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O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil dezembro/2015 
 
ISSN 2179-5568 – Revista Especialize On-line IPOG - Goiânia - Edição nº 10 Vol. 01/ 2015 dezembro/2015 
 
 O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil 
 
Ademir José Moraes – ademir.jmoraes@gmail.com 
MBA Projeto, Execução e Controle de Estruturas e Fundações. 
Instituto de Pós-Graduação - IPOG 
Cuiabá-MT, 20 de junho de 2015. 
 
Resumo 
O presente artigo analisa as aplicabilidades do Método dos Elementos Finitos (MEF) dentro 
da Engenharia Civil, especialmente dentro do campo da Análise e Dimensionamento de 
Estruturas. Existem realmente vantagens na utilização deste modelo matemático? Quais são 
os benefícios oferecidos ao longo do tempo aos engenheros civis no seu trabalho de análise 
estrutural? Devido ao aumento da capacidade de processamento dos computadores nas 
últimas décadas, o Método dos Elementos Finitos tornou-se aplicável ao cotidiano do 
Engenheiro Civil, pois tornou possível o desenvolvimento de inúmeros softwares de análise 
estrutural acessíveis e, devido à sua extrema eficiência, auxiliar na importante tarefa de 
determinação de esforços, tensões e deslocamentos. O objetivo é descrever a metodologia 
teórica do MEF, seu desenvolvimento histórico e as principais aplicações encontradas dentro 
da Engenharia Civil. Para isso, será realizado uma extensa pesquisa bibliográfica em livros, 
teses e dissertações, apresentando um breve estudo a respeito do Método dos Elementos 
Finitos, seus principais conceitos e aplicações e sua importância para a Engenharia Civil. 
Conclui-se, portanto, que as aplicações do Método dos Elementos Finitos na Engenharia 
Civil são tantos e tão importantes que faz-se necessário que os profissionais da área 
conheçam ao menos suas aplicações e seus conceitos básicos. 
 
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, Análise Estrutural, Métodos Numéricos, 
Engenharia de Estruturas. 
 
1. Introdução 
Estudar a evolução histórica da teoria do Método dos Elementos Finitos, bem como suas 
aplicações práticas, é acompanhar a estupenda evolução tecnológica pela qual passou a 
humanidade a partir da segunda metade do século XX, e tal é a sua importância, que não há 
como negar o papel fundamental desenvolvido por este nesta evolução, pois, como veremos, 
suas contribuições foram imprescindíveis para evoluirmos para o atual estado da arte nas 
análises estruturais, seja no campo da construção civil, seja nas áreas de engenharia mecânica, 
naval, aeronáutica, etc. 
A importância do estudo conceitual da teoria do Método dos Elementos Finitos mostra-se 
cada vez mais relevante aos que se propõem a se aventurar no desafiante mundo da Análise de 
Estruturas, visto que estes conceitos estão presentes em praticamente todos os softwares 
disponíveis e que, sem dúvida, podem e devem ser utilizados como ferramentas 
indispensáveis no cotidiano do engenheiro estrutural. 
Desta maneira, é inconcebível que o analista de estruturas simplesmente utilize estes 
softwares sem entender os conceitos que foram utilizados na sua concepção, e pior ainda, sem 
que possua conhecimentos que possam questionar e até mesmo criticar os resultados 
 
 O Método dos Elementos Finitos e a Engenharia Civil dezembro/2015 
 
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apresentados pelo mesmo. Sobre isso, veja o que diz o Prof. Dr. Avelino Alves Filho, 
engenheiro mecânico e um dos precursores do estudo do Método dos Elementos Finitos no 
Brasil: “Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve 
fazê-lo tendo o computador.” (ALVES FILHO, 2012). 
 
