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Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN
Escola de Ciência e Tecnologia — ECT
Bacharelado em Ciência e Tecnologia — BCT
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Professor: Sandro Bruno do Nascimento Lopes (sandro@dca.ufrn.br)
Lista de Exercícios
1 Função distribuição de probabilidade
1. Da função distribuição de probabilidade f(x) = cos(x), para 0 < x <
pi
2 , determine:
(a) P (X < pi4 ).
P (X < pi4 ) =
∫ pi
4
−∞
f(x)dx =
∫ pi
4
0
cos(x)dx
= sin(x)|
pi
4
0 = sin
(
pi
4
)
− sin (0)
≈ 0, 7071− 0 = 0, 7071
(b) P (pi8 < X).
P (pi8 < X) =
∫ ∞
pi
8
f(x)dx =
∫ pi
2
pi
8
cos(x)dx
= sin(x)|
pi
2
pi
8
= sin
(
pi
2
)
− sin
(
pi
8
)
≈ 1− 0, 3827 = 0, 6173
(c) P (pi4 < X <
pi
3 ).
P (pi4 < X <
pi
3 ) =
∫ pi
3
pi
4
f(x)dx =
∫ pi
3
pi
4
cos(x)dx
= sin(x)|
pi
3
pi
4
= sin
(
pi
3
)
− sin
(
pi
4
)
≈ 0, 8660− 0, 7071 = 0, 1589
1
(d) P (X < pi8 ou X >
3pi
8 ).
P (X < pi8 ou X >
3pi
8 ) = P (X <
pi
8 ) + P (X >
3pi
8 )− P (X <
pi
8 ∩X >
3pi
8 )
=
∫ pi
8
−∞
f(x)dx+
∫ ∞
3pi
8
f(x)dx− P (∅)
=
∫ pi
8
0
cos(x)dx+
∫ pi
2
3pi
8
cos(x)dx− 0
= sin(x)|
pi
8
0 + sin(x)|
pi
2
3pi
8
=
[
sin
(
pi
8
)
− sin (0)
]
+
[
sin
(
pi
2
)
− sin
(3pi
8
)]
≈ [0, 3827− 0] + [1− 0, 9239]
= [0, 3827] + [0, 0761] = 0, 4588
(e) A mediana de f(x).
P (X < x˜) = 0, 5→
∫ x˜
−∞
f(x)dx = 0, 5→
∫ x˜
0
cos(x)dx = 0, 5
→ sin(x)|x˜0 = 0, 5→ sin (x˜)− sin (0) = 0, 5
→ sin (x˜)− 0 = 0, 5→ sin (x˜) = 0, 5
→ x˜ = pi6
2. Suponha que um determinado tipo de nicho empresarial é tão especia-
lizada que alguns têm dificuldade em conseguir lucro em seu primeiro
ano de operação. A função densidade de probabilidade que caracteriza
a proporção y de obter lucro é dada por:
f(y) =
{
ky4(1− y3), 0 ≥ y ≥ 1
0, caso contrário
(a) Qual é o valor de k que torna a função acima de uma função de
densidade válida?
2
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1→
∫ 1
0
k ∗ y4 ∗ (1− y3)dx = 1
→
∫ 1
0
k(y4 ∗ 1− y4 ∗ y3)dx = 1→
∫ 1
0
k ∗ (y4 − y7)dx = 1
→ k
∫ 1
0
y4 − y7dx = 1→ k
[
y5
5 −
y8
8
]∣∣∣∣∣
1
0
= 1
→ k
[(
15
5 −
18
8
)
−
(
05
5 −
08
8
)]
= 1→ k
[(1
5 −
1
8
)
− (0− 0)
]
= 1
→ k
[(8− 5
40
)
− (0)
]
= 1→ k
[ 3
40
]
= 1
→ k = 1 ∗ 403 → k =
40
3
(b) Encontre a probabilidade de que no máximo 50% das empresas
consigam lucrar no primeiro ano.
