02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha

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Universidade Federal do Pará - UFPA 
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Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
Mecânica dos Sólidos 02: 
Conteúdo Programático: 
1. Introdução à mecânica; 
 
2. Tração, Compressão e Cisalhamento; 
 
3. Flexão; 
 
4. Cisalhamento em vigas; 
 
5. Torção. 
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Mecânica dos Sólidos 02: 
Conteúdo Programático: 
1. Introdução à mecânica; 
 
2. Tração, Compressão e Cisalhamento; 
 
3. Flexão; 
 
4. Cisalhamento em vigas; 
 
5. Torção. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Os conceitos de tensão e deformação são definições 
fundamentais da mecânica; 
 
● A definição de tensão e deformação pode ser 
apresentada de forma elementar a partir da análise de 
uma barra prismática sujeita a forças axiais de tração ou 
compressão. 
2.1. Introdução: 
Nota 1: Barra prismática é um elemento estrutural de eixo reto 
com seção transversal constante ao longo do seu comprimento; 
 
Nota 2: Força axial é uma carga aplicada ao longo do eixo da 
barra. 
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L
P
P L+∆L
A
P A
P'=P
σ
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Para discutir o conceito de tensão, analisa-se o efeito de 
uma força axial P (tração) aplicada a uma barra prismática 
em equilíbrio com seção transversal A (seção perpendicular 
ao eixo da barra). Neste contexto, têm-se: 
 
- O comprimento inicial L da barra aumenta ∆L; 
 
- Admitindo que a barra seja seccionada, observa-se que a 
ação entre as partes seccionadas é dada por uma força 
distribuída continuamente sobre toda a seção transversal; 
 
- A intensidade da força por unidade de área é denominada 
tensão σ; 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
Nota: Nesta análise o peso da barra é desconsiderado. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
- Assumindo que σ é distribuída uniformemente sobre a 
seção transversal, obtém-se a resultante da tensão P’, é 
dada por P’=σ∙A; 
 
- A partir do equilíbrio da barra, tem-se que P’=P, logo a 
tensão pode ser dada por: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
L
P
P L+∆L
A
P A
P'=P
σ
A
P
=σ
Nota: A análise é válida para forças de tração e compressão, logo, têm-se tensões 
de tração e compressão. 
onde A é a área da seção transversal. 
 
● Visto que as tensões atuam em uma direção perpendicular 
ao plano de corte, são denominadas de tensões normais. 
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P
P
A
P
P
A
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● A unidade de tensão é uma unidade de 
força por área (N/m2=Pa, N/mm2=MPa, etc). 
 
● Convenção de sinal: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
Tração: (+) 
Compressão: (-) 
Nota 1: A relação σ=P/A é válida somente se a 
tensão for distribuída uniformemente sobre a 
seção transversal; 
 
Nota 2: A distribuição uniforme é verificada se a 
linha de ação da força axial P atuar no centróide 
da seção transversal; 
 
Nota 3: A condição de tensão uniforme não é 
válida próximo ao ponto de aplicação da carga, 
pois nesta região há concentrações de tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● O conceito de deformação também será discutido avaliando-se o efeito de uma força 
axial (tração) atuando em uma barra prismática; 
 
● Conforme observado anteriormente, o comprimento inicial L da barra aumenta ∆L; 
 
● O alongamento ∆L é proveniente do estiramento cumulativo do material da barra ao 
longo do seu volume; 
 
● A razão ∆L/L é chamada de deformação ε ou alongamento por unidade de 
comprimento. Desta forma, a deformação é dada por: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
L
L∆
=ε
L
P
P L+∆L
Nota: A análise é valida para forças de tração e 
compressão. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● A deformação ε é denominada de deformação normal, pois está associada à tensão 
normal; 
 
● A deformação normal é uma quantidade adimensional (sem unidade); 
 
● Convenção de sinal: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
Nota: Na prática, as unidades originais de ∆L e L podem acompanhar o valor da deformação ε (por 
exemplo: mm/mm, mm/m, μm/m, etc.). Alternativamente, as deformações também podem ser 
expressas em porcentagem (por exemplo: % e ‰). 
Tração: (+) Compressão: (-) 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● As equações de tensão normal e deformação normal são válidas para qualquer 
magnitude de carga e para qualquer material, uma vez que as definições de tensão e 
deformação foram baseadas em considerações estáticas e geométricas; 
 
● Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
P
P
σ=P/A
x
y
x
y
x1
y1
P1
A
dA
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x
y
x
y
x1
y1
P1
A
dA
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme: 
 
