2 - Dinâmica de Partículas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: Operações Unitárias para a Indústria de Alimentos I 
PROFESSORA: Dra. Miriam Carla B. Ambrosio Ugri 
 
II - DINÂMICA DE PARTÍCULA 
 
II.1 – INTRODUÇÃO 
 Muitos processos de separação mecânica envolvem o movimento de partículas sólidas ou 
de gotas líquidas através de um fluido, que pode ser gás ou líquido, escoando ou não. 
 O movimento da partícula sólida através de um fluido necessita de uma força externa 
atuando sobre a partícula. Esta força pode vir da diferença de densidade entre a partícula e o 
fluido, ou pode ser resultado de campos elétrico ou magnético. 
Três forças atuam no movimento da partícula através do fluido: 
1 – força externa, gravitacional ou centrífuga; 
2 – força flutuante, que age paralelo com a força externa, mas em direção oposta; e 
3 – força de arraste, que aparece sempre que existe um movimento relativo entre a partícula e o 
fluido. A força de arraste atua oposta ao movimento e atua paralela à direção do movimento, mas 
em direção oposta. 
 
II.2 – OBJETIVO 
 O estudo da dinâmica de partículas sólidas objetiva: 
• a determinação da resistência que o meio fluido oferece ao deslocamento da partícula sólida 
e vice-versa; 
• a determinação da velocidade de sedimentação da partícula isolada; e 
• aplicar os conceito de Elutriação e de transporte de partículas. 
 
II.3 - QUEDA DE UMA ESFERA LISA NO SEIO DE UM FLUIDO 
 Considerando a queda de uma esfera lisa no meio de um fluido, e desconsiderando o 
efeito de parede do tubo no qual ocorre o escoamento, as variáveis importantes a serem 
consideradas são: 
• 
A
FD
 ⇒ Força Resistiva, que é a força de arraste por unidade de área projetada; 
 2 
• V∞ ⇒ Velocidade relativa da esfera ou Velocidade Terminal da Partícula, que é a 
velocidade constante atingida pela partícula quando lançada em um fluido inicialmente em 
repouso. Não existe a interferência de outras partículas; 
• ρf ⇒ Densidade do Fluido; 
• µ ⇒ Viscosidade do Fluido; 
• Dp ⇒ Diâmetro da Esfera ou da partícula. 
 
 Utilizando a Análise Dimensional tem-se que: 





 ∞
=
∞
µ
ρ
ρ
DpVf
V
F f
f
D ..
.
12 
 
II.4 - COEFICIENTE DE ARRASTE (CD) 
 O conceito de Coeficiente de Arraste é usado para corpos imersos movimentando-se 
através de um fluido, e é definido de maneira similar à definição do coeficiente de atrito, dado 
por: 
2
..2
1
Rf
D
D
v
A
F
C
ρ
= (1) 
 
sendo FD – força de arraste ou força resistiva (N) 
 A – área da seção transversal da esfera de diâmetro Dp (m2). 4
2
pDA pi= 
 CD – coeficiente de arraste (adimensional) 
 vR - velocidade relativa entre a partícula e o fluido (m/s) 
 ρf – densidade do fluido (kg/m3) 
 
 Considerando: 
i - uma partícula no campo gravitacional sem a interferência de outras partículas 
ii – somatório resultante das forças = 0 
então: 
00 =⇒=∑ dt
dvF , logo v = constante = velocidade terminal da partícula (V∞) 
 
 
 
 3 
V∞ 
FE (força empuxo) = ρfluido.V.g 
FD (força arraste 
ou atrito) 
II.5 - DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE TERMINAL DA PARTÍCULA (V∞∞∞∞) 
 Considerando uma esfera que cai a partir do repouso num fluido infinito e é acelerada até 
que atinja uma velocidade constante. Esta velocidade é denominada velocidade terminal da 
partícula (V∞) e pode ser definida a partir de forças que atuam sobre uma partícula num campo 
gravitacional sem interferência de outras partículas. 
 Quando a partícula/esfera atinge a velocidade terminal, o somatório das forças agindo na 
partícula é nulo. Assim: 
 
 Para baixos números de Reynolds: 
 ∑ == 0.amForças 
 
DEp FFFdt
dv
mForças −−==∑ 
 
Dfluidosólido Fgmgmdt
dv
mForças −−==∑ . 
 
Dfluidosólidosólidosólido FgVgVForças −−=∑ ρρ .... 
 