2. Histórico 
É consenso entre os autores, que o marco inicial da teoria do Método dos Elementos Finitos 
pode ser definido ao final do século XVIII, quando o matemático alemão Gauss, conhecido 
como “príncipe da Matemática”, tal a contribuição dos seus trabalhos para o desenvolvimento 
desta ciência, propôs a utilização de funções de aproximação para a solução de problemas 
matemáticos. (LOTTI, MACHADO, et al., 2006). 
Segundo Pavanello, (1997), 
Remontam a 1906 os primeiros princípios que posteriormente seriam consolidados 
no Método dos Elementos Finitos. Nesta época, pesquisadores propuseram um 
mecanismo de modelagem do contínuo por um modelo de barras elásticas, de tal 
forma que os deslocamentos nos nós representassem uma aproximação para os 
deslocamentos do contínuo. 
Também há de se destacar o trabalho do matemático e físico suíço, Walter Ritz, que em 1909 
desenvolveu um método numérico para determinar a solução aproximada de problemas de 
mecânica em sólidos deformáveis, denominado como Método de Ritz, que é uma das bases 
teóricas para o que conhecemos hoje como Método dos Elementos Finitos. 
No entanto, devido às limitações existentes, e pela dificuldade de processamento de equações 
algébricas, especialmente em equações com muitas variáveis, foi somente a partir da década 
de 1940, com o advento dos primeiros computadores movidos à válvula, e toda a evolução 
tecnológica possibilitada por estes, é que realmente as teorias puderam ser colocadas em 
prática. 
Atribui-se a um matemático americano judeu denominado Richard Courant, em uma nota de 
rodapé do seu livro “Methoden der Mathematischen Physik” (1924), escrito em alemão em 
coautoria com David Hilbert, os primeiros conceitos do que viria, décadas mais tarde, a ser 
conhecido como Método dos Elementos Finitos. Nesta nota, Courant propôs o primeiro 
procedimento computacional para a solução numérica de equações diferenciais parciais. 
No entanto, o primeiro a sugerir a nomenclatura tal qual a conhecemos hoje, Método dos 
Elementos Finitos, foi o professor de Engenharia Estrutural do departamento de Engenharia 
Civil, da Universidade da Califórnia, Ray. W. Clough, em um artigo publicado na década de 
1960. 
O professor Clough já havia publicado, em 1956, em coautoria com alguns outros 
matemáticos e engenheiros, um artigo com todos os conceitos já aplicados, em um projeto de 
análise estrutural de aeronaves para a empresa americana Boeing, de modo a permitir uma 
melhor modelagem para a fuselagem dos seus aviões. 
De acordo com Campos (2005), 
Se, inicialmente, o FEM fora desenvolvido como um método de simulação baseado 
em computação para análise de estruturas aeroespaciais, no final dos anos 60 passou 
a ser utilizado para a simulação de problemas não estruturais em fluidos, 
 
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termomecânica e eletromagnetismo. 
Aconteceu, então, a partir da década de 1970, um crescimento exponencial do número de 
artigos publicados, bem como de softwares especializados na utilização do M.E.F. para 
determinação de esforços, entre os quais se pode citar o ANSYS, o NASTRAN, este último 
desenvolvido pela NASA. 
 
 
2.1 Elementos Finitos no Brasil 
 
O estudo e aplicação prática da teoria do M.E.F. no Brasil iniciaram-se ainda na década de 60, 
mais especificamente com os trabalhos do professor Fernando Venâncio Filho, que foi o 
primeiro a publicar um artigo científico sobre o tema no país. A crescente demanda por 
tecnologia pela qual o Brasil passava nesta década, com a instalação das indústrias 
automobilísticas e aeronáutica, bem como a construção de Brasília alavancou ainda mais o 
interesse por métodos computacionais de análise estrutural. 
Como se pode verificarem Las Casas, (2002), “O primeiro computador dedicado ao cálculo 
científico foi instalado em 1960 na PUC-Rio, um Datatron B205 da Burroughs. O segundo 
computador foi instalado dois anos mais tarde, em São Paulo, desta vez um IBM 1620”. Na 
figura 1, abaixo, pode-se ver uma foto de um modelo idêntico ao instalado na PUC-Rio. 
 
Figura 1 - Datatron 205. Primeiro computador utilizado no Brasil para cálculos científicos (UFRJ, 1969). 
Fonte: Datatron: Computer History (Disponível em: http://tjsawyer.com/b205home.htm. Acesso em maio/2015). 
 