P (X ≤ 0, 5) =
∫ 0,5
−∞
f(x)dx =
∫ 0,5
0
(40
3
)
∗ y4 ∗ (1− y3)dx
=
(40
3
)∫ 0,5
0
y4 ∗ (1− y3)dx =
(40
3
)∫ 0,5
0
y4 ∗ 1− y4 ∗ y3dx =
=
(40
3
)∫ 0,5
0
y4 − y7dx =
(40
3
) [
y5
5 −
y8
8
]∣∣∣∣∣
0,5
0
=
(40
3
) [
y5
5 −
y8
8
]∣∣∣∣∣
0,5
0
=
(40
3
)[(0, 55
5 −
0, 58
8
)
−
(
05
5 −
08
8
)]
≈
(40
3
)
[(0, 0062− 0, 0005)− (0− 0)]
=
(40
3
)
[(0, 0057)− (0)]
=
(40
3
)
∗ 0, 0057 = 0, 076
(c) Encontre a probabilidade de que pelo menos 80% das empresas
consigam lucrar no primeiro ano.
3
P (X ≥ 0, 8) =
∫ ∞
0,8
f(x)dx =
∫ 1
0,8
(40
13
)
∗ y4 ∗ (1− y3)dx
=
(40
3
)∫ 1
0,8
y4 ∗ (1− y3)dx =
(40
3
)∫ 1
0,8
y4 ∗ 1− y4 ∗ y3dx =
=
(40
3
)∫ 1
0,8
y4 − y7dx =
(40
3
) [
y5
5 −
y8
8
]∣∣∣∣∣
1
0,8
=
(40
3
) [
y5
5 −
y8
8
]∣∣∣∣∣
1
0,8
=
(40
3
)[(15
5 −
18
8
)
−
(
0, 85
5 −
0, 88
8
)]
=
(40
3
)
[(0, 2− 0, 125)− (0, 0655− 0, 021)]
=
(40
3
)
[(0, 075)− (0, 0445)]
=
(40
3
)
∗ 0, 0305 = 0, 4067
2 Função de distribuição acumulada
3. Seja x uma variável aleatória que denota a quantidade de tempo que
um livro, em uma reserva de duas horas, é realmente verificado, e
suponha que a função de distribuição acumulada seja dada por:
F (x) =

0, x < 0
x2
4 , 0 ≤ x < 2
1, x ≥ 2
Determine:
(a) P (X ≤ 1).
P (X ≤ 1) = F (1) = 1
2
4 =
1
4 = 0, 25
(b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1).
P (0, 5 ≤ X ≤ 1) = F (1)− F (0, 5) = 1
2
4 −
0, 52
4
= 14 −
0, 25
4 =
0, 75
4 = 0, 1875
4
(c) P (X > 1, 5).
P (X > 1, 5) = 1− F (1, 5) = 1− 1, 5
2
4 = 1−
2, 25
4
= 1− 0, 5625 = 0, 4375
(d) A mediana µ˜ do tempo de verificação (OBSERVAÇÃO: Resolver
F (µ˜) = 0, 5)
F (µ˜) = 0, 5→ µ˜
2
4 = 0, 5→ µ˜
2 = 0, 5 ∗ 4
→ µ˜2 = 2→ µ˜ = ±√2→ µ˜ ≈ ±1, 4142
µ˜ = 1, 4142
(e) A função densidade de probabilidade f(x).
• Para x < 0:
f(x) = d
dx
[F (x)] = d
dx
[0] = 0
• Para 0 ≤ x < 2:
f(x) = d
dx
[F (x)] = d
dx
[
x2
4
]
=
(1
4
)
d
dx
[
x2
]
=
(1
4
)
2x = x2
• Para x ≥ 2:
f(x) = d
dx
[F (x)] = d
dx
[1] = 0
Logo, a função densidade de probabilidade f(x) é dada por:
f(x) =
{ x
2 , 0 ≤ x < 2
0, caso contrário
4. Um fator importante em combustíveis sólidos de mísseis é a distri-
buição do tamanho das partículas. Problemas significativos podem
ocorrer se as dimensões das partículas são demasiadamente grandes.
A partir dos dados de produção passadas, foi determinado que o tama-
nho das partículas (em micrômetros) é caracterizada pela distribuição:
f(x) =
{
3x−4, x > 1
0, caso contrário
Obtenha a sua função de distribuição acumulada.
