curso de vibrações - modulo XII

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Vibrações Mecânicas
Universidade Federal de São João Del Rei
Departamento de engenharia mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. : Fabiano Bianchini Batista
Aula : Vibrações em sistemas com 
2 GDL 
1. Introdução
Até o momento foi introduzido o modelo mais simples no estudo de
sistemas vibratórios: sistemas discretos com 1 grau de liberdade. A
principal vantagem desta abordagem inicial é que ela permite
entender muitos conceitos básicos de vibrações mecânicas e os seus
significados físicos.significados físicos.
Entretanto, uma grande parte dos sistemas reais não podem ser
modelados de forma satisfatória assumindo-se apenas um modelo
com 1GDL. Ao contrário, estas estruturas são sistemas elásticos
contínuos que possuem um número infinito de graus de liberdade cuja
análise exige uma aproximação onde se considera um número finito
de graus de liberdade cuidadosamente escolhidos de forma a
descrever de forma satisfatória, de acordo com a precisão requerida, o
comportamento da estrutura em análise.
Descrição do movimento
Escolha adequada das coordenadas 
Definição do número de graus de liberdade
Definição de um modelo
Definição do número de graus de liberdade
Assim, os sistemas que requerem duas coordenadas independentes
para descrever completamente o seu movimento são denominados
sistemas com dois graus de liberdade, os que requerem três são
denominados sistemas com três graus de liberdade, e assim por
diante.
Número de GDL número de massas x número de tipos 
de movimentos possíveis de cada massa=
Exemplo: considere o sistema motor-bomba mostrado na figura.
Admitindo-se a vibração no plano vertical, este sistema pode ser
idealizado como sendo uma barra rígida de massa m e momento de
inércia de massa J0 apoiada sobre duas molas de rigidez k1 e k2.
O deslocamento do sistema em qualquer instante pode ser
representado pela coordenada linear x(t), indicando translação do
centro de gravidade CG, e uma coordenada θ(t), indicando rotação da
massa em torno do seu centro de gravidade. Como x(t) e θ(t) são
coordenadas independentes, este sistema é um sistema com 2 GDL.
Exemplo: agora, considere o sistema mostrado na figura abaixo que
ilustra a embalagem de um instrumento de massa m. Admitindo-se a
vibração restrita no plano xy, o sistema pode ser idealizado como
sendo uma massa concentrada apoiada por molas nas direções x e y.
Assim, o movimento se dá nas direções independentes x e y e,
portanto, o sistema também é um sistema com 2GDL
Material 
isolante
Exemplo: para o pêndulo simples, percebe-se que a massa só pode se
mover no plano xy. Assim, se a barra que segura a esfera for flexível,
os movimentos serão: duas translações (em x e y) e uma rotação (em
θ). Logo, o sistema teria 3 GDL. Se L for uma constante (barra
rígida), o sistema pode ser reduzido a apenas 1GDL.
Restrição: x2 + y2 = L2→ caracteriza umaRestrição: x2 + y2 = L2→ caracteriza uma
dependência entre as coordenadas x e y.
Número de coordenadas dependentes (Ncd): 2
Número de restrições (Nr): 1
NGL= Ncd - Nr = 2 – 1= 1
Portanto, somente θ é a coordenada
independente. Sistema com 1GDL.
Conceitos importantes no estudo de sistemas com 2GDL:
1. Frequências naturais;
2. Modos de vibração;
3. Acoplamento de coordenadas (estático e dinâmico);
4. Sistemas semi-definidos.
Exemplo de aplicação de sistemas com 2GDL:
1. Absorvedor de vibrações.
2. Equação de movimento (translação)
Dado o sistema:
para x2 > x1 e pode-se obter os seguintes DCL:2 1x x>� �
Equação de movimento na direção x1(t)
Segunda Lei de Newton:
Rearranjando os termos, obtém-se:
Equação de movimento na direção x2(t)
Segunda Lei de Newton:
Rearranjando os termos, obtém-se:
Assim, as equações de movimento para os corpos 1 e 2 são:
E, na forma de equação diferencial matricial, tem-se:
Vetor de 
aceleração
Vetor de 
velocidade
Vetor de 
deslocamento
Vetor de 
força
Matriz de 
massa [M]
Matriz de 
amortecimento [C]
Matriz de 
rigidez [K]
de forma compacta:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }M x C x K x F+ + =�� �
1. Vibração livre de sistemas conservativos: [C] = 0 e {F} = {0};
2. Vibração livre de sistemas não-conservativos: {F} = {0};
3. Vibração forçada de sistemas conservativos: [C] = 0;
4. Vibração forçada de sistemas não-conservativos.
Casos particulares para a análise de sistemas com 2GDL:
2. Solução da equação de movimento
Vibração livre de sistemas conservativos: [C] = 0 e {F} = {0}
Para este caso, a equação de movimento se reduz a:Para este caso, a equação de movimento se reduz a:
Solução proposta : x1(t) = X1cos(ωt + φ)
x2(t) = X2cos(ωt + φ)
Derivando e substituindo na equação de movimento, obtém-se:
[(-m1ω2 + k1 + k2)X1 – k2X2]cos(ωt + φ)= 01 1 2 1 2 2
[– k2X1 + (-m2ω2 + k2 + k3)X2]cos(ωt + φ)= 0
É importante observar que esta solução impõe que todo o sistema
vibre harmonicamente na mesma frequência. Experimentalmente,
isto é o que se observa quando o sistema oscila em uma de suas
frequências naturais.
Como cos(ωt + φ) não pode ser nulo em todo instante de tempo t, as
quantidades entre colchetes devem, portanto, ser nulas:
2 0- Xm k k kω + + −    
(-m1ω2 + k1 + k2)X1 – k2X2 = 0
– k2X1 + (-m2ω2 + k2 + k3)X2 = 0
2
11 1 2 2
2
22 2 2 3
0-
0-
Xm k k k
Xk m k k
ω
ω
 + + −    
=     
− + +    
Como as amplitudes não podem ser nulas, então, para que essa última
equação seja satisfeita, é necessário que o determinante da matriz seja
nulo:
2
1 1 2 2
2
2 2 2 3
-det 0
-
m k k k
k m k k
ω
ω
 + + −
= 
− + + 
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m m m
ω ω
 + + ++
− + + = 
 
Expandindo o determinante, obtém-se:
Equação da Frequência ou 
equação característica:
A solução fornece os valores das frequências
naturais (ou os valores característicos):naturais (ou os valores característicos):
A equação da frequência tem grau 2n, onde n é o número de GDL
do sistema
Como pode ser visto, a equação anterior tem 4 raízes, sendo que
duas delas são negativas e duas positivas. As negativas não têm
significado físico pois não existem frequências naturais negativas.
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m mm
ω ω
 + + ++
− + + = 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 2 2 3 1 1 2 2 2 3 12 2
1 2
1 2 1 2
1 1
,
2 2
k k m k k m k k m k k m
m m mm
ω ω
   + + + + + +
= −   
   