Dfluidosólido FgVForças −−=∑ .).( ρρ (2) 
 
 Substituindo a equação (1) em (2): 
 
( ) 0....
2
1
..
2
=−−=∑ AvCgVF rfDfs ρρρ 
 
sendo: ρs – densidade do sólido 
ρf – densidade do fluido 
 V – volume do sólido 
 vr – velocidade relativa fluido-partícula 
 A – área do sólido 
 
 Considerando que o fluido está em repouso ⇒ vr = V∞ 
FP (força peso) = mg = ρsólido.V.g 
 4 
então: ( ) 0
2
1
.
2
=−−=
∞∑ AVCgVF fDfs ρρρ 
 
( ) 21
..
...2







 −
=
∞ AC
gV
V
fD
pfs
ρ
ρρ
 (3) 
 
Para esferas: 3..
6
1 DpVp pi= (volume) e 4
.
2
pDA
pi
= (área projetada) 
 
Logo: 
( )( )
( )
2
1
2
3
.4..
..6..2








−
=
∞
pfD
pfs
DC
gD
V
piρ
piρρ
 
 
( ) 21
.
..
3
4







 −
=
∞
Df
pfs
C
Dg
V
ρ
ρρ
 (4) 
 
II.6 - ESTIMATIVA DE CD E DETERMINAÇÃO DE V∞∞∞∞: 
 Na literatura as seguintes equações empíricas podem ser encontradas para o cálculo de 
CD, velocidade terminal da partícula isolada, diâmetro de partícula etc. 
 
II.6.1 – Partículas Esféricas 
10 Caso: Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido em repouso → Regime Laminar 
ou Regime de Stokes (0<Rep<1) com µ
ρ p
p
DV ..
Re ∞= 
 O escoamento de um fluido viscoso e incompressível em torne de uma esfera foi 
estudado por Stokes para Rep ≤ 1, resultando em: ∞= VDF pD ....3 µpi 
Logo, substituindo FD na equação (1): 
 
pff
p
f
p
f
D
D DVVA
VD
V
A
VD
V
A
F
C
∞∞
∞
∞
∞
∞
====
.
24
.
2
.
..3
..2
1
..3
..2
1 222 ρ
µ
ρ
µpi
ρ
µpi
ρ
 
 
Substituindo Rep na equação acima tem-se: 
 5 
 
p
DC Re
24
= (5) 
 
e substituindo a eq (5) na equação para a velocidade terminal, eq (4), tem-se: 
 
( )
µ
ρρ
.18
..
2
pfs DgV
−
=
∞
 (6) 
 
20 Caso: para a Região Intermediária (1 < Rep < 500) utilizar correlações empíricas 
Allen → 6,0Re
5,18
p
DC = (7) 
 
Klyachko → ( ) 31Re
Re
24
p
p
DC += , válida para 3 ≤ Rep ≤ 400 (8) 
 
30 Caso: para a Região do Regime de Newton (500 < Rep < 2*105) 
CD ≅ 0,44 
 
E para a velocidade terminal, a partir da eq. (4): 
 
( ) 21.3







 −
=
∞
f
pfs DgV
ρ
ρρ
 (9) 
 
40 Caso: Para números de Rep muito elevados (Rep > 2*105) 
CD ≅ 0,20 
 
E para a velocidade terminal, a partir da eq. (4): 
 
( ) 21.
*58,2







 −
=
∞
f
pfs DgV
ρ
ρρ
 (10) 
 
 6 
II.6.2 – Partículas Não Esféricas ou Isométricas 
10 Caso: Processo iterativo com a equação (3) e o gráfico apresentado na Figura 1 de CD versus 
Re para o cálculo da velocidade terminal (V∞). 
( ) 21
..
...2







 −
=
∞
Df
pfs
CA
Vg
V
ρ
ρρ
 
 
O método consiste nos seguintes cálculos: 
1 – chutar um valor para V∞, 
2 – calcular Rep, achar CD pela Figura 1 e recalcular V∞, 
3 – comparar V∞ calculado com V∞ chutado 
4 – repetir o método até V∞ calculado = V∞ chutado7 
 
Figura 1 – Coeficiente de arraste para partículas isométricas 
 
 8 
 A Figura 2 apresenta as diferentes relações que existem entre CD e número de Reynolds 
considerando a forma da partícula e a orientação do objeto com relação à direção do escoamento. 
A face do disco e o eixo do cilindro são perpendiculares à direção do escoamento. 
 
Figura 2 – Coeficiente de arraste para esferas, cilindros e discos. 
 
20 Caso: Uma alternativa ao processo iterativo é utilizar a Tabela 1, para partículas isométricas. 
Esta tabela apresenta um método de cálculo para o número de Reynolds quando se conhece a 
velocidade terminal da partícula (V∞) ou o diâmetro da partícula (Dp). 
 Partículas isométricas são partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares 
(tatraedro, cubo, octaedro, isocaedro e dodecaedro). 
 9 
Tabela 1 - Fluidodinâmica da Partícula Isométrica (Pettyjohn & Chistiamen, 1948) 
VARIÁVEL 
A SER 
ESTIMADA 
CORRELAÇÃO 
[ ] nnn xyxyxy 10 )()()( ∞+= 
 
n 
 
CD = 
n
n
n
k
k
1
2
1 Re.
24








+





 
n=0,9 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,9 
 
n=3,15-2,50.φ p/ 0,9 ≤ φ ≤ 1 
 
 
Re = 
( )
( )
nn
D
D
C
kk
Ck
1
5,02
5,0
21
21
Re.
24
.
1
Re..
24
















+
 
 
n=1,3 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,8 
 
 
n=2,70-1,75.φ p/ 0,8 ≤ φ ≤ 1 
 
 
Re = 
nn
D
n
D C
k
Ck
1
2
2
1 ReRe
24
































+


















 
 
n=1,5 para 0,6 ≤ φ ≤ 0,8 
 
 
n=3,62-2,65.φ p/ 0,8 ≤ φ ≤ 1 
µ
ρ UD pF ..Re = ( )
2
3
2 .
.
3
4Re.
µ
ρρρ pFsF
D
Db
C
−
= 32
.
.)(
.
3
4
Re U
bC
F
FsD
ρ
µρρ −
= 