5
• Para x ≤ 1:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ x
−∞
0du = 0
• Para x > 1:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du = F (1) +
∫ x
1
3u−4du
= 0 + 3
∫ x
1
u−4du = 3
[
u−3
−3
]∣∣∣∣∣
x
1
=
[
−u−3
]∣∣∣x
1
=
[(
−x−3
)
−
(
−1−3
)]
=
[
(−x−3)− (−1)
]
= −x−3 + 1 = 1− x−3
Logo, a função densidade de probabilidade f(x) é dada por:
F (x) =
{
1− x−3, x > 1
0, caso contrário
3 Média e variância de uma distribuição con-
tínua
5. A espessura de um revestimento condutor, em micrômetros, tem uma
função densidade de probabilidade dada por 600x−2, para 100µm <
x < 120µm.
(a) Determine a média e a variância das espessura do revestimento.
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx =
∫ 120
100
x[600 1
x2
]dx
=
∫ 120
100
600 x
x2
dx = 600
∫ 120
100
1
x
dx
= 600 [ln(|x|)]|120100
= 600 [(ln(|120|))− (ln(|100|))]
= 600 [(ln(120))− (ln(100))]
= 600 [(4, 7875)− (4, 6052)]
= 600 [0, 1823] = 109, 38
6
E(X2) =
∫ ∞
−∞
x2f(x)dx =
∫ 120
100
x2[600 1
x2
]dx
=
∫ 120
100
600x
2
x2
dx = 600
∫ 120
100
1dx
= 600 [x]|120100
= 600 [(120)− (100)]
= 600 [20] = 12.000
V (X) = E(X2)− [E(X)]2 = 12.000− (109, 38)2
= 12.000− 11.963, 9844 = 36, 0156
(b) Se o revestimento custa R$0, 50 por micrômetro de espessura em
cada parte, quanto é o custo médio do revestimento por parte?
• Custo do revestimento, por micrômetro de espessura: h(X) =
0, 50 ∗X
E[h(X)] = 0, 50 ∗ E(X) = 0, 50 ∗ 109, 38 = 54, 69
6. Um ecologista deseja marcar uma região de amostragem circular com
raio de 10m. Entretanto, o raio da região resultante é, na verdade,
uma variável aleatória R com fdp:
f(r) =

3
4[1− (10− r)
2], 9 ≥ x ≥ 11
0, caso contrário
Qual é a área esperada da região circular resultante?
• Área da região circular: h(R) = piR2
7
E[h(R)] =
∫ ∞
−∞
h(r)f(r)dr =
∫ 11
9
pir2
(3
4
)
[1− (10− r)2]dx
=
(3
4
)
pi
∫ 11
9
r2[1− (102 − 2 ∗ 10 ∗ r + r2)]dx
=
(3
4
)
pi
∫ 11
9
r2[1− 100 + 20r − r2]dx
=
(3
4
)
pi
∫ 11
9
r2[−99 + 20r − r2]dx
=
(3
4
)
pi
∫ 11
9
−99r2 + 20r3 − r4dx
=
(3
4
)
pi
[
−99r
3
3 + 20
r4
4 −
r5
5
]∣∣∣∣∣
11
9
=
(3
4
)
pi
[(
−9911
3
3 + 20
114
4 −
115
5
)
−
(
−999
3
3 + 20
94
4 −
95
5
)]
=
(3
4
)
pi [(−43.923 + 73.205− 32.210,2)
− (−24.057 + 32.805− 11.809, 8)]
=
(3
4
)
pi [(−2.928, 2)− (−3.061, 8)] =
(3
4
)
pi [−2.928, 2 + 3.061, 8]
=
(3
4
)
pi [133, 6] ≈ 314, 7876
4 Distribuição uniforme
7. Um estudo sobre o tempo gasto de compras em um supermercado para
uma cesta de 20 itens específicos de mercado mostrou uma distribuição
aproximadamente uniforme entre 20 minutos e 40 minutos. Qual é a
probabilidade de que o tempo de compras será:
(a) Entre 25 e 30 minutos?
Se X ∼ U(a, b) ∼ U(20, 40), a sua função de distribuição acumu-
lada é dada por:
F (x) =

0, x < 20
x− 20
40− 20 =
x− 20
20 , 20 ≤ x ≤ 40
1, x > 40
8
Portanto:
P (25 < X < 30) = F (30)− F (25) = 30− 2020 −
25− 20
20
= 1020 −
5
20 = 0, 5− 0, 25 = 0, 25
(b) Menos de 35 minutos?
