Sistemas com 2 GDL

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464
18 - Sistemas com 2 GDL
Vibração Livre sem Amortecimento
Freqüências Naturais
Modos de Vibração
LT.: 5.1 a 5.4 
Problemas: 5.1 a 5.31
465
Introdução 
Até agora, estudamos sistemas mecânicos com apenas 1 GDL:
 x(t), para a translação, ou 
 (t), para a rotação
Sistemas reais: na maioria dos casos, há necessidade de mais de uma 
coordenada independente para descrever o movimento
Casos mais simples de sistemas multidimensionais: sistemas com 2 GDL
Com ele introduziremos conceitos que serão estendidos para sistemas 
com n GDL (Cap. 6)
466
Ex.: Sistema motor-bomba 
Coordenadas generalizadas:
1. deslocamento linear x(t) do centro de gravidade
2. deslocamento angular (t), o qual representa a rotação da massa m em 
torno do seu centro de gravidade
Logo, o sistema tem dois GDL: x(t) e (t)
Poderíamos, também, ter usado outros pares de coordenadas. Por exemplo, os 
deslocamentos verticais das extremidades da base, x1(t) e x2(t)
467
O sistema possui apenas uma massa, apesar de ter dois graus de 
liberdade, logo não devemos vincular a quantidade da massas com a 
quantidade de GDL de um sistema
Regra geral para o cálculo do número de graus de liberdade:
No GDL do sistema = no de massas do sistema x no de movimentos 
possíveis de cada massa
Existem n equações de movimento para um sistema com n GDL, uma 
para cada GDL. No caso mais geral, são n equações diferenciais 
acopladas, isto é, as n coordenadas (e/ou suas derivadas) estão 
presentes em mais de uma equação
Entretanto, se for usado um conjunto adequado de coordenadas, 
denominadas coordenadas naturais, principais ou modais, podemos 
desacoplar as equações diferenciais, de maneira que elas podem ser 
resolvidas independentemente uma da outra
468
Vibração natural (ou livre) de um sistema com 1 GDL:
• O sistema vibra na sua freqüência natural
• Possui 1 freqüência natural
Vibração natural (ou livre) de um sistema com n GDL:
• Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma 
de suas freqüências naturais de vibração, ou seja, em um certo modo de 
vibrar denominado modo natural de vibração
•Se forem dadas condições iniciais arbitrárias, vibrará em uma 
superposição dos modos normais
• Possui n freqüências naturais
•Possui n modos naturais de vibração
Vibração forçada harmonicamente
• Neste caso, o sistema vibrará na mesma freqüência da excitação
• Existe risco de ressonância em n situações
469
Número mínimo de coordenadas independentes 
necessárias para especificar o movimento do sistema
Exemplos:
1. movimento de rotação de um corpo rígido em torno 
de um eixo: 1 GDL
(1 rotação)
2. corpo rígido solto no espaço: 6 GDL 
(3 translações e 3 rotações)
Grau de Liberdade (GDL) 
470
Restrições Mecânicas
Reduzem a quantidade de GDL 
Exemplo: Pêndulo Simples 
A massa só pode se movimentar no 
plano do papel: 
2 translações + 1 rotação = 3 GDL
Se L = constante e m uma partícula, a 
quantidade de GDL fica reduzida a 
apenas 1, isto é, à rotação em torno 
do ponto de suspensão do pêndulo
471
Coordenadas x e y
x2 + y2 = L2
a qual estabelece uma dependência entre as 
coordenadas x e y, denominadas 
coordenadas generalizadas dependentes 
No coordenadas dependentes: ncd = 2
No equações de restrição: ner = 1
Relação:
 nGDL = ncd - ner
Equações de Restrição
472
Coordenada :
L é constante: nci = 1
 = coordenada generalizada 
independente
 Verificamos facilmente que 
 nGDL = nci
473
MODELO MATEMÁTICO - SISTEMA COM 2 GDL
CASO GERAL
D.C.L.:
474
2a Lei de Newton: 
1
..
11221
.
2
.
2111
.
11 xm)xx(k)xx(cxkxc)t(F =−+−+−−
2
..
2232
.
31221
.
2
.
22 xmxkxc)xx(k)xx(c)t(F =−−−−−−
Ordenando:
)t(Fxkx)kk(xcx)cc(xm 1221212
.
21
.
211
..
1 =−++−++
)t(Fx)kk(xkx)cc(xcxm 2232122
.
321
.
22
..
2 =++−++−
(5.1)
(5.2)
As eqs. (5.1) e (5.2) não são independentes, pois existem coordenadas e suas 
derivadas presentes nas duas equações
O sistema está acoplado, ou seja, o movimento de uma massa depende do 
movimento da outra massa:
475
Uma maneira de desacoplar as duas equações: k2 = 0 e c2 = 0
Entretanto, trata-se de um caso sem interesse, pois não teríamos 
mais um sistema com 2 GDL, mas sim 2 sistemas com 1 GDL 
cada
476
forma matricial das equações (5.1) e (5.2)