No entanto, ainda que estes computadores fossem utilizados mais para realização de cálculos 
trabalhosos e repetitivos, já nesta época foram implementados e desenvolvidos programas 
específicos de análise matricial e elementos finitos. Segundo o mesmo autor, foi 
desenvolvido, no final da década de 1960, no Instituto Tecnológico da Aeronáutica, um 
 
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protótipo de programa computacional para análise estrutural do avião Bandeirantes, de 
fabricação nacional. 
Outro marco importante no campo da análise estrutural no Brasil foi a criação da COPPE 
(Centro de Pesquisas em Engenharia), da UFRJ, tornando-se em 1969, a primeira instituição 
brasileira credenciada a conferir o título de doutor. Desta época, destaca-se o trabalho do 
professor Luiz Lobo B. de Carneiro, primeiro professor do curso do Método de Elementos 
Finitos na COPPE. Em 1970, outro professor, Alcebíades de Vasconcellos Filho apresentou a 
primeira tese de doutorado da COPPE, com o tema que se propunha a discutir a análise de 
placas através do Método dos Elementos Finitos. (LAS CASAS, 2002) 
Vale ressaltar também o desenvolvimento, em 1973, do primeiro programa brasileiro de uso 
geral baseado no M.E.F, em Porto Alegre, pelo professor A. Ferrante. A esse programa deu-se 
o nome de Lorane, e seu desenvolvimento teve continuação também na COPPE-UFRJ. (LAS 
CASAS, 2002) 
Por fim, destaca-se também a realização, em 1977, do Primeiro Congresso Latino-Americano 
em Métodos Computacionais para Engenharia Civil, organizado no Rio de Janeiro pelo 
professor Ferrante, apresentando “o resultado de duas décadas de trabalho por alguns 
pioneiros na estruturação de uma comunidade de mecânica computacional no Brasil, com a 
importante colaboração de colegas do Cone Sul”. (LAS CASAS, 2002) 
 
3. O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E A ENGENHARIA PREVENTIVA 
 
Com a crescente evolução e facilidade de acesso a sistemas computacionais com poder de 
processamento poderosíssimos, o Método dos Elementos Finitos tem se tornado uma 
excelente ferramenta na modelagem de sistemas estruturais visando a prevenção de 
problemas, tentando-se desta maneira, antever o comportamento estrutural dos elementos, 
fazendo assim um diagnóstico preventivo das peças mais susceptíveis a apresentar problema 
no futuro. A isso se tem chamado Engenharia Preventiva. 
A título de exemplo, serão ilustradas algumas estruturas com geometrias não usuais, cujos 
processos de determinação de esforços e previsão de possíveis problemas estruturais seriam 
muito dispendiosos, ou até mesmo inviáveis, caso não fossem utilizados os conceitos do 
Método dos Elementos Finitos. 
 
3.2.1. Cobertura do Museu de Arte do Rio – Rio de Janeiro, Brasil. 
 
De acordo com Jazra, (2013), o Museu de Arte do Rio (MAR), considerada como a primeira 
obra da revitalização portuária da cidade do Rio de Janeiro a ser inaugurada, foi construído 
interligando dois prédios históricos existentes, através de duas passarelas translúcidas, além 
de uma cobertura suspensa, cuja ideia de partido arquitetônico era imitar a fluidez das ondas 
do mar. Com 66 metros de comprimento, 25 metros de largura e desníveis que chegavam a 
1,5 metros, a estrutura, que possui em média apenas 15 cm de espessura, e está apoiada 
diretamente em 37 pilares, se mostrou um desafio para a equipe técnica, tanto em sua fase de 
projeto e dimensionamentos dos esforços, quanto em sua fase de execução. 
 
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Desta maneira, somente através de softwares que se utilizam do Método dos Elementos 
Finitos é que se chegou ao modelo necessário para a determinação dos esforços, 
especialmente nas regiões de encontro da laje com os pilares, devido à fluidez e leveza da 
mesma, como se observa na figura 2. 
 
 
Figura 2 Museu de Arte do Rio. 
Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado-
278759-1.aspx Acesso em abril/2015 
Na figura 3, pode-se verificar o resultado da análise estrutural da cobertura, com o diagrama 
dos momentos fletores da estrutura. 
 
Figura 3 - Cobertura do M.A.R. - Diagrama de Momentos Fletores. 
Fonte: Pini Arquitetura. http://piniweb.pini.com.br/construcao/arquitetura/museu-de-arte-do-rio-e-inaugurado-
278759-1.aspx Acesso em abril/2015 
 
 
3.2.2. Ponte D. Luiz I, Porto, Portugal. 
 
Construída no final do século XIX, a ponte D. Luiz I, (figura 4) interliga as cidades de Porto e 
Vila Nova de Gaia, em Portugal, e trata-se de uma ponte de estrutura metálica, com dois 
tabuleiros, que passou por uma análise através do Método dos Elementos Finitos, de modo a 
determinar quais peças sofreram maior desgaste com o tempo, e, portanto, necessitavam de 
mais atenção durante o complexo processo de manutenção e eventual reforço estrutural da 
 
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mesma. 
 
