entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento
  
ãoconcentraç
de diferença
A
convectivo
 massa de
 ciatransferên
de ecoeficient
c
ãoconcentraç
de decréscimo do
direção na ocorre 
massa de Fluxo
A ckN 

sistema do geometria e dinâmicas ticascaracteris fluido, do espropriedad das função 
h
kc



Th
A
q

análogo a da transferência de calor
Camada extremamente fina junto à superfície  escoamento laminar
Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido
escoando é por meio molecular
Considerações fundamentais em transferência de massa
2Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de
corrente, transportada por turbilhões.
Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão associadas ao
escoamento turbulento
 AAscA cckN 
fluido fase da dentro ponto algum para composicão c
sistema do pressão e ra temperatua para sólido o com equilíbrio em fluido
 do composição a é interface; na fluido no soluto do ãoconcentraç c
linterfacia área x tempo
interface a deixandoA soluto do moles
N
A
As
A



Há 4 métodos de avaliação
do coeficiente de
transferência de massa
convectivo
1. Análise dimensional ligada a experimentos;
2. Análise exata da camada limite;
3. Análise aproximada da camada limite;
4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa
3Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 1
O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo
seco) com uma área superficial exposta de 1 x 10-3 m2. O CO2 sublima com
uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de liberação de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar
está a 293 K e 1,013 x 105 Pa:
sm10x5,1D 25ar,CO2

Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar
escoando.
Resp.: 0,118 m/s
ar = 1,55x10
-5 m2/s
4Samuel Luporini/DEQ/UFBA
5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES
A difusividade molecular para 
cada fenômeno de transporte





















t
L
mássica dedifusivida D
 térmicadedifusivida 
c
k
momento de dedifusivida 
2
 AB
p
Número de Schmidt (Sc)
mássica dedifusivida
momento de dedifusivida
DD
Sc
ABAB






Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.)
Número de Lewis (Le)
mássica dedifusivida
 térmicadedifusivida
Dc
k
D
Le
ABpAB





Le é importante quando o processo envolve
transferência de massa de energia simultaneamente
5Samuel Luporini/DEQ/UFBA
 = (y)

cAs - cA
cAs - cA = (cAs – cA)(y)
x 
y 
cAs na interface 
Perfil de velocidade e concentração
Na interface mesmo fluxo do componente A
  AAscA cckN
deixando a superfície por convecção
 
0y
AsA
ABA
dy
ccd
DN



entrando no fluido por difusão melecular  
 
0y
AsA
ABAAsc
dy
ccd
Dcck



6Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Rearranjando e multiplicando
por L, ambos os lados
   
L
cc
dy
ccd
D
Lk AAs
0y
AsA
AB
c 

global ãoconcentraç de gradiente
superfície a para ãoconcentraç de gradiente
fluido do convectiva massa de ncia transferêde aresistênci
molecular massa de ncia transferêde aresistênci

ShouNu
D
Lk
AB
AB
c 
NuAB: número de Nusselt para transferência de massa
Sh: número de Sherwood
EXEMPLO 2
Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa
e em água líquida a 298 K.
7Samuel Luporini/DEQ/UFBA
5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA
Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada
Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando
através do conduite. (força direcional cAs – cA)
Variável Símbolo Dimensões
Diâmetro do tubo D L
Densidade do fluido  M/L3
Viscosidade do fluido  M/Lt
Velocidade do fluido  L/t
Difusividade do fluido DAB L
2/t
Coeficiente de transferência de massa kc L/t
D    DAB kc
M 0 1 1 1 0 1
L 1 -3 -1 0 2 0
t 0 0 -1 -1 -1 1
8Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Várias combinações de matriz 3 x 3.
Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido
kc tem o interesse principal
rank = 3  r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior
determinante diferente de zero, que se pode formar a partir dela.
i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais
DAB,  e D  variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que,
entre elas incluem todas as dimensões básicas (MLt).
9Samuel Luporini/DEQ/UFBA



ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
DD
DD
kDD
Escrevendo 1 na forma adimensional   




















t
L
L
L
M
t
L
1
c
b
3
a
2
Equacionando os expoentes
1c
0b
1a
b0:M
1a0:t
1cb3a20:L












Sherwood de no.
massa de
ncia transferêpara
Nusselt de no.
AB
AB
c
1 ShouNu
D
Dk


10Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Os outros 2 grupos são
determinados da mesma maneira 
Schimidt de no.AB
3
AB
2 Sc
D
e
D
D






Dividindo 2 por 3 
Reynolds de no.
AB
AB3
2 Re
DD
D
D
















 



Portanto uma correlação poderia ser feita da forma Sh = NuAB = f(Re, Sc)
que é análoga a correlação de transferência de calor Nu = f(Re, Pr)
11Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural
Correntes de convecção natural  desenvolverá se existir variação de densidade na fase
líquida ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente.
As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são:
Variável Símbolo Dimensões
Comprimento característico L L
Difusividade do fluido DAB L
2/t
Densidade do fluido  M/L3
Viscosidade do fluido  M/Lt
Força de empuxo g A M/L
2t2
Coeficiente de transferência de massa kc L/t
L DAB   g A kc
M 0 0 1 1 1 0
L 1 2 -3 -1 -2 1
t 0 -1 0 -1 -2 -1
12Samuel Luporini/DEQ/UFBA
 DAB, L e   variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre
elas incluem todas as dimensões básicas (MLt).
 Matriz 3 x 3  maior det  0, portanto o rank = 3
 i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais
A
ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
gLD
LD
kLD



Resolvendo os 3
grupos adimensionais AB
A
3
3
AB
2AB
AB
c
1
D
gL
,
Sc
1D
,Nu
D
Lk






Multiplicando 2 e 3 
Grashof de no
AB2
A
3
AB
A
3
AB
32 Gr
gL
D
gLD





























13Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Portanto sugere uma correlação da forma Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural
As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao
invés de 6 originais, tanto para convecção forçada como para natural
Correlações equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento
14Samuel Luporini/DEQ/UFBA
5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO
Extensão da solução exata desenvolvida por Blasiuspara a camada limite hidrodinâmica
x
y
Extremidade da C.L. de concentração
cA
cAs
cA = cA(y)
A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A,  e DAB = constantes

 
A de
produção
 enhuman
0
A
)y,x(fc
0
2
A
2
2
A
2
y
c
2
A
2
AB
A
0
z
A
y
A
x
ioestacionár
estado
0
A R
z
c
y
c
x
c
D
z
c
y
c
x
c
t
c
A2
A
2
























































15Samuel Luporini/DEQ/UFBA
2
A
2
AB
A
y
A
x
y
c
D
y
c
x
c









Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e
energia para a solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica
terá solução análoga as estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno
são análogas
Condições de contorno
1
D
Sc
ypara1
cc
cc
e0ypara0
cc
cc
AB
AsA
AsA
AsA
AsA











;
(13)
16Samuel Luporini/DEQ/UFBA
AsA
AsA
sx
sxxx
cc
cc
222f









 ,
,
xRe
x2
yx
x2
y
x2
y






 
 
 
 


x
y,x
f
 




  f
2y
x
 ff
x2
1
x
y 




 
0fff Introduzindo as equações (14) a (18) na (13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
17Samuel Luporini/DEQ/UFBA
condições de contorno


/p2f
0/p0ff
A solução análoga a transferência
de momento sugere que
  328,1
Re
x2
y
d
cc
cc
2d
0f
d
fd
0y
x
AsA
AsA

























(19)
A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de
concentração na interface
  







xAsA
0y
As Re
x
332,0
cc
dy
dc (20)
a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que não
altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde y não é envolvido.
18Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0
0yy


contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero
0y
A
ABy,A
y
c
DN



 (21)
Substituindo (21) em (20)  





 AAsxABy,A ccRe
x
332,0
DN
(22)
fluxo de massa do componente
A se difundindo 
  AAscy,A cckN
(23)
igualando as equações (22) e (23) xAB
AB
c Re332,0Nu
D
xk

Onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa
19Samuel Luporini/DEQ/UFBA
 
(19). equação 0,332 é inclinação a
0y em e e, velocidadde perfil o sobre efeito nenhum temnão massa de ncia transferêde taxa
 0Re
placa. a para fluido dopartir a massa de ncia transferê0Re
limite. camada da dentro para placa dapartir a massa de ncia transferê0Re
21
x
ys
21
x
ys
21
x
ys

















20Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21
x
ys
Re


é desprezível, valendo a equação (24).
Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa
pressão, a suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita
31
c
Sc

 Solução de Pohlhausen
 = espessura da camada limite hidrodinâmica
c = espessura da camada limite da concentração
3121
x
ys
ScRe




AAs
AAs
cc
cc
Inclinação = 0,332
ys = 0
Para y = 0
  







3
xAsA
0y
As ScRe
x
332,0
cc
dy
dc 3
xx
AB
c ScRe332,0Sh
D
xk

(25)
21Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e
comprimento L)

























L
0
21
21
31
ABc
L
0
31
21
ABL
0
31
21
xAB
L
0
L
0
c
c
dxxScD332,0Lk
L
dxSc
x
x
D332,0
L
dxSc
x
ReD332,0
dxW
dxkW
k
Resolvendo e rearranjando 3121
LL
AB
c ScRe664,0Sh
D
Lk

O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta
relacionado com o numero de Sherwood médio para
uma placa plana pela relação
ShL = 2 Shx|x=L
22Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Escoamento turbulento
Método de von Kármán
A velocidade numa camada limite turbulenta é representada pela equação empírica
71
o
x y
u
u








perfil de concentração da camada limite obedece, por hipótese, a uma equação análoga
71
cAoAs
AAs y










Admite-se Sc =1
Baixas concentrações do componente que se difunde.
23Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Balanço material, para o componente A
Ao
As
A1
A4
A2
A3
1
2
0
y
x
Ao
As
A1
A4
A2
A3
1
2
0
y
x
 dAkdAcosudAcosudAcosu
4321 A
AoAs
A
Ao
A
A
A
A   
 dAkdAcosuudAudA
4321 A
AoAs
A
Ao
A
A
A
A   
Na superfície A1, ucos = -u, e, em A2, ucos = u e, assim
24Samuel Luporini/DEQ/UFBA
 dAkdAcosuudAudA
4321 A
AoAs
AAA
  
  dAkudAudAdAcosu Ao
A
AoAs
A
Ao
A
Ao
A
Ao
4213


  
       dA1kudAudA
421 A
Ao
AoAs
A
AoA
A
AoA  







 
Para eliminarmos o termo de escoamento através da superfície A3, escrevemos um
balanço total de massa no volume de controle
Dividindo os termos por  e multiplicando por Ao, sendo ambos constantes, temos para A3
Substituindo este resultado temos
Toda a superfície tem a mesma largura na direção z e, como nenhuma das variáveis é função
de z, a equação pode ser escrita como a soma de integrais simples
       







 
 2
1
21 x
x
Ao
AoAs0 AoA0 AoA
dx1kudyudy
25Samuel Luporini/DEQ/UFBA
      dx1kudyd AoAoAs0 AoA 






 

 















 


Ao
0
AoAs
AoA udy
dx
d
k
71
AoAs
AAs
AoAs
AoA y11 












71
o
y
uu 







Quando x2 - x1 tende a zero, o membro a esquerda tende ao diferencial
O termo da concentração pode ser escrito como
velocidade local





































 

 0
7171
Ao
o dy
yy
1
dx
d
uk Após a integração 

1 diluidos sistemas raPa
Ao
o
dx
d
u
72
7
k

 








26Samuel Luporini/DEQ/UFBA
a espessura da camada limite   51xRex376,0    51xRex301,0
dx
d 


  51xo Reu0292,0k

 