=
065,0
.log.843,0 101
φk 
U = || u – v || 
φ.88,431,52 −=k b = g = intensidade do campo 
exterior ou gravidade 
 
Na Tabela 1, U é a velocidade relativa fluido-partícula; u é a velocidade do fluido não perturbado 
pela partícula; v ou V∞ é a velocidade da partícula. 
 
II.7 - INFLUÊNCIA DA CONCENTRAÇÃO DE SÓLIDOS NA DINÂMICA DE 
SUSPENSÕES 
Na literatura, pode-se observar que o valor de V∞ é bastante diminuído quanto maior for a 
concentração de sólidos. Esta redução de V∞ é mais sensível quanto maior a concentração de 
sólidos, sendo da ordem de 5% para concentrações de sólidos de apenas 2%. Isto ocorre porque: 
• as partículas atrapalham umas as outras; e 
 10 
• aparece um significativo movimento ascendente de líquido. 
Se a concentração de sólidos em uma suspensão é reduzida, ou seja, menor que 5% em 
volume, esta concentração não exerce nenhuma influência na dinâmica das partículas. 
 Para encontrar U, considerando o efeito da presença da fase particulada na 
fluidodinâmica de suspensões, utiliza-se uma correlação do tipo Richardson e Zaki (1954): 
 
),(Re ε
∞
∞
= fVU (11) 
 
sendo U - módulo da velocidade relativa fluido-partícula 
∞
−= VuU f 
ε - porosidade, que é a fração volumétrica de fluido na suspensão vC−= 1ε 
Cv - fração volumétrica da fase sólida na suspensão 
Re∞ - o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada 
f
fpVD
µ
ρ
∞
∞
=Re 
 
 As correlações referentes à equação (11) podem ser determinadas através de 
experimentos de sedimentação em batelada com ε
sedvU = , sendo: vsed a velocidade da frente 
de sedimentação; e na fluidização homogênea com )( A
QU F ε= , sendo QF a vazão de fluido e 
A a área da seção transversal de fluidização. Os experimentos tornam-se imprecisos quando a 
faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é 
reduzida, inferior a 5% em volume. 
 Segundo Massarani (2000), a influência da concentração das partículas de diversas 
formas em suspensões é apresentada na Tabela 2. 
 
 11 
Tabela 2 – Influência da Concentração de Partículas na Fluidodinâmica de Suspensões 
 
 
II.8 – BIBLIOGRAFIA 
GEANKOPLIS, C.J. Transport Processes and Separation Process Principles. Prentice Hall, 4th 
Edition, 2003, p. 121-125 
MASSARANI, G. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. E-papers, 2 Edição, 2002, p.9-34 
MASSARANI, G. Problemas em Sistemas Particulados. São Paulo: Edigard Blucher, 1 Edição, 
1984 
McCABE, W.L., SMITH, J.C., HARRIOTT, P., Unit Operations of Chemical Engineering. 
McGraw Hill, 6th Edition, 2001, p.162-171. 
 12 
Lista de Exercícios sobre Dinâmica de Partículas. 
 
1- Determinar a velocidade de queda de uma partícula de diâmetro 75µm (diâmetro da esfera de 
igual volume que a partícula) e esfericidade 0,8 em elutriador operando com a velocidade 
ascendente de líquido 0,25cm/s. O líquido é água a 20oC e a massa específica da partícula é de 
3,8 g/cm3. 
 
2- Calcular a velocidade de elutriação (água a 30oC) para arrastar partículas esféricas de 30µm. 
A concentração do sistema é de 206g de sólidos/tonelada de suspensão, sendo a massa 
específica do sólido de 2,5 g/cm3. 
 
3- Determinar as velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas: 0 - 1µm, 1 - 
2µm e 2 -3µm. A massa específica do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas (φ) 
de 0,7. O fluido de arraste é a água a 20oC. 
 
4- a - Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas de 
vidro, 30µm de diâmetro, em glicerina. Sabe-se que a concentração de sólidos é de 300 g/l 
de suspensão, as massas específicas do sólido e do fluido são de respectivamente 2,6g/cm3 
e 1.3g/cm3 e que a viscosidade do líquido é de 18cp. 
b - Qual o efeito do diâmetro do recipiente sobre a velocidade de sedimentação? 
c- Qual o efeito da viscosidade do fluido (supor empregarmos um fluido menos viscoso, 
água) na velocidade de sedimentação?