P (X < 35) = F (35) = 35− 2020 =
15
20 = 0, 75
(c) Quais são os média e desvio padrão do tempo de compras?
E(X) = a+ b2 =
20 + 40
2 =
60
2 = 30
V (X) = (b− a)
12
2 =
(40− 20)2
12 =
202
12
= 40012 = 33, 3333
σ =
√
V (X) =
√
33, 3333 ≈ 5, 7735
8. A espessura da fotorresistência aplicada para pastilhas na fabricação
de semicondutores em um determinado local é distribuído uniforme-
mente entre 0, 2050 e 0, 2150 micrômetros. Determinar o seguinte:
(a) A função de distribuição cumulativa de espessura da fotorresis-
tência.
Se X ∼ U(a, b) ∼ U(0, 2050, 0, 2150), a sua função de distribuição
acumulada é dada por:
F (x) =

0, x < 0, 2050
x− 0, 2050
0, 2150− 0, 2050 =
x− 0, 2050
0, 01 , 0, 2050 ≥ x ≥ 0, 2150
1, x > 0, 2150
(b) Proporção de pastilhas que excedem 0,2125 micrômetros em es-
pessura da fotorresistência.
P (X > 0, 2125) = 1− F (0, 2125) = 1− 0, 2125− 0, 20500, 01
= 1− 0, 00750, 01 = 1− 0, 75 = 0, 25
9
(c) Espessura excedido em 10% das pastilhas.
P (X > xp) = 0, 1→ 1− F (xp) = 0, 1→ 1− xp − 0, 20500, 01 = 0, 1
→ xp − 0, 20500, 01 = 1− 0, 1→
xp − 0, 2050
0, 01 = 0, 9
→ xp − 0, 2050 = 0, 9 ∗ 0, 01→ xp − 0, 2050 = 0, 009
→ xp = 0, 009 + 0, 2050→ xp = 0, 2140
(d) Média e variância de espessura da fotorresistência.
E(X) = a+ b2 =
0, 2150 + 0, 2050
2 =
0, 42
2 = 0, 21
V (X) = (b− a)
2
12 =
(0, 2150− 0, 2050)2
12 =
0, 012
12
= 0, 000112 = 0, 00000833
5 Distribuição normal
9. Um cientista da pesquisa relata que os ratos podem viver uma mé-
dia de 40 meses, quando suas dietas são bem restritas e, em seguida,
enriquecido com vitaminas e proteínas. Supondo-se que o tempo de
vida de tais ratos são normalmente distribuídos com um desvio padrão
de 6, 3 meses, encontre a probabilidade de que um determinado rato
viverá:
(a) Mais de 32 meses;
P (X > 32) = P (Z > 32− 406, 3 ) = P (Z >
−8, 0
6, 3 )
= P (Z > −1, 2698) = P (Z > −1, 27)
= 1− Φ(−1, 27) = 1− 0, 1020 = 0, 8980
(b) Menos de 28 meses;
P (X < 28) = P (Z < 28− 406, 3 ) = P (Z >
−12, 0
6, 3 )
= P (Z > −1, 9048) = P (Z > −1, 90)
= Φ(−1, 90) = 0, 0287
10
(c) Entre 37 e 49 meses.
P (37 < X < 49) = P (37− 406, 3 < Z <
49− 40
6, 3 )
= P (−3, 06, 3 < Z <
9, 0
6, 3)
= P (−0, 4761 < Z < 1, 4286)
= Φ(1, 4286)− Φ(−0, 4761)
= Φ(1, 43)− Φ(−0, 48)
= 0, 9236− 0, 3156 = 0, 6080
10. A demanda pelo uso da água na cidade de Phoenix em 2003 atingiu
uma alta de cerca de 442 milhões de litros por dia em 27 de junho
(http://phoenix.gov/WATER/wtrfacts.html). O uso da água no verão
é normalmente distribuído com uma média de 310 milhões de litros por
dia e um desvio padrão de 45 milhões de litros por dia. Reservatórios
da cidade têm uma capacidade de cerca de 350 milhões de galões de
armazenamento combinado.
(a) Qual é a probabilidade de que um dia exige mais água do que é
armazenada em reservatórios da cidade?