Multiplicando ambos os lados por 
AB
o
D
e
xu




  ScReu0292,0
D
xk 54
xo
AB


Por hipótese Sc = 1 (a espessura da CL de concentração = a espessura da CL de
quantidade de movimento)
  54xo
AB
Reu0292,0
Dxk


54
xx Re0292,0Sh 
3154
xx ScRe0292,0Sh 
para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para:
para Rex > 2 x 10
5 (29)
27Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 3
O coeficiente de transferência de massa para uma camada limite turbulenta formado
sobre uma placa plana tem sido correlacionado em termos de um número de
Sherwood local por:
3154
x
AB
turb,c
x ScRe0292,0
D
xk
Sh 
onde x é a distancia a partir do começo de turbulência da placa plana. A transição do
escoamento laminar para turbulento ocorre para Rex = 2 x 10
5.
a) Desenvolver a expressão para o coeficiente de transferência de massa médio para uma
placa plana de comprimento L.
b) Um vasilhame contendo acetona foi acidentalmente derrubado, cobrindo uma
superfície plana do laboratório. O exaustor produz uma velocidade de ar de 6 m/s paralelo
a superfície da bancada de 1 m de largura. O ar foi mantido a 298 K e 1,013 x 105 Pa. A
pressão de vapor da acetona a 298 K é 3,066 x 104 Pa.
1. Determinar o coeficiente de transferência de massa a 0,5 m do ponto inicial da
bancada.
2. Determinar a quantidade de acetona evaporada por m2 de superfície a cada segundo. A
298 K, a viscosidade cinemática do ar é 1,55 x 10-5 m2/s e a difusividade mássica da
acetona em ar é 0,93 x 10-5 m2/s.
28Samuel Luporini/DEQ/UFBA
5.5 ANALOGIAS ENTRE TRANSFERÊNCIAS DE MOMENTO, CALOR E MASSA
Fenômenos de transferência similaridades de mecanismos
Condições
1. As propriedades físicas são constantes.
2. Não há produção de energia ou massa, não ocorre nenhuma reação química.
3. Não há emissão ou absorção de energia radiante.
4. Não há dissipação viscosa.
5. O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa, então há 
uma baixa transferência de massa
As analogias são úteis para o entendimento do fenômeno de transferência e como
um meio satisfatório para predizer o comportamento dos sistemas na qual são
disponíveis uma quantidade limitada de dados quantitativos.
29Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Analogia de Reynolds
Extensão da teoria de Reynolds incluindo o mecanismo de transferência de massa se o
no de Schimidt, Sc, é igual a 1.
Placa plana com Sc = 1. Os perfis de concentração e velocidade dentro da camada limite
estão relacionados por:
0y
x
0yAsA
AsA
ycc
cc
y























O contorno próximo da placa, y = 0    




 AAsc
0y
AsAABy,A cckcc
y
DN
DAB = /, pois Sc = 1
0yAAs
AsA
ABc
cc
cc
y
Dk











De (31) 
(30)
(31)
(32)
Substituindo (32) e (30) 
0y
x
c
y
k





 (33)
30Samuel Luporini/DEQ/UFBA
0y
x
c
y
k





 (33)
0y
x
22
0
f
y
2
2
C








 (34)
Substituindo (33) em (34)
2
Ck fc 

Definição de Coeficiente 
de fricção
(35)
a analogia de Reynolds para transferência de massa para Sc = 1
A eq. (35) é análoga a analogia de Reynolds para transferência de calor com Pr = 1
2
C
c
h f
p

 
A equação (35) não pode ser utilizada se o sistema envolver forma de arraste
31Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Considerações sobre escoamento turbulento
Na maioria das aplicações praticas o escoamento na corrente principal é turbulento
Hipótese do comprimento de mistura de Prandt: alguma velocidade de flutuação x
é devido ao momento na direção y de um turbilhão através de uma distancia igual ao
comprimento de mistura L.
A velocidade de flutuação esta relacionada com o gradiente de velocidade media por:
dy
d
L x
yxLyxx