- Momento devido à força P: 
2.2. Tensão normal e deformação normal: 
1yPm P,x ⋅= 1xPm P,y ⋅−=
- Momento devido à tensão σ: 
∫ ⋅⋅=
A
,x dAym σσ ∫ ⋅⋅−=
A
,y dAxm σσ
- Visto que σ=P/A, têm-se mx,P=mx,σ e my,P=my,σ, logo: 
A
dAy
y A
∫ ⋅
=1 A
dAx
x A
∫ ⋅
=1
Nota: A distribuição uniforme é verificada se a 
linha de ação da força axial P atuar no centróide 
da seção transversal. 
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P
d1
d2
L
2.3. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Dada a barra comprimida apresentada na figura, determinar a tensão normal σ e a 
deformação normal ε do trecho vazado da barra. Sabe-se que P=240 kN, L=1000 mm, 
d2=127 mm, d1=90 mm e ∆L=0,55 mm (∆L corresponde ao trecho vazado). 
(a) Cálculo da tensão normal σ: 
⇒
⋅
⋅
== 3
3
103066
10240
,A
Pσ
MPa,05938=σ
( )






⋅=
−⋅=
23
2
1
2
2
103066
4
mm,A
ddA
:Sendo
π
(b) Cálculo da deformação normal ε: 
⇒=
∆
=
1000
550,
L
Lε 41055 −⋅= ,ε Nota: A deformação também poderia ser 
apresentada como: ε=5,5∙10-4 mm/mm ou 
ε=0,55 ‰. 
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1
1,02
1,04
1,06
1,08
1,1
1,121,14
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
P
L
d
d
2.4. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Dada a haste apresentada na figura, analisar a influência do peso 
próprio da haste W (W=γhaste∙Volumehaste) no cálculo da tensão normal 
máxima σmax. Adotar: L=40 m, d=8 mm, P=1,5 kN e γhaste=77 kN/m3. 
(a) σmax sem considerar o peso da haste: 
⇒==
A
P
max 1σσ
(b) σmax considerando o peso da haste: 
⇒+==
A
W
A
P
max 2σσ
⇒
⋅
⋅
= 21
4
d
P
π
σ
⇒⋅+
⋅
⋅
= L
d
P
hasteγπ
σ 22
4
MPa,8291 =σ
MPa,9322 =σ )m(L
12 σσ /
Nota: σmax acontece na extremidade superior da haste. 
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P1
q2
d1
d2
2.5. Exemplo 3: Aplicação didática 
● A barra composta é solicitada pela carga concentrada P1 e pela carga 
uniformemente distribuída q2 como mostra a figura. Desta forma, determinar: (a) A 
tensão normal σ1 na barra de menor diâmetro d1 e (b) O valor da resultante da carga q2 
para que σ2=σ1, sendo σ2 a tensão normal na barra de maior diâmetro d2. Dado: P1=7 kN, 
d1=30 mm, d2=60 mm. 
(a) Tensão normal σ1: 
⇒
⋅
⋅
== 2
1
1
1
1
1
4
d
P
A
P
π
σ MPa,90391 =σ
(b) Resultante da carga q2 sendo σ2=σ1. 
⇒−⋅=⇒⋅=⇒== 121221
2
12 PAPAPA
P
T
T σσσσ
⇒−
⋅
⋅= 1
2
2
12 4
PdP πσ kNP 212 =
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L
h1
h2
q
F h3
A
B
C
2.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Apresentada a estrutura da figura, 
determinar a tensão na barra BC σBC. 
Dado: F=200 kN, L=3660 mm, h1=460 
mm, h2=1524 mm, h3=2575 mm e b=150 
mm. 
b
b
Seção da barra BC 
(a) Cálculo do ângulo α: 
h2
F h3
RBC
RBC,x
RBC,yα
(b) Cálculo da componente RBC,x: 
( ) ⇒−=
L
hhtg 13α °≈ 30α
⇒⋅=⇒=∑
3
20
h
hFRM x,BCA
kN,R x,BC 369118=
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L
h1
h2
q
F h3
A
B
C
2.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
(b) Cálculo da força RBC: 
b
b
Seção da barra BC 
h2
F h3
RBC
RBC,x
RBC,yα
( )⇒⋅= αcosRR BCx,BC
kN,RBC 711136=
(c) Tensão na barra BC: 
⇒=
BC
BC
BC A
Rσ
MPa,BC 0766=σ



= 2bA
:Sendo
BC
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b
L
L
h
W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática 
● Apresentada a situação mostrada na figura, 
determinar a tensão σ nos cabos inclinados 
(diâmetro d). Dado: L=3,0 m, h=18 cm, b=1,8 m, 
d=12,5 mm e γlaje=24 kN/m3. 
W
P P
PP
α
(a) Peso da laje W: 
⇒⋅⋅=⋅= hLVW lajelajelaje
2γγ
kN,W 8838=
(b) Cálculo do ângulo α: 
( ) ⇒
⋅
⋅
=
b
Ltg
2
2α °= 68449,α
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b
L
L
h
W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática 
(c) Cálculo da força P: 
W
P P
PP
α
( ) ⇒⋅
=
αcos
WP
4
kN,P 02315=
(d) Tensão no cabo: 
⇒=
A
Pσ