P (X > 350) = P (Z > 350− 31045 ) = P (Z >
40
45)
= P (Z > 0, 8889) = P (Z > 0, 89)
= 1− Φ(0, 89) = 1− 0, 8133 = 0, 1867
(b) O que a capacidade do reservatório é necessária de modo a que a
probabilidade de que ele seja ultrapassado esteja em 1%?
• P (X > xp) = 0, 01→ P (Z > zp) = 0, 01
• Cálculo de zp:
P (Z > zp) = 0, 01→ 1− Φ(zp) = 0, 01
→ Φ(zp) = 1− 0, 01→ Φ(zp) = 0, 99
→ zp = 2, 33
• Cálculo de xp:
zp =
xp − 310
45 → 2, 33 =
xp − 310
45
2, 33 ∗ 45 = xp − 310→ 104, 85 = xp − 310
xp = 104, 85 + 310→ xp = 414, 85
11
(c) Qual a quantidade de uso da água é ultrapassado com 95% de
probabilidade?
• P (X > xp) = 0, 95→ P (Z > zp) = 0, 95
• Cálculo de zp:
P (Z > zp) = 0, 95→ 1− Φ(zp) = 0, 95
→ Φ(zp) = 1− 0, 95→ Φ(zp) = 0, 05
→ zp = −1, 64
• Cálculo de xp:
zp =
xp − 310
45 → −1, 64 =
xp − 310
45
− 1, 64 ∗ 45 = xp − 310→ −73, 8 = xp − 310
xp = 310− 73, 8→ xp = 236, 8
6 Distribuição exponencial
11. O tempo entre as chamadas de uma empresa de materiais de enca-
namento é exponencialmente distribuído com um tempo médio entre
chamadas de 15 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que não existem chamadas dentro de
um intervalo de 30 minutos?
X ∼ Exp(λ), com E(X) = 15 minutos.
• Cálculo de λ:
E(X) = 1
λ
→ 1
λ
= 15
λ = 115 → λ = 0, 06667
• Definição da função de distribuição acumulada:
F (x) =
{
0, x < 0
1− e−λx = 1− e− x15 , x ≥ 0
• Cálculo da probabilidade:
P (X > 30) = 1− F (30) = 1− [1− e− 3015 ] = 1− [1− e−2]
1− 1 + e−2 = e−2 ≈ 0, 1353
12
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma chamada chega
dentro de um intervalo de 10 minutos?
P (X < 10) = F (10) = 1− e− 1015 = 1− e−0,6667
≈ 1− 0, 5134 = 0, 4266
(c) Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chega dentro
de 5 e 10 minutos após a abertura do sistema?
P (5 < X < 10) = F (10)− F (5) = [1− e− 1015 ]− [1− e− 515 ]
[1− e−0,6667]− [1− e−0,3333] ≈ [1− 0, 5134]− [1− 0, 7165]
1− 0, 5134− 1 + 0, 7165 = 0, 7165− 0, 5134 = 0, 2031
12. O tempo entre a chegada de táxis em um cruzamento movimentado é
exponencialmente distribuída com uma média de 10 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que você esperar mais de uma hora por
um táxi?
X ∼ Exp(λ), com E(X) = 10 minutos.
• Cálculo de λ:
E(X) = 1
λ
→ 1
λ
= 10
λ = 110 → λ = 0, 1
• Definição da função de distribuição acumulada:
F (x) =
{
0, x < 0
1− e−λx = 1− e− x10 , x ≥ 0
• Cálculo da probabilidade:
P (X > 60) = 1− F (60) = 1− [1− e− 6010 ] = 1− [1− e−6]
1− 1 + e−6 = e−6 ≈ 0, 0025
(b) Suponha que você já estava esperando por uma hora por um táxi.
Qual é a probabilidade de que um chega dentro dos próximos 10
minutos?
P (X < 60 + 10|X > 60) = P (X < 10) = F (10)
1− [1− e− 1010 ] = 1− e−1
≈ 1− 0, 3679 = 0, 6321
13
(c) Determine x tal que a probabilidade de que você esperar mais de
x minutos é 0, 10.