 
Figura 4 - Ponte D. Luis I, Porto, Portugal. 
Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015 
 
 
O resultado da análise pode ser visto na figura 5, abaixo: 
 
Figura 5 - Análise por M.E.F. revelou quais barras precisariam ser reforçadas. 
Fonte Estudos para a ponte Luis I. https://web.fe.up.pt/~azr/pontes/luis_con.htm. Acesso em abril/2015 
 
4. IMPORTÂNCIA DO ENSINO NA GRADUAÇÃO 
É notório nos dias atuais, especialmente na última década, o crescente aumentos de cursos de 
graduação em Engenharia Civil no Brasil, movidos especialmente pela grande demanda por 
engenheiros, arquitetos e afins, devido principalmente aos avanços sociais e econômicos 
apresentados pelo Brasil desde o início do século. 
No entanto, devido a diversos fatores, os quais não será discutido o mérito neste trabalho, 
ocorre uma grande falta de padronização curricular, seja na quantidade de horas cursadas, seja 
no conteúdo prático e teórico ministrado aos alunos de graduação. 
Sobre a dificuldade em se aprofundar os estudos teóricos sobre análise estrutural nos cursos 
de graduação em Engenharia Civil, Bandeira e Chivante, (2006), dizem o seguinte: 
 
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..., o uso exclusivo de equações de equilíbrio viabiliza a resolução de um grupo 
limitado de sistemas estruturais (os isostáticos). Já para a solução dos sistemas 
hiperestáticos, o uso de técnicas analíticas também limita sua aplicação, devido à 
necessidadede grande esforço físico para sua implementação e, em casos mais 
complexos, a necessidade de uma ferramenta computacional que viabilize a solução 
do problema. 
Os autores ressaltam ainda, como dificuldade a ser enfrentada, a íntima interdisciplinaridade 
existente, e necessárias para o completo entendimento das teorias da análise estruturas, com 
disciplinas que muitas vezes não ganham a devida importância dos alunos de graduação, tais 
como cálculo diferencial, álgebra linear, mecânica dos sólidos, etc. 
Esta pequena pesquisa, resumida no Quadro 1 abaixo, tem a intenção de demonstrar que há, 
felizmente, uma crescente oferta de disciplinas mais aprofundadas sobre análise estrutural 
dentro das grades dos cursos de graduação, seja como matérias obrigatórias ou optativas, 
sendo que entre as mais destacadas estão as que discorrem sobre o Método dos Elementos 
Finitos. Ainda que este movimento seja menor do que o necessário, espera-se que trabalhos 
como dessa monografia ajudem nesse processo de conscientização. 
Instituição de Ensino Curso M.E.F 
Universidade de Cuiabá Engenharia Civil - 
Universidade de Cuiabá Engenharia Mecânica - 
UFMG Engenharia Civil Optativa 
UFMT Engenharia Civil - 
IPOG-GO Engenharia Civil Optativa 
UFRJ Engenharia Civil Optativa 
Quadro 1 – Ensino do M.E.F. na Graduação no Brasil 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
5. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA 
 
Não é uma tarefa fácil encontrar uma única definição consolidada entre os diversos autores 
que discorreram sobre o tema ao longo do tempo, mas pode-se dizer, de maneira genérica, que 
se trata de uma técnica que se utiliza de métodos numéricos, onde, através do uso de equações 
diferenciais, podem-se obter soluções aproximadas. 
De acordo com Pavanello, (1997), “... o Método dos Elementos Finitos foi criado com o 
objetivo de se resolver os problemas de mecânica que não admitem soluções fechadas (de 
forma analítica)”. Em outras palavras, ele baseia-se em uma discretização de domínios, que 
podem ter geometrias irregulares arbitrárias, gerando assim elementos polinomiais básicos, 
que permitem, através da resolução das aproximações em seus nós, chegar-se a uma 
aproximação do comportamento da estrutura como um todo. 
Segundo Gesualdo(2010), 
Elementos mais simples têm formulação mais simples, caso de triângulos com 6 
graus de liberdade (gl) – 3 nós -, ou retangulares com 8 gl – 4 nós. Contudo, modelar 
sistemas de contorno complexo pode exigir a combinação de diferentes formas de 
elementos. 
Quanto maior a complexidade dos elementos a serem modelados, bem como quanto mais 
elementos forem definidos, ou seja, quanto mais discretizada a estrutura for, maior será o 
 