=
⋅
= 2
2
718122
4
mm,dA
:Sendo
π
MPa,421122=σ
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2.8. Exemplo 6: Aplicação didática 
● Apresentada a estrutura da figura, determinar a tensão σ 
e a deformação ε (sabendo que ∆L=5 mm) no cabo 
inclinado (diâmetro d). Dado: P=15 kN, L1=4 m, L2=2 m, 
H=2 m e d=10 mm. 
L1 L2
h
P
L1 L2
P
α
F Fy
Fx
(a) Cálculo do ângulo α: 
( ) ⇒=
1L
Htg α °= 56526,α
(b) Componente vertical do cabo Fy: 
( )
⇒
+⋅
=
1
21
L
LLPFy kN,Fy 522=
(c) Força no cabo F: 
( ) ⇒= αsen
F
F y kN,F 31250=
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2.8. Exemplo 6: Aplicação didática 
(d) Tensão no cabo σ: 
L1 L2
h
P
L1 L2
P
α
F Fy
Fx
⇒=
A
Fσ




=
⋅
= 2
2
5478
4
mm,dA
:Sendo
π
MPa640=σ
(e) Deformação no cabo ε: 
⇒
+
∆
=
∆
=
22
1 HL
L
L
Lε
3101181 −⋅= ,ε ou ‰,1181=ε
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Equipamentos: 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
Máquina de teste Tração 
Nota: Os procedimentos para a realização dos testes são estabelecidos por normas. 
Compressão 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Diagrama σ-ε típico do aço estrutural: 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
Nota: 
-Trecho OA: Relação σ-ε linear e proporcional 
(σp= limite de proporcionalidade); 
 
-Trecho AB: Relação σ-ε deixa de ser 
proporcional (deformação aumenta mais que a 
tensão); 
 
-Trecho BC: Inicia o escoamento do material 
(deformação aumenta e a tensão permanece 
praticamente inalterada, comportamento 
perfeitamente plástico – σy= tensão de 
escoamento); 
 
-Trecho CD: Trecho de recuperação 
(alteração na estrutura cristalina do material), 
a tensão aumenta (aumento na resistência do 
material) com o aumento da deformação (σu= 
tensão última). 
ε
σ
A
B C
D
E
E'
Fa
se
 lin
ea
r
Es
co
am
en
to
En
du
rec
im
en
to
Es
tric
çã
o
σp
σy
σu
O
Ensaio de tração sem escala. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Diagrama σ-ε típico do aço estrutural: 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
Nota 1: 
- Trecho DE: Trecho onde a estricção fica 
mais pronunciada (próximo ao ponto D) e 
ocorre a ruptura da barra (a tensão é 
calculada com a área da barra íntegra); 
 
- Trecho DE’: Tensão calculada com a área da 
barra reduzida. 
 
Nota 2: A estricção influencia pouco as 
tensões que se desenvolvem até o ponto C; 
ε
σ
A
B C
D
E
E'
Fa
se
 lin
ea
r
Es
co
am
en
to
En
du
rec
im
en
to
Es
tric
çã
o
σp
σy
σu
O
Ensaio de tração sem escala. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Exemplos de diagramas σ-ε: 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
a) Aço estrutural (tração) b) Liga de alumínio (tração) 
c) Concreto (compressão) d) Concreto (tração) 
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Método da equivalência: 
 
- Este método é aplicado quando o material 
não apresenta o ponto de escoamento bem 
definido e sofre grandes deformações; 
 
- O método consiste em traçar, a partir deuma deformação equivalente εe, uma linha 
de referência paralela ao trecho linear do 
diagrama σ-ε real do material; 
 
- A tensão de escoamento equivalente σy é 
dada pela interseção da linha de referência 
com o diagrama σ-ε real do material. 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
ε
σ
σy
εe
Liga de alumínio (tração) 
Nota 1: Na prática εe≈2‰; 
 
Nota 2: Deve-se sempre consultar um 
documento normativo a respeito da 
metodologia de avaliar a tensão de 
escoamento de um material que não 
apresenta o ponto de escoamento bem 
definido. 
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ε
σ
ε
σ
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Material dúctil e material frágil: 
 
- Material dúctil: São materiais que sofrem 
grandes deformações permanentes 
(deformações plásticas) antes da fratura (Ex.: 
Aço estrutural, alumínio, cobre, etc.); 
 