P (X > x) = 0, 1→ 1− F (x) = 0, 1
→ 1− [1− e− x10 ] = 0, 1→ 1− 1 + e− x10 ] = 0, 1
→ e− x10 = 0, 1→ − x10 = ln 0, 1
→ − x10 = −2, 3026→ x = −2, 3026 ∗ (−10)
→ x = 23, 0258
7 Distribuição da média amostral
13. Dada uma população cuja distribuição de probabilidade é discreta e
dada por:
p(x) =

1
3 , x = 2, 4, 6
0, caso contrário
Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho
54, selecionada aleatoriamente, produzir uma média amostral supe-
rior a 4, 1 e inferior a 4, 4. Assuma que os valores de média sejam
arredondados para o décimo mais próximo.
• Assume-se que a média amostral X ∼ N(µ, σn);
• Calcula-se a média e o desvio-padrão populacional;
µ =
n∑
i=1
xi ∗ p(xi)
= x1 ∗ p(x1) + x2 ∗ p(x2) + x3 ∗ p(x3)
= 2 ∗ 13 + 4 ∗
1
3 + 6 ∗
1
3 =
2
3 +
4
3 +
6
3
= 123 = 4
14
σ2 =
n∑
i=1
(xi − µ)2 ∗ p(xi)
= (x1 − µ)2 ∗ p(x1) + (x2 − µ)2 ∗ p(x2) + (x3 − µ)2 ∗ p(x3)
= (2− 4)2 ∗ 13 + (4− 4)
2 ∗ 13 + (6− 4)
2 ∗ 13
= (−2)2 ∗ 13 + (0)
2 ∗ 13 + (2)
2 ∗ 13
= 4 ∗ 13 + 0 ∗
1
3 + 4 ∗
1
3
= 43 + 0 +
4
3
= 83 = 2, 6667
σ =
√
σ2 =
√
8
3 ≈
√
2, 6667 ≈ 1, 633
• Calcula-se a média e o desvio-padrão da média amostral:
– µX = µ = 4;
– σX =
σ√
n
=
√
8
3√
54
≈0, 2222
• Calcula-se a probabilidade resultante:
P (4, 1 < X < 4, 4) = P (4, 1− 40, 2222 < Z <
4, 4− 4
0, 2222 )
= P ( 0, 10, 2222 < Z <
0, 4
0, 2222)
= P (0, 45 < Z < 1, 8002)
= Φ(1, 8002)− Φ(0, 45)
≈ Φ(1, 80)− Φ(0, 45)
= 0, 9641− 0, 6736 = 0, 2905
8 Intervalo de Confiança
14. Muitos pacientes cardíacos usam marcapasso implantado para con-
trolar seu batimento cardíaco. Assumindo que um módulo conector
plástico montado na parte superior do marcapasso possua valor de es-
pessura descrita por uma distribuição normal com desvio padrão de
0, 0015 polegadas:
15
(a) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a média da espes-
sura de todos os módulos de conexão feita por uma determinada
empresa de fabricação. Uma amostra aleatória de 75 módulos
tem uma espessura média de 0, 310 polegadas.
• Nível de confiança: 95%
– 1− α = 0, 95;
– α = 0, 05;
– 1− α2 = 1−
0, 05
2 = 1− 0, 025 = 0, 975
• σ = 0, 0015: Valores críticos = (−z1−α2 , z1−α2 )
– z1−α2 = z0,975 = 1, 96
– (−z1−α2 , z1−α2 ) = (−1, 96; 1, 96);
• Intervalo de confiança:
[
x− z1−α2
(
σ√
n
)
;x+ z1−α2
(
σ√
n
)]
;
[
x− z1−α2
(
σ√
n
)
;x+ z1−α2
(
σ√
n
)]
[
0, 310− 1, 96
(0, 015√
75
)
; 0, 310 + 1, 96
(0, 015√
75
)]
[0, 310− 1, 96 ∗ 0, 0017; 0, 310 + 1, 96 ∗ 0, 0017]
[0, 310− 0, 0033; 0, 310 + 0, 0033]
[0, 3066; 0, 3133]
(b) Quão grande deve ser a amostra se quisermos ter 98% de cer-
teza de que a nossa média amostral estará a 0, 0005 polegadas da
média verdadeira?
n = z21−α2
(
σ
e
)2
= 1, 962
( 0, 015
0, 0005
)2
= 3, 8416 (30)2 = 3, 8416 ∗ 900
= 3.457, 44 ≈ 3.458
15. Uma amostra aleatória de 10 barras energéticas de chocolate de uma
determinada marca tem, em média, 230 calorias por barra, com um
desvio padrão de 15 calorias. Construa um intervalo de confiança
de 99% para o verdadeiro teor calórico médio de este tipo de barra
de energia. Assume-se que a distribuição do conteúdo de calorias é
aproximadamente normal.