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refinamento da malha, no entanto, maior também será o tempo computacional necessário para 
a resolução do problema, tendo em vista a maior complexidade matemática destes elementos. 
Na figura (6) abaixo, pode-se observar, de maneira simplificada, o emprego de elementos do 
tipo triangular e quadrangular, utilizados em modelagem de protótipos bidimensionais. A 
condição mínima, é que cada elemento, tenha, respectivamente, 3 (três) e 4(quatro) nós, 
definidos em seus vértices. Segundo Gesualdo (2010), pode-se ainda utilizar nós adicionais ao 
longo das arestas dos elementos, aumentando sua complexidade e permitindo representações 
polinomiais quadráticas, apresentado assim resultados mais refinados. 
 
 
Figura 6 – Elementos e Nós 
Fonte (GESUALDO, 2010) 
 
Embora preferível, em estruturas com geometrias diferenciadas, nem sempre é possível a 
utilização de elementos de forma regular, especialmente em regiões de encontro de malhas. 
Segundo Martha (1994), o “Método dos Elementos Finitos pode ser interpretado como uma 
generalização dos procedimentos adotados em uma análise estrutural convencional de 
sistemas reticulados”. Segundo o mesmo autor, a utilização de formulações matriciais em 
pórticos através do Método dos Deslocamentos, trata-se do próprio conceito do M.E.F. A 
diferença é que, enquanto a primeira utiliza-se somente dos nós ou elementos estruturais 
existentes, o segundo é uma idealização da estrutura por um número finito de elementos 
(regiões), que são utilizadas para representar um meio contínuo. 
Uma definição ainda mais simples: “... pode-se definir o MEF como um método matemático, 
no qual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as 
propriedades de quem os originou” (LOTTI, MACHADO, et al., 2006). 
 
5.1 Métodos de Análise Estrutural 
 
Dentre as diversas disciplinas existentes nas grades de graduação em Engenharia Civil, e que 
se referem aos mais variados aspectos da Engenharia de Estruturas, tais como Resistência dos 
Materiais, Estática das Estruturas, Estruturas de Madeira, Metálica, Concreto, etc..., verifica-
se sempre em comum um grande número de fórmulas e tabelas, advindas de soluções 
analíticas extraídas das mais diversas teorias, tais como Teoria das Vigas, Teoria Geral de 
Placas e Cascas, Teoria da Elasticidade, entre outras. 
Em comum, a todas elas, é o fato de que são “o produto do tratamento matemático clássico 
baseado no estudo das “Equações Diferenciais”, que descrevem o Equilíbrio da Estrutura”. 
(ALVES FILHO, 2012, p. 3). 
 
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Segundo o mesmo autor, é correto afirmar, que para a maioria dos engenheiros, o 
desenvolvimento dessas soluções requer conhecimentos matemáticos muito aprofundados e 
que não estão ao seu alcance, tornando-se assim muito mais cômodo o uso das expressões 
finais em seus trabalhos no dia-a-dia. 
No entanto, existem grandes limitações ao uso dessas soluções finais, pois estes métodos 
clássicos, também chamados de Métodos Analíticos, possuem soluções possíveis somente 
para alguns casos conhecidos, com geometrias simples e condições de apoio e carregamento 
previamente estudadas e tabeladas. 
Essas limitações levaram diversos pesquisadores buscar o desenvolvimento de 
“procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados em caráter geral, independente da 
forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema 
de engenharia”. (ALVES FILHO, 2012, p. 3). Essa alternativa aos procedimentos analíticos 
clássicos deu origem ao Método dos Elementos Finitos. 
 