- Material frágil: São materiais que apresentam 
pouco ou nenhum escoamento antes da 
fratura (Ex.: Concreto, ferro fundido, vidro, etc.). 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
Material dúctil 
Material frágil 
Nota: O material dúctil, diferentemente do frágil, é 
capaz de absorver grande capacidade de energia 
antes de fraturar. Além disto, a observação de grandes 
deformações em um material dúctil é um alerta da 
aproximação da fratura. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Diagrama σ-ε em compressão: 
 
- De um modo geral, os diagramas σ-ε à 
tração e à compressão são diferentes; 
 
- Nos materiais dúcteis os diagramas σ-ε à 
tração e à compressão são aproximados 
até o limite de proporcionalidade. Após o 
escoamento verificam-se as divergências, 
visto que à tração pode haver a estricção e 
à compressão pode haver o abaulamento 
das faces laterais; 
 
- Na compressão, ver diagrama, o corpo de 
prova oferece resistência ao encurtamento 
no trecho final de carregamento, resultando 
em curvas σ-ε bastante escarpada. 
2.9. Diagramas tensão-deformação: 
ε
σ
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ε
σ
A
O
ca
rg
a
de
sc
ar
ga
Elástico Plástico
ε
σ
A
O
B
Deformação
residual
Recuperação 
elástica
C D
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Elasticidade: Propriedade de um material de retornar à 
dimensão original quando descarregado. Salienta-se que o 
material não precisa apresentar comportamento linear para 
ser elástico. 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
Nota: 
- Trecho OA: Trecho elástico; 
 
- Ponto B: Momento em que ocorre o descarregamento; 
 
- Trecho BC: Trajetória do descarregamento, que é paralela ao 
trecho linear do diagrama σ-ε; 
 
- Ponto C: Valor da deformação residual ou deformação permanente 
(trecho OC), neste momento o comprimento da barra é superior ao 
comprimento inicial; 
 
- Trecho OD: Corresponde à deformação total durante o 
carregamento OB. Ensaio de tração 
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ε
σ
A
O
ca
rg
a
de
sc
ar
ga
Elástico Plástico
ε
σ
A
O
B
Deformação
residual
Recuperação 
elástica
C D
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Elasticidade: 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
Nota: 
- Trecho CD: Deformação recuperada elasticamente (a barra retorna 
parcialmente ao seu comprimento inicial, o material é denominado 
parcialmente elástico); 
 
- Trecho OC: Deformação residual (o alongamento residual é 
denominado assentamento permanente); 
 
- Ponto E: Representa o limite elástico do material (transição entre o 
comportamento elástico e parcialmente elástico; 
 
- Alguns materiais, maioria dos metais, apresentam o limite de 
proporcionalidade próximo, ou ligeiramente inferior, ao limite 
elástico. Na prática essas grandezas são representadas por um único 
valor numérico. 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Plasticidade: Propriedades do material pela qual ele sofre 
deformações inelásticas além da deformação no limite 
elástico. 
 
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga: 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
ε
σ
A
O
ca
rg
a
de
sc
ar
ga
Elástico Plástico
 
ε
σ
A
O
ε
σ
A
O
B
C
EE
- No regime elástico não há alteração significativa no comportamento do material; 
 
- No regime plástico a estrutura interna do material é alterada e o seu comportamento muda. 
Regime elástico Regime plástico Ensaio de tração 
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ε
σ
A
O
E
ε
σ
A
O
B
C
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga: 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
Regime elástico 
Regime plástico 
Nota: 
- No regime plástico há deformações permanentes; 
 
- Trecho CB: Representa o segundo ciclo de carga (recarga). Este 
trecho inicia no ponto C e termina no ponto B, ponto de descarga no 
primeiro ciclo de carga; 
 
- Após o ponto B o material segue novamente o diagrama σ-ε original 
até a fratura da barra; 
 
- É possível analisar a recarga como um novo diagrama σ-ε. 
Ensaio de tração 
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 31/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
ε
σ
O
BEA
ε
σ
O
σ
B
C
EA
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Ciclo Carga-Descarga-Recarga: 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
Nota: 
- No ciclo de recarga o material apresenta comportamento elástico 
linear com inclinação igual ao trecho elástico linear do ciclo único; 
 
- No ciclo de recarga o limite de proporcionalidade (ponto B) é 
representado por uma tensão maior que o limite elástico do ciclo 
único (ponto E); 
 