∓
( )( )
1 2 1 2
1/ 22
1 2 2 3 2
1 2
2 2
4
mm mm
k k k k k
m m
   
 + + − 
−  
  
onde ω1 e ω2 são as frequências naturais do sistema.
Resta determinar os valores de X1 e X2. Estes valores dependem
das frequências naturais ω1 e ω2. Assim, tem-se que:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1 2
2 2
2 1 2
,
,
X X
X X
ω
ω
→
→
Assim, define-se modos normais de vibração (ou vetores modais do
2
11 1 2 2
2
22 2 2 3
0-
0-
Xm k k k
Xk m k k
ω
ω
 + + −    
=     
− + +    
Assim, define-se modos normais de vibração (ou vetores modais do
sistema) correspondentes a ω1 e ω2, respectivamente, como sendo:
( ) ( )
( )
1
1 1 1
1
2 12
X X
X
XX
    
= =   
   
���
( ) ( )
( )
2
2 1 1
2
2 22
X X
X
XX
    
= =   
   
���
Vetor modal (modo normal) 
associado à primeira 
frequência natural
Vetor modal (modo normal) 
associado à segunda 
frequência natural
Por ser a equação de movimento do sistema uma equação
homogênea, somente as razões X2/X1 ou X1/X2 podem ser encontradas
para cada frequência, ω1 e ω2 :
Definindo-se razão (ou fração) modal como sendo:
2
1
X
u
X
= ou 1
2
X
u
X=(mais comum)
1X 2
(-m1ω2 + k1 + k2)X1 – k2X2 = 0
– k2X1 + (-m2ω2 + k2 + k3)X2 = 0
A partir das equações de 
movimento dadas por:
Pode-se obter:
2
2 1 2 1
1 2
X k k m
u
X k
ω+ −
= =(-m1ω2 + k1 + k2)X1 – k2X2 = 0
– k2X1 + (-m2ω2 + k2 + k3)X2 = 0 2 2 2
1 2 3 2
X k
u
X k k m ω
= =
+ −
2
2 1 2 1 2
2
1 2 2 3 2
X k k m k
u
X k k k m
ω
ω
+ −
= = =
+ −
Assim, para ω1 e ω2 obtém-se:Assim, para ω1 e ω2 obtém-se:
( )
( )
1 2
2 1 2 1 1 2
1 21
2 2 3 2 11
X k k m k
u
k k k mX
ω
ω
+ −
= = =
+ −
( )
( )
2 2
2 1 2 1 2 2
2 22
2 2 3 2 21
X k k m k
u
k k k mX
ω
ω
+ −
= = =
+ −
Razão modal para 
a primeira 
frequência natural 
Razão modal para 
a segunda 
frequência natural 
E os modos normais de vibração (vetores modais do sistema)
correspondentes a ω12 e ω22 podem também ser expressos,
respectivamente, como:
( ) ( )1 1X X      ��� ( ) ( )
2 2X X      ���( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
1 1
2 1 1
X X
X
X u X
      
= = =   
      
X
��� ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 1 1
2 2
2 2 1
X X
X
X u X
      
= = =   
      
X
���
( ) ( )1 1
1 2,X X amplitudes das massas 1 e 2, respectivamente, no 1° modo.
( ) ( )2 2
1 2,X X amplitudes das massas 1 e 2, respectivamente, no 2° modo.
Finalmente, a solução do sistema para a vibração livre poder
ser expresso como:
( ) ( ) ( )
(1) (1)
1 (1) 1 1
1 1(1) (1)
2 1 1
( )
cos( )( )
x t X
x t t t
x t u X
ω φ   = = = +   
   
x
� Resposta 
temporal no 
1° modo
são determinadas pelas condições iniciais(1) (2)1 1 1 2, , , X X φ φ
( ) ( ) ( )
(2) (2)
2 (2) 1 1
2 2(2) (2)
2 2 1
( )
cos( )( )
x t X
x t t t
x t u X
ω φ   = = = +   
   
x
� Resposta 
temporal no 
2° modo
Para condições iniciais arbitrárias, os dois modos naturais serão
excitados. O movimento resultante, dado pela solução geral das EDOL’s
do modelo matemático, pode ser obtido sobrepondo os dois modos
normais:
(1) (1)
(1) 1 1
1 1(1) (1)
( )( ) cos( )( )
x t X
t t
x t u X
ω φ   = = +   
   
xNo 10 modo: 1 1(1) (1)
2 1 1
( ) cos( )( )t tx t u X ω φ= = +      
x
(2) (2)
(2) 1 1
2 2(2) (2)
2 2 1
( )( ) cos( )( )
x t X
t t
x t u X
ω φ   = = +   
   
x
No 1 modo:
No 20 modo:
(1) (2) (1) (2)
1 1 1 1 1 1 1 2 2
(1) (2) (1) (2)
2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
x t x t x t X t X t
x t x t x t u X t u X t
ω φ ω φ
ω φ ω φ
= + = + + +
= + = + + +
Supondo as condições iniciais 
arbitrárias, ou seja, dadas pelos 
valores não nulos: 
1 1
2 2
(0), (0)
(0), (0)
x x
x x
�
�
(1) (2)(0) cos cosx X Xφ φ= +
Ao substituir na equação anterior, encontra-se:
(1) (2)
1 1 1 2, , e X X φ φ
(1) (2)
1 1 1 1 2
(1) (2)
1 1 1 1 2 1 2
(1) (2)
2 1 1 1 2 1 2
(1) (2)
2 1 1 1 1 2 2 1 2
(0) cos cos
(0) sen sen
(0) cos cos
(0) sen sen
x X X
x X X
x u X u X
x u X u X
φ φ
ω φ ω φ
φ φ
ω φ ω φ
= +
= − −
= +
= − −
�
�
De onde calcula-se os termos:
As equações anteriores podem ser vistas como um sistema de quatro
equações algébricas cujas quatro incógnitas são:
(1) (2) (1) (2)
1 1 1 2 1 1 1 2sen , sen , cos e cosX X X Xφ φ φ φ
E a solução fornece:
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1
2 1
0 0
cos
u x x
X
u u
φ  −=  
− 
( ) ( ) ( )2 1 1 2
1 2
2 1
0 0
cos
u x x
X
u u
φ  − −=  
− 
( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 1
1 2 1
0 0
sen
u x x
X
u u
φ
ω
 