5.1.1 Sistemas Contínuos 
 
Na figura (7) abaixo pode-se observar exemplos de estruturas que podem ser facilmente 
solucionadas através de formulações e tabelas, através das denominadas Soluções Analíticas. 
No entanto, existe uma particularidade muito interessante em comum a todas as teorias que 
deram origem às soluções analíticas que conhecemos hoje: todas tratam as estruturas como 
um sistema contínuo, ou seja, elas permitem “determinar o deslocamento vertical y para todos 
os valores de x, isto é, a solução é obtida para os infinitos pontos da viga, por intermédio de 
uma função matemática”. (ALVES FILHO, 2012, p. 6). Diz-se então, que a estrutura que é 
objeto de análise através dos métodos analíticos é tratada com um sistema contínuo, ou seja, a 
solução é obtida para TODOS os pontos que o corpo da estrutura. 
 
 
 
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Figura 7 – Tabela de Diagramas de Momento e Deformações Máximas 
(Exemplo de Soluções em Sistemas Contínuos) 
Fonte: : (GILBERT, LEET e UANG, 2009) 
 
5.1.1 Sistemas Discretos 
 
Segundo Alves Filho (2012), em contraponto aos sistemas contínuos utilizados nos métodos 
analíticos, baseados no comportamento diferencial de um elemento infinitesimal da estrutura, 
de onde é possível entender o comportamento da peça como um todo, pode-se tomar mão de 
 
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soluções aproximadas, que simulam o comportamento da estrutura através da montagem de 
elementos que tem uma dimensão finita (e não diferencial). Dessa maneira, é realizada uma 
subdivisão do sistema em um número finito de elementos, de maneira que a estrutura seja 
entendida como um agregado de elementos e conexões entre eles, denominados nós, 
formando o que é chamado de malha. Julga-se que o número de pontos discretos escolhidos 
(nós), seja suficiente determinar, embora de maneira aproximada, o comportamento estrutural 
do conjunto inteiro. Na figura (8) abaixo, verifica-se um exemplo de discretização de uma 
estrutura de um reservatório. 
 
 
Figura 8 – Exemplo de Estrutura Real Discretizada em elementos e nós 
Fonte: (AJEJE, PENNA e PITANGUEIRA, 2011). 
 
Um detalhe importante a se observar é referente à quantidade de elementos e 
consequentemente de nós a ser escolhida. Já se viu que, aumentando o refinamento da malha, 
ou seja, aumentando a quantidade de elementos a serem calculados, ganha-se 
consideravelmente na aproximação da solução exata, no entanto, isto demanda mais tempo de 
cálculo computacional, que pode crescer de maneira exponencial à medida que se aumenta o 
refinamento da malha. Cabe ao engenheiro, dependendo obviamente das propriedades do 
elemento, chegar a um equilíbrio nesta equação, obtendo uma solução aproximada satisfatório 
com o menor número possível de elementos discretizado, a fim de se economizar recursos 
computacionais. Na figura (9), verifica-se que à medida que se aumenta o número de nós, 
mais se aproxima da solução exata do problema. 
 
 
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Figura 9 - Exemplo de Aproximação de funções contínuas por partes (discretização) 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
Na figura (10) abaixo, verifica-se um exemplo da convergência dos resultados se 
aproximando da solução exata, à medida que se aumenta o número de nós. 
 
Figura 10 - Gráfico de Convergência da tensão em função do número de nós 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
 
 
5.2 Análise Matricial de Estruturas 
Segundo Cavalcanti (2006), 
Métodos consagrados de análise estrutural, tais como o método das forças e o 
método dos deslocamentos foram o alvo inicial das técnicas computacionais de 
análise estrutural. E com base em formulações e equações matemáticas 
fundamentadas e desenvolvidas no campo da álgebra matricial, nasceu a técnica 
computacional da análise matricial de estruturas, que posteriormente evoluiu para 
métodos mais consagrados, tais como diferenças finitas, elementos finitos e de 
contorno e mais recentemente, elementos discretos e operadores discretos. 
O que se pretende, através da técnica de modelagem matricial de uma estrutura, é uma 
maneira de “traduzir” para o computador, as propriedades geométricas de uma estrutura, 
através de matrizes que representam as coordenadas dos seus vértices, bem como de que 
maneira se conectam cada uma de suas barras. 
Para exemplificar, pode-se verificar a montagem da treliça plana (tesoura) da estrutura abaixo 
 
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(figura 11) em uma matriz de coordenadas dos nós e uma tabela de conexão destes, formando 
as barras, que é conceitualmente a maneira pela qual os computadores “enxergam” as 
estruturas, sejam elas simples com a deste exemplo, sejam pórticos espacial de edifícios com 
múltiplos andares. 
 