A tensão de cisalhamento total
é definida por: yxx
dy
d



Substituindo (1) em (2)    
dy
d
ou
dy
d
L xM
x
y




(1)
(2)
O turbilhão de fluido, possui uma velocidade media,
yx

Lyx 

e é deslocado dentro de uma corrente onde o fluido adjacente tem uma velocidade
media,
32
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
yM L
. momento, demolecular dedifusivida a
 analoga momento dear turbilhondedifusivida

LyA
c

yA
c
dy
cd
L
A
L
y
A
A taxa de transferência instantânea do componente A na direção y 
yAy,A cN 
(4)
dy
cd
Lccc A
yALyAA


(5) Substituindo (5) em (4) 
dy
cd
LN Ayy,A 
Taxa de transferência de massa devido a turbulência
De maneira similar é analisado o escoamento turbulento em transferência de massa.
Perfil da porção turbulenta de
concentração, mostrando o
comprimento de mistura de
Prandt.
onde:  
A componente do
ãoconcentraç da
flutuação
A
 temporalmédia
ãoconcentraç
AA ccc 
33Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Região turbulenta: transporte rápido, redução no gradiente de concentração.
Região laminar: difusão molecular, maior resistência a transferência de massa na
camada limite próxima a superfície o gradiente de concentração é mais excessivo
 
dy
cd
D
dy
cd
L
dy
cd
DN ADAB
turbulento
A
y
laminar
A
ABy,A 

yD L
difusividade mássica turbilhonar
Similarmente em transferência de calor
  dy
Td
c
A
q
rturbilhona
térmica
dedifusivida
H
térmica
molecular
dedifusivida
p
y















34Samuel Luporini/DEQ/UFBA











s
x0
0
s
x oudyd
x
 é a espessura da subcamada laminar
 
AB
s,Ay
AAs0
AB
s,Ayc
c A D
N
ccoudy
D
N
cd
A
As




 
A porção laminar da equação (6): 
Eliminando  das equações (7) e (8)  





AAs
s,Ay
AB
s
x
cc
N
D
Analogia de Prandt: região turbulenta + laminar
Subcamada laminar
(7)
(8)
(9)
Considerações dos efeitos na região turbulenta e na subcamada laminar.
• Difusividade turbilhonar de momento e massa são desprezíveis
• s = tensão de cisalhamento na superfície = constante.
• NAy,s = fluxo de massa na superfície = cte.
35Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Região turbulenta
Aplica-se a analogia de Reynolds
2
sfc
2
Ck
 



de y =  a y = condições bulk
    





 AA
x
s
AAcAy cccckN
União das regiões laminar e turbulenta
O fluxo mássico na região turbulenta torná-se:
Eliminando 
A
c entre as equações (9) e (10)
(10)




















 1
DN
cc
AB
x
sAy
AAs
ABAAs
A
c2
s
f
D
Sc;
cc
N
k;
2
C








  1Sc1
2Ck
x
fc


 
(12)
(11)
Subtituindo as definições:
36Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Na subcamada laminar é definido que + = y+ = 5
2
C
5ou5
2
C
fx
f
x











(13)
Substituindo (13) em (12)
 1Sc
2
C
51
2Ck
f
fc



multiplicando ambos os lados de (14) por 
ABD/L
, onde L é o comprimento característico
 
 1Sc
2
C
51
ScRe2C
Sh
f
f


(14)
(15)
As equações (13) e (14) são análogas a analogia de Prandtl para momento e energia.
Elas reduzem a analogia de Reynolds quando Sc = 1.
37Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Analogia de von Kármán
Von Kármán extendeu a analogia de Prandtl considerando a zona de transição em adição
a subcamada laminar e o núcleo turbulento
 
   6Sc51ln1Sc
2
C
51
ScRe2C
Sh
f
f


(16)

   6Sc51ln1Sc
2
C
51
2C
ScRe
Shk
f
fc



(17)
 










  
Reynolds de analogia a para correção
fc
 termosde complexos grupo
2C
ScRe
Shk
resultados de muitas analogias
38Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Analogia de Chilton-Colburn
Utilizando dados experimentais 32c
D Sc
k
j


fator j para transferência de massa
Baseado em dados coletados para
escoamentos em regime laminar e
turbulento
2
C
Sc
k
j f32cD 