− − 
=  
−  
� � ( ) ( ) ( )
( )
2 1 1 2
1 2
2 2 1
0 0
sen
u x x
X
u u
φ
ω
 
− 
=  
−  
� �
da qual obtém-se:
( ) ( )( ) ( )( )2 21 1 11 1 1 1 1cos senX X Xφ φ= +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22 2 1 21
1 2 1 2 2
0 01 0 0
u x x
X u x x
u u ω
 − +  = − + 
−
� �
( ) ( ) ( )1 2 1 2 22 1 1u u ω −
( ) ( )( ) ( )( )2 22 2 21 1 2 1 2cos senX X Xφ φ= +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22 1 1 22
1 1 1 2 2
2 1 2
0 01 0 0
u x x
X u x x
u u ω
 −  = − + + 
−
� �
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2 1 21 11 1
1 1
1 2 1 21 1
0 0sen
tg tg
0 0cos
u x xX
u x xX
φφ
ωφ
− −
− +
= =
 − 
� �
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1 21 11 2
2 2
2 1 1 21 2
0 0sen
tg tg
0 0cos
u x xX
u x xX
φφ
ωφ
− −
−
= =
 − + 
� �
( ) ( )2 1 1 21 2 0 0cos u x xX ωφ  − + 
(1) (2) (1) (2)
1 1 1 1 1 1 1 2 2
(1) (2) (1) (2)
2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
x t x t x t X t X t
x t x t x t u X t u X t
ω φ ω φ
ω φ ω φ
= + = + + +
= + = + + +
Finalmente, para obtermos a resposta livre completa, basta
substituir os parâmetros acima na resposta temporal mostrada
anteriormente:
Se as condições iniciais forem estabelecidas adequadamente, então
apenas um dos dois modos naturais pode ocorrer. Pode-se fazer o
sistema vibrar no seu i-ésimo modo natural (aqui i = 1, 2) quando se
utiliza as condições iniciais específicas:
( )
1 1
1
( ) ( )
2 1 2
2
(0) alguma constante
(0) 0
(0)
(0) 0
i
i i
i
x X
x
x u X X
x
= =
=
= =
=
�
�
Exemplo 1:
Dado:
m1 = m2 = m
k = k = k = kk1 = k2 = k3 = k
n = 1
Pede-se:
Encontrar as frequências naturais e os
modos naturais de vibração.
Conforme foi deduzido, para o sistema tem-se:
4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m mm
ω ω
 + + ++
− + + = 
 
4 2
2 0
k k k k kk kk kk
m m m
ω ω
+ + + + 
− + + = 
 
2
4 2
2
4 3 0k k
m m
ω ω− + =
2 2
2
2
4 4 34
2
k k k
m m m
ω
 ± − − 
 
=
2
4 2
2
k k
m mω
±
= 1 2
3
 e 
k k
m m
ω ω= =
Logo, para a razão modal é dada por:
2
2 1 2 1 2
2
1 2 2 3 2
X k k m k
u
X k k k m
ω
ω
+ −
= = =
+ −
(2)
2
2 (2)
1
3
1
kk k mX mu
X k
+ −
= = = −
(1)
2
1 (1)
1
1
kk k mX mu
X k
+ −
= = =
tem-se que:
2
2 1 2 1 2
2
1 2 2 3 2
X k k m k
u
X k k k m
ω
ω
+ −
= = =
+ −
A solução geral do sistema pode ser expresso como:
( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 23cos cosk kx t X t X t
m m
φ φ   = + + +      
   
( ) ( ) ( )1 22 1 1 1 23cos cosk kx t X t X t
m m
φ φ   = + − +      
   
No primeiro modo, as amplitudes das duas massas
permanecem as mesmas. Isto implica que o comprimento da
mola do meio permanece constante. Assim, os movimentos das
massas estão em fase.
( ) ( )1 1
1 2X X=
No segundo modo, os deslocamentos das duas massas têm a
mesma magnitude com sinais opostos. Isto implica que os
movimentos das massas estão fora de fase por 180°. Neste caso
o ponto médio da mola do meio permanece estacionário para
todo o tempo t. Pontos como este são denominados nós.
( ) ( )2 2
1 2X X− =
Exemplo 2:
Para o sistema acima, determine a resposta livre sabendo-se
que: k1=30N/m, k2=N/m, k3=0, m1=10kg, m2=1kg, c1=c2=c3=0,
e as condições iniciais: x1(0)=1, ẋ1(0)=x2(0)=ẋ2(0)=0.
Conforme já demonstrado:
2
11 1 2 2
2
22 2 2 3
0
0
Xm k k k
Xk m k k
ω
ω
 
− + + −    
=    
− − + +    
2
1 010 35 5 Xω   − + −  
=    2
2 05 5 Xω
=    
− − +    
Igualando o determinante da matriz a zero, obtém-se a equação
da frequência:
4 210 85 150 0ω ω− + =
De onde encontra-se:
2
1 2,5ω =
2
2 6ω =1 1,5811ω = 2 2,4495ω =
Substituindo na equaçãode movimento encontra-se :
( ) ( )1 1
2 12X X=
( ) ( )2 2
2 15X X= −
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 1 11
1
1
2
X
X X
    
= = =   X
���
Logo:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 21
1
1X
X X
    
= = =   
−
X
���
( ) 11
2
2
X X
X
= = =   
   
X ( ) 12
2
5
X X
X
= = =   
−   
X
E a resposta livre é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 2cos 1,5811 cos 2,4495x t X t X tφ φ= + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 1 1 1 22 cos 1,5811 5 cos 2,4495x t X t X tφ φ= + − +
(1) (2)
1 1 1 2, , e X X φ φPelas condições iniciais calcula-se os termos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 20 1 cos cosx X Xφ φ= = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 1 1 1 20 0 2 cos 5 cosx X Xφ φ= = −
( ) ( ) 5 ( ) ( ) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 20 0 1,5811 sen 2,4495 senx X Xφ φ= = − −�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 1 1 1 20 0 3,1622 sen 12,2475 senx X Xφ φ= = − +�
( ) ( )11 1 5cos 7X φ = ( ) ( )21 2 2cos 7X φ =
( ) ( )11 1sen 0X φ = ( ) ( )21 2sen 0X φ =
( ) ( )11 1 5cos 7X φ =
( ) ( )2 2cos 7X φ =
( ) ( )11 1sen 0X φ =
( ) ( )21 2sen 0X φ = 1
0φ = 2 0φ =
( )1
1
5
7X =
( )2
1
2
7X =
( ) ( )1 2 2cos 7X φ =
E as respostas à vibração livre das massas m1 e m2 são:
( ) ( ) ( )1 5 2cos 1,5811 cos 2,44957 7x t t t= +
( ) ( ) ( )2 10 10cos 1,5811 cos 2,44957 7x t t t= −
Exemplo 3 - Frequências naturais e modos de vibração de um 
automóvel
Dados:
Massa = m = 1000 kg
Raio de giração = r = 0,9 m
Rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m
2
0J m r=
Rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m
Dist. eixo dianteiro ao CG = l1 = 1,0 m
Dist. eixo traseiro ao CG = l2 = 1,5 m
Determinar:
(a) Frequências naturais
(b) Modos de vibração e localização dos nós
Solução
Vamos adotar as coordenadas 
generalizadas 
x(t) = desloc. vertical do CG
θ(t) = rotação em torno do CG
1 2 1 1 2 2
2 2
0 1 1 2 2 1 1 2 2
0 0
0 0
m k k k l k lx x
J k l k l k l k lθ θ
+ − +        
+ =        
− + +       
��
��
Equações de movimento
( ) ( )1 1 2 2mx k x l k x lθ θ= − − − +��
( ) ( )0 1 1 1 2 2 2J k x l l k x l lθ θ θ= − − +��1k 2k
( ) ( )cosx t X tω φ= + ( ) ( )cost tθ ω φ= Θ +
Solução harmônica
2
1 2 1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2 0 1 1 2 2
0
0
Xm k k k l k l
k l k l J k l k l
ω
ω
 − + + − +    
=     Θ− + − + +     
Substituindo na equação de movimento obtém-se:
1 1 2 2 0 1 1 2 2 0k l k l J k l k lω Θ− + − + +     
2
2
01000 40000 15000
015000 810 67500
Xω
ω
 