- Na prática, o estiramento de materiais como o aço e o alumínio até 
o regime inelástico ou plástico reflete em alteração nas 
propriedades do material. Verifica-se que a região elástica é maior, 
que os limites de proporcionalidade e elasticidade são aumentados e 
que a ductilidade é reduzida (trecho de escoamento menor). 
Ciclo único 
Ciclo de recarga 
Ensaio de tração 
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Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 32/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
t
∆L
O t0
∆L0
P
∆
L
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Fluência: Um material quando sujeito a cargas ou tensões constantes por longos 
períodos de tempo apresentam deformações permanentes adicionais. Este fenômeno é 
denominado fluência. 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
● Exemplo 1 de Fluência: 
Nota: Apesar de verificar-se o fenômeno 
da fluência à temperatura ambiente, 
usualmente a influência da fluência é 
mais notória em elevadas temperaturas 
(motores, caldeiras, etc.). 
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 33/63 Disciplina: Mecânicados Sólidos 02 
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Exemplo 2 de Fluência: O fenômeno da relaxação é uma manifestação da fluência. A 
relaxação caracteriza-se pela perda de tensão ao longo do tempo sob uma deformação 
constante. 
2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência: 
t
σ
O t0
σ0
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 34/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
ε
σ
E
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Material elástico linear: Corresponde aos materiais que se comportam elasticamente 
e exibem uma relação linear entre a tensão σ e a deformação ε. 
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson: 
Nota: O comportamento elástico linear é importante na engenharia, pois nos projetos de estruturas e 
máquinas são evitadas as deformações permanentes devido ao escoamento. 
● Lei de Hooke: Expressa a relação linear entre a tensão σ e a deformação ε. A referida 
relação é dada por: 
εσ ⋅= E
onde E é a constante de proporcionalidade definida por 
módulo de elasticidade ou módulo de Young. 
Nota: A unidade de E é a mesma de σ (N/m2=Pa, N/mm2=MPa, etc). 
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 35/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
P
P
ε (-)
ε' (+)
P
P
ε (+)
ε' (-)
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Coeficiente de Poisson ν: Quando uma barra 
é solicitada axialmente a deformação axial ε é 
acompanhada de uma deformação lateral ε’ 
normal à direção da carga aplicada. 
 
● Em qualquer ponto da barra a deformação 
lateral ε’ é proporcional à deformação axial ε no 
mesmo ponto se o material é linearmente 
elástico. 
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson: 
Tração: (+) 
Compressão: (-) 
Nota 1: O valor de ν é influenciado pelo nível de 
deformação imposto à barra. Por exemplo, para o 
aço estrutural no regime elástico linear ν≈0,3 e no 
escoamento do material ν≈0,5; 
 
Nota 2: O coeficiente de Poisson é constante 
apenas no regime elástico linear. No regime não 
linear o coeficiente do Poisson é chamado de 
coeficiente/razão de contração. 
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 36/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
P
P
ε (-)
ε' (+)
P
P
ε (+)
ε' (-)
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● A razão entre as deformações ε’ e ε é 
uma propriedade do material conhecida 
como coeficiente ou razão de Poisson ν. 
Sendo assim, ν é dado por: 
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson: 
Tração: (+) 
Compressão: (-) 
Nota: A equação ν=ε’/ε é aplicável apenas a uma 
barra sob tensão uniaxial. Para outros estados de 
tensão aplicam-se abordagens diferentes para 
avaliar a influência de ν. 
ε
εν '
axial Deformação
lateral Deformação
−=−=
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Para que a deformação lateral ε’ seja proporcional (regime elástico linear) à 
deformação axial ε em qualquer ponto ao longo do eixo da barra é necessário admitir, 
além das condições anteriores, as seguintes considerações: 
 
- Material homogêneo: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar a mesma 
composição em todo o volume da barra; 
 
- Material isotrópico. 
2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson: 
Nota: 
- Material isotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar as mesmas propriedades 
elásticas em todas as direções em análise; 
 
- Material anisotrópico ou aelotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentes 
propriedades elásticas nas diferentes direções em análise; 
 
- Material ortotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentes propriedades 
elásticas em direções perpendiculares. 
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 38/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
P
L
∆L
d
2.12. Exemplo 7: Aplicação didática 
● Apresentada a estrutura da figura, 
determinar: (a) O módulo de elasticidade E e 
(b) o coeficiente de Poisson ν. Sabe-se que 
P=3,5 kN, L=15 m, d=3 mm, ∆L=37,1 mm e 
∆d=0,0022 mm. 
(a) Módulo de elasticidade E: 
⇒⋅= εσ E









⋅=
∆
=
=
⋅
⋅
==
−3
2
104732
1494954
,
L
L
MPa,
d
P
A
P
:Sendo
ε
π
σ
⇒=
ε
σE GPa,E 195200=
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2.12. Exemplo 7: Aplicação didática 
(b) coeficiente de Poisson ν: 
⇒−=
ε
εν '