Válida para gases e 
líquidos na faixa 
0,6 < Sc < 2500
equação (18) satisfaz a solução exata para escoamento laminar sobre uma placa plana
3121
xx ScRe332,0Sh 
ambos os lados são divididos por RexSc
1/3
21
x
31
x
x
Re
332,0
ScRe
Sh

 























32
c32AB
AB
c
x
32
x
31
x
x SckSc
D
xD
xk
ScRe
ScSh
ScRe
Sh
(18)
(19)
(20)
Das equações (19), (20) e (18)
2
C
Re
332,0Sck f
21
x
32
c 

(21)
39Samuel Luporini/DEQ/UFBA
A analogia de Chilton-Colburn relaciona os 3 fenômenos de transporte:
2
C
jj fDH 
válida quando não tem nenhuma forma de arraste presente. 
Porem quando a forma de arraste esta presente DH jj 
 


32
c32
p
Sck
Pr
c
h
uma relação entre transferência de massa e calor convectivos, válida para 0,6 < Sc < 2500 e 
0,6 < Pr < 100
válida para muitas geometrias diferentes como: escoamento em placas planas, escoamento
em tubos, e escoamento ao redor de cilindros
40Samuel Luporini/DEQ/UFBA
EXEMPLO 4
Utilizando o enunciado e o coeficiente de transferência de massa do exemplo 1, determinar
o valor do coeficiente de transferência de calor, h, para a corrente de ar.
EXEMPLO 5
O ar seco sob pressão de 1,013 x 105 Pa sopra o termômetro na qual o bulbo foi coberto
com um pano úmido. A clássica temperatura do bulbo úmido indica que a temperatura no
estado estacionário foi alcançado por uma pequena quantidade de água evaporando num
grande reservatório de mistura de gás e vapor insaturado. A leitura no termômetro é 290 K.
Propriedades do ar e água:
PA, pressão de vapor da água = 1,94 x 10
3 Pa
, densidade do ar = 1,219 kg/m3
Ts, calor latente de vaporização da água = 2461 kJ/kg
Pr = 0,71
Sc = 0,61
cp, calor especifico do ar = 1,006 J/kgK
Qual é a temperatura do ar seco?
Resp: 322,1 K
41Samuel Luporini/DEQ/UFBA
5.6 MODELOS PARA O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
CONVECTIVO
Em muitos casos kc é empírico (determinado por experimentos)
A explicação teórica requer um melhor entendimento do mecanismo da turbulência 
características dinâmicas do escoamento
Teoria do filme
Baseada na presença de um filme fictício de fluido, onde se admite existir toda a
resistência e transferência de massa, na qual o transporte é inteiramente por difusão
molecular.
A espessura do filme, , é estendida alem da subcamada laminar para incluir uma
resistência equivalente encontrada com a mudança de concentração dentro da região
de transição e do núcleo turbulento.
42Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Fluido estagnante (célula de difusão de Arnold)
 2A1A
ln,B
AB
Az pp
RTp
PD
N 

  2A1A
c pp
RT
k
 

ln,B
AB
c
p
PD
kcomparando
Contradifusão equimolar (NAz = -NBz)
 

0
BzAzA
A
ABAz NNx
dz
dc
DN


 
2
1
2A
1A
z
z
c
c AABAz
dcDdzN
 2A1A
12
AB
Az cc
zz
D
N 

  12 zz
 2A1AcAz cckN 

 AB0c
D
k
integrando
 2A1A
AB
Az cc
D
N 


Como 
comparando
Na teoria do filme: kc esta relacionado com DAB e  é fictício (não medido)
O superescristo 0  não há uma transferência molar liquida dentro do filme devido a
contradifusão equimolar.
43Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Teoria da penetração
Originalmente proposta por Higbie em 1935, para explicar a transferência de massa na fase 
liquida durante a absorção do gás
Higbie considerou a transferência de massa para dentro da fase liquida como um
transporte molecular no estado não estacionário
 