− +    
=     Θ
− +     
4 28,1 999 24750 0ω ω− + =
1
2
5,8593 /
9, 4341 /
rad s
rad s
ω
ω
=
=
(1)
(1)
(2)
(2)
2,6461 m/
0,3061 m/
X
rad
X
rad
= −
Θ
=
Θ
Pela figura, a distância de CG e o
nó é de -2,6461 para ω e 0,3061nó é de -2,6461 para ω1 e 0,3061
para ω2. As formas modais são
mostradas por linhas tracejadas.
3. Equação de movimento (rotação)
translação
Comparando os sistemas translacional e rotacional, podemos ver
que são semelhantes, logo pode-se aproveitar o modelo matemático
do sistema translacional já deduzido e fazer as já conhecidas
adaptações:
rotacão
( ) 0J k k kθ θ θ+ + − =��( ) 0m x k k x k x+ + − =�� 1 1 1 2 1 2 2( ) 0t t tJ k k kθ θ θ+ + − =��1 1 1 2 1 2 2( ) 0m x k k x k x+ + − =��
2 2 2 1 2 3 2( ) 0m x k x k k x− + + =�� 2 2 2 1 2 3 2( ) 0t t tJ k k kθ θ θ− + + =��
Matematicamente, os modelos são os mesmos, logo pode-se aplicar aos 
sistemas torcionais a mesma análise feita para os sistemas translacionais.
Exemplo 4 – translação e rotação
Deduzir as equações do movimento para o sistema carro-pêndulo 
considerando a hipótese de pequenas oscilações e utilizando: 1-
Dinâmica Newtoniana; 2 - Dinâmica Lagrangiana
1 Escolher as coordenadas generalizadas adequadas, a partir da posição de
equilíbrio estático, considerando uma posição instantânea para o sistema tal
que os deslocamentos, velocidades e acelerações sejam positivos. Desenhar o
diagrama de corpo livre para todas as massas:
Modelagem usando a dinâmica Newtoniana 
Aplicar a 2a Lei de Newton a cada massa ou corpo rígido do DCL, conforme o
movimento seja de translação ou de rotação, respectivamente:2
2
1 2 1 2 ( ) cos sen2 2x x
l lF ma k x k x c x c x F t Mx mx m mθ θ θ θ= ⇒ − − − − + = + + −∑ �� �� � �� ��
2
sen ( ) cos
2 2 2 2 12o o t
l l l l lM mg M t m mx mθ θ θ θ= Μ ⇒ − + = + +∑ ∑ �� ����
3 Reordenar as equações, chegando ao modelo matemático sob a forma de
um sistema de EDOL´s:
2
1 2 1 2( ) cos ( ) sen ( ) ( )2 2
l lM m x m c c x m k k x F tθ θ θθ+ + + + − + + =�� ��� �
Linearização para pequenos oscilações em θ : senθ ≅ θ, cosθ ≅ 1, e
2
cos sen ( )
2 3 2 t
l l l
m x m mg M tθ θ θ+ + =����
l θ+ + + + + + =���� �
2sen 0θθ ≈�
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )2
lM m x m c c x k k x F tθ+ + + + + + =���� �
2
( )
2 3 2 t
l l l
m x m mg M tθ θ+ + =����
1 2
1 2
2
0 ( )02
( )0 0 0
22 3
t
lM m m k k F tx c c x x
l M tmgl l
m m
θ θ θ
 
+ +   +          + + =                      
   
�� �
�� �
Acoplamento
inercial
Modelagem pela dinâmica Lagrangiana
( )
, 1, 2,...,nj
j j
d T L Q j n
dt q q
 ∂ ∂
− = =  ∂ ∂ �
 é a -ésima coordenada generalizadajq j
 é a -ésima velocidade generalizadajq j�
 é a energia cinética total do sistemaT
 é o Lagrangiano do sistema, onde 
 é a energia potencial total do sistema
L T V
V
= −
( )
 são as forças externas e/ou dissipativas correspondente 
à coordenada generalizada 
n
j
j
Q
q
Coordenadas generalizadas:
q1(t) = x(t)
q2(t) = θ(t)
 e x
d T L d T LQ Q
dt x x dt θθ θ
∂ ∂ ∂ ∂   
− = − =   ∂ ∂ ∂ ∂   ��dt x x dt θ θ∂ ∂ ∂ ∂   ��
Determinação da energia cinética do sistema, T:
( )2 2 2 21 1 12 2 2C C CT Mx m x y J θ= + + + �� � �
Energia cinética 
de translação da 
massa M
Energia 
cinética de 
translação da 
massa m
Energia cinética 
de rotação da 
massa m
Da geometria da figura:
sen
2
cos
2
C
C
l
x x
ly
θ
θ
= +
=
Derivando em relação ao tempo:
cos
2C
l
x x θ θ= + �� �
Derivando em relação ao tempo: 2
sen
2C
ly θ θ= − ��
Como: 21
12C
J ml= , substituindo na expressão de T, obtém-se:
( )
2
2 21 1 1 cos
2 2 3 2
mlT M m x ml xθ θ θ= + + +� �� �
Ou:
x
y
i
�
j�
l l   � � �
2
2 21 1 1
2 2 2C C
dT Mx m r J
dt
θ = + + 
 
���
��
sen cos
2 2
C
l l
r x i jθ θ   = + −   
   
� � �
cos sen
2 2
C
d l l
r x i j
dt
θ θ θ θ   = + +   
   
� � �
� ��
Ou: / /
2 2 2 2
2 2 2 2 2
 x x sen cos
2 2
sen cos cos sen
2 2 2 2
cos sen cos cos sen
2 2 4 4
C O C O O C O
C
C
l l
x
l l l l
x x
l l l l
v x x xl
θ θ θ
θθ θθ θθ θθ
θθ θθ θθ θθ θ
    