Figura 11 - Estrutura com treliças metálicas planas (tesoura) 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
 
Inicialmente numeram-se os nós da estrutura (treliça) e monta-se uma matriz com as suas 
coordenadas, em função de um sistema de eixos (x e y) com origem no nó 1: 
Na figura (12) abaixo, verifica-se a sequência dos nós da estrutura de 
exemplo:
 
Figura 12 - Treliça Plana (Nós) 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
 
Desta maneira, a partir do nó 1 assumindo a coordenada de origem (0,0), o quadro (2) abaixo 
 
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indica a posição de todos os outros nós da estrutura. 
 
Nó X Y 
1 0,00 0,00 
2 1,50 0,00 
3 3,00 0,00 
4 4,50 0,00 
5 6,00 0,00 
6 7,50 0,00 
7 9,00 0,00 
8 1,50 0,47 
9 7,50 0,47 
10 3,00 0,93 
11 6,00 0,93 
12 4,50 1,40 
 
Quadro 2 - Tabela de Coordenadas dos Nós da Treliça (Figura 7) 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
 
Na figura (13) abaixo, verifica-se a sequência das barras da estrutura de exemplo: 
 
Figura 13 - Numeração das Barras da Treliça Plana 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
 
 
Pode-se então, a partir da barra 1, que se inicia no Nó 1 e termina no Nó 2, determinar a 
posição de cada uma das barras da estrutura, conforme visto no Quadro (3), abaixo: 
 
 
Barra Nó Inicial Nó Final 
1 1 2 
2 1 8 
3 2 3 
4 2 8 
5 3 4 
6 3 10 
7 4 5 
 
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8 4 11 
9 4 12 
10 5 6 
11 5 9 
12 6 7 
13 6 9 
14 7 9 
15 3 8 
16 8 10 
17 9 11 
18 4 10 
19 10 12 
20 5 11 
21 11 12 
 
Quadro 3 - Conexão das Barras com os Nós 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2015) 
 
 
5.3 Flexibilidade e Rigidez das Estruturas 
 
O entendimento da maneira como os esforços podem ser analisados em uma estrutura, como 
vimos acima, montada de forma matricial em um computador, depende da correta 
interpretação de como são formuladas as equações de flexibilidade e rigidez e de que maneira 
estas se relacionam com as ações e os deslocamentos presentes em uma estrutura. 
De acordo com Cavalcanti (2006), 
Os conceitos de flexibilidade e rigidez podem ser ilustrados com o auxílio da mola 
apresentada na Figura 09, onde a mesma é tracionada pela ação “A”, e devido a 
solicitação dessa mesma ação, a mola distende-se do comprimento “L” até o 
comprimento δ+L, sendo a ação “A” a responsável pelo alongamento 
(deslocamento) δ. 
 
A figura (14), abaixo, demonstra simbolicamente a relação entre a força aplicada e o 
deslocamento. 
 
 
 
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Figura 14 - Mola sujeita a traçãoFonte: (CAVALCANTI, 2006) 
 
Através dos conhecimentos da teoria da elasticidade, tem-se a lei da física que determina a 
deformação de um corpo causada pela ação de uma força sobre este. Esta é a chamada Lei de 
Hooke. Por ela, tem-se que: 
 
 
(1) 
 
Ou seja, adotando x como o deslocamento (δ) ocorrido devido à ação da força A, pode-se 
obter a constante elástica da mola, denominada K. Em outras palavras, na equação (1), 
quando adotamos um deslocamento unitário na mola, ou seja, (x=1), K representaria a força 
capaz de provocar esse deslocamento da mola. Ou seja, quanto maior for o valor de K, maior 
será a força necessária para provocar um deslocamento (distensão ou compressão) na mola, 
ou em outras palavras, mais rígida será a mola. 
Trazendo estes termos aos conceitos didáticos de análise estrutural, pode-se reescrever a 
equação (1) como sendo: 
 
 
(2) 
Desta maneira, pode-se deduzir que S representa a rigidez da mola, pois quanto maior esse 
valor, mais difícil será deformar a mola. 
 