⋅−=
∆
= −4103337,
d
d'
:Sendo
ε
2960,=ν
P
L
∆L
d
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 40/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
d1
d2
2.13. Exemplo 8: Aplicação didática 
● Apresentada a estrutura da figura, determinar o valor da carga P para que d1=d2. 
Dados: d2=70 mm, d1=68 mm, E=3000 MPa e ν=0,4. 
(a) Carga P para que d1=d2: 



=∆⇒−=∆ mmdddd
:Sendo
21121
⇒
∆
=⇒
∆
=⇒
∆
=
1
1
d
d'
'L
'L'
L
L εεε
0290,' =ε
(a.1) Deformação lateral ε’: 
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d1
d2
2.13. Exemplo 8: Aplicação didática 
(a.2) Carga P: 
⇒−=
ε
εν '
⇒⋅−= ενε'
( )





=
⋅=⇒=⇒⋅=
A/P
AE/PE/E
:Sendo
σ
εσεεσ
⇒
⋅
⋅
−=
AE
P' νε
ν
ε AE'P ⋅⋅−=
kN,P 106801−=
( )




⋅
=
4
2
1dA
:Sendo
π
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática 
● Apresentada a estrutura da figura, determinar: (a) O encurtamento ∆L do tubo, (b) A 
deformação lateral ε’, (c) O aumento nos diâmetros externo ∆d2 e interno ∆d1 e (d) O 
aumento da espessura ∆t. Dado: P=625 kN, L=1220 mm, d2=150 mm, d1=115 mm, 
E=207 GPa e ν=0,3. 
(a) Encurtamento ∆L: 
P
d1
d2
L
⇒
∆
=
L
Lε
⇒⋅=∆ LL ε
( )





=
⋅=⇒=⇒⋅=
A/P
AE/PE/E
:Sendo
σ
εσεεσ
AE
LPL
⋅
⋅
=∆
mm,L 5060−=∆
( )






⋅=
−⋅=
23
2
1
2
2
102857
4
mm,A
ddA
:Sendo
π
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática 
(b) Deformação lateral ε’: 
P
d1
d2
L
⇒−=
ε
εν '
⇒⋅−= ενε'
( )





=
⋅=⇒=⇒⋅=
A/P
AE/PE/E
:Sendo
σ
εσεεσ
AE
P'
⋅
⋅
−=
νε
4102431 −⋅= ,'ε
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática 
(c) Aumento nos diâmetros externo ∆d2 e interno ∆d1: 
P
d1
d2
L
'L
'L'
L
L ∆
=⇒
∆
= εε
⇒⋅=∆ 'L''L ε 22 d'd ⋅=∆ ε
mm,d 01902 =∆
⇒⋅=∆ 11 d'd ε mm,d 01401 =∆
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2.14. Exemplo 9: Aplicação didática 
(d) Aumento da espessura ∆t : 
P
d1
d2
L
'L
'L'
L
L ∆
=⇒
∆
= εε
⇒⋅=∆ 'L''L ε t't ⋅=∆ ε
mm,t 3101762 −⋅=∆




−
=
2
12 ddt
:Sendo
Nota:O valor de ∆t poderia ser estabelecido em função de ∆d2 e ∆d1. 
 
 
 
 2
12 ddt ∆−∆=∆
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2.15. Exemplo 10: Aplicação didática 
● Dada a situação apresentada na figura, determinar a inclinação da diagonal αf após a 
aplicação da tensão σ (inclinação inicial αi=b/L). Sabe-se que o material tem módulo de 
elasticidade E e coeficiente de Poisson ν. 
(a) inclinação da diagonal αf após a aplicação da tensão σ: 
⇒
∆
=
L
Lε



⋅= εσ E
:Sendo
⇒
∆
⋅=
L
LEσ
E
LL ⋅+=∆ σ
L
b
αi
σσ
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L
b
αi
σσ
2.15. Exemplo 10: Aplicação didática 
(a) inclinação da diagonal αf após a aplicação da tensão σ: 
⇒
∆
=
b
b'ε



−= εεν /'
:Sendo
⇒
∆
=⋅−
b
bεν



= E/
:Sendo
σε
⇒
∆
=⋅−
b
b
E
σν E
bb ⋅⋅−=∆ σν
⇒
∆+
∆−
=
LL
bb
fα 




+
⋅−
⋅=
σ
σνα
E
E
L
b
f
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P
A
P
V
A
V
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● O conceito de tensão normal apresenta que σ é dada pela 
razão P/A, sendo P a força que atua perpendicularmente à 
área da seção transversal A. Semelhantemente, conceitua-se 
tensão de cisalhamento τ como a tensão que atua 
tangencialmente à área da seção transversal A. 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
A
V
med =τ
Sendo V a força de cisalhamento que atua paralelamente à seção 
A, que é denominada área de corte ou área cortante. 
● Não é fácil determinar a distribuição da tensão de cisalhamento τ na seção A. 
Entretanto, se for admitida uma distribuição uniforme tem-se o conceito de tensão de 
cisalhamento média τmed, que é dada por: 
Nota: A unidade de τ é uma unidade de força por área (N/m2=Pa, N/mm2=MPa, etc). 