= + = + = + −    
    
   
= + + = + +   
   
   
= + + = + + +   
   
v v v v ω r i k i j
v i j i i j
��
� � � �� �
� � � �� � �
( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2cos cos sen cos
4 4C
l l
v x xl x xl
θ
θθ θ θ θ θθ θ= + + + = + +
�
� � � �� � � �( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
4 4
1 1 1
2 2 2
1 1 1
cos
2 2 4 2 12
1 1 1 1
cos
2 2 2 4 2 12
1 1
2 2
C
C GT Mx mv I
l mlT Mx m x xl
l mlT M m x mxl m
T M m x
θ
θθ θ θ
θθ θ θ
= + +
   
= + + + +   
   
 
= + + + +  
 
= + +
� � � �
��
� � �� � �
� � ���
� ( )
2
21cos
2 3
ml
ml xθ θ θ +  
 
� ��
Determinação da energia potencial do 
sistema V:
2 21 1 (1 cos )lV k x k x mg θ= + + −
( )n
j
j j
d T L Q
dt q q
 ∂ ∂
− =  ∂ ∂ �
Ok! ??
2 2
1 2
1 1 (1 cos )
2 2 2
lV k x k x mg θ= + + −
Energia 
potencial 
elástica da mola 
k1
Energia potencial 
gravitacional da massa m, 
com referência à posição mais 
baixa do ponto C
Energia 
potencial 
elástica da mola 
k2
Determinação do Lagrangiano do sistema: L = T - V:
( )
2
2 2 2
1 2
1 1 1 1
cos ( ) (1 cos )
2 2 3 2 2 2
ml lL M m x ml x k k x mgθ θ θ θ= + + + − + − −� �� �
Determinação das forças generalizadas não-conservativas: Qx e Qθ
1 2( )xQ F t c x c x= − −� �
( )tQ M tθ =
( )n
j
j j
d T L Q
dt q q
 ∂ ∂
− =  ∂ ∂ �
Logo: Ok!
Derivadas ??
Calculando as derivadas indicadas nas Equações de Lagrange chega-
se finalmente ao mesmo modelo matemático obtido pela dinâmica
newtoniana:
2
1 2 1 2( ) cos ( ) sen ( ) ( )2 2
l lM m x m c c x m k k x F tθθ θθ+ + + + − + + =�� ��� �
2
cos sen ( )
2 3 2 t
l l l
m x m mg M tθ θ θ+ + =����e cos sen ( )
2 3 2 t
m x m mg M tθ θ θ+ + =����
Linearização: senθ ≅ θ, cos θ ≅ 1 e 2 0θ ≅�
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )2
lM m x m c c x k k x F tθ+ + + + + + =���� �
2
( )
2 3 2 t
l l l
m x m mg M tθ θ+ + =����
e
( )
 1, 2,...,nj
j j j j
d T T D V Q j n
dt q q q q
 ∂ ∂ ∂ ∂
− + + = =  ∂ ∂ ∂ ∂ � �
 é a função dissipação de Rayleigh para todo o sistema D
AEquação de Lagrange também pode ser definida como:
( )
, neste caso, representa as forças externas correspondente
 à coordenada generalizada 
n
j
j
Q
q
2 2
1 2
1 1
2 2
D c x c x= +� �Para este exemplo tem-se:
( )xQ F t= ( )tQ M tθ =
A modelagem de cada sistema mecânico é especificada por um
sistema de coordenadas independentes. Qualquer conjunto de
coordenadas desse tipo é denominado coordenadas generalizadas.
Veja, por exemplo, o sistema mostrado anteriormente:
4. Acoplamento de coordenadas
Coordenadas independentes: x(t), indicando
translação do centro de gravidade CG, e
coordenada θ(t), indicando rotação da massa em
torno do seu centro de gravidade.
x(t) e θ(t): coordenadas generalizadas
Em vez de x(t) e θ(t) pode-se usar também x1(t) e
x2(t) como sendo as coordenadas independentes.
x1(t) e x2(t) : coordenadas generalizadas
Outro exemplo: Considere o torno mostrado na figura abaixo.
Modelo acurado: base do torno como sendo uma viga apoiada em
colunas elásticas curtas com massas concentradas acopladas à viga,
como mostra a figura abaixo.
Cabeçote móvelPonta fixa
Ponta 
giratória
Cabeçote 
fixo
base
Modelo simplificado: base do torno como um corpo rígido tendo
massa m e inércia J0 e apoiada sobre molas k1 e k2 nas
extremidades. Cada cabeçote como sendo massas concentradas.
Opções de coordenadas generalizadas (sistema 2GDL)
1. Deslocamentos verticais x1(t) e x2(t) das extremidades (pontos A e B)
2. Deslocamento vertical x(t) do CG e rotação θ(t) em torno do CG
3. Deslocamento vertical y(t) de um ponto P situado a uma distância e do CG e 
rotação θ(t) em torno do ponto P
Modelagem usando a opção x(t) e θθθθ(t)
Posição de 
equilíbrio 
estático
( ) ( )1 1 2 2mx k x l k x lθ θ= − − − +��
( ) ( )0 1 1 1 2 2 2J k x l l k x l lθ θ θ= − − +��
1 2 1 1 2 2
2 2
0 1 1 2 2 1 1 2 2
0 0
0 0
m k k k l k lx x
J k l k l k l k lθ θ
+ − +        
+ =        
− + +       
��
��
A existência de termos não nulos fora da diagonal impede o 
desacoplamento das equações do movimento, isto é, impede que elas 
sejam equações independentes.
Equação de 
movimento
sejam equações independentes.
Fisicamente, o acoplamento, neste caso, representa a influência do 
movimento x(t) sobre o movimento θ(t) e vice-versa
Se [M] for não-diagonal: existe acoplamento inercial ou de massa
Se [K] for não-diagonal: existe acoplamento elástico ou estático
No caso em estudo, temos apenas acoplamento estático
Modelagem usando a opção y(t) e θθθθ(t)
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2xF mx k y l k y l mx my k y l k y l meθ θ θ θ θ= ⇒ − − − + = ⇒ = − − − + −∑ ���� �� ��
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' 21 1 1 2 2 2P P CG CG CGM i k y l l k y l l J mxe J m y e e J me myeθ θ θ θ θ θ= Μ ⇒ − − + = + = + + = + +∑ ∑ �� �� �� ���� �� ��
2
P CGJ J me= + x y e x y eθ θ= + ⇒ = + ���� ��
( ) ( )' ' ' 'J k y l l k y l l meyθ θ θ= − − + −�� ��
x(t)
eTeorema dos eixos paralelos
´ ´
1 2 1 1 2 2
´ ´ ´2 ´2
1 1 2 2 1 1 2 2
0
0P
m me y yk k k l k l
me J k l k l k l k lθ θ
 + − +       
+ =        
− + +        
��
��
Nesse caso, tem-se ambos os acoplamentos: 
acoplamento inercial (matriz [M] é não-diagonal)
acoplamento estático (matriz [K] é não-diagonal)
Equação de 
movimento
( ) ( )' ' ' '1 1 1 2 2 2PJ k y l l k y l l meyθ θ θ= − − + −�� ��
Observações Importantes
1. No caso mais geral de vibração livre, no qual temos todos os tipos de acoplamentos,
as equações do movimento terão a seguinte forma matricial:
11 12 1 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
0
0
m m x c c x k k x
m m x c c x k k x
             