De outro ponto de vista, pode-se relacionar assim as ações e deslocamentos, assumindo para a 
força A um valor unitário (A=1): 
 
 
(3) 
Desta maneira, quando maior o valor de F, maior será o deslocamento (δ), ou seja, mais fácil 
será deformar a mola. Por isso, deduz-se que o componente F representa a flexibilidade da 
mola. 
 De acordo como Cavalcanti (2006), 
Quando estamos determinando o valor de S, a pergunta a ser respondida é a 
seguinte: qual é a força necessária para provocar um deslocamento unitário na mola, 
ao passo que na determinação do valor de F, a pergunta a ser respondida consiste em 
dizer qual é o valor do deslocamento que é provocado por uma ação unitária na 
mola. 
Portanto, segundo o mesmo autor, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais, como 
pode ser expresso pela expressão a seguir: 
 
 
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(4) 
Desta maneira, pode-se estender estes conceitos a toda e qualquer estrutura que esteja 
trabalhando no regime elástico linear, simplificação que atende à maioria dos casos em que 
não se apresente pré-requisitos para análises não lineares, mais complexas e que dependem de 
outros fatores físicos e geométricos. 
Portanto, segundo Cavalcanti, (2006), pode-se fazer a seguinte analogia da mola com uma 
estrutura prismática, conforme a figura (15) abaixo: 
 
Figura 15 - Barra Prismática sujeita à Tração 
Fonte: (CAVALCANTI, 2006) 
Obtêm-se, portanto, da disciplina de Resistência dos Materiais, que o deslocamento axial (δ) 
da figura 15 pode ser representado por: 
 
 
(5) 
 
Onde: 
 δ é o deslocamento provocado pela ação A; 
 L é o comprimento da barra; 
 E é o módulo de elasticidade longitudinal do material que constitui a barra; 
 α é a área da seção transversal da barra. 
Assumindo A=1, obtêm-se o deslocamento δ provocado por uma ação de valor unitário, ou 
seja, pode-se obter o coeficiente de flexibilidade da barra (F) quando submetida a uma força 
axial. Desta maneira, chega-se a seguinte equação: 
 
 
(6) 
 
 
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De maneira análoga, e já sabendo que o coeficiente de rigidez é inversamente proporcional ao 
coeficiente de flexibilidade, obtêm-se: 
 
 
(7) 
 
5.4 Matriz de Rigidez 
 
Assim, pode-se generalizar a obtenção dos esforços e deslocamentos nas estruturas através de 
uma matriz, através dos coeficientes de rigidez mostrados acima e das equações de equilíbrio 
e de compatibilidade, presentes na Teoria da Elasticidade. 
Veja por exemplo a mola e a barra prismática mostrada na figura (16) a seguir: 
 
 
Figura 16 - Estruturas para montagem da matriz de rigidez 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
Colocando a estrutura em equilíbrio de forças, têm-se as equações resultantes explicitadas na 
figura (17), abaixo: 
 
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Figura 17 - Equilíbrio de Forças na mola 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
 
Pode-se agora reescrever essa equação em forma matricial, de modo a obter a matriz de 
rigidez da mola, conforme demonstrado na figura (18), abaixo: 
 
Figura 18 - Obtenção da Matriz de Rigidez da Mola 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
 
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Da mesma maneira, pode-se obter a matriz de rigidez da barra, conforme a figura (19) abaixo: 
 
Figura 19 - Matriz de Rigidez da Barra Prismática 
Fonte: (AZEVEDO, 2014) 
 
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
Conclui-se dessa maneira este trabalho de conclusão de curso, cujo objetivo principal, é 
fomentar em quem tiver contato com o mesmo, o interesse pelo aprofundamento no estudo da 
análise de estruturas, e principalmente, do Método dos Elementos Finitos. 
Saber como os softwares comerciais de dimensionamento estrutural funcionam, mais do que 
uma simples obrigação, e uma necessidade latente àqueles que pretendem se tornar muito 
mais do que meros operadores de softwares, mas verdadeiros projetistas estruturais. 
Os resultados esperados, com a utilização do embasamento teórico e da pesquisa 
bibliográfica, para a elaboração de um exemplo prático, foram plenamente alcançados. 
Espera-se que esse trabalho seja uma semente, que apesar de pequena, possa produzir frutos 
para a engenharia brasileira. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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AZEVEDO, D. F. O. CAE – Computer aided engineering engenharia auxiliada por computador. (Notas de 
 
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Mestrado), 2005. 
 
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Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – UFU, 2010. 
 
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