=











+−
−+
+














+−
−+
+
















)t(F
)t(F
x
x
kkk
kkk
x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
2
1
322
221
2
.
1
.
322
221
2
..
1
..
2
1
matriz 
massa
matriz 
amortecimento
matriz 
rigidez
vetor 
aceleração
vetor 
velocidade
vetor 
deslocamento
vetor 
excitação
477
Assim, o modelo matemático pode ser representado de uma 
forma bastante compacta por uma equação diferencial matricial:
)t(Fx]k[x]c[x]m[
... →
=++
A eq. (5.3) representa um conjunto de equações diferenciais 
independentes somente quando [m], [c] e [k] forem matrizes 
diagonais
Para o modelo da figura, as matrizes [m], [c] e [k] são matrizes 
simétricas
Vamos, por enquanto, nos ocupar dos casos de vibração livre, 
isto é, quando o vetor forçamento é nulo. Os casos de vibração 
forçada serão vistos mais tarde
(5.3)
478
VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO
Fazendo c1 = c2 = c3 =0 (sistema sem amortecimento) e F1 = F2 = 
0 (sistema sem forçamento) nas eqs. (5.1) e (5.2), abaixo 
repetidas:
)t(Fxkx)kk(xcx)cc(xm 1221212
.
21
.
211
..
1 =−++−++
)t(Fx)kk(xkx)cc(xcxm 2232122
.
321
.
22
..
2 =++−++−
(5.1)
(5.2)
0xkx)kk(xm 221211
..
1 =−++
0x)kk(xkxm 232122
..
2 =++−
(5.4)
(5.5)
479
PROCEDIMENTO CLÁSSICO PARA DETERMINAR 
FREQÜÊNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAÇÃO
Considerar que, assim como os sistemas com 1 GDL, as 
respostas livres das duas massas sejam também 
harmônicas:
1
x1 = X1cos(t + )
x2 = X2cos(t + )
Derivar duas vezes e substituir nas eqs. (5.4) e (5.5):
 [(-m1
2 + k1 + k2)X1 – k2X2]cos(t + )= 0
 [– k2X1 + (-m2
2 + k2 + k3)X2]cos(t + )= 0
(5.8)
480
Como cos(t + ) não pode ser nulo a todo instante, as quantidades entre 
colchetes é que devem ser nulas:
 (-m1
2 + k1 + k2)X1 – k2X2 = 0
 – k2X1 + (-m2
2 + k2 + k3)X2 = 0
Na forma matricial:






=













++−
−++
0
0
X
X
kkm-k
kkkm-
2
1
32
2
22
221
2
1
Como as amplitudes não podem ser nulas, então, para que essa última 
equação seja satisfeita, é necessário que o determinante da matriz seja nulo:
0
kkm-k
kkkm-
det
32
2
22
221
2
1
=








++−
−++
481
0
mm
kkkkkk
)
m
kk
m
kk
(
21
1332212
2
32
1
214 =
++
+
+
+
+
− (5.9)
Expandindo o determinante, chegamos à chamada 
Equação da Freqüência:
Resolver a eq. (5.9) 
As raízes são as freqüências naturais 
2
Em geral, a equação da freqüência tem grau 2n, onde n é o 
número de GDL do sistema
A eq. (5.9) tem 4 raízes, sendo que duas delas são negativas e, 
portanto, não têm significado físico, pois não existem freqüências 
naturais negativas
482
Convenção:
As raízes (freqüências naturais) são chamadas 1 e 2
1 = freqüência natural fundamental (menor)
2 = 2a freqüência natural (maior)
 A mesma convenção será usada para sistemas com n graus 
de liberdade
Modos Naturais (ou Normais) de Vibração
São as maneiras de vibrar (relações entre as amplitudes X1 e 
X2) nas duas freqüências naturais 
Na freqüência 1: 1
0 modo natural de vibração
Na freqüência 2: 2
0 modo natural de vibração 
483
3 Para obter os dois modos naturais de vibração, vamos 
definir Fração (ou Razão) Modal como sendo a relação 
entre as amplitudes das duas massas:
1
2
X
X
r =
Poderíamos, também, ter definido a fração modal como X1/X2
 Entretanto, é mais comum colocarmos no denominador a 
amplitudeda primeira massa como referência
 Para sistemas com n graus de liberdade, as frações modais 
serão definidas sempre em relação à primeira massa: X2/X1, 
X3/X1, ... , Xn/X1
Obtenção da fração modal: é feita a partir da eq. (5.8)
484
0XkX)kkm( 22121
2
1 =−++−
2
2
121
1
2
k
mkk
X
X
r
−+
==
0X)kkm(Xk 232
2
212 =++−+−
2
232
2
1
2
mkk
k
X
X
r
−+
==
2
232
2
2
2
121
1
2
mkk
k
k
mkk
X
X
r
−+
=
−+
== (5.11)
Assim, substituindo em qualquer uma das frações acima:
  1 obtemos o primeiro modo de vibração, r1
  2 obtemos o segundo modo de vibração, r2
485
EXEMPLO 5.1
Para simplificar, vamos 
considerar que
m1 = m2 = m 
k1 = k2 = k3 = k
0
mm
kkkkkk
)
m
kk
m
kk
(
21
1332212
2
32
1
214 =
++
+
+
+
+
−
0
m
kkkkkk
)
m
kk
m
kk
(
2
24 =
++
+
+
+
+
−
Substituindo na eq. (5.9):
0
m
k3
m
k4
2
2
24 =+−
(5.9)
486
2
m
k3
4
m
k4
m
k4
2
22
2
−