 AAs
exp
AB
Ay cc
t
D
N
Aplicada para escoamento turbulento por Danckwerts (Ind. Eng. Chem. 43, 1460-67, 1951)
quando o componente que difunde apenas penetra uma curta distancia dentro de uma fase de
interesse, devido ao seu rápido desaparecimento através da reação química ou seu tempo
relativamente curto de contato.
Danckwertz aplicou este conceito de estudo não estacionário para a absorção do
componente A numa corrente liquida turbulenta
Seu modelo assume que o movimento do liquido é constantemente levado por turbilhões
de liquido fresco do interior até a superfície, onde estes substituem os elementos do liquido
anteriormente sobre a superfície . Enquanto que sobre a superfície cada elemento do
liquido torna-se exposto a uma segunda fase e a massa é transferida para dentro do liquido
apesar dela ser estagnante e de profundidade infinita. A total penetração do soluto no
turbilhão num tempo de exposição é:
   
21
expAB
AAs
t
0
21
AAs
ABt
0 A
tD
cc2dttcc
D
dtN
expexp









 

 
  
21
expAB
AAs
 to durante
média ncia transferêde taxa
A
tD
cc2N
exp







 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 44
45Samuel Luporini/DEQ/UFBA 45Samuel Luporini/DEQ/UFBA
  AAsABA ccsDN
s = fator de renovação da superfície (experimental)
O conceito de renovação da superfície de renovação tem sido bem sucedido em:
• Reações químicas na fase líquida.
• É valida somente se a superfície de renovação é relativamente rápida
Danckwertz modificou a suposição de período de exposição constante propondo 
uma faixa infinita de idades para os elementos de superfície  probabilidade de 
um elemento de superfície ser substituído por um novo turbilhão.
A taxa de transferência de massa com a renovação da superfície ao acaso é:
46Samuel Luporini/DEQ/UFBA
Teoria entre a do filme e a da penetração
AB
5,0
ABc DaDk 
Modelo da camada limite 
ABD
3121
L
AB
c ScRe
L
D
664,0k



32
ABc Dk 
Sublimação de um sólido dentro de um gás.
Dissolução de um sólido por um líquido
47Samuel Luporini/DEQ/UFBA
P.5.1 Determinar o valor do coeficiente convectivo de transferência de massa por
intermédio da analogia de Chilton-Colburn, considerando que o ar seco a 25º C e 1 atm
escoa a 60 m/s no interior de um tubo de naftaleno de 5 cm de diâmetro. Para tubos
temos a seguinte correlação para o coeficiente de transferência de calor convectivo:
3154 PrRe023,0
hD
Nu 


E a correlação de Blasius para tubo liso:
Fanning) de arraste de te(coeficien
4
f
C);Darcy(
Re
316,0
f f25,0 
Ar seco
25°C, 1atm
 = 60 m/s
D = 5 cm
A = naftaleno
B = ar
48Samuel Luporini/DEQ/UFBA
P.5.2 MacAdans apresentou a seguinte equação de transferência de calor para
escoamento turbulento de gases escoando sobre uma esfera isolada:
   
esfera. da diâmetro o é d e ;
d
Re:onde
PrRe37,0
k
hd
Nu
p
p
p
316,0
p
p





Prediz uma equação que possa ser utilizada para correlacionar o coeficiente de
transferência de massa a partir de uma esfera isolada em uma corrente de gas
turbulento. Como você modificaria sua equação para cobrir a faixa de Reynolds
muito baixa.
49Samuel Luporini/DEQ/UFBA
P5.3 O ar a 1010 Bar escoa sobre um psicômetro de bulbo úmido e seco. A medida de
bulbo seco é 31,8°C e a de bulbo úmidoé 26,8º C. Determinar a fração mássica da água
no ar, a umidade relativa, e umidade mássica na base seca.
R. war = 1,905 x 10
-2 , Umidade relativa = 65,2% , war = 0,0194 (base seca)