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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Exemplo de tensão de cisalhamento média τmed: 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
⇒=
A
V
medτ
2
4
d
P
med ⋅
⋅
=
π
τ




⋅
=
4
2dA
:Sendo
π
Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento simples; 
 
Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ou 
seja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços no 
parafuso. 
n
m
P
m
n
n
mV=P
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PP
m
n
p
q
n
q
m
p
V=P/2
V=P/2
nm
τmed
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Exemplo de tensão de cisalhamento média τmed: 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
⇒=
A
V
medτ 2
2
d
P
med ⋅
⋅
=
π
τ




⋅
=
4
2dA
:Sendo
π
Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento duplo; 
 
Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ou 
seja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços no 
parafuso. 
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τ2
τ1
τ3
τ4
a
b
c
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Análise da tensão de cisalhamento média em um elemento: Para que o elemento 
esteja em equilíbrio é necessário verificar ∑Fx=0, ∑Fy=0 e ∑M=0. Sendo assim, têm-se: 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
⇒=∑ 0xF 21 ττ =
⇒=∑ 0yF 43 ττ =
⇒=∑ 0M 41 ττ = ou 32 ττ =






Nota 1: Tensões de cisalhamento em faces opostas e paralelas são iguais em magnitude e opostas em 
direção (τ1=τ2 e τ3=τ4); 
 
Nota 2: Tensões de cisalhamento em faces adjacentes e perpendiculares são iguais em magnitude e com 
as direções apresentadas na figura do elemento (τ1=τ4 e τ2=τ3). 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Deformação de cisalhamento γ: Para visualizar a deformação proveniente de uma 
tensão de cisalhamento, apresenta-se o elemento indeformado e deformado. 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
Nota: 
- A tensão de cisalhamento τ não provoca 
alteração nas dimensões da face do elemento, 
ou seja, o elemento não apresenta deformação 
normal ε (alongamento/encurtamento); 
 
- A tensão de cisalhamento τ distorce o elemento, 
ou seja, os ângulos inicialmente retos entre as faces 
distorcem de π/2-γ e π/2+γ; 
 
- A distorção γ também é denominada 
deformação de cisalhamento; 
 
- O elemento apresentado representa um estado 
de tensão chamado cisalhamento puro (sem 
tensão normal). 
τ1
τ1
τ2
τ2
γ/2
γ/2
π/2-γ
π/2+γ
Elemento 
indeformado 
Elemento 
deformado 
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Faculdade de Engenharia Civil 
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γ/2
γ/2
π/2-γ
π/2+γ
τ1
τ1
τ2
τ2
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Convenção de sinal para a tensão e para a deformação de cisalhamento: O 
elemento apresentado representa a convenção positiva. 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
Convenção positiva 
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γ
τ
G
T
T
z
yx
2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● Lei de Hooke em cisalhamento: Expressa a relação linear entre a tensão τ e a 
deformação γ. A referida relação é dada por: 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
γτ ⋅= G
onde G é a constante de proporcionalidade definida por módulo de elasticidade para 
cisalhamento ou transversal. 
Nota 1: As propriedades dos materiais sob cisalhamento são 
determinadas experimentalmente a partir do ensaio de 
cisalhamento direto ou de torção (estado de cisalhamento 
puro). 
 