−
=
m
k3
 e 
m
k
21 ==
Levando em qualquer uma das eqs. (5.11), temos os dois modos 
naturais de vibração:
2
m
k2
m
k4
2

=
2
232
2
2
2
121
1
2
mkk
k
k
mkk
X
X
r
−+
=
−+
== (5.11)
487
k
m
k3
mkk
X
X
r
)2(
1
)2(
2
2
−+
==
1r2 −=
k
m
k
mkk
X
X
r
)1(
1
)1(
2
1
−+
==
1r1 =
488
Vetores Modais
Os modos normais podem ser expressos pelos chamados 
vetores modais






=





=
)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1)1(
Xr
X
X
X
X






=





=
)2(
12
)2(
1
)2(
2
)2(
1)2(
Xr
X
X
X
X
Amplitude da massa m1 no 10 modo
Amplitude da massa m2 no 10 modo
Amplitude da massa m1 no 20 modo
Amplitude da massa m2 no 20 modo
489
Resposta Livre
)tcos(
Xr
X
)t(x
)t(x
)t( 11)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1)1( +








=








=x
)tcos(
Xr
X
)t(x
)t(x
)t( 22)2(
12
)2(
1
)2(
2
)2(
1)2( +








=








=x
são determinadas pelas condições iniciais21
)2(
1
)1(
1 e ,X ,X 
10 modo
20 modo
(5.13)
490
0)0(x
Xr)0(x
0)0(x
constante alguma X)0(x
2
.
)i(
112
1
.
)i(
11
=
=
=
==
Se as condições iniciais forem estabelecidas 
adequadamente, então apenas um dos dois modos 
naturais pode ocorrer
Podemos fazer com que o sistema vibre no seu i-ésimo 
modo natural (i = 1, 2) sujeitando-o às seguintes 
condições iniciais específicas: 
491
Para condições iniciais impostas arbitrariamente, os dois 
modos naturais serão excitados
O movimento resultante, dado pela solução geral das EDOL’s do 
modelo matemático, pode ser obtido superpondo os dois modos 
normais, eqs. (5.13):
)tcos(
Xr
X
)t(x
)t(x
)t( 11)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1)1( +








=








=x
)tcos(
Xr
X
)t(x
)t(x
)t( 22)2(
12
)2(
1
)2(
2
)2(
1)2( +








=








=x
10 modo:
20 modo:
)tcos(Xr)tcos(Xr)t(x)t(x)t(x
)tcos(X)tcos(X)t(x)t(x)t(x
22
)2(
1211
)1(
11
)2(
2
)1(
22
22
)2(
111
)1(
1
)2(
1
)1(
11
+++=+=
+++=+=
(5.15)
(5.13)
492
Se as condições iniciais forem 
arbitrárias, ou seja, dadas pelos 
valores não nulos )0(x ,)0(x
)0(x ,)0(x
2
.
2
1
.
1
21
)2(
1
)1(
1 e ,X ,X  podem ser determinadas resolvendo-se as seguintes 
equações (obtidas substituindo as eqs. (5.16) nas (5.15):
(5.16)
2
)2(
1221
)1(
1112
.
2
)2(
121
)1(
112
2
)2(
121
)1(
111
.
2
)2(
11
)1(
11
senXrsenXr)0(x
cosXrcosXr)0(x
senXsenX)0(x
cosXcosX)0(x
−−=
+=
−−=
+=
(5.17)
Aparentemente, temos 6 incógnitas e 4 equações. Entretanto, as eqs. (5.17) 
podem ser vistas como um sistema de quatro equações algébricas cujas 
quatro incógnitas são
2
)2(
11
)1(
12
)2(
11
)1(
1 oscX e oscX ,senX ,senX 
493
Após determinar essas quatro incógnitas, podemos calcular, a 
partir de conhecimentos trigonométricos elementares:
21
)2(
1
)1(
1 e ,X ,X 
)tcos(Xr)tcos(Xr)t(x)t(x)t(x
)tcos(X)tcos(X)t(x)t(x)t(x
22
)2(
1211
)1(
11
)2(
2
)1(
22
22
)2(
111
)1(
1
)2(
1
)1(
11
+++=+=
+++=+=
(5.15)
(ver L.T. eq. (5.18))
Finalmente, para obtermos a resposta livre completa, basta 
substituir os parâmetros acima na eq. (5.15), repetida abaixo:
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