+ + =             
            
�� �
�� �
Acoplamento Acoplamento de Acoplamento Acoplamento 
inercial ou de massa
Acoplamento de 
amortecimento ou de 
velocidade
Acoplamento 
elástico ou estático
Obs: Tanto o acoplamento de velocidade quanto o de massa são denominados
acoplamento dinâmico.
2. As coordenadas adotadas não têm influência nas frequências naturais e nos modos
naturais de vibração do sistema, sendo uma mera questão de conveniência;
3. Por outro lado, a natureza dos acoplamentos depende fortemente das coordenadas
adotadas, conforme foi verificado.
5. Sistemas semi-definidos
Também conhecidos como sistemas sem restrição (ou irrestritos) ou 
sistemas degenerados
Exemplos:
Considera k1 e k3 = 0
Modelo matemático de um sistema semidefinido
1 1 1 2 1 2 2( ) 0m x k k x k x+ + − =��
2 2 2 1 2 3 2( ) 0m x k x k k x− + + =��
Adaptação:
k = 0k1 = 0
k2 = k
k3 = 0
1 1 1 2 0m x kx kx+ − =��
2 2 1 2 0m x kx kx− + =��
Frequências naturais: 4 22 3 1 2 2 3 3 11 2
1 2 1 2
0k k k k k k k kk k
m m mm
ω ω
 + + ++
− + + = 
 
Para k1 = 0, k2 = k e k3 = 0:
4 2
1 2
0k k
m m
ω ω
 
− + = 
 
2 2
1 2
0k k
m m
ω ω
  
− + =  
  
2 0ω = 2 1 2( )k m mω +=Não há oscilação! 21 0ω = 2 1 22
1 2
( )k m m
m m
ω
+
=
Não há oscilação!
Movimento de 
corpo rígido
Percebe-se que uma das frequências naturais do sistema é igual a zero. Isso significa
que o sistema, quando operando neste modo, movimenta-se em trajetória retilínea (ou
gira para o caso de sistemas rotacionais) com velocidade constante e sem movimento
oscilatório. Isto ocorre devido à falta de vinculação do sistema a um referencial fixo e é
chamado de movimento de corpo rígido.
Todos os sistemas que possuem uma ou mais frequências naturais iguais a zero são
denominados de sistemas semi-definidos.
2
2 1 2 1 2
2
1 2 2 3 2
X k k m k
u
X k k k m
ω
ω
+ −
= = =
+ −
Modos de vibração:
Para k1 = 0, k2 = k e k3 = 0:
2
2 1
1
X k m
u
X k
ω−
= =
10 modo normal vibração: 21 0ω = 1 1u =
20 modo normal vibração: 2 1 22
1 2
( )k m m
m m
ω
+
=
1
2
2
m
u
m
= −
6. Vibração forçada harmonicamente
Assim como para um sistema linear com 1 GDL, a resposta forçada
de um sistema linear com muitos GDL é dada pela soma das respostas
livre e forçada.
A resposta livre depende das propriedadesdo sistema, enquanto que aA resposta livre depende das propriedades do sistema, enquanto que a
resposta forçada depende da forma da excitação.
No caso de excitações periódicas, a resposta livre é geralmente
ignorada, por constituir um transiente.
Já no caso de excitações do tipo choque, a resposta livre é muito
importante.
Modelo matemático mais geral de um sistema com 2 GDL: 
11 12 1 11 12 1 11 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2 2
m m x c c x k k x F
m m x c c x k k x F
             
+ + =             
             
�� �
�� �
Considerando forçamento harmônico do tipo:
( ) 1, 2i tF t F e jω= =
Considerando o caso de um sistema massa-mola-amortecedor
submetido a um forçamento harmônico sob forma exponencial.
0( ) 1, 2i tj jF t F e jω= =
( ) 1, 2i tj jx t X e jω= =
onde j = 1,2 (neste caso com 2 GDL) indica o grau de liberdade
considerado. Pode-se escrever a resposta permanente, também
harmônica:
sendo Xj = |Xj|e-iφ um fasor que fornece amplitude e fase (quantidade
complexa em sistemas amortecidos e real para não-amortecidos).
Substituindo esta solução e as suas respectivas derivadas na equação de
movimento, tem-se:
2 2
10111 11 11 12 12 12
2 2
20221 21 21 22 22 22
FXm i c k m i c k
FXm i c k m i c k
ω ω ω ω
ω ω ω ω
 − + + − + +   
=    
− + + − + +     
2( ) , , 1, 2Z i m i c k r sω ω ω= − + + =
cada elemento desta matriz é chamado de 
Impedância Mecânica. De uma forma geral 
pode ser escrita como:
2( ) , , 1, 2
rs rs rs rsZ i m i c k r sω ω ω= − + + =
Assim, a equação de movimento é reescrita como: [ ] 0( )Z i X Fω → →=
Onde: [ ] 11 12
21 22
( ) ( )( ) ( ) ( )
Z i Z i
Z i
Z i Z i
ω ω
ω
ω ω
 
=  
 
é a matriz impedância
1
2
X
X
X
→  
=  
 
10
0
20
F
F
F
→  
=  
 
[ ] 0( )Z i X Fω → →= [ ] 1 0( )X Z i Fω→ →−= onde
[ ] [ ]( )[ ]( )
1 22 12
2
12 1111 22 12
adj ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )det ( )
Z i Z i Z i
Z i
Z i Z iZ i Z i Z iZ i
ω ω ω
ω
ω ωω ω ωω
−
− 
= =  
−−  
Para encontrar as amplitudes deve-se calcular a inversa da matriz de
impedância:
( )
( )
22 12
2 2
11 22 12 11 22 121 10
2 2012 11
2 2
11 22 12 11 22 12
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z i Z i
Z i Z i Z i Z i Z i Z iX i F
X i FZ i Z i
Z i Z i Z i Z i Z i Z i
ω ω
ω ω ω ω ω ωω
ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
− 
   − −     =   
−     
 
− − 
[ ] 1 0( )X Z i Fω→ →−=
Assim, pode-se escrever as amplitudes como:
22 10 12 20
1 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
−
=
−
12 10 11 20
2 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
− +
=
−
Substituindo nas equações das soluções obtém-se a solução Substituindo nas equações das soluções obtém-se a solução 
permanente x1(t) e x2(t).
( ) 1, 2i tj jx t X e jω= =
( ) 22 10 12 201 2
11 22 12
( ) ( )
( ) ( ) ( )
i tZ i F Z i Fx t e
Z i Z i Z i
ωω ω
ω ω ω
 
−
=  
− 
( ) 12 10 11 202 2
11 22 12
( ) ( )
( ) ( ) ( )
i tZ i F Z i Fx t e
Z i Z i Z i
ωω ω
ω ω ω
 
