Sequencias numéricas e convergência de séries

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27/02/2016
1
Prof.: Adalberto Santos
 Definição: É uma listagem de números
escritos numa ordem definida.
= Primeiro termo
= Segundo termo
= n-ésimo termo
Trataremos de sequências infinitas 
 Notação:
...),...,,,,( 321 naaaa
Aula 01
   
 1* nnnn
aoua
na
a
a
2
1
   
 
,...)200,19,18,17,16,12,10,2()(.3
,...
4
3,
3
2,
2
1
1
.2
,...9,7,5,3,1.1
*










n
n
n
a
n
n
a
 Definição: Uma sequência tem limite e
escrevemos , se pudemos tornar os
valores de tão próximos de quanto
desejarmos desde que, façamos
suficientemente grande. Se este limite existir,
como número real, dizemos que a sequência
é convergente. Caso contrário, a sequência
será divergente.
L
  Lan
n


lim
na
L
n
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2
 Se , Converge
RLLan
n


,lim
 ,...
4
3,
3
2,
2
1
1 *






 nn
n
*3
)1.()1(
Nn
n
n n






 






 ,...
81
5
,
27
4
,
9
3
,
3
2
 Se , ou não existe, Diverge.


n
n
alim
  33 nn  *)ln( Nnn  ,...1,0,1,0,1,0
,...3,2,1,0
,...4ln,3ln,2ln,0
 Se uma sequência possui duas
subsequências convergindo para valores
diferentes, diremos que esta sequência é
divergente.
 Se uma sequência é convergente, então 
qualquer subsequência de converge para 
o mesmo valor. 
  Nnna
  Nnna
  Nnna
 Definição: Seja uma sequência, 
chamaremos de série numérica infinita ou 
simplesmente série, à expressão: 
 Exemplo: 
 
nn
a
 

 11
321 ...... n
n
nn aaaaaa
...
3
1
2
111
1
 n
Aula 02
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3
 Definição: Seja uma série. Chamaremos 
de sequência das somas parciais desta série à 
sequência onde,

1
na
  *nns






n
i
inn aaaas
aaas
aas
as
1
21
3213
212
11


 Determine a sequência das somas parciais de 
cada série abaixo:




1
1
)
1
ln(.2
)1.(
1
.1
n
n
nn



1 )1.(
1
nn
 







1 1
11
nn
1
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
3
1
2
1
2
1
1
2
1
1
21
3213
212
11





n
aaas
aaas
aas
as
nn 









1 1
ln
n
n    1lnln
1
 nn
)1ln(
4ln3ln3ln2ln2ln1ln
3ln2ln2ln1ln
2ln1ln
21
3213
212
11




naaas
aaas
aas
as
nn 

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 Definição: Sejam uma série e 
a sua sequência das somas parciais. 
 Se , então a série é 
convergente e, converge para a sua soma 
que é o número real .

1
na   *nnS


ssSn
n
;)(lim

1
na
s
 Verifique, usando a sequência das somas 
parciais, se as séries abaixo convergem: 




1
1
)
1
ln(.2
)1.(
1
.1
n
n
nn

1 )1.(
1
.1
nn
1
1
121


n
aaas nn 
1
1
1
1limlim 







 n
s
n
n
n
)1ln(21  naaas nn 
  

)1ln(limlim ns
n
n
n

1
)
1
ln(.2
n
n
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Teorema 1: Se uma série é convergente, 
então . 
Demonstração:
Subtraindo os limites: 

1
na
0lim 

n
n
a
SsaaasLogo n
n
nn  

 11211 lim, 
SsaaaasTomemos n
n
nnn 

 lim, 121 
  0lim 1  

SSss nn
n
    0lim1 

 n
n
nnn aassComo
Teorema 2: Seja a série . Se , 
então a série é divergente.
Exemplos:
0lim 

n
n
a
1
na

1
na




1
2
2
1
45
.2
)1.(
1
.1
n
n
nn
Uma série do tipo
é chamada de série geométrica, pois obedecem 
as leis da progressão geométrica.
Exemplos:
   reacomarararara nn 0,. 121 


1
1
3
2
.1
n
n
 ...001,001,01,0..111,0.2
 

1
1
1
3.3
2
n
n








1
1 3
2
3
1
n
 ...
100
1
100
1
10
1
1
1 10
1
.
10
1
 n
3
2
;
3
1
 ra
10
1
;
10
1
 ra
Teorema: Uma série geométrica
é dita convergente e tem soma se .
Caso contrário, se a série diverge.
  reacomra n 0,. 1
1rr
a
s


1
1r
Demonstração...
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6
Demonstração...
1r 
1) 
i) r = 1→
e a série diverge.
1r
 ...
1
aaaa
 naSn


n
n
slim
ii) r = -1 →
A seqüência das somas parciais nesse caso fica
a, 0, a, 0, a, 0,..... e a série diverge pois o limite de
sn não existe.
...)1( 1
1
  aaaaa n
2) Consideremos as seqüências das somas 
parciais :
1r
)(...
)(...
132
132
IIarararararrS
IararararaS
nn
n
n
n




n
nn ararSSIII  )()(
r
ara
SLogo
n
n



1
,
 
 






divergerse
convergerse
r
a
1;
1,
1 



 r
ara
S
n
n
n
n 1
limlim
Exemplos:


1
1
3
2
.1
n
n
 

1
1
1
3.3
2
n
n








1
1 3
2
3
1
n
3
2
;
3
1
 ra
Como a série converge, e aplicando
Teremos:
,1r
r
a
s


1
1
3
2
1
3
1


s
)(22.2
1
1 divergern  
 Definição: Uma p – série, também chamada 
de série hiper-harmônica é toda série da 
forma 
0,
1
1
 pcom
n p



nn
n
n
1.3
1.2
1.1
1
1
2
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7
Seja uma p – série.
 se a p- série converge.
 se a p- série diverge. 
0,1
1
 pn p
1p
10  p



nn
n
n
1.3
1.2
1.1
1
1
2
 Os termos desta série decrescem tendendo 
para zero. Inicialmente parece que esta soma 
tende para um número finito, mas está 
impressão é falsa. 
 Pelo critério, se a p- série diverge.

4
1
3
1
2
11
1
1

n
10  p
 A convergência ou divergência de uma série 
não é afetada pela retirada ou acréscimo de 
um número finito de termos.
 Se duas séries convergem para os 
números s e r, respectivamente, então a série
converge para s+r.

11
nn bea
  
1
nn ba
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8
 Seja a série que converge para um nº s e 
considere o nº real k. Então a série 
converge para .
 Se a série é convergente e a série 
é divergente, então a série é 
divergente.
 Se é divergente e é 
divergente.

1
na
 
1
. nak
ks

1
na

1
nb
  
1
nn ba

1
na  nkaentãok ,0
 Se são ambas divergentes nada se 
pode afirmar sobre a convergência ou 
divergência da série . Esta pode 
convergir ou divergir.
 Exemplo: são ambas divergentes 
mas converge para zero.

11
nn bea
  
1
nn ba

11
22 nn e
  
1
)2(2 nn