Nota 2: A unidade de G é a mesma de τ (N/m2=Pa, 
N/mm2=MPa, etc). 
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2. Tração, Compressão e Cisalhamento: 
● As grandezas G, E e ν são dependentes, conforme segue: 
2.16. Tensão e deformação de cisalhamento: 
( )ν+⋅
=
12
EG
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2.17. Exemplo 11: Aplicação didática 
● Dada a estrutura da figura, determinar: (a) A tensão 
de cisalhamento no pino τpino e (b) A tensão de 
cisalhamentono parafuso τparafuso. Dado: dpino=18 mm, 
dparafuso=12 mm, P=54 kN e α=40 o. 
(a) Tensão de cisalhamento no pino τpino: 
( )
( ) ⇒⋅
⋅
== 2
24
pino
pino d
/P
A
V
π
τ P
dp
in
o
dparafuso
α
MPa,pino 103106=τ
(b) Tensão de cisalhamento no parafuso τparafuso: 
( )
( ) ⇒⋅⋅
⋅⋅
== 24
4
parafuso
parafuso d
cosP
A
V
π
ατ
MPa,parafuso 4491=τ
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2.18. Exemplo 12: Aplicação didática 
● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) A 
tensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P=124 kN, d=19 mm e t=6,35 mm 
(a) Tensão normal no pino σ: 
⇒
⋅
⋅
== 2
4
d
P
A
P
π
σ MPa,345437=σ
P
 d
t
Pino
Placa
(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa: 
⇒
⋅⋅
==
td
P
A
V
π
τ MPa,148327=τ
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2.18. Exemplo 12: Aplicação didática 
● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) A 
tensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P=124 kN, d=19 mm e t=6,35 mm 
(a) Tensão normal no pino σ: 
⇒
⋅
⋅
== 2
4
d
P
A
P
π
σ MPa,345437=σ
P
 d
t
Pino
Placa
(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa: 
⇒
⋅⋅
==
td
P
A
V
π
τ MPa,148327=τ
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2.19. Exemplo 13: Aplicação didática 
● Dado o aparelho de apoio (borracha+aço) da figura, 
determinar o deslocamento horizontal d do aparelho 
quando o mesmo está sujeita a uma força cortante V. 
São conhecidas as dimensões do aparelho a-b-h e o 
módulo de elasticidade transversal da borracha G. 
(a) Tensão de cisalhamento τ: 
⇒=
A
Vτ
a
hb
V
V
d
γ
a
h(b) Distorção γ: 
⇒⋅= γτ G
ba
V
⋅
=τ
G
τγ =
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2.19. Exemplo 13: Aplicação didática 
(c) Deslocamento d: 
( ) ⇒⋅=⇒== hd
h
dtg γγγ
a
hb
V
V
d
γ
a
h
Gba
hVd
⋅⋅
⋅
=
Nota 1: Admitiu-se tg(γ)=γ porque d é um valor muito pequeno; 
 
Nota 2: O resultado apresentado é uma abordagem simplificada do 
problema, porém apresenta resultados relativamente precisos para a>>h. 
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2.20. Exemplo 14: Aplicação didática 
● Apresentada a viga da figura, determinar a tensão 
de cisalhamento no pino do apoio 1 (diâmetro 
dpino=8 mm). Sabe-se que P=10 kN. 
(a) Reação R1 no apoio 1: 
⇒
⋅
⋅=⋅⇒=∑ 3
2
3
0 12
LPLRM
L/3 2⋅L/3
Pdpino
Apoio 1 Apoio 2
 
 
dp
in
o
 
Apoio 1
(Vista frontal)
PR ⋅=⋅ 21
(b) Tensão de cisalhamento no pino do apoio 1: 
( )
( ) ⇒⋅
⋅
=⇒= 2
1 24
pinod
/R
A
V
π
ττ
MPa,944198=τ
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 62/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
2.21. Exemplo 15: Aplicação didática 
● Apresentada a ligação da figura (todas as placas 
apresentam espessura t), determinar a maior tensão de 
cisalhamento no parafuso τparafuso (diâmetro d). Dados: 
P1=3 kN, P2=1,8 kN, P3=2,4 kN, t=5 mm e d=6 mm. 
(a) A maior tensão de cisalhamento no parafuso τparafuso: 
⇒=
A
V
parafusoτ
d
P1
P1
P2
P2
P3
t
( )
( ) ⇒⋅
⋅−⋅
=
4/d
5,0PP2
2
31
parafuso π
τ
MPa,parafuso 66263=τ
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 63/63 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02 
2.22. Exemplo 16: Aplicação didática 
● Apresentada a alavanca mostrada na figura, determinar a 
tensão de cisalhamento na chaveta (admitir que a tensão 
de contato entre a alavanca e a chaveta é uniformemente 
distribuída em b/2). Para o problema são conhecidos os 
valores de P, L, b, d e c. 
(a) Força de cisalhamento na chaveta: 
( ) ⇒=∑ 0eixo do CentroM c 
Eixo 
Alavanca 
Chaveta 
L
P
d
b
b/2b/2
(a) Tensão de cisalhamento na chaveta: 
⇒=
A
Vτ



⋅= cbA
:Sendo
⇒




 +⋅=⋅
42
bdVLP
bd
LPV
+⋅
⋅⋅
=
2
4
( )bdcb
LP
+⋅⋅⋅
⋅⋅
=
2
4τ
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32
	Número do slide 33
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	Número do slide 35
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	Número do slide 37
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	Número do slide 40
	Número do slide 41
	Número do slide 42
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	Número do slide 46
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	Número do slide 48
	Número do slide 49
	Número do slide 50
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	Número do slide 60
	Número do slide 61
	Número do slide 62
	Número do slide 63