− +
=  
− 
Exemplo 
Resposta permanente de um sistema massa-mola
Obter as respostas em regime 
permanente para o sistema.
Solução
Equações do movimento:
11 12 1 11 12 1 11 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2 2
m m x c c x k k x F
m m x c c x k k x F
             
+ + =             
             
�� �
�� �
0 2 cosx xm k k F tω−        ��
Adaptando:
1 1 10
2 2
0 2 cos
0 2 0
x xm k k F t
x xm k k
ω−        
+ =        
−        
��
��
Como F10cosωt = Real (F10eiωt),
Considera-se a solução como sendo também harmônica:
xj(t) = Real (Xjeiωt) = Xjcosωt, j = 1, 2 (E.2)
2( ) , , 1, 2rs rs rs rsZ i m i c k r sω ω ω= − + + =
2 2
11 11 11 11 11( ) ( ) 2Z i m i c k Z m kω ω ω ω ω= − + + ⇒ = − +
1 1 10
2 2
0 2 cos
0 2 0
x xm k k F t
x xm k k
ω−        
+ =        
−        
��
��
Substituindo nas equações:
22 10 12 20
1 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
−
=
−
12 10 11 20
2 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
− +
=
−
2 2
22 22 22 22 22( ) ( ) 2Z i m i c k Z m kω ω ω ω ω= − + + ⇒ = − +
2
12 12 12 12 12( ) ( )Z i m i c k Z kω ω ω ω= − + + ⇒ = −
2
21 21 21 21 21( ) ( )Z i m i c k Z kω ω ω ω= − + + ⇒ = −
obtém-se:
2 2
10 10
1 2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 )( ) ( 2 ) ( 3 )( )
m k F m k FX
m k k m k m k
ω ω
ω
ω ω ω
− + − +
= =
− + − − + − +
10 10
2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 3 )( )
kF kFX
m k k m k m k
ω
ω ω ω
= =
− + − − + − +( 2 ) ( 3 )( )m k k m k m kω ω ω− + − − + − +
Usando as frequências naturais já 
conhecidas para este sistema, tem-se: 1 2
3
 e 
k k
m m
ω ω= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
Solução permante
cos e cosx t X t x t X tω ω= =
2 2
10 10
1 2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) *1/( ) ( 2 ) ( 3 )( ) *1/
m k F m k F kX
m k k m k m k k
ω ω
ω
ω ω ω
− + − +
= =
− + − − + − +
2
10
1 2 2
2
( )
3
Fm k
k k k
X
m k m k
k k k k
ω
ω
ω ω
 
− + 
 
=
  
− + − +  
  k k k k
− + − +  
  
2
2 2 2
1 1 2 22 2
1 1
3
1 3 3
= = ; = e 3
k
k k m k k m
km m k m m
m
ω
ω ω ω ω
ω ω
= ⇒ ⇒ = ⇒ = =
2 2
10 10
2 2
1 1
1 22 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2
( )
3 1 1
F F
k k
X
ω ω
ω ω
ω
ωω ω ω ω
ω ω ω ω ω
   
− + −   
   
= =
     
− + − + − −     
     
2
10
1
1 2 2 2
2
1 1 1
2
( )
1
F
X
k
ω
ω
ω
ω ω ω
ω ω ω
  
 −  
   
=
        
   − −     
           
2
11
2 2 2
10 2
1 1 1
2
( )
/
1
X
F k
ω
ωω
ω ω ω
ω ω ω
  
 −  
   
=
        
   − −     
           
10
2 2 2 2
2
1 1 1
( )
1
FX
k
ω
ω ω ω
ω ω ω
=
        
   − −     
           
2
2 2 2
10 2
1 1 1
( ) 1
/
1
X
F k
ω
ω ω ω
ω ω ω
=
        
   − −     
           
Essa característica forma a base para o absorvedor dinâmico de vibrações
Massa 1 não vibra para um certo valor de ω (vibração é reduzida a zero)
Existem 2 condições de ressonância (as amplitudes tendem 
ao infinito pois não há amortecimento)!!
Se um sistema mecânico for excitado por uma força harmônica de
frequência constante que opera nas proximidades da ressonância, a
7. Exemplo de aplicação de sistemas com
2GDL: absorvedores de vibração (ou
neutralizadores)
frequência constante que opera nas proximidades da ressonância, a
amplitude da vibração aumenta, atingindo valores que podem
eventualmente provocar a falha do sistema.
A fim de remediar tal situação, pode-se tentar: mudar a massa e/ou a
rigidez do sistema para fugir da condição de ressonância, o que nem
sempre é prático ou mesmo possível, ou ainda, adicionar um
amortecimento para diminuir os picos na região de ressonância. E
também, na tentativa de reduzir os efeitos da transmissibilidade, pode-
se projetar isoladores entre a base e a máquina.
Uma outra possibilidade será apresentada a seguir, a qual consiste na
aplicação do absorvedor dinâmicode vibrações (ou neutralizador de
vibrações), idealizado por Frahm, em 1909.
O uso de um absorvedor dinâmico de vibrações está indicado para
máquinas que operam em velocidades constantes, como máquinasmáquinas que operam em velocidades constantes, como máquinas
elétricas síncronas.
Basicamente, o absorvedor dinâmico de vibrações adiciona um grau
de liberdade ao sistema. No caso do absorvedor não amortecido, é
simplesmente um sistema com uma massa e uma mola auxiliar, ma e
ka, que são colocadas em conjunto com o sistema principalM, k
Existem, basicamente, dois tipos de absorvedores de vibrações:
• Sintonizados: utilizados para minimizar a vibração da massa
principal (máquina) em uma frequência específica, podendo serprincipal (máquina) em uma frequência específica, podendo ser
amortecidos e não amortecidos;
• Não sintonizados: utilizados para minimizar a vibração da massa
principal em uma grande faixa de frequência;
Formulação matemática
1 1
2 2
0 sen
0 0
a a
a a a
M k k kx x F t
m k kx x
ω+ −        
+ =        
−        
��
��
Considerando soluções harmônicas: x1 = X1sen(ωt), x2 = X2sen(ωt)
Derivando duas vezes, substituindo na equação de movimento e
dividindo tudo por senωt, obtém-se:
2
1 1
2
2 2
0
00
a a
a a
k k kX X FM
k kX Xm
ω
ω
+ −      −  
+ =        
−
−       
2
1a a X Fk k M kω + − −    
= 
1
2
2 0
a a
a a
X Fk k M k
Xk k m
ω
ω
 + − −    
=     
− −    
22 10 12 20
1 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
−
=
−
12 10 11 20
2 2
11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i FX i
Z i Z i Z i
ω ω
ω
ω ω ω
− +
=
−
E, conforme foi visto, pela impedância tem-se:
Adaptando para este sistema, tem-se:
22 10 12 20 22
1 12 2
11 22 12 11 22 12
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Z i F Z i F Z FX i X
Z i Z i Z i Z Z Z
ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω ω
−
= ⇒ =
− −
12 10 11 20 12
2 22 2
( ) ( ) ( )( ) ( )Z i F Z i F Z FX i Xω ω ωω ω
ω ω ω ω ω ω
− + −
= ⇒ =
− −
2 22 2
11 22 12 11 22 12
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X i XZ i Z i Z i Z Z Zω ωω ω ω ω ω ω= ⇒ =− −
2 2
11 11 11 11 11( ) ( ) aZ i m i c k Z M k kω ω ω ω ω= − + + ⇒ = − + +
2 2
22 22 22 22 22( ) ( ) a aZ i m i c k Z m kω ω ω ω ω= − + + ⇒ = − +
2
12 12 12 12 12( ) ( ) aZ i m i c k Z kω ω ω ω= − + + ⇒ = −
2
21 21 21 21 21( ) ( ) aZ i m i c k Z kω ω ω ω= − + + ⇒ = −
Logo:
2
1 2 2 2
( )( ) ( )( )
a a
a a a a
k m FX
k k M k m k
ω
ω
ω ω
−
=
+ − − −
2 2 2 2( ) ( )( )
a
a a a a
k FX
k k M k m k
ω
ω ω
=
+ − − −
Considerando as seguintes definições:
2
11
2
22
 frequência natural do sistema principal, isoladamente
 frequência natural do neutralizador, isoladamente
 relação entre massas
a
a
a
k
M
k
m
m
M
ω
ω
µ
= =
= =
= =
Destas equações pode-se tirar a seguinte relação:
2 2 2
22 11 22
2 2 2
11 22 11
a a ak k k
k k k
ω ω ωµ µ
ω ω ω
= = ⇒ =
Resolvendo os determinantes das equações para X1 e X2 e levando em
consideração as equações acima, chega-se, após manipulações
algébricas, a:
2
2
1 22
2 22 2
22 22
2 2 2 2
22 11 11 11
1
/
1 1
X
F k
ω
ω
ω ωω ωµ µ
ω ω ω ω
−
=
  