• Nível de confiança: 99%
– 1− α = 0, 99;
16
– α = 0, 01;
– 1− α2 = 1−
0, 01
2 = 1− 0, 005 = 0, 995
• s = 15: Valores críticos = (−tα
2 ,n−1, tα2 ,n−1)
– n− 1 = 10− 1 = 9;
– tα
2 ,n−1 = t0,005,9 = 3, 25
– (−tα
2 ,n−1, tα2 ,n−1) = (−3, 25; 3, 25);
• Intervalo de confiança:
[
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
σ√
n
)]
;
[
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
σ√
n
)]
[
230− 3, 25
( 15√
10
)
; 230 + 3, 25
( 15√
10
)]
[230− 3, 25 ∗ 4, 7434; 0, 310 + 3, 25 ∗ 4, 7434]
[230− 15, 4160; 230 + 15, 4160]
[214, 5839; 245, 4160]
16. O gerente financeiro de uma grande rede de lojas de departamentos
selecionou uma amostra de 200 de seus clientes com cartão de crédito
e descobriu que 136 pagaram juros no ano anterior devido saldo não
pago.
(a) Calcule o Intervalo de Confiança de 90% para a proporção real dos
clientes com cartão de crédito que pagaram juros no ano anterior;
• Nível de confiança: 90%
– 1− α = 0, 9;
– α = 0, 1;
– 1− α2 = 1−
0, 1
2 = 1− 0, 05 = 0, 95
• Proporção amostral: pˆ = 136200 = 0, 68;
• Valores críticos = (−z1−α2 , z1−α2 )
– z1−α2 = z0,95 = 1, 645
– (−z1−α2 , z1−α2 ) = (−1, 645; 1, 645)
17
• Intervalo de confiança:
pˆ− z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ− z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n
;
pˆ− z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n

0, 68− 1, 645
√
0, 68(1− 0, 68)
200 ; 0, 68− 1, 645
√
0, 68(1− 0, 68)
200

[
0, 68− 1, 645
√
0, 68 ∗ 0, 32
200 ; 0, 68− 1, 645
√
0, 68 ∗ 0, 32
200
]
[
0, 68− 1, 645√0, 0011; 0, 68− 1, 645√0, 0011]
[0, 68− 1, 645 ∗ 0, 0332; 0, 68− 1, 645 ∗ 0, 0332]
[0, 68− 1, 645 ∗ 0, 0332; 0, 68− 1, 645 ∗ 0, 0332]
[0, 68− 0, 0546; 0, 68 + 0, 0546]
[0, 6254; 0, 7346]
(b) Se a amplitude desejada do intervalo for 0, 05, que tamanho da
amostra é necessário para garantir isto (Observação: O tamanho
da amostra é o dobro da margem de erro).
• Definição da margem de erro e:
2e = 0, 05→ e = 0, 052 → e = 0, 025
• Definição do tamanho da amostra:
n = z21−α2 ∗
pˆ(1− pˆ)
e2
= 1, 6452 ∗ 0, 68(1− 0, 68)0, 0252
= 2, 7060 ∗ 0, 68 ∗ 0, 320, 000625 = 2, 7060 ∗
0, 2176
0, 000625
= 2, 7060 ∗ 348, 16 = 942, 121 ≈ 943
9 Teste de hipóteses
17. De acordo com um estudo da dieta, a ingestão elevada de sódio pode
estar relacionada a úlceras, câncer de estômago, dores de cabeça e en-
xaqueca. A exigência humana de sal é de apenas 220 miligramas por
dia, que é superada na maioria das porções individuais de cereais ma-
tinais. Para um determinado cereal matinal, sabe-se historicamente
18
que o desvio-padrão do teor de sódio é de 24, 5 miligramas. Se uma
amostra aleatória de 20 porções similares de um certo cereal tem um
teor médio de sódio de 244 miligramas, isso sugere, com nível de sig-
nificância de 0, 05, que o teor médio de sódio para uma única porção
desse cereal é superior a 220 miligramas? Assuma a distribuição dos
teores de sódio como sendo normal.
• Abordagem por valor crítico, com α = 0, 05;
• Definição das hipóteses:
– H0 : µ = 220;
– H1 : µ > 220;
• O teste é unicaudal superior;
• σ = 1, 25: teste Z (população dita normalmente distribuída);
• Valor crítico: z1−α = z1−0,05 = z0,995 ≈ 2, 57;
• Região de rejeição: [2, 57;∞)
• Estatística de teste é:
z0 =
x− µ
σ√
n
= 244− 22024, 5√
20
≈ 245, 4784 ≈ 4, 3808
• Visto que a estatística de teste caiu na região de rejeição do teste
(z0 = 4, 3808 > 2, 57), é possível rejeitar a hipótese nula, con-
cluindo que existe evidência suficiente para afirmar que o teor
médio de sódio para uma única porção desse cereal é superior a
220 miligramas.
18. Uma amostra de 50 lentes utilizadas em óculos produz uma amostra
média da espessura de 3, 05 mm e um desvio padrão da amostra de
0, 34 milímetros. A verdadeira espessura média desejada de tais lentes
é 3, 20 milímetros. Será que os dados sugerem fortemente que a verda-
deira espessura média dessas lentes é algo diferente do que é desejado?
Teste usando α = 0,05.
• Abordagem por valor crítico, com α = 0, 05;
• Definição das hipóteses:
– H0 : µ = 3, 20;
– H1 : µ 6= 3, 20;
• O teste é bicaudal;
• s = 0, 34: teste T (amostra suficientemente grande);
• Valores críticos: (−tα
2 ,n−1; tα2 ,n−1)
19
– n− 1 = 50− 1 = 49
– tα
2 ,n−1 = t 0,052 ,49 = t0,025,49 ≈ 2, 009;
• Região de rejeição: (−∞;−2, 009] ∪ [2, 009;∞)
• Estatística de teste é:
t0 =
x− µ
s√
n
= 3, 05− 3, 200, 34√
50
≈ −0, 150, 0481 ≈ −3, 1185
• Visto que a estatística de teste caiu na região de rejeição do teste
(t0 = −3, 1185 < −2, 009), é possível rejeitar a hipótese nula,
concluindo que existe evidência suficiente para afirmar que a ver-
dadeira espessura média dessas lentes é diferente de 3, 20 milíme-
tros.
19. Em 30 de dezembro de 2009, o New York Times relatou que, em uma
pesquisa com 948 adultos americanos que disseram acompanhar fu-
tebol americano da faculdade, 597 disseram que o atual formato do
campeonato deve ser substituído por um sistema semelhante ao utili-
zado no campeonato de basquete da faculdade. Será que isso fornece
evidência suficiente para concluir que a maioria de todos esses indiví-
duos são a favor a substituição do formato do campeonato de futebol
americano? Teste as hipóteses apropriadas utilizando o método do
p-valor com nível de significância de 0, 01.
• Abordagem por p-valor, com α = 0, 01;
• Definição das hipóteses:
– H0 : p = 0, 5;
– H1 : p > 0, 5;
• O teste é unicaudal superior;
• Para aplicar o teste Z, np ≥ 5 e n(1− p) ≥ 5:
– np = 948 ∗ 0, 5 = 474 ≥ 5;
– n(1− p) = 948 ∗ (1− 0, 5) = 948 ∗ 0, 5 = 474 ≥ 5
• Proporção amostral: pˆ = 597948 ≈ 0, 6297
• Estatística de teste é:
z0 =
pˆ− p√
pˆ(1− pˆ)
n
= 0, 6297− 0, 5√
0, 5(1− 0, 5)
948
= 0, 1297√0, 5 ∗ 0, 5
948
≈ 0, 12970, 0162 ≈ 8, 0061
• P-valor: 1− Φ(z0) =1− Φ(8, 0061) = 1− Φ(8, 01) = 1− 1 = 0
20
• Visto que o p-valor é menor que o nível de significância (0 <
0, 01), é possível rejeitar a hipótese nula, concluindo que existe
evidência suficiente para afirmar que a maioria de todos esses
indivíduos são a favor a substituição do formato do campeonato
de futebol americano.
21