− + − −  
  
2 1X
ω ωω ω
=
  2 22 222 22
2 2 2 2
22 11 11 11
/
1 1
F k ω ωω ωµ µ
ω ω ω ω
=
  
− + − −  
  
Quando ω = ω22, X1 = 0, ou seja, o movimento da massa principal M
cessa completamente. Nessas condições, pela equação de X2, o
sistema do neutralizador, ka e ma, vibra de tal modo que a força da sua
mola é igual e oposta a Fsenωt em todos os instantes. Portanto, a
força transmitida à fundação é nula.
Gráfico de X1 /(F/k), em função da razão entre frequências ω/ω11 (relação entre a 
frequência da excitação e a frequência natural do sistema principal, isoladamente):
Nesse caso, foram usadas as relações 
µ = 1/4 e ω11 = ω22 (ou seja, o 
neutralizador está sintonizado na 
frequência natural do sistema frequência natural do sistema 
principal), bastante comuns na 
prática.
A figura mostra, ainda, a faixa de 
operação satisfatória do sistema, na 
qual X1/(F/k) < 1, isto é, a faixa em 
que não há amplificação em relação à 
amplitude estática
2 2
11 22 
a a
a
k mk
M m M
ω ω µ= = =
Portanto, um procedimento muito comum para o projeto do
neutralizador baseia-se neste fato:
Escolher a mola e a massa do neutralizador de Frahm, ka e ma, de tal modo que
a frequência natural do neutralizador seja igual à frequência da excitação. Isso
justifica o fato de usar neutralizador quando a frequência de excitação é igual
ou próxima a frequência natural do sistema inicial:
Gráfico da amplitude X2 dividida pelo 
deslocamento estático F/k, em função da 
relação de frequências ω/ω11, para as 
mesmas relações µ = 1/4 e ω11 = ω22:
11 22 11 e então, faz-se =ω ω ω ω ω= =
Dois parâmetros podem ser variados no neutralizador de Frahm: 
a relação de massas µ e a relação entre as frequências β, definida como: 
22
11
ωβ
ω
=
frequência natural só do absorvedor isolado
frequência natural da máquina isolada
A variação de µ = ma/M fica limitada a um problema prático:
Um valor grande de µ significa um neutralizador de porte 
semelhante ao do sistema principal. Por outro lado, quanto menor µ, 
mais estreita será a faixa de operação do neutralizador (como será 
visto mais adiante!).
Variação de β = ω22/ω11
A frequência do neutralizador, ω22, deve ser a frequência para a qual
X1 = 0
Ela deve ser selecionada de modo a melhor satisfazer as 
necessidades de operação, não precisando necessariamente ser igual necessidades de operação, não precisando necessariamente ser igual 
a ω11, se bem que o uso de um neutralizador é mais garantido 
quando a frequência do forçamento, ω, estiver bem próxima da 
frequência principal do sistema principal.
Portanto, fazer β = 1 é uma boa solução.
Como o conjunto é um sistema com dois graus de liberdade, 
ele possui duas frequências naturais, ω1 e ω2.
Para encontrá-las, igualamos a zero o denominador das 
equações abaixo, tornando as amplitudes infinitas, o que 
caracteriza a ressonância em sistemas não amortecidos:
2ω2
2
1 22
2 22 2
22 22
2 2 2 2
22 11 11 11
1
/
1 1
X
F k
ω
ω
ω ωω ωµ µ
ω ω ω ω
−
=
  
− + − −  
  
2
2 22 2
22 22
2 2 2 2
22 11 11 11
1
/
1 1
X
F k ω ωω ωµ µ
ω ω ω ω
=
  
− + − −  
  
2 22 2
22 22
2 2 2 2
22 11 11 11
1 1 0ω ωω ωµ µ
ω ω ω ω
  
− + − − =  
  
Assim, obtém-se:
22ωβ
ω
=
2 2
2 2
2 2
22 11
1 1 0ω ωµβ µβ
ω ω
  
− + − − =  
  
4 2
2 2
22 22
1 (1 ) 1 0ω ωβ β µ
ω ω
   
 
− + + + =    
   
11
β
ω
=
Os valores de ω1 e ω2 que satisfazem as equações anteriores são,
portanto, as frequências naturais do conjunto.
Para o caso usual em que β = 1, tem-se:
4 2
22 22
(2 ) 1 0ω ωµ
ω ω
   
− + + =   
   
( )
2
2
22
2 1 2 4
2 2
ω µ µ
ω
  +
= ± + − 
 
raízes:
1
Esta comprova a afirmação feita 
anteriormente: valores muito 
pequenos de µ tornam a faixa de 
operação (onde X1/(F/k)<1) do 
neutralizador muito estreita: 2
22
 
ω
ω
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
22
 
ω
ω
µ
1
22
 
ω
ω
=1 β
Exemplo: Absorvedor sintonizado
Aplicação: cabos delinhas de transmissão